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Introducción a métodos cuantitativos Unidad I - Clase 1 Plano cartesiano Distancia entre dos puntos y punto medio. Pendiente y ecuación de la recta. 1

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Una introducción sencilla a los métodos cuantitativos.

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  • Introduccin a mtodos cuantitativos

    Unidad I - Clase 1

    Plano cartesiano

    Distancia entre dos puntos y punto medio.

    Pendiente y ecuacin de la recta.

    1

  • Las noticias nos proporcionan

    informacin sobre el huracn

    Claudius. El huracn se encuentra

    cerca de la interseccin de la lnea

    vertical que indica los 91o de

    longitud y la lnea horizontal que

    seala los 25o de latitud. Este punto

    se puede identificar asignndole un

    par ordenado de nmeros,

    conocidos como coordenadas, que

    muestran primero la longitud y

    despus la latitud.

    De este modo, el huracn Claudius

    tendra las coordenadas: (91, 25).

    91: es la longitud (unidades a la derecha o a la izquierda)

    25: es la latitud (unidades hacia arriba o hacia abajo)2

  • 3Coordenadas de un punto

    Frecuentemente, para ubicar la posicin de un objeto en un plano, se considera un

    punto de referencia llamado origen, por el cual se trazan dos ejes perpendiculares como

    se muestra enseguida:

    1 2 3 4 5

    1

    2

    3

    0

    Eje horizontal

    Distancia de la casa al eje horizontal

    Eje vertical

    Origen

    Distancia de la casa

    al eje vertical

    Observa que cada eje es una copia de la recta numrica.

    La distancia de la casa al eje horizontal es 3 unidades.

    La distancia de la casa al eje vertical es 4 unidades.

    Los nmeros 3 y 4 forman una pareja que se ordena (4, 3) y se llama las

    coordenadas del punto en el cual se ubica la casa.

  • 4Ejemplo 1 Localizar en el plano cartesiano el punto de coordenadas (3, 2)

    1

    3

    01 2 3 4

    2

    4

    y

    x

    (3, 2)

    Al eje horizontal se le llama eje de las abscisas o eje de las x, y al eje vertical se le

    llama eje de las ordenadas o eje de las y, a un diagrama coordenado como el anterior

    se le llama sistema de coordenadas cartesianas o plano cartesiano.

    Una pareja ordenada se puede localizar en el plano, teniendo en cuenta que cada

    pareja denota un recorrido desde el origen hacia la derecha o hacia la izquierda; y

    luego, hacia arriba o hacia abajo, dependiendo ello del signo de cada coordenada o

    componente de la pareja.

  • 5Ejemplo:

    En el siguiente diagrama, cul es la posicin de cada uno de los aviones?

    x

    1

    3

    0 1 2 3 4

    2

    4

    5 6 7

    y

    5

  • 32

    1

    -1

    -2

    -3

    -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

    b

    a

    -

    -

    Sistema coordenado rectangular

    X

    Y

    a: abscisa de P

    b: ordenada de P

    P(a,b)..( + , + )

    .( - , + )

    .( - , - ) .( + , - )

    II

    III IV

    I

    6

  • Ejemplo:

    Ubique cada uno de los puntos siguientes en el plano cartesiano:

    A(0, -2), B(10, 0), C(3, -2),

    D(3 , 5), E(-1.5, 9)

    7

  • Si a y b son nmeros reales tales que: a>0 y

    b

  • 9x

    1

    3

    0 1 2 3 4

    2

    4

    5 6 7

    y

    5

    Distancia entre dos puntos

    A

    BC

    D

    E

    Cul es la distancia entre el avin A y el B? o Cules la distancia entre el avin C y el D?

  • La distancia entre dos puntos del plano P1 (x1, y1)

    y P2 (x2, y2) se puede obtener a travs de la

    siguiente frmula:

    d(P1, P2) = 2

    21

    2

    21 )()( yyxx

    Distancia entre dos puntos

  • 11

    Distancia entre dos puntos

    Particularidades:Si dos puntos difieren slo en una de

    sus coordenadas, la distancia entre

    ellos es el valor absoluto de su

    diferencia.

    Caso 1 Caso 2

  • Determinar la distancia entre el puntoF = ( 2, 5 ) y el punto M = ( 2, - 3 )

    Ejemplo:

    12

  • Determinar la distancia entre el puntoP = ( 3 , 17 ) y el punto Q = ( 17 ,17)

    Ejemplo:

    13

  • Distancia entre dos puntos

    x

    y

    .P1

    .P2

    x1 x2

    y2

    y1 |x2 - x1 |

    |y2 - y1 |

    d(P1, P2) = ( ) ( )x x y y1 22

    1 2

    2 14

  • Determinar la distancia entre el puntoM = (4.7,- 5.2) y el punto F = (- 1.3, 2.8)

    Ejemplo:

    15

  • Frmula de punto medio de un segmento

    x

    y

    x1 x2

    P1(x1,y1)

    P2(x2,y2)

    .M(x,y)

    x

    x1 + x22

    M = (---------, ---------)y1 + y22 16

  • Determinar el punto medio de lossiguientes segmentos:

    1.( 2 , 7 ) y (- 2 , 4 )

    2.( - 3.14 , 1.42 ) y ( 3.14 , - 1.42 )

    3.( 0.75 , 1.72 ) y ( 0.25 , - 6 )

    Ejemplo:

    17

  • Qu significan estas seales de trnsito?

    18

  • L1

    L2

    0 x

    y Cul de las rectas est ms inclinada?

    Cmo medimos esa inclinacin?

    Pendiente de una recta l

    19

  • La pendiente m de la recta l es:

    Cambio en y yCambio en x x

    m = =

    20

  • Sea l una recta no vertical que pasa por

    los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).

    y2 - y1x2 - x1

    m =

    Clculo de la pendiente de una

    recta

    21

  • 0 x

    y

    P1(x1, y1)

    P2(x2, y2)

    x=x2 - x1

    y=y2 - y1

    y2 - y1x2 - x1

    m =

    Clculo de la pendiente de una

    recta

    22

  • Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos:

    1. A(-6, 1) y B(1, 2)

    2. C(-1, 4) y D(3, 1)

    3. E(4, 2) y F(6, 2)

    4. G(2, 1) y H(2, -3)

    Ejemplos

    23

  • 1. Si m>0 la recta l es creciente

    2. Si m

  • 25

    x

    y

    m = 0

    x

    y

    NO existe m

    (Indefinida)

    x

    y

    x

    y

    m > 0 m < 0

    Tipos de pendiente

  • La ecuacin de la recta de pendiente m,

    y punto de paso (x1, y1) es:

    (x1, y1)y - y1 = m(x - x1)

    X

    Y

    Ecuacin de la recta 1.

    26

  • 27

    y y1 = m (x x1)

    Cul es la ecuacin de la recta de pendiente m = -6, que

    pasa por el punto (3,-2) es:

    y (-2) = -6 (x 3)

    y + 2 = -6x + 18

    y = -6x + 16

    Ejemplo:

  • La grfica de una recta de pendiente m y

    ordenada en el origen b, es:

    by = mx + b

    X

    Y

    Ecuacin de la recta 2.

    28

  • 29

    Ejemplo: Dada la grfica de la recta, encontrar su ecuacin principal.

    b = 3.

    Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de posicin o intercepto

    es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y), de modo que su ecuacin

    principal es y = 2x + 3

    Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente

    5 3

    1 0m =

    2

    1m = = 2

    -1-2

    -2

    -1

  • ECUACIN GENERAL DE LA RECTA

    La grfica de una ecuacin lineal:Ax + By = C, es una recta,

    y recprocamente, toda recta es la grfica de una ecuacin lineal:Ax + By = C

    Ecuacin de la recta 3.

    30

  • m1 = m2

    Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas

    pendientes son m1 y m2 , son paralelas (l1 // l2) si y slo si tienen

    la misma pendiente.

    Es decir:

    Rectas paralelas

    31

  • 32

    Rectas paralelas

    Ejemplo: l1: y = 5x +3 y l2: y = 5x - 10

    (m = 5) (m = 5)

  • m1 . m2 = -1

    Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyaspendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y slo siel producto de sus pendientes es -1.

    Es decir:

    Rectas perpendiculares

    33

  • 34

    l1: y = -5x +3 y l2: y = 2x - 102 5

    (m = -5 )2

    (m = 2 )5

    Rectas perpendiculares

    Ejemplo:

  • A. Conociendo dos puntos de paso.1. A (-2,4) , B(3, 7)

    2. A(-4,-6) , B(6, 8)

    B. Conociendo un punto y su pendiente.

    1. A(5, -3) y m = -2

    2. A(-1, 8) y m = 3

    Determinar la ecuacin de las rectas bajo las siguientes condiciones:

    35

  • Graficar las rectas determinadas anteriormente

    Grafica de una recta

    Sugerencia:

    Encontrar los puntos de interseccin con los

    ejes coordenados y unirlos.

    36

  • Interceptos con los ejes

    Los puntos de interseccin de la grficade una ecuacin con los ejes

    coordenados X e Y son:

    Con eje X: (a, 0)

    Se obtiene haciendo y = 0

    Con eje Y: (0, b)

    Se obtiene haciendo x = 0

    37

  • 4xyc)

    y4b)

    32xya)

    x

    Ejemplo:

    Dibujar las siguientes grficas dando los

    interceptos con los ejes

    38