FACTORIZACIN DE POLINOMIOS

RESUMENUNIDAD I FUNCIN POTENCIA Y MODELOS CUADRTICOSA.RE.10.3.3

J. Pomales

/ noviembre 2008

Introduccin Durante las pasadas semanas hemos visto seis (6) modos diferentes de factorizar un polinomio. En esta presentacin pretendemos hacer un breve resumen de cada una de ellas y prepararte para el examen que debers entregar el lunes 1ero de diciembre de 2008.

CONCEPTOS GENERALES

Detalles importantes Los factores de un nmero son nmeros que se multiplican. Nos limitaremos a factores que sean enteros. Un nmero primo es un entero mayor que 1 cuyos nicos factores son el 1 y el mismo nmero.

Detalles importantes Un nmero positivo mayor que 1 que no es primo se puede expresar como producto de dos nmeros primos en una sola forma, excepto por el orden de los factores. La factorizacin y la simplificacin son procesos inversos.

Detalles importantes El proceso discutido en clase llamado mximo comn divisor (MCD o con sus siglas en ingls GCF) nos ayuda a determinar el factor comn mayor de varios nmeros. Recuerda: aunque discutamos varios ejemplos siempre podran existir casos especiales para cada factorizacin.

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MEDIANTE LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA (FACTOR COMN)

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FACTOR COMN Si un monomio es factor de un polinomio, entonces el polinomio es divisible por el monomio. El proceso de factorizar usando la propiedad distributiva se conoce como factorizar usando factor comn.

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FACTOR COMN Ejemplos:

1) 6 x 3 y 2 3 x 2 y 3 = 6 x 3 y 2 (+) 3x 2 y 3 = 3x y ( 2 x + y )2 2

= ( a b )( 4 x + 5 y )

2) 4 x ( a b ) + 5 y ( a b )

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POR AGRUPACIN

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POR AGRUPACIN Consiste en usar la propiedades conmutativa y asociativa para relacionar trminos dentro de parntesis y luego aplicar la factorizacin anterior (factor comn) Trata de agrupar tomando en consideracin algn factor comn.

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POR AGRUPACIN Ejemplos:1) cx + by + cy + bx = (cx + cy ) + (by + bx) = c ( x + y ) + b( y + x ) = ( y + x)(c + b) 2) xz + x 6 z 6 = xz + x(+ ) 6 z (+ ) 6 = ( xz + x) + (6 z + 6) = x( z + 1) + 6( z + 1) = ( z + 1)( x + 6)

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DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

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DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS Para aplicar esta factorizacin se deben todas estas condiciones: Tener dos trminos Una resta o un trmino negativo Cada trmino debe ser cuadrado perfecto

La diferencia de dos cuadrados se factoriza como el producto de la suma y la diferencia de dos nmeros.

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DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS Ejemplos:1) x 362

= ( x + 6)( x 6) 2) 2a 3 32a = 2a (a 16)2

= 2a (a + 4)(a 4) = [ ( a + b) + 9a ] [ ( a + b) 9a ] = (10a + b)(8a + b) 3) (a + b) 81a2 2

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CUADRADOS PERFECTOS

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CUADRADOS PERFECTOS Esta factorizacin aplica si tienes todas estas condiciones: Tres trminos ordenados en forma decreciente Los trminos de los extremos tienen que ser cuadrados perfectos El trmino central sirve para confirmar si has factorizado bien.

Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio.

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CUADRADOS PERFECTOS Ejemplos:1) x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1) 22) x 2 14 x + 49 = ( x 7) 2 3) 2a 2 20a + 50 = 2(a 2 10a + 25) = 2(a 5) 2

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TRINOMIO DE LA FORMA

x + bx + c2

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TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c Se factoriza como el producto de dos binomios de la forma (x + m) (x + n) donde b = m + n y c = mn En otras palabras: Los factores del ltimo trmino cuando se sumen deben dar el coeficiente del trmino central pero al multiplicarse entre s, debe dar el ltimo trmino.

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TRINOMIO DE LA 2 FORMA x + bx + c Ejemplos:Los factores de 10 son: 10 1 = 10 5 2 = 10 (esto es c) Pero al sumarlos: 10 + 1 = 11 5 + 2 = 7 (esto es b) Observa que necesitamos dos nmeros cuyo producto sea -12 y la suma sea -1. Por lo tanto, uno debe ser positivo y el otro negativo.

1) x 2 + 7 x + 10 = ( x + 5)( x + 2)Como al multiplicar y sumar conseguimos c y b, por eso seleccionamos los factores 5 y 2, en lugar de 10 y 1.

2) x x 12 = ( x 4)( x + 3)2

Ensayando con todos los factores de 12, encontramos que solamente -4 y 3, cuando los multiplicamos = -12 y cuando los sumamos = -1. Por esto, esa es la solucin.

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TRINOMIO DE LA FORMA

ax + bx + c2

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TRINOMIO DE LA 2 FORMA ax + bx + c Se factoriza como el producto de dos binomios de la forma (dx + e) (fx + g) donde

a = df , b = ef + dg y c = eg En muchas ocasiones debemos recurrir al mtodo de tanteo y error para encontrar los factores correctos.

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TRINOMIO DE LA 2 FORMA ax + bx + c Ejemplo:6 x 2 + 23 x + 201. Buscamos si existe un factor comn. En este caso no lo hay. 2. Buscamos factores de 6: 1 6 , 2 3 3. Buscamos factores de 20: 1 20 , 2 10, 5 4 4. Tanteamos (multiplicando forma cruzada) varias combinaciones hasta conseguir el trmino central

6 x 2 + 23 x + 201 6 1=6 20 = 20 6 + 20 = 26

6 x 2 + 23x + 201 6 2 = 12 10 = 10 12 + 10 = 22

6 x 2 + 23x + 202 3 5 = 15 4=8 15 + 8 = 23

Finalmente, al encontrar la combinacin perfecta escribimos la solucin

6 x + 23 x + 20 = (2 x + 5)(3 x + 4)2

EN RESUMEN...

PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO El proceso debe iniciar buscando si hay factor comn. Determinando el nmero de trminos del polinomio original facilita la factorizacin: Con dos trminos puede ser diferencia de dos cuadrados Con tres trminos puede ser: Cuadrados perfectos Trinomios de la formax2 + bx + c ax2 + bx + c

Con cuatro trminos o ms podemos agrupar y luego factorizar.

Cotejar siempre cada factor de tal modo que est factorizado completamente. Verificar multiplicando los factores entre s.

EJERCICIOS DE PRCTICA

Factoriza, si es posiblex 2 36 2 2) 4 x + 64 2 3 3 2 3) a x a x 3 4) 2 x + 16 x 2 5) x x 30 2 6) 6 + r 5r 2 2 2 2 7) 5ab cy + cb 5ay 2 8) x + 5 x + 7 9) 2 x + 1 3 2 10) a 1 + a a 2 11) 6b 16 20b 3 2 12) 2a 8a 12b + 3a b 2 13) 49b + 9 42b1) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26)

3 + 12 x + 12 x 2 4 x 3 24 x 8a 2 6a 9 a 2 b 2 4 a 2 + c 2 b 2 4c 2 1 2 3 a + 2a + 3 7 x + 5 y 6a x 2 10 a 4 + 16 9 x 3 + 66 x 2 48 x a 4 7 a 2 18 ( x + 3) 2 x 2 ( x + 5) 2 9 ( a + b) 2 ( a b) 2

Solucin1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

( x + 6)( x 6) 4( x 2 + 16) a 2 x 2 ( x + a) 2 x( x 2 + 8) ( x + 5)( x 6) (r 3)(r 2) (b + y )(b y )(5a + c)

14) 15) 16) 17) 18)

3(1 + 2 x) 2 4 x ( x 2 6) (2a 3)(4a + 3) (a 2 + c 2 )(b + 2)(b 2) 1 (a + 3) 2 3

19) No se factoriza en los enteros 20) No se factoriza en los enteros 21) No se factoriza en los enteros 22) 23) 24) 25) 26)

8) No se factoriza en los enteros 9) No se factoriza en los enteros 10) 11) 12) 13)

(a + 1) 2 (a 1) 2(3b + 2)(b 4) (2a + 3)(a 2)(a + 2) (7b 3) 2

3x(3x 2)( x + 8) (a + 3)(a 3)(a 2 + 2) 3(2 x + 3) ( x + 2)( x + 8) 4ab

RECUERDA QUE DEBES ENTREGAR EL EXAMEN

1 de diciembre de 2008ero