resumen de factorizacion blanco y negro
DESCRIPTION
Resume 6 factorizaciones distintas: factor común, agrupación, diferencia de dos cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x^2 + bx + c, trinomio de la forma ax^2 + bx + c. Hay ejercicios de práctica y la solución de ellos.TRANSCRIPT
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
CURSO: FUNCIONES Y MODELOSUNIDAD I: FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES
(A.RE.10.3.3: Matemáticas en Acción)
J. Pomales / septiembre 2010
RESUMEN
Introducción
• Durante el pasado año usted estudió por lo menos seis (6) modos diferentes de factorizar un polinomio.
• En esta presentación pretendemos hacer un breve resumen de cada una de ellas y prepararte el próximo tema.
CONCEPTOS GENERALES
Detalles importantes
• Los factores de un número son números que se multiplican.
• Nos limitaremos a factores que sean enteros.
• Un número primo es un entero mayor que 1 cuyos únicos factores son el 1 y el mismo número.
Detalles importantes
• Un número positivo mayor que 1 que no es primo se puede expresar como producto de dos números primos en una sola forma, excepto por el orden de los factores.
• La factorización y la simplificación son procesos inversos.
Detalles importantes
• El proceso discutido en clase llamado máximo común divisor (MCD o con sus siglas en inglés GCF) nos ayuda a determinar el factor común mayor de varios números.
• Recuerda: aunque discutamos varios ejemplos siempre podrían existir casos especiales para cada factorización.
FACTORIZACIÓN
MEDIANTE LA PROPIEDAD
DISTRIBUTIVA(FACTOR COMÚN)
FACTOR COMÚN
• Si un monomio es factor de un polinomio, entonces el polinomio es divisible por el monomio.
• El proceso de factorizar usando la propiedad distributiva se conoce como factorizar usando factor común.
FACTORIZACIÓN
FACTOR COMÚN
• Ejemplos:
FACTORIZACIÓN
yxyx
yxyx
yxyx
23
3)(6
36)1
22
3223
3223
FACTOR COMÚN
• Ejemplos:
FACTORIZACIÓN
yxba
baybax
54
54)2
FACTORIZACIÓN
POR AGRUPACIÓN
POR AGRUPACIÓN
• Consiste en usar la propiedades conmutativa y asociativa para relacionar términos dentro de paréntesis y luego aplicar la factorización anterior (factor común)
• Trata de agrupar tomando en consideración algún factor común.
FACTORIZACIÓN
POR AGRUPACIÓN
• Ejemplos:
))((
)()(
)()(
)1
bcxy
xybyxc
bxbycycx
bxcybycx
FACTORIZACIÓN
POR AGRUPACIÓN
• Ejemplos:
)6)(1(
)1(6)1(
)66()(
6)(6)(
66)2
xz
zzx
zxxz
zxxz
zxxz
FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN
DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS
DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS
• Para aplicar esta factorización se deben todas estas condiciones:– Tener dos términos
– Una resta o un término negativo
– Cada término debe ser cuadrado perfecto
• La diferencia de dos cuadrados se factoriza como el producto de la suma y la diferencia de dos números.
FACTORIZACIÓN
DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS
• Ejemplos:
)6)(6(
36)1 2
xx
x
FACTORIZACIÓN
DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS
• Ejemplos:
)4)(4(2
)16(2
322)22
3
aaa
aa
aa
FACTORIZACIÓN
DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS
• Ejemplos:
)8)(10(
9)(9)(
9)(9)(
81)()3 22
baba
abaaba
abaaba
aba
FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN
CUADRADOS PERFECTOS
CUADRADOS PERFECTOS
• Esta factorización aplica si tienes todas estas condiciones:–Tres términos ordenados en forma
decreciente
–Los términos de los extremos tienen que ser cuadrados perfectos
–El término central sirve para confirmar si has factorizado bien.
FACTORIZACIÓN
CUADRADOS PERFECTOS
• Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio.
FACTORIZACIÓN
• Ejemplos:
2
2
)1(
12)1
x
xx
CUADRADOS PERFECTOSFACTORIZACIÓN
• Ejemplos:
2
2
)7(
4914)2
x
xx
CUADRADOS PERFECTOSFACTORIZACIÓN
• Ejemplos:
2
2
2
)5(2
)2510(2
50202)3
a
aa
aa
CUADRADOS PERFECTOSFACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN
TRINOMIO DE LA FORMA
cbxx 2
TRINOMIO DE LA FORMA
• Se factoriza como el producto de dos binomios de la forma
(x + m) (x + n) donde
b = m + n y c = m·nEn otras palabras:
Los factores del último término cuando se sumen deben dar el coeficiente del término central pero al multiplicarse entre sí, debe dar el último término.
cbxx 2FACTORIZACIÓN
TRINOMIO DE LA FORMA• Ejemplos:
)2)(5(
107)1 2
xx
xx Los factores de 10 son: 10 · 1 = 10 5 · 2 = 10 (esto es c)Pero al sumarlos: 10 + 1 = 11 5 + 2 = 7 (esto es b)
Como al multiplicar y sumar conseguimos c y b, por eso seleccionamos los
factores 5 y 2, en lugar de 10 y 1.
FACTORIZACIÓN
cbxx 2
TRINOMIO DE LA FORMA• Ejemplos:
)3)(4(
12)2 2
xx
xx Observa que necesitamos dos números cuyo producto sea -12 y la suma sea -1. Por lo tanto, uno debe ser positivo y el otro negativo.
Ensayando con todos los factores de 12, encontramos que solamente -4 y 3, cuando los multiplicamos = -12 y cuando los sumamos = -1. Por esto, esa es la solución.
FACTORIZACIÓN
cbxx 2
FACTORIZACIÓN
TRINOMIO DE LA FORMA
cbxax 2
TRINOMIO DE LA FORMA
• Se factoriza como el producto de dos binomios de la forma
(dx + e) (fx + g)
donde
a = d·f , b = e·f + d·g y c = e·g
• En muchas ocasiones debemos recurrir al método de tanteo y error para encontrar los factores correctos.
cbxax 2FACTORIZACIÓN
• Ejemplo: 20236 2 xx1.Buscamos si existe un factor común.
En este caso no lo hay.
2.Buscamos factores de 6: 1 · 6 , 2 · 3
3.Buscamos factores de 20: 1 · 20 , 2 · 10, 5 · 4
4.Tanteamos (multiplicando forma cruzada) varias combinaciones hasta conseguir el término central
TRINOMIO DE LA FORMAcbxax 2
FACTORIZACIÓN
16
1 = 620 = 20
6 + 20 = 26
TRINOMIO DE LA FORMAcbxax 2
FACTORIZACIÓN
• Ejemplo: 20236 2 xx
20236 2 xx
16
2 = 1210 = 10
12 + 10 = 22
TRINOMIO DE LA FORMAcbxax 2
FACTORIZACIÓN
• Ejemplo: 20236 2 xx
20236 2 xx
)43)(52(20236 2 xxxx
20236 2 xx23
5 = 154 = 8
15 + 8 = 23
Finalmente, al encontrar la combinaciónperfecta escribimos la solución
TRINOMIO DE LA FORMAcbxax 2
FACTORIZACIÓN
• Ejemplo: 20236 2 xx
EN RESUMEN...
PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO
• El proceso debe iniciar buscando si hay factor común.
• Determinando el número de términos del polinomio original facilita la factorización:
–Con dos términos puede ser diferencia de dos cuadrados
PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO
–Con tres términos puede ser:• Cuadrados perfectos
• Trinomios de la forma
x2 + bx + c
ax2 + bx + c
–Con cuatro términos o más podemos agrupar y luego factorizar.
PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO
• Cotejar siempre cada factor de tal modo que esté factorizado completamente.
• Verificar multiplicando los factores entre sí.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Factoriza, si es posible
Factoriza, si es posible
Factoriza, si es posible
Factoriza, si es posible
Solución
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) No se factoriza en los enteros
9) No se factoriza en los enteros
10)
11)
12)
13)
)6)(6( xx)16(4 2 x)(22 axxa
)8(2 2 xx)6)(5( xx)2)(3( rr
)5)()(( caybyb
)1()1( 2 aa
)4)(23(2 bb
2)37( b)2)(2)(32( aaa
14)
15)
16)
17)
18)
19) No se factoriza en los enteros
20) No se factoriza en los enteros
21) No se factoriza en los enteros
22)
23)
24)
25)
26)
2)21(3 x)6(4 2 xx
)34)(32( aa)2)(2)(( 22 bbca
231 )3( a
)8)(23(3 xxx)2)(3)(3( 2 aaa
)32(3 x)8)(2( xx
ab4
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