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GUÍA: INTEGRALES

ÁÁrreeaa ddee EEEETT

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Derechos ReservadosTitular del Derecho: INACAP

N° de inscripción en el Registro de Propiedad Intelectual # ___ . ____ de fecha ___-___-___.© INACAP 2002.

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1. INTEGRALES

1.1 La Integral Indefinida.

1.1.1 Conceptos Básicos

Sea y = f(x) derivable respecto a x en D. Tenemos entonces que dydx

= ,

f (x) o

dy =,

f (x) dx , es decir, hemos encontrado la derivada y la diferencial de la función y =

f(x) respecto a: x. También, a cada función y = f(x) le corresponde una única función

derivada: ,

f (x) o una única diferencial dy = ,

f (x) dx . Considerando el proceso inverso:

dada ,

f (x) o dy =,

f (x) dx si queremos encontrar y = f(x) obtendremos infinitas funciones

cuya derivada es ,

f (x) o cuya diferencial es ,

f (x) dx .

Ejemplo 1: A y = f(x) = 3x + 5 le corresponde una única función derivada ,

f (x) = 6x

o una única diferencial dy = 6x dx respecto a x en , pero esta

derivada o diferencial lo es de infinitas funciones, como ser: 3x2 + 5,

3x2 + 6, 3x2 – 5, 3x2 + 12

,........., 3x2 , funciones que difieren entre sí

solo en la constante aditiva. Notemos que 3x2 es la más simple de ellas

y que si C es una constante 3x2 + C representa a todas las funciones

anteriores para los distintos valores que asignemos a C.

Las consideraciones anteriores conducen a los siguientes hechos. Dada ,

f (x) o

dy =,

f (x) dx , el hecho de encontrar y = f(x) se llama Integrar ,

f (x) o Integrar ,

f (x) dx , lo

que se anota:,

dy f (x) dx=∫ ∫es decir:

,y f (x)dx= ∫

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Tenemos entonces que “ la notación ,

f (x)dx∫ representa a todas las funciones que al ser

derivadas respecto a x dan ,

f (x) , o a todas las funciones cuya diferencial es ,

f (x) dx”.

En ,

f (x)dx∫ , ∫ es el símbolo de la integral, dx: Que es la diferencial de la variable

independiente, indica la variable respecto de la cual se ha derivado la función para

obtener ,

f (x) o ,

f (x) dx, y respecto de la cual hay que integrar. La función ,

f (x) ubicada

entre los dos símbolos anteriores se llama La función Integrando.

La función que se obtiene al integrar ,

f (x)dx∫ se llama la Integral Indefinida, La

Antiderivada o la función Primitiva de ,

f (x) en D, y corresponde a un conjunto de infinitas

funciones (cada una de ellas es una integral indefinida o una antiderivada o una función

primitiva) que difieren entre sí únicamente en una constante aditiva llamada La Constante

de Integración .

“Si f(x) es una integral indefinida de ,

f (x) en D entonces f(x) + C denota a todas las

integrales indefinidas de ,

f (x) en D:

,f (x)dx∫ = f(x) + C

Observación : dy = ,

f (x) dx entonces dy∫ =,

f (x)dx∫

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1.1.2 Tablas de Integrales Básicas

Basados en los teoremas sobre derivación, podemos establecer:

1) dx 1 dx x C= = +∫ ∫

2) k dx kx C k :cons tan te= +∫

3) k f(x) dx k f(x)dx k :cons tan te=∫ ∫

( )4) f(x) g(x) h(x) dx f(x)dx g(x)dx h(x)dx+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫r 1

r x5) x dx C , r , r 1r 1

+= + ∈ ≠ −

+∫

16) dx ln x Cx

= +∫

xx a7) a dx C a

lna+= + ∈∫

x x8) e dx e C= +∫

9) sen x dx cos x C= − +∫

10) cos x dx sen x C= +∫

11) tan x dx lnsec x C= +∫

12) cot x dx lnsen x C= +∫

13) sec x dx ln(sec x tan x ) C= + +∫

14) cosec x dx ln(cosec x cot x ) C= − +∫

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215) sec x dx tan x C= +∫216) cosec x dx cot x C− = +∫

2cosec x dx cot x C= − +∫

17) sec x tan dx sec x C⋅ = +∫

18) cosec x cot x dx cosec x C− ⋅ = +∫cosec x cot x dx cosec x C− ⋅ = − +∫

2

119) dx arc sen x C1 x

= +−

∫

2

120) dx arc cos x C1 x

− = +−

∫

2

1 dx arc cos x C1 x

=− +−

∫

2121) dx arc tan x C

1 x= +

+∫

2122) dx arc co t x C

1 x− = +

+∫

2

123) dx arc sec x Cx x 1

= +−

∫

2

124) dx arc cosec x Cx x 1

− = +−

∫

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1.1.3 Integración Inmediata

Son aquellas integraciones que se hacen aplicando directamente las fórmulas anteriores.

Ejemplo 1: Calcular 7x dx∫Resolución : La fórmula 5) da :

7 1 87 x xx dx C C

7 1 8

+= + = +

+∫

Ejemplo 2: Calcular 4 3

dx

x∫

Resolución : La fórmula 5) da : 3 13 4 44

4 3

dx xdx x dx C 4 x C3x 14

− +−

= = + = +− +

∫ ∫

Ejemplo 3: Calcular x2

37 5cos x dx1 x

− + − ∫

Resolución : La fórmula 4) da :

x2

37 dx 5cos x dx dx1 x

− +−

∫ ∫ ∫ =

x

2

7 15 cos x dx 3 dxln7 1 x

− +−

∫ ∫ =

x7 5sen x 3arc sen x C

ln7− + +

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Ejemplo 4: Calcular 7 dxx∫

Resolución : La fórmula 6) da : 17 1dx 7 dx 7 ln x Cx x

= = +∫ ∫o 7 ln x lnC= +

o 7lnC x=

1.1.4 Uso de una función auxiliar para las integrales inmediatas.

La derivación de funciones compuestas (Regla de la Cadena) da origen a muchas

funciones que para ser integradas con seguridad requieren el uso de una función auxiliar.

Para ello, en las fórmulas anteriores se reemplazan: la expresión que contiene a la

variable x (o parte de ella) por una adecuada función u = u(x), y dx por la correspondiente

du. Se integra y luego se vuelve a la variable original x. Así por ejemplo, la fórmula rx dx∫se puede considerar también como ru du∫ donde aparece ur una función elevada a un

exponente, multiplicada por la diferencial de la base : ur du.

Del mismo modo 1 dudx quedax u∫ ∫ : la diferencial du dividida por la función u.

Las restantes fórmulas se interpretan análogamente. Los ejemplos a continuación aclaran

la técnica.

Ejemplo 1: Calcular sen2x dx∫Resolución : No podemos usar la fórmula 9) directamente. Usamos una función

auxiliar: u = 2x luego du = 2 dx, luego dx = du2

. Reemplazando:

du 1 1sen2x dx senu senudu ( cos u ) C2 2 2

= ⋅ = = ⋅ − +∫ ∫ ∫

1 1cos u C cos 2x C2 2

= − + = − +

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Ejemplo 2: Calcular 5 dx3 x−∫

Resolución : 5 1dx 5 dx3 x 3 x

=− −∫ ∫ , la fórmula 6) sugiere u = 3 – x luego du = -

dx ∴ dx = -du.

Reemplazando:

( )

1

51 5

1 1 15 dx 5 ( du) 5 du 5 lnu C3 x u u

C5 ln (3 X ) C ln (3 x ) lnC ln3 x

= ⋅ − = − = − +−

=− − + =− − + =−

∫ ∫ ∫

Ejemplo 3: Calcular ( )43 2x 5 3 x dx− ⋅∫Resolución : Es una potencia multiplicada por la diferencial de la base, la fórmula 5):

ru du∫ sugiere, la fórmula 6) sugiere u = x3 - 5 ∴ du = 3 x2 dx.

Reemplazando:

( ) ( )53543 2 4x 5ux 5 3 x dx u du C C

5 5

−− ⋅ = = + = +∫ ∫

Ejemplo 4: Calcular xe dx−∫Resolución : u = - x, du = - dx ∴ dx = - du.

Reemplazando:x u u u xe dx e ( du) e du e C e C− −= − =− = − + = − +∫ ∫ ∫

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Ejemplo 5: Calcular cosec x dx3 x∫

Resolución : Usamos 1cosec u du, con u x du dx dx 2 x du2 x

= ∴ = ∴ =∫ .

Reemplazando:

cosec x cosec u 2dx 2 x du cosec u du33 x 3 x

= ⋅ =∫ ∫ ∫

( )2 2ln( cosec u cot u ) C ln cosec x cot x C3 3

= − + = − +

Ejemplo 6: Calcular 2

dx

1 3 x−∫

Resolución : Usamos 2

1 dudu , con u x 3 ; du 3 dx dx31 u

= = ∴ =−

∫ .

Reemplazando:

2 2 2

1 1 du 1 1dx du3 31 3 x 1 u 1 u

1 1arc senu C arc sen x 3 C3 3

= ⋅ = ⋅ ⋅ =− − −

+ = = +

∫ ∫ ∫

Ejemplo 7: Calcular 2

dxx 14 x 52+ +∫

Resolución : Usando 2 22

1 du : x 14x 52 (x 7 ) a1 u

+ + = + ++∫ .

52 49 a a 3= + ∴ =

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2 2 2dx dx dx

x 14 x 52 3 ( x 7 ) x 73 13

∴ = = + + + + + +

∫ ∫ ∫

x 7 1u du dx dx 3 du3 3+

∴ = ∴ = ∴ =

Reemplazando:

2 223 du dudx 3 3 arc tanu C

3 3x 14 x 52 1 u3 1 u= = = +

+ + ++ ∫ ∫ ∫

x 73 arc tan C3 3

++

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GUIA DE EJERCICIOS N° 4

( )

( )

( )

43

33

2

33 2

3 22

2

2 3 2

3 2 2

2

x1 . x dx C4

3 x x2 . x dx C4

dx 13 . Cxx

dz4 . 3 z Cz

2x 5x5 . 2x 5x 3 dx 3x C3 2

2t t 2t t6 . 1 t t dt C3 5

7 . 3s 4 ds 3s 12s 16s C

x 5x 4 x 48 . dx 5x C2 xx

dz9 . lnz C o lnCzz

dx10 . ln(x 2x 2

− = +

− = +

− =− +

− = +

− − + = − + +

− − = − +

− + = + + +

+ −− = + + +

− = +

− = ++

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ) C+

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( ) ( )

22

2

3 6 3

x x

3x3x

2x2x

11xx

2

4x3x x

ds 111 . ln(2s 3) C2s 3 2

t dt12 . lnC t 1t 1

x dx C13 . ln1 2x 1 2x

x 214 . dx x ln(x 1) Cx 1

15 . e dx e C

e16 . e dx C3

a17 . a dx C2lna

e18 . dx e Cx

e 119 . e 1 e dx C

4

20

− −

− = + ++

− = −−

− = − −

+− = + + +

+

− = − +

− = +

− = +

− = − +

+− + = +

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

( ) ( )

xx

3323 2

dx. x ln(1 e ) Ce 1

x 221 . x 2 3x dx C

3

= − + ++

+− + = +

∫

∫

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( ) ( )

( ) ( )

( )

1 33 2 32 2

2

3 23 3

3342

4 3

922 . x 2 x dx x 2 C2

8x dx 423 . Cx 2 3 x 2

4 x 2x24 . dx C9x 2

x x25 . sen( )dx 2cos( ) C2 2

126 . cos3x dx sen 3x C3

227 . 2 tg3x dx lnsec 3x C3

5x 8 5x 5x28 . 4cosec dx ln cosec cot C2 5 2 2

29 . sen

− + = + +

− = − ++ +

+− = +

+

− = − +

− = +

− = +

− = − +

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

( )

32

2 2

2

sen xx cos x dx C3

130 . tg2x dx lnsec 2x C2

131 . xcot x dx lnsen x C2

32 . 1 tgx dx tgx 2lnsec x C

= +

− = +

− = +

− + = + +

∫

∫

∫

∫

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( )

2

2

x x x

3cos2x3cos2x

133 . sec 2ax dx tg2ax C2a

sen x cos x34 . dx ln sec x x Ccos x

sen y35 . dy sec y Ccos y

36 . e cose dx sene C

e37 . e sen2x dx C6

dz38 . cot z cosec z C1 cosz

sec x39 . dx 2ln sec x tg x Cx

40 . tg2x sec 2x

− = +

+− = + +

− = +

− = +

− = − +

− =− + ++

− = + +

− +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2

2

2

dx tg2x sec 2x x C

sec x tgx 141 . dx ln a bsec x Ca bsec x b

dx 1 x42 . arc tg C3 39 x

dx 1 2x43 . arc sec C3 3x 4x 9

= + − +

− = + ++

− = + +

− = + −

∫

∫

∫

∫

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34

8

xx x

22

2

22

2

x 144 . dx arc sen x C41 x

dx45 . arc tge Ce e

3x 5 3 5 x46 . dx ln(x 4) arctg C2 2 2x 4

dx 2 x 347 . arc tg C2 2x 6x 11

x 5 1 x 148 . dx ln x 2x 4 2 3 arc tg C2 3x 2x 4

dx x49 . arc sen20 4x x

−

− = +−

− = ++

− − = + − + +

−− = +

− +

− +− = + + − +

+ +

− =− −

∫

∫

∫

∫

∫

∫

( ) ( )

( )

32 22

22

2

2

2 C24

250 . x 1 xdx 1 x 15x 12x 8 C105

x 1 151 . dx 2x 1 3x 2x 13 C152x 1

x 2x 152 . dx x Cx 1(x 1)

++

−− − = − + + +

−− = − + − +

−

+− = + +

++

∫

∫

∫

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1.2 Métodos de Integración

1.2.1 Integración por partes.

Sean u = u (x), v = v ( x). Entonces ( )d dv duu v u vdx dx dx

⋅ = + en donde

d (uv) = u dv + v du integrando obtenemos:

d(uv ) u dv v du= +∫ ∫ ∫uv u dv v du= + ∴∫ ∫

Para aplicar ésta fórmula, la función que se desea integrar debe ser un producto de

funciones. En la integral, éste producto se separa en dos factores uno de los cuales debe

continuar a dx. Uno de ellos se iguala a dx, y el que contiene a dx se iguala a dv. No hay

normas para la separar los factores, pero v du∫ debe ser una integral inmediata o más

simple que u dv∫ .

u dv u v v du= −∫ ∫ Fórmula de la Integración por Partes

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Ejemplo 1: Calcular x cos x dx∫Resolución : De acuerdo a la fórmula de la integración por partes: x cos x dx = u dv

¿ Cuáles son u y dv ?

Hay varias posibilidades:

u dv

x cos x dx

cosx x dx

x cos x dx

1 x cos x dx

Ensayando el primer caso: u = x dv = cos x dxdu dx v sen x∴ = ∴ =

Aplicando textualmente la fórmula:

( )xcos x dx x sen x sen x dx

x sen x cos x Cx sen x cos x C

= −

= − − +

= + +

∫ ∫

....... resultó de inmediato !

Si hubiéramos ensayado el segundo caso:

u = cos x dv = x dx2xdu sen x dx v2

∴ =− ∴ =

la fórmula habría dado:2 2x x x xxcos x dx cos x ( sen x) dx cos x sen x dx

2 2 2 2= − − = +∫ ∫ ∫

de donde v du∫ es mas complicada que u dv∫ de ..... la separación falla

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Ejemplo 2: Calcular 2 xx e dx∫

Resolución : Sean: u = x dv = 2 xe dx

2 x1du dx v e2

∴ = ∴ =

2 x 2x 2x

2x 2x

2x 2x

1 1x e dx x e e dx2 21 1 1x e e C2 2 2

1 1x e e C2 4

= ⋅ −

= ⋅ − ⋅ +

= − +

∫ ∫

Observación : Frecuentemente al aplicar la integración por partes la integral v du∫Resulta ser más simple que u dv∫ , sin ser una integral inmediata. En

estos casos se calcula aparte.

Ejemplo 3: Calcular 2x sen x dx∫

Resolución : Sean: u = x2 dv = sen x dx

du 2x dx v cos x∴ = ∴ =−

2 2

2

x sen x dx x ( cos x) ( cos x )2x dx

x cos x 2 x cos x dx ( )

= − − −

= − + ∗

∫ ∫∫

v du∴ ∫ que es x cos x dx∫ es más simple que u dv∫ que es

2x sen x dx, sin ser una int egral inmediata∫Calculándola aparte con el mismo tipo de separación:

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Para x cos x dx∫ : u = x dv = cos x dx

du dx v sen x∴ = ∴ =

x cos x dx x sen x sen x dx x sen x cos x∴ = − = +∫ ∫que sustituida en ( )∗ :

2 2x sen x dx x cos x 2(x sen x cos x ) C=− + + +∫

Observación : También la integración por partes se utiliza para el cálculo de integrales

más simples, pero no inmediatas.

Ejemplo 4: Calcular ln x dx∫

Resolución : Sean: u = lnx dv = dx

1du dx v xx

∴ = ∴ =

1ln x dx (ln x) x x dx x ln x x Cx

∴ = ⋅ − ⋅ = − +∫ ∫

Ejemplo 5: Calcular arc cos x dx∫

Resolución : Sean: u = arc cos x dv = dx

2

1du dx v x1 x

∴ = − ∴ =−

2

2

1arc cos x dx (arc cos x ) x x dx1 x

x arc cos x 1 x C

∴ = ⋅ − ⋅ − −

= − − +

∫ ∫

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EJERCICIOS PROPUESTO

( )2

2

32 22

x x x2 2 2

3x2 3x 2

2

1 . ln x dx x(ln x 1) C

ln x 12 . dx ln x 2ln x 2 Cx x

2 4 83 . x ln x dx x ln x ln x C3 3 9

4 . x e dx 2x e 4e C

1 2x 25 . x e dx e x C3 3 9

6 . x sen x dx x cos x sen x C

cosnx x s7 . x cosnx dxn

−−

− = − +

− = − + + +

− = − + +

− = − +

− = − + + +

− = − + +

− = +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

( ) ( )

2

2 2

3 32

3 52 2

ennx Cn

18 . arc cos2x dx x arc cos2x 1 4x C2

9 . x cos x dx x sen x 2x cos x 2sen x C

x x10 . x ln2x dx ln2x C3 9

2x 3x 5 4 3x 511 . x 3x 5 dx C

9 135

+

− = − − +

− = + − +

− = − +

− −− − = − +

∫

∫

∫

∫

Página 22 de 27

( )

[ ]( )

x x

2

2

2

2

2 2 2

x e e12 . dx C1 x1 x

ln(x 1)13 . dx 2 x 1 ln x 1 2 Cx 1

1 x 1 x 1 x14 . x ln dx x ln C1 x 2 1 x

arc sen x arc sen x 1 1 x15 . dx ln Cx xx

16 . ln x 1 x dx x ln x 1 x 1 x C

17 . arctg x dx x (1 x)arctg x C

1

− = +++

+− = + + − +

+

+ − +− = − +

− −

+ −− = − − +

− + + = + + − + +

− = − + + +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

( )

22

x x

arctg x arctg x

3 22 2

x8 . sen x ln(tgx)dx ln tg cos x ln tgx C2

cos2xx x19 . x sen x dx sen2x C4 4 8

20 . e dx 2( x 1) e C

21 . x sen x dx 2(6 x) x cos x 6(2 x)sen x C

x e (1 x) e22 . dx C2 1 x

1 x

− = − +

− = − − − +

− = − +

− = − − − +

−− = − +

++

∫

∫

∫

∫

∫

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1.2.3 Integrales Trigonométricas Corrientes.

Recordemos las principales relaciones entre las funciones trigonométricas

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

sen x cos x 1 1 tg x sec x

1 cot x cosec x sen2x 2sen x cos x

cos 2x 2cos x 1 cos2x 1 2sen x1 1 1 1cos x cos2x sen x cos2x2 2 2 2

+ = + =

+ = =

= − = −

= + = −

Ejemplo 1: Calcular 2sen x dx∫

Resolución : 2 1 1 1 1sen x dx cos2x dx dx cos2x dx2 2 2 2

= − = − ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 1x sen2x C x sen2x C2 2 2 2 4

= − ⋅ + = − +

Ejemplo 2: Calcular 2cos dx∫

Resolución : 2 1 1 1 1cos dx cos2x dx dx cos2x dx2 2 2 2

= + = + ∫ ∫ ∫ ∫

x 1 sen2x C2 4

= + +

Ejemplo 3: Calcular 2cos 2x dx∫

Resolución : 2 1 1 x 1 1cos 2x dx cos 4x dx sen4x C2 2 2 2 4

= + = + ⋅ + ∫ ∫

x 1 sen 4x C2 8

= + +

Ejemplo 4: Calcular tan x dx∫

Resolución : sen xtgx dx dxcos x

= =∫ ∫

u = cos x du = - sen x dx

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du lnu C lnu C ln cos Cu

= − =− + = − + = − +∫1ln C ln sec x C

cos x= + = +

Ejemplo 5: Calcular 3sec x dx∫

Resolución : Usando integración por partes:

u = sec x dv = sec2 dx

du sec x tgx dx v tgx∴ = ∴ =

( )

3

2

2

3 3

3

3

sec x dx sec x tgx tg x sec x tgx dx

sec x tgx sec x tg x dx

sec x tgx sec x sec x 1 dx

sec x dx sec x tgx sec x dx sec x dx

2 sec x dx sec x tgx sec x dx

sec x tgx ln( sec x tgx) C1 1sec x dx sec x tgx ln( sec x tgx)2 2

∴ = ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅ −

= ⋅ − +

= ⋅ +

= ⋅ + + +

∴ = ⋅ + +

∫ ∫∫∫

∫ ∫ ∫∫ ∫

∫ C+

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1.2.3 Integración usando Sustituciones Trigonométricas.

La integración por sustitución consiste en sustituir la variable de integración con una

nueva variable.

Existen muchos tipos de sustituciones. Las sustituciones trigonométricas que usaremos,

las aplicaremos cuando en él integrando aparezca una sola raíz de la forma:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

aa b u , con u u(x), la sustitucion sera : u tgzbaa b u , con u u(x), la sustitucion sera : u senzbab u a , con u u(x), la sustitucion sera : u sec zb

+ = =

− = =

− = =

Al aplicar la sustitución se suponen: a, b ∈ + . En el resultado final se vuelve a la

variable x .

Ejemplo 1: Calcular 2 2

dx

x 9 x+∫

Resolución : Primer caso: a = 3, b = 1, u = x, 23x tgz, dx 3sec z dz1

∴ = =

2

2 2 2 2

3sec z dzdx 1 cosec z cot z dz9x 9 x 9 tg 9 9 tg z

= =+ ⋅ +

∫ ∫ ∫

( )1 cosec z C9

=− − +

volviendo a la variable x, dx x = 3 tg z obtenemos tg z = x3

Página 26 de 27

2

2 2

9 xdx 19 xx 9 x

+= − ⋅

+∫

Ejemplo 2: Calcular 27 x dx−∫Resolución : Segundo caso: a = 7 , b = 1, u = x,

7x sen z, x 7 senz dx 7 cos z dz1

∴ = = ∴ =

( )227 x 7 7 senz 7 cos z dz− = − ⋅ =∫ ∫

2 27 7 1 sen z cosz dz 7 cos z dz⋅ ⋅ − = =∫ ∫

1 1 7 77 cos2z dz dz cos2z dz2 2 2 2

+ = + = ∫ ∫ ∫

7 7 1 7 7z sen2z C z sen2z C2 2 2 2 4

+ ⋅ + = + + =

7 7z 2senz cos z C2 4

+ +

volviendo a la variable x, dx x = 7 senz obtenemos sen z = x7

3

29 x+x

z∴29 x

cosec zx+

∴ =

De sen z = x7

obtenemos z = ar

Sustituyendo estos valores en (∗) ob

7 x−

7

x

z

∴

Página 27 de 27

c sen x7

, y del triangulo : cos z = 27 x

7−

.

tenemos:

2