Primitiva de una función

La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.

Ejemplo: la función F(x) = x4

4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3.

También la función G(x) = x4

4 + 2 es una primitiva de f . Ambas en

cualquier intervalo de la recta real.

Integral indefinida

Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = ex + C, donde C es una cons-

tante. Se expresa de la siguiente manera: ex dx = ex + C

Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real.

Las primitivas se diferencian en una constante

Derivando Integrando

Propiedades de la integral indefinida

I k f(x) dx = k f(x) dx con k R Las constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida. II [ f(x) g(x)] dx = f(x) dx

g(x) dx La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las inte-grales indefinidas.

Propiedades de la integral indefinida

Propiedades de la derivada

I (kf )' (x) = k f '(x) con k R La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función. II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x) La derivada de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las deri-vadas de cada una de ellas.

0

Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona primitivas e integrales indefinidas.

1.- xa dx =

xa+1

a+1 + C, si a -1, a R

2.-

1x dx = ln x + C

3.- ex dx = ex + C

4.- ∫ax = ln

xa

a + C, si a>0, a 1

5.- sen x dx = – cos x + C

6.- cos x dx = sen x + C

7.- 2

1

1dx arcsen x C

x

8.- 2

1arctg

1dx x C

x

Integrales inmediatas para funciones compuestas

xr dx =

xr+1

r + 1 + C, para cualquier constante r – 1

f '(x) [f(x)]r dx = [f(x)]r+1

r + 1 + C para r -1

12

2 cos 2x sen3 2x dx = 12

sen4 2x4 =

18 sen4 2x + C

Tipo general

cos 2x sen3 2x dx =

Ejemplo:

Integrales inmediatas para funciones compuestas

Tipo general

Ejemplo:

dxxfxf)()(' = ln |f(x)| + C

tg 3x dx = – 1

3 – 3 sen 3x

cos 3x dx = – 13 ln |cos 3x | + C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) af(x) dx = af(x)

ln a + C, para a > 0

x2 ex3 dx =

13

3x2 ex3 dx =

13 ex3

+ C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C

e3x sen (e3x + 5) dx = 13

3 e3x sen (e3x + 5) dx = – 13 cos (e3x + 5) + C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C

e7x cos (e7x + 5) dx =17

7 e7x cos (e7x + 5) dx =

17 sen (e7x + 5) + C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

Tipo general

Ejemplo:

g '(x)1 - [g(x)]2

dx = arcsen g(x) + C

e3x 1 – e6x

dx =

e3x 1 – (e3x)2

dx = 13

3e3x 1 – (e3x)2

dx = 13 arcsen e3x + C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

2

f ( )arctg( )

1 f ( )

xdx x C

x

Tipo general

11 + 2x2 dx =

Ejemplo:

11 + ( 2x)2 dx =

12

2

1 + ( 2x)2 dx =

1arctg 2x

2C

Integración por partes

Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:

u dv = uv –

v du

Consejos 1. Llamar g a una función de la que sea cómodo obtener g.

2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para g, llamar entonces g a aquella que haga que ∫ f g se más cómoda que ∫ f g .

Integración por partes: Ejemplos

= x2 ex – 2[xex –

ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C

x2 ex dx =

dvu

x2 ex –

ex 2x dx = x2 ex – 2

x ex dx =

dvu

u = x2 du = 2x dx

dv = ex . dx v = ex

u = x du = dx

dv = ex . dx v = ex

u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dxdv = dx v = x

= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –

sen(ln x) . dx . Despejando la integral buscada queda:

x . sen (ln x) –

cos (ln x) . dx =

sen(ln x) . dx =

u dv

u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dxdv = dx v = x

u dv

sen(ln x) . dx = 1

2x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C

Integración por sustitución o cambio de variable

Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:

(F o g)'(x) = F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)

Que con la notación de integrales se escribe:

f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C

Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx. Con esta sustitución se tiene

f(u) du = F(u) + C

Integración por sustitución: Ejemplos I

1 x ln x dx

Cambio ln x = u dx / x = du dx = x. du = et du

x = eu

=

1 eu . u eu . du =

1 u du = ln | u | + C

deshacer el cambio

= ln | ln x | + C

Para calcular una integral por cambio de variable:

• Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral inmediata.

• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante.

du = g'(x) dx• Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio

poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.

Integración por sustitución: Ejemplos II

deshacer el cambio

x3 x4 + 2 dx =14

4x3 x4 + 2 dx =

Cambio x4 + 2 = u 4x3 . dx = du

14

u du =14

u1/2

12 + 1

+ C = 14 (x4 + 2)3 + C

sen3 2x . cos 2x dx =12

t3 . dt =

Cambio sen 2x = t 2 cos 2x . dx = dt

= 1

8 sen4 2x + C12

t4 4 + C

deshacer el cambio

Integración de funciones racionales

Pretendemos obtener

P(x)Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que

grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n

Caso 1: m n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2.

P(x) Q(x)

C(x)R(x)con grad[R(x)] < grad[Q(x)]

P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) P(x)Q(x) = C(x) +

R(x)Q(x)

Por tanto:

P(x)Q(x) dx =

C(x) .dx +

R(x)Q(x) dx

En donde la primera integral es inmediata y la segunda corresponde al

Caso 2

Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.

Como m n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x)

Descomposición en fracciones simples I

Pretendemos obtener

P(x)Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que

grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n

• Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la ecuación Q(x) = 0.

• Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene:• Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1).• Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2).• Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que

son necesariamente conjugadas).• El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.

Entonces dicho polinomio se factoriza de la siguiente manera:Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c)

tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado.

P(x)Q(x) dx =

1ao

P(x)(x – x1)

. (x – x2)2 . (x2 + bx + c) dx =

Paso 1. Factorización del polinomio Q(x)

Descomposición en fracciones simples II

Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples

P(x) (x – x1)

. (x – x2)2 . (x2 + bx + c) =

A x – x1

+B

(x – x2)2 +

Cx – x2

+ Mx + N

x2 + bx + c

Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados

Proceso de cálculo:

• Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una identidad polinómica.

• Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más).

• Resolver el sistema.

Descomposición en fracciones simples: ejemplo

Descomponer en fracciones simples: x2 + x + 1

x5 – x4 – x + 1

Paso 1. Factorización del polinomio denominador

Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)

Paso 2. Descomponer en fracciones simples

x2 + x + 1x5 – x4 – x + 1 =

Ax + 1 +

B(x – 1)2 +

Cx – 1 +

Mx + Nx2 + 1

Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados

x2 + x + 1= A(x–1)2(x2+1) + B(x+1)(x2 +1) + C(x–1)(x+1)(x2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)2

x=1 B=3/4

x=–1 A=1/8x=0 – C + N = 1/8x=2 5C+2M+N = –13/8x=–2 5C+6M–3N = 3/8

Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4

Integrales racionales con denominador de grado 2

Estudio de la integral

Mx + Nax2 + bx + c

dx Sea D el discriminante del denominador: D = b2 – 4ac

Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser resuelta como inmediata tipo neperiano.

En caso contrario:• Si D 0 la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples.• Si D < 0 la integral es tipo neperiano + arco tangente.

Pasos para su obtención:

M 0Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador.Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras

dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente.M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente).

Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado (cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan los números fraccionarios.

Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado (sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e integramos como inmediata tipo arco tangente

Integración de funciones trigonométricas: fórmulas

Fórmulas trigonométricas fundamentales

sen2px + cos2px = 1 Fórmula fundamental de la

trigonometría.

sen 2px = 2 sen px . cos px cos 2px = cos2px – sen2px

Seno y coseno del ángulo doble.

cos2px = 1 + cos 2px

2

sen2px = 1 – cos 2px

2

Fórmulas de reducción de grado.

sen a . cos b = 12 sen (a + b) +

12 sen (a – b)

cos a . cos b = 12 cos (a + b) +

12 cos (a – b)

sen a . sen b = – 12 cos (a + b) +

12 cos (a – b)

Fórmulas de conversión de productos de senos y

cosenos en suma.

sen (– px) = – sen px cos (– px) = cos px

Seno y coseno del ángulo opuesto.

1 + tg2 px = sec2 px; 1 + ctg2 px = csc2 px

Integración de funciones trigonométricas: métodos

Forma Condiciones Método

n par Reducir el grado del integrando por medio de las fórmulas de reducción de grado (3), según convenga. (I)

senn px dx

cosn px dx

n impar

Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia sustituyendo en el resto de la potencia la rela-ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial.

m y n pares

Reducir el grado del integrando aplicando las fórmulas 3.

(II) senn px . cosn px dx

m ó n impares

De la potencia de exponente impar se saca un factor, sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-nen integrales inmediatas tipo potencial.

Caso particular Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener:

senn px . cosn px dx =

12n

senn 2px dx

que es del tipo (I).

Forma Condiciones Método (III)

sen px.cos qx.dx

sen px.sen qx.dx

cos px.cos qx..dx

p y q números reales cuales-

quiera

Convertir los productos en sumas mediante la relaciones 4 según convenga.

Integración de funciones trigonométricas: métodos II

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I

=

sen3x.dx +

cos43x sen 3x.dx –2

cos23x sen 3x.dx =

= – 13 cos 3x +

29 cos3 3x –

115 cos5 3x+C

Tipo I. Exponente impar

= 14 x +

14

1 + cos

4x3

2 dx – 34 sen

2x3 =

3x8 –

34 sen

2x3 +

332 sen

4x3 + C

Tipo I. Exponente par

sen5 3x.dx =

(sen23x)2 sen 3x.dx =

(1–cos23x)2 sen 3x.dx =

sen4 x

3 dx = 14

1 + cos2 2x3 – 2 cos

2x3 dx =

sen2 x3

2

dx =

1 – cos2x3

2

2

dx =

= 14

1.dx +

14

cos2 2x

3 dx – 2 14

cos

2x3 dx =

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II

Tipo II. Al menos un exponente impar

cos4 5x.sen3 5xdx =

cos4 5x . sen25x .sen 5x . dx =

cos4 5x . (1 – cos25x).sen 5x.dx =

=

cos45x.sen 5x.dx –

cos65x.sen 5x.dx =

= – 125 cos5 5x +

135 cos7 5x + C

= 18

1 – cos 12x2 dx –

148

sen36x3 =

= 18

sen26x dx –

18

sen26x .cos 6x.dx =

= x

16 – 1

144 sen3 6x – 1

192 sen 12x + C

Tipo II. Todos los exponentes pares

sen43x .cos2 3x.dx =

(sen23x)2 .cos2 3x.dx =

1 – cos 6x

2

2

1 + cos 6x

2 dx =

= 18

(1 – cos 6x)(1 – cos26x) dx =

( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x)

( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)

sen2 6x

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III

Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento

sen 3x.cos 5x.dx = 1

2

sen 8x .dx +

12

sen( – 2x) .dx =

= – 116 cos 8x +

14 cos( – 2x) + C == –

116 cos 8x +

14 cos 2x + C

Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas en productos

Cálculo de áreas

• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas.

• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abcisas x = a, x = b.

Área (Trapecio rectilíneo) =

= f(a) + f(b)

. (b – a)

Área (Trapecio curvilíneo)

f(a) + f(b)

. (b – a) Error