1

Antiderivada

Si ), entonces F se denomina una antiderivada de f.

Ejemplo : es una antiderivada de , pues . Pero también es una antiderivada de ya .

En general, si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(x) + C también es una antiderivada de f(x), donde C es cualquier constante.

De igual forma, si F(x) es una antiderivada de f(x) y si G(x) es cualquier otra antiderivada de f(x), entonces , para alguna constante C.

2

De las propiedades (I) y (II) se observa que, si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces las derivadas de f(x) son precisamente tales funciones de la forma F(x) + C, para una constante arbitraria C

Notación: denotará cualquier antiderivada de f(x). En esta notación, f(x) se denomina el integrando

Terminología: Una antiderivada también se denomina una integral indefinida.

Más adelante se proporcionará una explicación de la notación (incluida la presencia de la diferencial dx).Ejemplo ;

3

LEYES DE LAS ANTIDERIVADAS

Ley 1. Ley 2.

Ley 3.

Ley 4. sigue del hecho que para

4

Ley 5 . Se observa que:   

Ley 6. Se observa que

Ley 7. Se observa que

5

EJEMPLO :

∫7 𝑥3𝑑𝑥=¿¿

∫𝑥1/3=𝑥

43

43

=por la ley (4).

∫𝑥−2𝑑𝑥=¿ por la ley (4).

7∫𝑥3𝑑𝑥=¿¿ por las leyes (5), (4).7𝑥4

4+𝐶

por las leyes (6), (4) y (2).

¿ 𝑥3

3+4 𝑥+𝐶∫𝑥2𝑑𝑥+4∫𝑑𝑥

6

37𝑥7− 2𝑥2+𝐶

EJEMPLO 4: Las leyes (3)-(7) permiten calcular la antiderivada para todo polinomio. Por ejemplo,

6 (19𝑥9)−

23(𝟏𝟔𝒙𝟔)+7 (

15𝑥5)+√3𝑥+𝐶

7

Ley (8). (Fórmula abreviada I) C para todo número racional

Para la verificación,

por la regla de la cadena para potencias.

8

EJEMPLOS:

Para comprobarlo, sea y r = 5 en la fórmula abreviada I.

EJEMPLO:

𝟏𝟐

∙𝟏𝟓𝟑

(𝒙𝟐+𝟏)𝟓𝟑+𝑪= 𝟑

𝟏𝟎(𝒙𝟐+𝟏)

𝟓𝟑+𝑪

En este caso, se tuvo que insertar un factor de 2 en el integrando para poder utilizar la fórmula abreviada 1.

9

Ley (9). Método de sustitución.

Donde u se remplaza por g(x) después de evaluar el lado derecho. La "sustitución" se realiza en el lado izquierdo siendo u = g(x) y du= g'(x)dx.

EJEMPLO a) Hallar .

∫𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑑𝑥=∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢 ∙𝑑𝑢2

=¿

Sea . Entonces du = 2x dx. Luego, Por sustitución

12

∙(−𝑐𝑜𝑠𝑢)+𝐶=−12𝑐𝑜𝑠 (𝑥2)+𝐶

10

(b) Hallar .Sea . Entonces . Por tanto . Por sustitución,

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑑𝑥=¿∫(𝑠𝑒𝑛𝑢)2𝑑𝑢=¿¿2∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢=2 (−𝑐𝑜𝑠𝑢 )+𝐶

¿− 2𝑐𝑜𝑠 (𝑥2 )+𝐶Se observa que la fórmula abreviada I es un caso especial del método de sustitución, con . La ventaja de la fórmula abreviada I es que evita el aburrimiento de realizar la sustitución.

Las fórmulas conocidas para las derivadas de funciones trigonométricas y de funciones trigonométricas inversas dan las siguientes fórmulas para las antiderivada:

11

∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=𝑠𝑒𝑛𝑥+𝐶

∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑑𝑥=𝑡𝑔𝑥+𝐶 ∫𝑡𝑔 𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥=𝒔𝒆𝒄𝒙+𝐶

∫𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥=−𝒄𝒐𝒕𝒙+𝐶∫𝒄𝒐𝒕 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝒙+𝐶 ∫ 1

√1 −𝑥2𝑑𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥+𝐶

∫ 1

1+𝑥2 𝑑𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔𝑥+𝐶 ∫ 1

𝑥√𝑥2−1𝑑𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑥+𝐶

12

∫ 1

𝑥√𝑥2−𝑎2𝑑𝑥= 1

𝑎𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐 (𝑥𝑎 )+𝐶𝑝𝑎𝑟𝑎𝑎>0

∫ 1

𝑎2+𝑥2𝑑𝑥= 1

𝑎𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔( 𝑥𝑎 )+𝐶𝑝𝑎𝑟𝑎𝑎>0

Ejercicios

1.- Evaluar la antiderivada.

𝟒 .∫ 𝑑𝑋3√𝑥2

=¿

3.-

𝟐 .∫ d x

x6 =¿ ¿

𝟏𝟕𝑋 7+𝐶 𝐿𝑒𝑦 (4)

¿−15𝐗−𝟓+𝐂=

−𝟏𝟓𝐱𝟓+C∫ x− 6 dx

∫𝒛𝟏𝟑𝒅𝒛=¿

𝟑𝟒𝒛

𝟒𝟑+𝑪=

𝟑 (𝟑√𝒛 )𝟒

𝟒+𝑪

13

∫ (𝑥 )−23 𝑋 𝑑𝑥=3 𝑥

13 +𝐶=3

3√𝑥+𝐶

14

6.

=

5.- =

=

15

Se observa que hubiera sido más fácil por medio de la fórmula abreviada I:

8.-

9.-

∫(𝑥+5− 4 𝑥− 2)𝑑𝑥 = +C

13∫(3 𝑠+4)2 3𝑑𝑠=¿

=

7.- 13 ( 1

3(3 𝑠+4 )3)+𝐶

(𝐬𝟑+2 )𝟑

𝟑+𝐂

16

¿ 13∫ (𝑥3+2 )

12 3𝑥2𝑑𝑥

¿ 29

(𝑥3+2 )32 +C

11-

¿− 43

( X 3+2 )− 2+C

10. ∫ (𝑥3+2 )12 𝑥2𝑑𝑥

=

83

¿¿83∫(x3+2)− 3 3 x2dx=¿

¿ 13 ( 1

34

(𝑥3+2 )34 )+𝐶

17

𝟏𝟑 .∫ 3 𝑥√1− 2𝑥2𝑑𝑥=¿ dx

= +C=dx

= + C

14. −∫ 3√1−𝑥2 𝑥𝑑𝑥¿−12∫ (1− 𝑥2 )

13 (−2 𝑥)𝑑𝑥

+C +C

18

19

∫ (2− 3𝑥 )5𝑑𝑥=¿𝑢=2 −3 𝑥 𝑑𝑢=−3𝑑𝑥

−𝑑𝑢3

=𝑑𝑥Despejando

∫ (2− 3𝑥 )5𝑑𝑥=¿∫ (𝑢 )5 −13𝑑𝑢=¿

−13 ∫ (𝑢 )5 𝑑𝑢=¿

−13

∙16𝑢6+𝐶=¿ −

118

∙ (2−3 𝑥 )6+𝐶=¿

20

se aprecia mejor como hacer el cambio de variable, luego tomando y diferenciando

Reemplazando

13𝑢3+𝐶

¿13𝐿𝑛3 𝑥+𝐶

∫ 𝐿𝑛2𝑥𝑥

𝑑𝑥=¿¿

Estudiando el integrando, si se escribe

21

siendo𝑢=𝑥2− 4 𝑥

Diferenciando

Si se extrae el factor común queda 𝑑𝑢=2 (𝑥−2 )𝑑𝑥

despejando (𝑥−2 )𝑑𝑥=𝑑𝑢2

¿∫ 1

𝑥2 − 4 𝑥(𝑥−2 )𝑑𝑥

∫ 1

𝑥2− 4 𝑥(𝑥−2 ) 𝑑𝑥=¿¿∫ 1

𝑢∙𝑑𝑢2

=¿¿12∫

𝑑𝑢𝑢

=¿¿

12𝐿𝑛𝑢+𝐶=¿ ) +C

22

23

24

25

26

27

despejando

28

29

∫ dxx

xxx2

232 ∫

dx

xx

112

Cxxx ln2

2x∫ 3 𝑥3+5𝑥

𝑥2+1𝑑𝑥=¿¿

∫ 3 𝑥3+5𝑥𝑥2+1

𝑑𝑥=¿¿∫(3 𝑥+2𝑥𝑥2+1 )𝑑𝑥=¿¿∫ 3𝑥𝑑𝑥+∫ 2 𝑥

𝑥2+1𝑑𝑥=¿¿

¿32𝑥2+ln (𝑥2+1 )+𝐶

30

Integrales definidas

31

Integrales definidas

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

∫a

b

dxxf )(

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por

∫ es el signo de integración

b límite inferior de la integración. a límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

32

Propiedades de las integrales definidasSi c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

33

Propiedades de las integrales definidas

El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=−∫𝑏

𝑎

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

∫𝑎

𝑎

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=0

Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.

34

35

Teorema Fundamental del Cálculo

La derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.

36

Regla de Barrow

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

)()()()( aGbGxGdxxf ba

b

a

∫

37

Regla de Barrow (ejercicio)

∫0

1

𝑥2𝑑𝑥=¿¿

1

0

3

3

x 13

−03=

13

∫1

4

3𝑑𝑥=¿¿

∫−2

5

𝑥 𝑑𝑥=¿¿

∫0

1

3𝑥2𝑑𝑥=¿¿

¿3 ⌈ 4 −1 ⌉¿9

¿12⌈ 52 − (−2 )2⌉¿ 21

2

3 = 1

38

Regla de Barrow (ejercicio)

1. j

1

2

1

3

1

4

31

2

1

3

1

4

3

1

1

234

234

3

x

xxx∫

1

1

23 )13( dxxxx

∫

1

1

23 )13( dxxxx

3

8

39

dx=

= -2 +2

dx= 3

3 4

=

=

40

∫0

𝜋2

𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=¿¿

∫1

9

√5 𝑥+4𝑑𝑥=¿¿du= 5 dx𝑢=5 𝑥+4

,y cuando x= 9 u= 49

∫1

9

√5 𝑥+4𝑑𝑥=¿¿∫1

9

√𝑢 𝑑𝑢5

=¿¿15∫9

49

𝑢12 𝑑𝑢=¿¿

= =

[ 13𝑠𝑒𝑛3𝑥  ]

𝜋20

=

¿13

[1 − 0 ]=13

[ 215

(𝑢32 −𝑢

32 )]4 9

9

215

[ 316 ]=63215

41

∫−3

−1

( 1𝑥2 −

1𝑥3 )𝑑𝑥

Solucion ∫−1

1

(2 𝑥2−𝑥3 )𝑑𝑥

Solucion ∫1

4𝑑𝑥√𝑥

Solucion

Solucion

∫𝜋2

3 𝜋4

𝑠 𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥Solucion

∫0

2

(2+𝑥 )2𝑑𝑥

Evaluar las siguientes integrales definidas

42

∫−1

1

(2 𝑥2−𝑥3 )𝑑𝑥

Hallar el área bajo la grafica de , por encima del eje x, y entre 0 y 1

El área es [𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 ] 1

0

= =

== 𝜋6

Solucion

∫0

2

(2−𝑥 )2𝑑𝑥 Solucion

43

Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo . De hecho, vamos a mostrar, no como los antiguos griegos-pero de la forma mas moderna, el como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primera definición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:

AREA =

AREAS BAJO CURVA Definición: Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales dada por x= a x=b:

AREAS BAJO LA CURVA

44

Observemos la siguiente FIG 1:

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

AREA =

45

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas y f(x)=4 x =-3 x =2

2.- Plantear la integral: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

A =

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

A =

Luego el área de la región es .

SOLUCIÓN: 1.- Trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida.

46

Te sirven por ejemplo si tienes el perfil de un terreno y quieres calcular volúmenes de excavación. Otro ejemplo si tienes una curva con valores de consumo de agua cada hora (que se obtienen mediante caudalímetro), integras la curva y te da el volumen diario consumido. Este también nos sirve para hallar el área bajo la curva de una Planta Perfil, las plantas perfiles es pasar las curvas de nivel de dicho mapa a papel milimetrado y así observar la forma del terreno y hallarle el área tanto por debajo como por encima de la curva. Usar la integral definida para resolver problemas prácticos de la Ingeniería: Temas relacionados con áreas, volúmenes, longitud de curvas, trabajo mecánico y volúmenes por secciones planas conocidas..

APLICACIONES A LA CARRERA

47

Ahora se considera la región , limitada a la izquierda por el eje y, la derecha por un curca x = g(y), y que queda entre y = c , y= d. Entonces por un argumento similar al caso anterior. El área es la integral definida .

48

1.- Se considera la región limitada a la izquierda de la parábola y a la derecha del eje y, comprendida entre y=2 y= -1 El área de esta región es .

Por el teorema fundamental del calculo , se tiene

∫−1

2

(4 −𝑦 2)𝑑𝑦=¿(4 𝑦−𝑦3

3 )| 2− 1

=¿4 (2 −(−1)) − 13

(23 − (−1 )3 )=¿

1 2−93=¿ 12 – 3 = 9

49

2.- Calcular el área del recinto limitado por la curva y el eje X.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje X para representar la curva y conocer los límites de integración.

puntos de corte con los ejes

representación gráfica

En segundo lugar se calcula la integral:

área

50

3.- Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

51

4.- Calcular el área limitada por la curva y el eje de las abscisas.

52

5.- Calcular el área limitada por la curva y la recta y = 2x.

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

sistema de ecuaciones

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

53

3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por BC:

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Solución

y= x-3

+

[ 𝑥2

2−3 𝑥 ]63+[− 3 𝑥2

4+12𝑥 ]86

=

54

Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

De x = 0 a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.

En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y = x2  e y = −x2 + 4x.

55

Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

56

Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas

Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

57

58

Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 =1 𝑦=±𝑏𝑎

√𝑎2+𝑏2

dx ∫ √𝑎2 −𝑥2𝑑𝑥𝑥=𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡 d

¿∫ √𝑎2 (𝐶𝑜𝑠2𝑡 )2 a cos𝑡 𝑑𝑡 = c

59