Ing.Santos E.Alva Bazán

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS MATEMATICAS II FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA Escuela Profesional de Ingeniería Ambiental

La Antiderivada y la Integral Indefinida

Introducción :

La mayoría de operaciones matemáticas se presentan en parejas inversas esto es la suma y la resta, multiplicación y división, elevar a una potencia y extraer una raíz, en donde un operador deshace a la otra, en consecuencia si tratamos de resolver ecuaciones diferenciales que incluyen derivadas necesitamos su inversa, y es la que llamamos antiderivada o integración

Definición :

Si f es una función y F es una función diferenciable tal que F’ (x) = f ( x ), es decir la derivada de F es f, entonces diremos que F es una antiderivada de f. Podemos representar esta idea como dos procesos inversos en un bloque de tres pisos. El proceso de derivación en forma descendente (para el caso de los polinomios baja el grado al derivar) y el proceso de antidiferenciación, inverso de la derivación, en forma ascendente (sube el grado del polinomio al antidiferenciar).

También se conocen como la derivación y la antiderivación (o integración).

F(x) Antiderivada de f(x)

f(x) = F’(x) derivada de F

f ’ (x) derivada de f

Proceso de diferenciación

Proceso de antidiferenciación

Ing.Santos E.Alva Bazán

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. Por ejemplo:

Si f(x) = 3 2X , entonces , F(x) = 3X , es una antiderivada de f(x).

Observe que no existe una derivada única para cada función. por ejemplo, si G(x) = 3X + 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

Evaluar xdx Solución:

xdx = cx 2 , donde F(x)+C = Cx 2

Ejemplos

xx ee

xxgx

xxg

xxG

xf(x)xxxF

de daantideriva una es

1)( de daantideriva una es )ln(

1)( de daantideriva una es 1)(

26 de daantideriva una es 123)(

2

2

C=-2 C=-1

C=0

C=1

C= 2

X

Y

0 2 4 6 -2 -4 -6

2

-2

Ing.Santos E.Alva Bazán

Observaciones

.- Si F es una antiderivada de f, entonces F(x) + C, donde C es una constante, es la antiderivada más general de f.

.- Si F y G son antiderivadas de f, entonces F – G = C.

En efecto, si F y G son antiderivadas de la función f, entonces F’(x) = f(x) y G’(x) = f(x), así F’(x)- G’(x) = f(x) - f(x) = 0. De esta manera (F(x)-G(x))’= 0 y F(x)-G(x) = C, como consecuencia F(x) = G(x) + C. Es decir, dos antiderivadas de una función difieren a lo más en una constante, por lo cual la antiderivada más general es única (se le llama la integral indefinida de f)

- Si F es una antiderivada de f entonces F’(x) = f(x), luego dF = f(x)dx. Así, el problema de

hallar una antiderivada de una función f se resume en “despejar” F de la ecuación

dF = f(x)dx y esto se resuelve aplicando la inversa de la diferencial en ambos miembros

de la igualdad, esto es si es la inversa de la diferencial, FdF y dF=f(x)dx entonces

F(x)= dxxf )(

y así la antiderivada más general de f es CxFdxxf )()(.

Nota : se llama integral indefinida .

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera:

CxFdxxf )()(

en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Ejemplos

Cxxdxx 23)26( 2

C

xdx

x11

2

Cxdx

xln1

Cedxe xx

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PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION

Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces: 1.- cxdx 2.- dxxfkdxxkf )()( 3.- cxfxfd )())((

4.- 1,1

1

ncnxdxx

nn

5.- dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( Sea u =f(x), una función diferenciable en x

6.- 1,1

1

ncnuduu

nn 10.- c

auarctg

aaudu

1

22

7.- culonudu

11.- cauau

aaudu

ln

21

22

8.- cedue uu 12.- cauau

auadu

ln

21

22

9.- 1,0,ln

aaca

aduau

u

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SEGUNDAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION

Fórmulas para casos en que el integrando sea una expresión cuadrática. Sea u = f(x), una función diferenciable en x entonces:

1.- cauarcsen

uadu

22

2.-

22 audu ln cauu 22

3.-

22 au

du ln cauu 22

4.- cauarcsenauauduua

22222

21

21

5.- cauuaauuduau 2222222 ln21

21

6.- cauuaauuduau 2222222 ln21

21

7.- 0,sec1

22

acau

arcaauu

du

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TERCERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION

Fórmulas para casos en que el integrando sean funciones trigonométricas. Sea u = f(x), una función diferenciable en x entonces: 1.- cudusenu cos.

2.- csenuduu.cos

3.- cudutgu cosln.

4.- csenuductgu ln.

5.- cutgctguduu

42

lnsecln.sec

6.- cutgcctguecuduecu

2

lncosln.cos

7.- ctguduu .sec2

8.- cctguduuec .cos 2

9.- cudutguu sec..sec

10.- cecuductguecu cos..cos

CUARTAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION

Fórmulas para casos en que el integrando sean funciones Hiperbólicas. Sea u = f(x), una función diferenciable en x entonces: 1.- cudusenhu cosh. 5.- ctghuduuh .sec 2 2.- csenhuduu.cosh 6 .- cctghuduuech .cos 2 3.- cudutghu .coshln. 7.- chudutghuhu sec..sec 4.- cusenhductghu .ln. 8.- cechuductghuechu cos..cos