ANTIDERIVADAS

MATE 3013

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Hemos estado estudiando la derivación, su inversa es la antidiferenciación.

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Antiderivadas

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Antiderivadas

Definición: Una función F se llama

antiderivada de una función f en un

intervalo dado si la derivada de F

es f, esto es 𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 para todo

x en el intervalo.

Observación:

De la definición, tal vez no es evidente que F NO es única.

La antiderivada de es el conjunto de todas las funciones tal que

La constante C se llama la constante de integración.

f x

F x C

.d

F x C f xdx

Antiderivadas

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Antiderivadas

Ejemplo: Busque la derivada de cada una de las siguientes funciones:

1. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 9 2. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 −5

3. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 2 4. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 −100

5. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 1

2

Debes notar que en todos los casos

𝑓′ 𝑥 = 6(2𝑥 + 1)2

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Si F es una antiderivada de f en un intervalo

dado, la antiderivada más general de f en un

intervalo dado es F(x) + c, donde c es una

constante arbitraria.

Ejemplo:

La antiderivada más general de

𝑓′ 𝑥 = 6(2𝑥 + 1)2

es F 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 𝑐

Antiderivadas

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INTERPRETACION GEOMETRICA

Se presentan gráficas de funciones, que tienen una misma derivada.

De las gráficas podemos apreciar carácterísticas de la de 𝑓′ 𝑥 y 𝑓′′(𝑥): 1) 𝑓′ 𝑥 ≥ 0 para todo x en su dominio ( por que las gráficas de las antiderivadas son crecientes) 2) El único valor crítico de 𝑓′(𝑥) es x=0 3) 𝑓′′ 𝑥 > 0 en −∞, 0 𝑦 𝑓′′ 𝑥 > 0 en 0,∞

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Ejemplo 1

Encuentre la antiderivada más general de

cada una de las siguientes funciones.

xexfa )( )

32 ) xg(x)b

34)() xxpc

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Antiderivadas

Función Fórmula de la Antiderivada

𝑐 𝑐𝑥

𝑥𝑛 (𝑠𝑖 𝑛 ≠ −1) 𝑥𝑛+1

𝑛 + 1

𝑒𝑥 𝑒𝑥

𝑐𝑓(𝑥) 𝑐𝐹(𝑥)

𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝐹 𝑥 + 𝐺(𝑥)

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cxFdxxf )()(

dxxf )(

Integrando

Integral indica respecto a

que variable se

integra.

El procedimiento para calcular integrales se

llama integración.

La integral indefinida

Ejemplo 1: Determine las integrales indefinidas, o sea la antiderivada general de cada integrando:

a.)

b.)

c.)

d.) ln 2 2𝑥 =

8dx

23x dx

xe dx

8x C

3x C

xe C

2𝑥 + 𝐶

Fórmulas Basicas de Integración

Fórmulas para integrales

Ejemplo: Use la regla de potencia para la antidiferenciación

a.)

b.)

7 99

3

1a) ; b) ; c) ; d) x dx x dx xdx dx

x 7 1

7 81

7 1 8

xx dx C x C

99 199 1001

99 1 100

xx dx C x C

Ejemplo (Continuación)

c) Notamos que

Notamos que

d)

1/2 11/2 3/22

1 31

2

xxdx x C x C

1/2.x x

3 13 2

3 2

1 1 1

3 1 2 2

xdx x dx C x C C

x x

3

3

1.x

x

Ejemplo 4: Determine these indefinite integrals.

a.) Antidiferenciamos cada término separadamente:

5 2 5 23 7 8 3 7 8 x x dx x dx x dx dx

6 31 7 8

2 3 x x x C

6 31 1 3 7 8

6 3

x x x

2

5x dx

Antiderivada particular

Si nos dan información sobre un punto por la cual pasa la antiderivada, podemos determinar la antiderivada particular.

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Antiderivada particular

Ej. Determine la antiderivada general de

𝑓 𝑥 = 9 − 5𝑥2 − 1

2𝑥4 si F(x) pasa por (1, 2)

Solución: 9 − 5𝑥2 − 1

2𝑥4 𝑑𝑥 = 9𝑑𝑥 − 5𝑥2𝑑𝑥 − 1

2𝑥4 𝑑𝑥

F(x) = 9𝑥 −5𝑥3

3−

𝑥5

10+ 𝑐

Sustituyendo la información que nos dan

2 = 9 −5

3−

1

10+ 𝑐

2 − 9 +5

3+

1

10= 𝑐

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Antiderivada particular

Ej. Determine la antiderivada general de

𝑓 𝑥 = 9 − 5𝑥2 − 1

2𝑥4 si F(x) pasa por (1, 2) (continuación)

La antiderivada general es: F(x) = 9𝑥 −5𝑥3

3−

𝑥5

10+

143

30

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𝑐 = 2 − 9 +5

3+

1

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