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8/16/2019 ANTIDERIVADA. ANTIDERIVADAS BÁSICAS.doc

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CURSO: CÁLCULO II

Tema : Antiderivacion e integral indefinida

ANTIDERIVADAUn ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua

de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante

cierto tiempo. Un administrador que conoce el costo marginal de una

producción puede interesarse en deducir el costo total de la

producción. En cada caso, el problema es hallar una función cuya

derivada sea una función conocida. Si existe tal función F, se le

denomina una ANTIDERIVADA de f .Defnición:Una función F recibe el nombre de A!"#E$"%A#A de f en unintervalo ", si&

Ejemplo:2

F '(

x)

f ( x) x I

2Sea

f ( x) . Una antiderivada es F ( x) 4

x

x porque F '( x)

f '( x) . x

Teorema:Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada m's

general de f en I es&

#onde ( es una constante arbitraria.

F ( x) C ;

Ejemplos:1. )a antiderivada m's general de

f ( x) sin( x) es F ( x) C cos( x) C .

2. )a antiderivada m's general de

Defnición:

f ( x) x 2 es F ( x) C 2 x x

3

2 x C .

Al con*unto de todas las antiderivadas de f se le llama "!E+$A)

"#EF""#A de f yse representa por&

∫ f ( x)dx F ( x) C


2/37

Ejemplos:

1. ∫ cos( x)dx

sin( x) C

12. ∫ x

dxln( x) C

Facultad de Ingeniera !emestre 2"1#$I


3/37

F%R&'(A! )*!I+A! DE INTE,RA+I%NSea

n

.

f , g funciones derivables, adem's k , C constantes, entonces tenemos&

∫ kf (u)du k

∫ f (u)du

-. ∫ f (u) g (u)du

∫ f (u)du ∫ g (u)du

. ∫ 0du C

/. ∫ du u C

0. ∫ kdu ku C

1. ∫ u

n

duu

n 1

C n 1

du2. ∫ u

ln u C

3.

∫ eu

du eu

C

4. au du

aC , a

0, a 1

∫ ln(a)

5. ∫ sin(u)du

cos(u) C

.

∫ cos(u)dusin(u) C

-.

cos(ku)dusin(ku)

C k

.

sin(ku)ducos(ku)

C k

/. ∫ tan(u)du ln cos(u) C

0. ∫ c tg (u)du

u

∫

∫


4/37

ln sin(u) C

1. ∫ sec(u)du

ln sec(u) tan(u) C ln tan

u C

2. ∫ csc(u)du

ln csc(u) ctg (u) C ln tan

u C


2 4

2


5/37

3. ∫ sec2(u)du

tan(u) C

4. ∫ csc2 (u)du ctg (u) C

-5. ∫ sec(u)tan(u)du

sec(u) C

-. ∫ csc(u)ctg

(u)du

csc(u) C

du1

∫

u

--.

d

uu

2a

2

du

1

arctan C aa

u

a-. ∫

u

2

a2

ln C 2a u a

du 1 u a-/. ∫

a2

u

2

du

-0.

ln

C 2a u a

ar csin

u

C ∫

-1. ∫

-2. ∫

a2

u2

d

u

u2

a2

du

u2

a2


6/37

ln

u

l

n u u2

a2

C

2

-3∫ a2

u 2 u

a2

u 2

a arcsin u

C

2

2

-4

∫ u

a2

d u

uu

2a

2

a


7/37


8/37


9/37


10/37


11/37


12/37


13/37


14/37


15/37


16/37


17/37


18/37


19/37

aln u u

2a

2C

2 2

5. ∫ u

2

a2

duu

u2

a2

aln u u

2a

2C

2 2

du. ∫ 2

2uu

a

1 u

arcsin

a a

C , a 0

du-.

∫2

2 ua

u

1 ln(a) a2

u2

C a u


2

2


20/37

T-+NI+A! DE INTE,RA+I%N

INTE,RA+INDIRE+TA:

Se trata aqu6 de lograr las primitivas en forma inmediata con elconocimiento de derivadas y la aplicación de la tabla b'sica

considerando algunos recursos algebraicos y las propiedades

se7aladas. Algunas veces, antes de realizar la

integral correspondiente, se procede a simplificar la expresión por

si de esa forma se puede integrar me*or. 8osteriormente, haciendo uso

de las propiedades de las integrales, se descomponen en otras m's

sencillas, transform'ndose en una simple suma de

integrales m's

elementales.

Ejemplos:6

1. ∫ 6 x5

dx

x6 x

5 dx 6

6

C x6

C

4 3 2

2. ∫ 3 x3

5 x2

3 x 4 dx 3 x

5 x

3 x 4 x C

4 3 2

#. ∫ x2

3 dx ∫ x 2 3 x

x2

4 3 3

3 dx

∫ xdx 2 3 ∫ xdx

3∫ xdx

x 2 3 x C 2 3

∫ x x 13

x 1 dx ∫ x1 dx 2

x5

x C

/.

2 x30. ∫

7 x2

x2

2 2

5

4 dx

!olución:#escomponiendo la fracción en suma de fracciones&

3 2 3 22 x 7 x

x2

4 2 x 7 x

x2

x2

42 x

x2

7 4 x2

8or tanto&3 2 2 x 7

x∫ x2

4 dx ∫ 2 x

7 4 x2dx

x

2 x

1

2 7 x 4 C

∫


21/37

2 1

x2

7 x4

C x



22/37

2 x3 7 3 x

5

4 x . #eterminar ∫ dx . 3 5 x2

!olución: !ransformando las ra6ces en

potencia, descomponiendo en

suma de fracciones y

simplificando, tenemos&

2 x3

7 3

x5

4 x

35 x

2

3

2 x

2

5

7 x3

4 x2

3 x 5

3

2 x

2

2

3 x

5

5

7 x

3

2

3 x

5

4

x2

3 x 5

11

19

3

2 x 10 7 x15

4 x 5

3

3

3

8or lo que la integral nos queda&

335

11

19 3

2 x7

x4 x

2

x 10

7 x15

4 x 5

∫ dx ∫ dx3 5 x2

3 3 3

11

19

3

2 x 10

∫ dx 7

x 1

5

∫ dx

4 x 5

∫ d x

3

3


23/37

3

20 21 10534 5

8

x 10 x 15 x 5C

3 x5

∫

2

x2

3

63 1026

x6

.#eterminar

dx .

!olución:

3 x

5

∫

2

x2

3

x6

x

5

∫ 2

x

3

x2

x6

∫ 2 ∫ 2

x 3

x 3

d

x

3

d dx

dx

13

3∫ x3

d

x

4

2

∫ x

3d

x

16

∫

x

3

d x

9 16 6 7 3 19 x

13

#e

t

mi

n

∫ d

!ión

16 7

19

5 1

1 x x

C 1

C ∫ ∫

5

4 x4



24/37

x2

4. #eterminar ∫ 2 x

25dx .

16

!olución:

x2

25

∫ d x

x2

16 9∫ d x

x2

16 d x

∫ dx 9∫

x2

∫ x2

16

16d x

x2

1

6

9∫d x

x2

1

6

x2

16

x2

16

1

x

x2

2

16 16 ln

x x2

1

6

9 ln x x2

16 C

E5ER+I+I! 6R6'E!T!

En los siguientes e*ercicios, halle las integrales dadas&

x5

1.

∫

d

x

e3

x

2 sin x d x

2.

∫

3

3

x

3

2 x5d x

∫ 3

002t


25/37

013t

#. ∫ y2

y4

e

e

2

4 dt 12. ∫

1

tan x

3 cos x dx

/.

∫ y

3 d

y

22 sin 2 x dx

∫ x

x2

3 x

2

1! 2 2

0.

d x 1/. ∫ ttt 2 dt ∫

x

2

3 2 1

∫

.

∫

3

x2

5 x

2dx

x

2 x

x

5 dx

4.

51

2

∫

t

∫ 2 x

1

5

3.e

x !2

1.

d

dx


26/37

∫ 3 x x

24

.

∫ e

y

1 dy

$esuelve los siguientes problemas

17 IN,RE! &AR,INA(. El ingreso marginalderivado de la producción de q

unidades

decierto art6culo es

R

' (q)4

q

1

2

q2

dólares por unidad. Si

el

ingreso

derivado de

la producción

de -5

unidades es

de 95555,

:cu'l ser' el

ingreso

esperado por

la producción

de /5 unidades;

27 +!T &AR,INA(. Un fabricante estima que el

costo marginal por producir q

unidades de cierto bien es

C ' (q)

3q2

2

4

q

48 dólares por unidad. Si el



27/37

costo de producción de 5 unidades es de 90555, :cu'l es

el costo de producción de 5 unidades;

#7 'TI(IDAD &AR,INA(. Un fabricante estima que el ingreso marginal ser'

R ' (q) 200q

1! 2

dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q

unidades. Se ha determinado que el costo marginalcorrespondiente es de

04q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante

es 9-555 cuando en nivel de producción es de -0 unidades.

:(u'l es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción

sea de 1 unidades;

/7 +RE+I&IENT DE 'N AR)(. Un ecologista encuentra que cierto tipo de 'rbol

crece de tal forma que su altura h(t ) despu :(u'ntos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 5

minutos ?del tiempo t

10 al t

20 >;

7 DE!+N,E(A&IENT. Un trozo de carne se saca del

refrigerador y se de*a en el mostrador para que se descongele.(uando se sacó del congelador, la temperatura de la carne era

de @/(, y t horas m's tarde se incrementaba a

una tasa de

T ' (t ) 7e035t o

$!%


28/37

a> #etermine una fórmula para la temperatura de la carne despu :(u'l es la temperatura despu Suponga que la carne est' descongelada cuando su

temperatura llega a5(. :(u'nto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne;



29/37

INTE,RA+I%N 6R !'!TIT'+I%N +A&)I DE VARIA)(E:El m


30/37

3 4

2

55 x

2 6 5 C 12

#. #eterminar ∫ x

1 3 x dx .

!olución:

Bagamos u x

3

1 ⇒ du

3 x2 dx . $eemplazando en la integral,

tenemos&

Facultad de Ingeniera !emestre

2"1#$I


31/37

∫ x3

1 3 x2 dx u

5

u4 du C

5

5

x

1C 5

/. #eterminar ∫ sin( x) cos( x)dx .

!olu

ción:Bagamos u

sin( x)

⇒

du

cos( x)dx . $eemplazando en la integral,

tenemos&u2

∫ co

∫ udu 2 C

xdx

sin( x)

C 2

0.

#eter

minar

∫ cos

2

x2

!olución:

Bag

amos u x2

⇒ du

4

3

2


32/37


33/37

dx du∫ ∫

arcsin(u) C x 1 ln

2( x) 1 u

2

arcsin ln( x) C

E5ER+I+I! 6R6'E!T!

Usando el m


34/37

d c

17 VA(R DE (A

TIERRA. Se

estima que dentro de t

a7os, el valor

hect'rea de

tierra cultivable

crecer' a una

tasa de

04t 3

V

(

t

)

de una

V '(t ) 0 8000

dólares por a7o. Actualmente la tierra vale &500 por hect'rea.

a7 #etermine V (t )

97 :(u'nto valdr' la tierra dentro de 5 a7os;

27 +RE+I&IENT DE 'N AR)(. Se trasplantó un 'rbol y despu


35/37

alcanzó una altura de 0 metros. :Cu


36/37

Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es

menor que 5.50 mgDcm

.

a> #etermine una expresión para C (t ) .

b> :(u'l es la concentración despu


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Facultad de Ingeniera !emestre

2"1#$I

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