Funcin primitiva o antiderivada Funcin primitiva de una funcin dada f(x), es otra funcin F(x) cuya derivada es la funcin dada. F'(x) = f(x) Si una funcin f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferencindose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) Integral indefinida Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una funcin. Se representa por f(x) dx. Se lee : integral de x diferencial de x. es el signo de integracin. f(x) es el integrando o funcin a integrar. dx es diferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra. C es la constante de integracin y puede tomar cualquier valor numrico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una funcin es correcta basta con derivar.

Lnealidad de la integral indefinida 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx 2. La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin. k f(x) dx = k f(x) dx

formulas Sean a, k, y C constantes (nmeros reales) y consideremos a u como funcin y a u' como la derivada de u.

Integral de una constante La integral de una constante es igual a la constante por x.

Ejemplo

Integral de cero

Integral de x Si la funcin a integrar es x, las frmulas de integracin son:

Ejemplos

Integrales de poten y races

Ejemplos

Integral logartmica

Ejemplos

Integral exponencial

Ejemplos

Integral del seno

Ejemplos

Inetgral de coseno

Ejemplos

Integral de tangente

Ejemplos

Integral de la cotangente

Ejemplos

Integral de arcoseno

Ejemplos

Integral de arcotangente

Ejemplos

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la frmula de la integral del arcotangente. Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador. Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raz cuadrada de 4/3.

Ejercicios

1 Resolver las siguientes integrales de tipo potencial:

1 2

3

4

5

6 7

8 9 10 11

12

13 14 15

16 17

18

19

20 21

22 2 Calcular las integrales logartmicas:

1 2

3 4

5

6

7

8 9

10

11 3 Resolver las siguientes integrales exponenciales:

1 2 3

4

5 6 7

8 9 4 Calcular las integrales trigonomtricas: 1 2 3

4

5 6 7 8

9 10 11

12

13 14 15 5 Resolver la integrales trigonomtricas:

1

2

3

4

5 6 Calcular las integrales:

1

2

3 4

5

6

6 Problemas de integrales 1Hallar una funcin F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25. 2De las infinitas funciones primitivas de la funcin y = x - x + 1, cul es la que para x = 3 toma el valor 5? 3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por l punto P(0, 4). 4Escribe la funcin primitiva de y = x + 2x cuya representacin grfica pasa por l punto (1, 3). 5Calcular la ecuacin de la curva que pasa por P(1, 5) y cuya pendiente en cualquier punto es 3x + 5x 2. 6Hallar la primitiva de la funcin para x = 2 , que se anula

Funcin integral Sea f(t) una funcin continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta funcin se define la funcin integral:

que depende del lmite superior de integracin. Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geomtricamente la funcin integral, F(x), representa el rea del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la funcin integral, F(x), tambin se le llama funcin de reas de f en el intervalo [a, b].

Teorema fundamental del calculo La derivada de la funcin integral de la funcin continua f(x) es la propia f(x). F'(x) = f(x) El teorema fundamental del clculo nos indica que la derivacin y la integracin son operaciones inversas: si una funcin continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la funcin original.

Ejemplos Calcular la derivada de las funciones:

Regla de Barrow Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemtico ingls, cuya aportacin ms importante a las Matemticas fue la unin del clculo diferencial e integral. La regla de Barrow dice que la integral definida de una funcin continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una funcin primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

Ejemplos Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow.

Calculamos la integral definida por cambio de variable.

Hallamos los nuevos lmites de integracin.

Integramos por partes.

Tambin se puede hacer sin transformar los lmites de integracin y volviendo a la variable inicial.

Teorema de la media El teorema de la media o teorema del valor medio para integrales dice que: Si una funcin es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

Ejemplos 1. Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la funcin f(x) = 3x2 en el intervalo [4, 1]. Como la funcin es continua en el intervalo [4, 1], se puede aplicar el teorema de la media.

La solucin positiva no es vlida porque no pertenece al intervalo. 2. Es aplicable el teorema del valor medio del clculo integral a la siguiente funcin en el intervalo [0, 1]?

Como la funcin es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.