15.1 Antiderivadas

Antiderivadas

Hemos estado estudiando la derivación, su inversa es la

antidiferenciación.

Antiderivadas

Definición: Una función F se llama

antiderivada de una función f en un

intervalo dado si la derivada de F es f,

esto es 𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 para todo x en el

intervalo.

Observación:

De la definición, tal vez no es evidente que F NO es única.

La antiderivada de es el conjunto de todas las

funciones tal que

La constante C se llama la constante de integración.

f x

F x C

.d

F x C f xdx

Antiderivadas

Antiderivadas

Ejemplo: Busque la derivada de cada una de las siguientes funciones:

1. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 9

2. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 −5

3. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 2

4. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 −100

5. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 1

2

Debes notar que en todos los casos

𝑓′ 𝑥 = 6(2𝑥 + 1)2

Si F es una antiderivada de f en un intervalo

dado, la antiderivada más general de f (en

un intervalo dado) es F(x) + c, donde c es

una constante arbitraria.

Ejemplo:

La antiderivada más general de

𝑓′ 𝑥 = 6(2𝑥 + 1)2

es F 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 𝑐

Antiderivadas

Se presentan gráficas de funciones, que tienen

una misma derivada.

De las gráficas podemos apreciar

carácterísticas de la de 𝑓′ 𝑥 y

𝑓′′(𝑥): 1) 𝑓′ 𝑥 ≥ 0 para todo x en su dominio ( por que

las gráficas de las antiderivadas son

crecientes)

2) El único valor crítico de 𝑓′(𝑥) es

x=0

3) 𝑓′′ 𝑥 > 0 en −∞, 0 𝑦 𝑓′′ 𝑥 >0 en 0,∞

INTERPRETACION GEOMETRICA

Antiderivada general

Función Fórmula de la Antiderivada

𝑐 𝑐𝑥

𝑥𝑛 (𝑠𝑖 𝑛 ≠ −1) 𝑥𝑛+1

𝑛 + 1

𝑒𝑥 𝑒𝑥

Encuentre la antiderivada más general de cada una

de las siguientes funciones.

xexfa )( )

2

1

xg(x) )b

3x)x(p)c

Ejemplo 1:

El símbolo que usamos para antiderivada más general es.

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

xe)x(F )a

1

xG(x) )b

21

12

1

23

2

3

x 2

3

32 x

13

x)x(P)c

13

4

x4

4

41 x

cxFdxxf )()(

dxxf )(

Integrando

Integral indica respecto a

que variable se

integra.

El procedimiento para calcular integrales se

llama integración.

La integral indefinida

• La antiderivada de una constante

• La antiderivada de una potencia

• La antiderivada de una función exponencial natural

Fórmulas para integrales

Ejemplo 1: Use la regla de potencia para la

antidiferenciación

a.)

b.)

7 99

3

1a) ; b) ; c) ; d) x dx x dx xdx dx

x

Ejemplo (Continuación)

c) Notamos que

Notamos que

d)

1/2.x x

3

3

1.x

x

Ejemplo 2: Determine la integral indefinida.

Antidiferenciamos el integrando como una potencia:

2

5x dx

2

5x dx =(𝑥 − 5)2+1

2 + 1

=(𝑥 − 5)3

3

=1

3(𝑥 − 5)3

Teorema 1

La integral de una constante por una fucnción de x es igual

a la constante por la integral de la función.

Si c es una constante, entonces

Ejemplo 1: Determine las integrales indefinidas, o sea

la antiderivada general de cada integrando:

a)

b)

c)

d) (0.5) ln 2 2𝑥 𝑑𝑥 =

8dx

23x dx

8x C

3x C

(0.5)2𝑥+𝐶

dxx3 2 c3

x3

3

0.5 ln 2 2𝑥 =

Teorema

• La integral de la suma de dos funciones

es igual a la suma de sus integrales.

Ejemplo 4: Determine la integral indefinida.

Antidiferenciamos cada término separadamente:

5 2 5 23 7 8 3 7 8 x x dx x dx x dx dx

6 31 7 8

2 3 x x x C

Ejemplo 4: Determine la integral indefinida.

Solución:

Separamos el numerador en partes y antidiferenciamos cada

término separadamente:

2𝑥3 + 3

𝑥2𝑑𝑥 =

2𝑥3

𝑥2𝑑𝑥 +

3

𝑥2𝑑𝑥

= 2𝑥 𝑑𝑥 + 3𝑥−2𝑑𝑥

= 2𝑥1+1

1 + 1+ 3

𝑥−2+1

−2 + 1+ 𝐶

= 2𝑥2

2+ 3

𝑥−1

−1+ 𝐶

𝐹(𝑥) = 𝑥2 −3

𝑥+ 𝐶

Ejemplo 5: Determine la integral indefinida.

(1 + 𝑣)2𝑑𝑣 =

1 + 2 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑣 = 1𝑑𝑣 + 2 𝑣 𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑣

= 𝑣 + 2𝑣12+1

12+1

+𝑣1+1

1 + 1+ 𝐶

𝐹 𝑣 = 𝑣 + 43𝑣32 + 1

2𝑣2 + 𝐶

= 𝑣 + 2𝑣32

32

+𝑣2

2+ 𝐶

= 𝑣 + 2 23 𝑣

32 + 1

2𝑣2 + 𝐶

Solución:

Expandimos el integrando y antidiferenciamos cada término separadamente:

Antiderivada particular

Si nos dan información sobre un punto a

través del cual pasa la antiderivada,

podemos determinar la antiderivada

particular.

Antiderivada particular

Ej. Determine la antiderivada general de

𝑓 𝑥 = 9 − 5𝑥2 − 1

2𝑥4 si F(x) pasa por (1, 2)

Solución:

9 − 5𝑥2 − 12𝑥4 𝑑𝑥

= 9𝑑𝑥 − 5𝑥2𝑑𝑥 − 12𝑥4 𝑑𝑥

F(x) = 9𝑥 −5𝑥3

3−1

2

𝑥5

5+ 𝐶

𝐹(𝑥) = 9𝑥 −5𝑥3

3−𝑥5

10+ 𝐶

Antiderivada particular

Ej. (continuación)

9 − 5𝑥2 − 12𝑥4 𝑑𝑥 = 9𝑥 −

5𝑥3

3−𝑥5

10+ 𝐶

Sustituyendo el punto (1, 2) para determinar C

2 = 9 −5

3−1

10+ 𝐶

2 − 9 +5

3+1

10= 𝐶

La antiderivada particular es:

F x = 9𝑥 −5𝑥3

3−𝑥5

10−157

30

𝐹 𝑥 = 9𝑥 −5𝑥3

3−𝑥5

10+ 𝐶

Antiderivada particular

Ejemplo: Determine f(x) si

𝑓′ 𝑥 = (𝑥 + 2)(2𝑥 − 3) y f(-1) = 7.

Solución:

(𝑥 + 2)(2𝑥 − 3)𝑑𝑥

= 2𝑥2𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑥 − 6 𝑑𝑥

f(x) =2𝑥3

3+𝑥2

2− 6𝑥 + 𝑐

7 =2(−1)3

3+(−1)2

2− 6(−1) + 𝑐

7 = −2

3+1

2+ 6 + 𝑐

7 +2

3−1

2− 6 = 𝑐

f(x) =2𝑥3

3+𝑥2

2− 6𝑥 +

7

6

= (2𝑥2+ 𝑥 − 6)𝑑𝑥

Antiderivada particular

Solución:

5 − 0.002𝑥 𝑑𝑥 =

P x = 5𝑥 − 0.002𝑥2

2+ 𝑐

= 5𝑥 − 0.001𝑥2 + 𝑐

310 = 5(100) − 0.001(100)2+𝑐

310 = 500 − 10 + 𝑐

310 − 500 + 10 = 𝑐

𝑐 = −180 P 𝑥 = 5𝑥 − 0.001𝑥2 − 180

Aplicación

Solución

a) (24 − 0.03𝑥 + 0.006𝑥2) 𝑑𝑥

= 24𝑥 − 0.015𝑥2 + 0.002𝑥3 + 𝐶

𝐶(𝑥) = 24𝑥 − 0.015𝑥2 + 0.002𝑥3 + 𝐶

22700= 24(200) − 0.015(200)2+0.002(200)3+𝐶

2500= 𝐶

𝐶(𝑥) = 24𝑥 − 0.015𝑥2 + 0.002𝑥3 + 2500

Aplicación (continuación) Solución

d)

P 𝑥 = 90𝑥 − 24𝑥 + 0.015𝑥2 − 0.002𝑥3 − 2500

R(𝑥) = 90𝑥

= −2500 + 66𝑥 + 0.015𝑥2 − 0.002𝑥3

𝑃′(𝑥) = 66 + 0.03𝑥 − 0.006𝑥2

66 + 0.03𝑥 − 0.006𝑥2 = 0

𝑥 =−.03 ± .032−4(66)(−.006)

2(−.006)

𝑥 ≈ -345 𝑥 ≈ 350

𝑃′(𝑥) = 0.03 − 0.012𝑥

𝑃′ 350 = 0.03 − 0.012 350 = −4.17

𝑥 = 350 maximiza la utilidad.