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Unidad 4 – Lección 4.1

La Integral Indefinida

22/10/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 16

Actividades 4.1

• Ejemplos para estudiar y Ejercicios de Práctica:

Sección 15.1: Antiderivadas; Ejemplos del 1 al 7;

problemas impares 1 – 35, 67 de las páginas 627-

629 (4ta Ed págs 635-636).

• Asignación 4.1: Resuelva problemas 26 y 68,

páginas 628 y 629 (4ta Ed págs 636-637).

• Referencias:

• Paul’s Online Note – Indefinite Integrals

• Visual Calc - Antiderivatives / Indefinite Integrals;

Tutorial sobre antiderivadas y el integral indefinido.

Table of Elementary Indefinite Integrals. Ejercicios de

práctica (Drill) usa Java.

• eMathLab – Indefinite Integrals

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 22/10/2011 2 de 16

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/IndefiniteIntegrals.aspx



http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/antider.1/index.html



http://emathlab.com/Calculus/indefiniteIntegrals.php



Objetivo

• Describir la antiderivada de una función

• Usar la notación de la integral indefinida

para antiderivadas

• Identificar la antiderivada de funciones

exponenciales básicas.

• Usar las reglas básicas de integración para

encontrar la Integral Indefinida de una

función polinómica.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 22/10/2011 3 de 16

Antiderivada

• Una función F es la antiderivada de f sobre un

intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.

• Ejemplo:

• es una antiderivada de

• Otras son:

• En general, si F es una función antiderivada de f

sobre un intervalo I, cualquier otra antiderivada de f

será de la forma F(x) + c donde c es una constante.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 22/10/2011

5)( 2 xxxF

12)( xxf

1)( 2

1 xxxF xxxF 2

2 )( xxxF 2

3 )(

4 de 16

Integral indefinida

• La integral indefinida de f(x) se define como el

conjunto de todas las antiderivadas F de f(x).

donde c es una constante.

• Ejemplos:


cxFdxxf )()(

dxx 12 xx 2 c

dxx3

4

4x c

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Reglas básicas de antiderivadas

• Recuerde


ckxdxk

xndx xn1

n 1 c , n 1

dx 5 cx 5

dxx 3 cx

4

4

Ejemplos:

dx cx

Ejemplos:

dxx 21

cx

23

23

cx

3

2 23

cxx

3

2

dx cx

6 de 16

Reglas básicas de antiderivadas …

• Si f, g son las funciones antiderivables en un

intervalo y k una constante. Entonces:

• Ejemplos:


dxfkdxkf (x) (x)

dxx26 cx

36

3

dxx26 cx 32

dxx33- dxx 3 3

1

cx

13

13

13

1

cx

3

43

3

4

cx

4

93 4

cxx

4

9 3

7 de 16

Reglas básicas de antiderivadas …

• Si f, g son las funciones antiderivables. Entonces:

• Ejemplos:


dxgdxfdxf (x) (x) g(x)](x)[

dxxx 122

dxxdxdxx 122

3

3x

22

2x x

cxxx 23

31

c

dx

x

21

cx

x

2

12

2

1

dxxdx 2

1

2 1

cxx 4

dxxdx 2

1

2 1

321 cccc

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Ejercicio #1

1.

2.


dxxx 121 53

dxx 4 3

dxxdxxdx 53 12

cxxx 64 24

1

dxx 43

cx

4

7

47

cxx

7

4 4 3

cx

7

4 4

7

9 de 22

Antiderivadas para recordar ..


dxx

1

dxe xcex

dxa x número,un es a Si ca

a x

ln

cx ||ln

dx 3- x dxx 3 cx

ln3 c

x

ln

3

Ejemplos:

dx

x

61 xdxdx

x

16 ||ln6 x c

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Ejercicio #2


2ex dx

2ex c

dxx 32 cx

2ln

32

dxx

x

23

dx

xx

x 23

dxxx 2

1

2

1

23

dxxdxx 2 3 2

1

2

1

cxx

2

12

2

33

2

1

2

3

cxxx 42

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Ejemplo 3

• Encuentre f si si f(1) = 3

• Solución: f es una antiderivada de f’(x)

• si f(1) = 3, entonces


225)(' xxxf

dxxxf 225 dxxxdxdx 225

x52

22x

3

3x

cxxx 32

3

15

c

3)1(3

1)1()1(5)1( 32 cf

33

115 c

3

4c

3

4

3

15)( 32 xxxxf

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Ejemplo 4

• El costo marginal de cierta empresa está dada por

𝐶′ 𝑥 = 18 − 0.05𝑥 + 0.005𝑥2. Si el costo de producir

200 unidades es de $25,400, encuentre

a) La función costo

b) Los costos fijos de la empresa

c) El costo de producir 450 unidades

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 13 de 16 22/10/2011

Ejemplo 4 (a)…

• 𝐶 𝑥 = 𝐶′ 𝑥 𝑑𝑥

Si el costo de producir 200 unidades es de $25,400,

Por tanto la función costo es:


0.05𝑥2

2+

0.005𝑥3

3 + 𝑐

25400 = 18 200 +0.05(200)2

2+0.005(200)3

3+ 𝑐

25400 = 3600 + 1000 + 40,000

3+ 𝑐

25400 ≈ 17,933 + 𝑐

7,467 ≈ 𝑐

= (18 −0.05𝑥 + 0.005𝑥2)𝑑𝑥

= 18𝑥 −

C(𝑥) = 18𝑥 +0.05𝑥2

2+0.005𝑥3

3+ 7,467

Ejemplo 4 (b) y (c) …

• Si la función costo es:

• Los costos fijos son:

• El costo de producir 450 unidades es aproximadamente:


C(𝑥) = 18𝑥 +0.05𝑥2

2+0.005𝑥3

3+ 7,467

$7,467

C(450) = 18(450) +0.05 450 2

2+0.005 450 3

3+ 7,467

= 8,100 + 5,062.50 + 151,875 + 7,467

≈ $172,505

Integral indefinido

• Observe

• Compare

• Recuerde: Al integrar, observe siempre con

respecto a qué variable lo está haciendo.

• ¡Observe el diferencial! … dx, dt, dz


xdx3 tdt3 zdz3

cx

2

3 2

ct

2

3 2

cz

2

3 2

xdt3 tdx3 zdx3

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