8/9/2019 sesión 1. Antiderivadas o primitivas

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funciones

Sesión 1

Antiderivadas o primitivas e integración

indefinida

Frank Didier Suárez Motato

Departamento de Matemáticas

Universidad Cooperativa de Colombia

7 de febrero de 2015

Frank Didier Suárez Motato   Antiderivadas o primitivas e integración indef...   1 / 9

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funciones

Objetivos espećıficosFunciones y gráficasGráfica de una función

Objetivos espećıficos

Escribir la solución general de una ecuación diferencial.

Usar la notación de la integral indefinida para las antiderivadas oprimitivas.

Utilizar las reglas de integración básica para encontrar

antiderivadas.

Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial.

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funciones

Objetivos espećıficosFunciones y gráficasGráfica de una función

Antiderivadas o primitivas

Suponga que usted decide encontrar una función F cuya derivada es

f (x) = 3x2

.

Por lo que sabemos de nuestro curso anterior de cálculo diferencial,

podemos afirmar que

F (x) = x3,   es una antiderivada  porque   ddx

x3

 = 3x2

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F i Obj i f́i

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Ejercicios de codelos con funciones

Objetivos espećıficosFunciones y gráficasGráfica de una función

Antiderivadas o primitivas

Definición

Definici´ on de una antiderivada o primitiva . Se dice que una 

 funci´ on  F   es una   antiderivada o primitiva  de f, en un intervalo  I 

si  F (x) = f (x)   para todo  x   en  I .

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F i Obj ti f́i

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funciones

Objetivos espećıficosFunciones y gráficasGráfica de una función

Antiderivadas o primitivas

Nótese que  F   es una antiderivada para   f , en vez de decirse que es la

antiderivada de  f . Pues observe que

F 1(x) = x3,   F 2(x) = x3 − 5 y   F 3(x) = x3 + 97

son todas antiderivadas de f (x) = 3x2. En consecuencia, para cualquier

constante C , la función dada por

F (x) = x3 + C 

es una antiderivada para  f .

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Funciones Objetivos espećıficos

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funciones

Objetivos especıficosFunciones y gráficasGráfica de una función

Antiderivadas o primitivas

Teorema

Si  F   es una antiderivada de  f   en un intervalo  I , entonces  G  es una 

antiderivada de  f   en el intervalo  I , si y solo si,  G(x) = F (x) + C,

para todo  x   en  I , donde  C   es una constante.

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Funciones Objetivos espećıficos

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funciones

Objetivos especıficosFunciones y gráficasGráfica de una función

Antiderivadas o primitivas

Observe que usando el teorema anterior, podemos representar la familia

completa de antiderivadas de una función. Por ejemplo sabiendo que

d

dx x2

 = 2x

la familia completa de todas las antiderivadas se representa por

F (x) = x2 + C 

donde  C  es una constante. La constante  C  recibe el nombre de   cons-

tante de integración. La familia de funciones representadas por G es

la   antiderivada general  de  f   y  G(x) = x2 + C  es la solución general

de la ecuación diferencial

G

(x) = 2xFrank Didier Suárez Motato   Antiderivadas o primitivas e integración indef...   7 / 9

Funciones Objetivos espećıficos

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funciones

Objetivos especıficosFunciones y gráficasGráfica de una función

Antiderivadas o primitivas

Una  ecuación diferencial en  x y  y  es una ecuación que incluye a  x,y

y las derivadas de  y. Por ejemplo,  y = 3x y  y = x2 + 1 son ecuaciones

diferenciales.

Resolución de una ecuación diferencial

Determinar la solución de la ecuación diferencial  y = 2

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Funciones

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funcionesEjercicios de funciones

Notación de antiderivadas o primitivas

Cuando resolvemos una ecuación diferencial de la forma

dydx

 = f (x)

en matemáticos usamos un método que se conoce como separación de

variables, consiste como el mismo nombre lo dice en separar lo que

conotiene  x  a un lado de lo que contiene  y.

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Funciones

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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Ejercicios de funciones

Es decir,

dy = f (x)dx

y la operación para encontrar todas las soluciones se denomina   an-

tiderivación   (o   integral indefinida) y se denota mediante el signo

integral   .  La solución general se denota por:

y =

   f (x)dx =  F (x) + C 

La expresión   f (x)dx se lee como la  antiderivada o primitiva de f  con

respecto a la variable x.

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Funciones

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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

Reglas básicas de integración

La integración es lo inverso a la derivación y viceversa, entonces:

   F 

(x)dx =  F (x) + C 

además si    f (x)dx =  F (x) + C 

y,d

dx

   f (x)dx

 =  f (x)

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FuncionesEj i i M d l d f i

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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

Reglas básicas de integración

Ejercicio

Derive las siguientes funciones:

1d

dx

 [C ]

2d

dx [kx]

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FuncionesEj i i M d l d f i

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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

Reglas básicas de integración

Ejercicio

Derive las siguientes funciones:

1d

dx

 [C ]

2d

dx [kx]

3d

dx [kf (x)]

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FuncionesEjercicios Modelando con funciones

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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

Reglas básicas de integración

Ejercicio

Derive las siguientes funciones:

1d

dx

 [C ]

2d

dx [kx]

3d

dx [kf (x)]

4d

dx [f (x)± g(x)]

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FuncionesEjercicios Modelando con funciones

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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

Reglas básicas de integración

Ejercicio

Derive las siguientes funciones:

1d

dx

 [C ]

2d

dx [kx]

3d

dx [kf (x)]

4d

dx [f (x)± g(x)]

5d

dx [xn]

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FuncionesEjercicios Modelando con funciones

8/9/2019 sesión 1. Antiderivadas o primitivas

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EjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

Reglas básicas de integración

Ejercicio

Derive las siguientes funciones:

1d

dx

 [C ]

2d

dx [kx]

3d

dx [kf (x)]

4d

dx [f (x)± g(x)]

5d

dx [xn]

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FuncionesEjercicios Modelando con funciones

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jEjercicios de codelos con funciones

Reglas básicas de derivación

Ejercicio

Deribe las siguientes funciones:

1d

dx [cosx]

2 ddx

 [senx]

3d

dx [tanx]

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FuncionesEjercicios Modelando con funciones

8/9/2019 sesión 1. Antiderivadas o primitivas

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Ejercicios de codelos con funciones

Reglas básicas de derivación

Ejercicio

Deribe las siguientes funciones:

1d

dx [cosx]

2 ddx

 [senx]

3d

dx [tanx]

4d

dx

 [secx]

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FuncionesEjerciciosf

Modelando con funciones

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Ejercicios de codelos con funciones

Reglas básicas de derivación

Ejercicio

Deribe las siguientes funciones:

1d

dx [cosx]

2 ddx

 [senx]

3d

dx [tanx]

4d

dx

 [secx]

5d

dx [cotx]

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FuncionesEjercicios

Ej i i d d l f iModelando con funciones

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Ejercicios de codelos con funciones

Reglas básicas de derivación

Ejercicio

Deribe las siguientes funciones:

1d

dx [cosx]

2 ddx

 [senx]

3d

dx [tanx]

4d

dx

 [secx]

5d

dx [cotx]

6d

dx [cscx]

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funcionesModelando con funciones

8/9/2019 sesión 1. Antiderivadas o primitivas

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Ejercicios de codelos con funciones

Reglas básicas de derivación

Ejercicio

Deribe las siguientes funciones:

1d

dx [cosx]

2 ddx

 [senx]

3d

dx [tanx]

4d

dx

 [secx]

5d

dx [cotx]

6d

dx [cscx]

Frank Didier Suárez Motato   Antiderivadas o primitivas e integración indef...   1 3 / 9

FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funcionesModelando con funciones

8/9/2019 sesión 1. Antiderivadas o primitivas

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Ejercicios de codelos con funciones

Reglas básicas de derivación

Ejercicio

Deribe las siguientes funciones:

1d

dx [cosx]

2 ddx

 [senx]

3d

dx [tanx]

4d

dx

 [secx]

5d

dx [cotx]

6d

dx [cscx]

Frank Didier Suárez Motato   Antiderivadas o primitivas e integración indef...   1 3 / 9

FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funcionesModelando con funciones

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Ejercicios de codelos con funciones

Reglas básicas de integración

Ejercicio

Integre las siguientes funciones:

1    0dx2

   kdx

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funcionesModelando con funciones

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Ejercicios de codelos con funciones

Reglas básicas de integración

Ejercicio

Integre las siguientes funciones:

1

   0dx2

   kdx

3

   kf (x)dx

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de codelos con funcionesModelando con funciones

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j

Reglas básicas de integración

Ejercicio

Integre las siguientes funciones:

1

   0dx

2

   kdx

3

   kf (x)dx

4   f (x)± g(x)dx

Frank Didier Suárez Motato   Antiderivadas o primitivas e integración indef...   1 4 / 9

FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

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Reglas básicas de integración

Ejercicio

Integre las siguientes funciones:

1

   0dx

2

   kdx

3

   kf (x)dx

4   f (x)± g(x)dx

5

   xndx

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FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

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Reglas básicas de integración

Ejercicio

Integre las siguientes funciones:

1

   0dx

2

   kdx

3

   kf (x)dx

4   f (x)± g(x)dx

5

   xndx

Frank Didier Suárez Motato   Antiderivadas o primitivas e integración indef...   1 4 / 9

FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

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Reglas básicas de integración

Ejercicio

1

   cosxdx

2    senxdx

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FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

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Reglas básicas de integración

Ejercicio

1

   cosxdx

2    senxdx3

   secx tanxdx

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FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

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Reglas básicas de integración

Ejercicio

1

   cosxdx

2    senxdx3

   secx tanxdx

4

   sec2 xdx

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FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

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Reglas básicas de integración

Ejercicio

1

   cosxdx

2    senxdx3

   secx tanxdx

4

   sec2 xdx

5

   csc2 xdx

Frank Didier Suárez Motato   Antiderivadas o primitivas e integración indef...   1 5 / 9

FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

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Reglas básicas de integración

Ejercicio

1

   cosxdx

2    senxdx3

   secx tanxdx

4

   sec2 xdx

5

   csc2 xdx

6

   cscx cotxdx

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FuncionesEjerciciosEjercicios de codelos con funciones

Modelando con funciones

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Reglas básicas de integración

Ejercicio

1

   cosxdx

2    senxdx3

   secx tanxdx

4

   sec2 xdx

5

   csc2 xdx

6

   cscx cotxdx

Frank Didier Suárez Motato   Antiderivadas o primitivas e integración indef...   1 5 / 9