antiderivada ing

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA

GUIA Nº3ANTIDERIVADA

INTRODUCCIÓNUn físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su posición en un instante dado. Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un biólogo que conoce la razón a la que crece una población de bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en algún momento futuro. En cada caso, el problema es hallar una función cuya derivada sea una función conocida. Si existe tal función F, se le denomina una antiderivada de f.

COMPETENCIAS Encuentra mediante el proceso de

derivación, antiderivadas generales para una función específica.

Resuelve problemas de valor inicial. Aplica la noción de antiderivada en la

solución de situaciones problemas.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:La pregunta aquí es: ¿cómo encontrar F(x) a partir de f(x)? Por ejemplo; suponga que se le pide hallar una función F que tiene la siguiente derivada: 34)´( xxF = . A partir del conocimiento de las derivadas, probablemente se diría que

4)( xxF = , ya que 34 4)( xxdxd = . Llamamos a la

función F una antiderivada de F´. Otras antiderivadas de 34)´( xxF = son: 5)( 4 += xxG y

36)( 4 −= xxH . Como se puede observar que si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier otra antiderivada es de la forma F(x) + C. Esta función se llama antiderivada general (cada valor de C nos da una antiderivada). (1)¿En que consiste el proceso de antiderivación?

Teorema. Si F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y solo si es de la forma: G(x)= F(x) +C, para todo x en I donde C es una constante arbitraria.

Notación para antiderivadas o primitivas Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F(x) es una solución de la ecuación

diferencial de la forma )(xfdxdy = . Cuando se

resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribir en la forma diferencial correspondiente dy= f(x) dx. La operación de encontrar todas las soluciones de esta ecuación se denomina integración, y se denota por el símbolo ∫. La solución a la ecuación dy= f(x) dx se denota por y = ∫f(x)dx = F(x) + C de donde f(x) es el integrando, dx indica la variable de integración y C es una constante. Llamamos a la ∫f(x)dx la integral indefinida de f respecto de x. (2) Realice un esquema donde señale los elementos que conforman la integración.

Definición. La notación ∫f(x)dx = F(x) + C donde C es una constante arbitraria, significa que es una primitiva de f. Esto es, F′(x) = f(x) para todo x en el dominio de f.

F(x) + C representa una familia de funciones (para cada uno de los valores de C se tiene una función de esta familia); dicha familia de antiderivadas es llamada la integral indefinida de la función f (x) y se denota con el símbolo ∫ f (x)dx, o sea ∫ f (x)dx = F(x) + C donde F '(x) = f(x) Reglas básicas de integraciónLa naturaleza inversa de la integración y la derivación se refleja en el hecho de que mediante la sustitución de F′(x) por f(x) en esta definición obtenemos:

∫F´(x)dx = F(x) + C La integración es la “inversa” de la derivación

Además si, ∫f(x)dx = F(x) + C entonces:

[ ] )()( xfdxxfdxd = La derivación es la

“inversa” de la integraciónEstas dos ecuaciones permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra en el siguiente resumen:

SONIA MARITZA MENDOZACALCULO INTEGRAL



Ejemplos 1. La velocidad se expresa como

vdtdy = para calcular a y se aplica la

antiderivada: dtvdy .= entonces ∫ ∫= dtvdy .

luego : y = ∫ dtv.La aceleración en pies/seg2 se expresa como: a = 32 y la velocidad es la antiderivada de la

aceleración, luego adtdv = si despejamos a dv

podemos obtener la velocidad: ∫ ∫= dtadv .

esto es: ∫= dtav .Ejemplo 2.. Un auto se mueve con velocidad constante de 40 m/s. ¿Cuál es la posición s(t) para un tiempo t, si en t=1 segundo el auto se hallaba en s= 10m? Solución. Se debe encontrar una ecuación para s(t) a partir del hecho d que v(t) =40; como

dtdstv =)( , tenemos: 40=

dtds

Si se sabe que la derivada de s(t) es 40, ¿cuál será entonces s(t)? A partir de la derivada se aplica la fórmula (2) para obtener que la antiderivada general es s(t) = 40t + C (la cual se

puede verificar derivando s(t) deducir que s(t)´= 40)¿Cómo se sabe el valor de c? La información adicional s(1) = 10 significa que en el tiempo 1 segundo la posición era 10 m, es decir: 10 = 40(1) + C, de donde c= -30. Por lo tanto s(t) = 40t – 30Siempre que se tiene una condición inicial como el ejemplo anterior, es posible determinar una antiderivada particular.

La ecuación )(xfdxdy

= con y0 = f(x0), se llama

problema de valor inicial y consiste en encontrar y = f(x) que satisfaga las condiciones dadas.Ejemplo 3. La aceleración de dv / dt de cierto automóvil deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad del

automóvil. Solución. )250.( vkdtdv −=

ACTIVIDAD

1. Llevar a clase las formulas básicas de integración.

2. Completar la siguiente tablaIntegral original

Reescribir Integrar Simplificar

3. Compruebo que axax

axf

−+= ln

21)( es una

antiderivada de 221)(xa

xf−

=

4. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) está dada por 2x – 1. Si f(0)=1 halle la función f(x).




5. Determinar si el enunciado es falso o verdadero. Si es falso, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre.

a. Cada antiderivada o primitiva de una función polinómica de n grado es una función polinómica de grado (n+1)

b. La antiderivada o primitiva de f(x) es única.c. Si f´(x) = g(x) entonces ∫g(x) dx = f(x) + c.

6. Encuentre la antiderivada más general de la función dada:

7. Evaluar las siguientes integrales indefinidas y comprobar el resultado por derivación

8. EJERCICIOS DE APLICACIÓN: A. Se arroja hacia arriba una pelota, con

velocidad de 48 pies/s desde el borde de un acantilado a 432 pies sobre el fondo. Calcule su altura sobre el fondo a los t segundos después. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo llega al fondo?

B. Una moneda se deja caer desde un edificio y toca el suelo en 6 segundos. ¿Cuál es la altura del edificio?

C. Un objeto, en caída libre, se mueve con aceleración -9.8 m/s2.a. Encuentre una ecuación para la

velocidad suponiendo que v(0)=0.b. A partir de la ecuación para v(t)

encuentre la ecuación de s(t), suponiendo que el objeto cae desde una altura de 10 m (s(0)=10).

D. Una partícula, o punto material, se mueve en línea recta y su aceleración está expresada por a(t) = 6.t + 4. Su velocidad inicial es v(0) = -6cm/s y su desplazamiento inicial s(0) = 9cm. Determine su función de posición, s(t).

E. Un balón se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 64 pies por segundo, desde una cima ubicada a 96 pies de altura.a) ¿A qué altura se encuentra el balón a los

t segundos?b) ¿En qué instante alcanza su altura

máxima?c) ¿A qué altura del suelo sube el balón?d) ¿En qué instante toca el balón el suelo?

F. Una lancha de motor se aleja del muelle a lo largo de una línea recta con una aceleración al tiempo t dada por a(t) = 12t – 4 pies/seg2. En el tiempo t = 0 la lancha tenía una velocidad de 8 pies/s y se encontraba a 15 pies del muelle. Calcular la distancia S(t) al embarcadero al cabo de t segundos.

EL ÉXITO NUNCA ESTÁ ANTES QUE EL ESFUERZO, NI

SIQUIERA EN EL DICCIONARIO.




ECUACIONES DIFERENCIALES.

Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), se caracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente.

Diferenciales.Si es la derivada de la función , a partir de esta podemos construir una nueva función:

(A)donde representa cualquier número arbitrario diferente de cero.

A esta nueva función le llamaremos función diferencial de

Ejemplos:

1. La función diferencial de es:

2. La función diferencial de es : 3. La función diferencial de es:


Pero si en esta última función diferencial sustituimos por su valor, tendremos: de manera que (A) podría expresarse también así:

(B)

o también así: , si por lo tanto los diferenciales de los ejemplos anotados líneas arriba quedarían finalmente así:


2. La función diferencial de es : 3. La función diferencial de es:

4. La función diferencial de es: En general,

(C)

donde, si , entonces o también y por lo tanto (C) puede

también escribirse de la siguiente manera:




Ejemplos:

1. Si , entonces (haciendo , con ;

y aplicando ( C ) )

2. Si , entonces (haciendo , con ,

y aplicando (C) )

3. Si , entonces (haciendo , con ; y aplicando ( C ) )

Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver E.D.O, entre los métodos se encuentra:

Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma:)().( yNxM

dxdy =

Las cuales se puede resolver así: Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente

queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable. Por tanto:

dxxMyNdy )()(

=

Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.

ACTIVIDAD:(1).Escriba una ecuación diferencial que sea un modelo matemático de la situación

descrita.a. La tasa de cambio de una población P con respecto al tiempo t es proporcional a la

raíz cuadrada de P.b. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la velocidad de un bote costero de motor

es proporcional al cuadrado de v.c. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la tasa de cambio con

respecto al tiempo del número N de personas que han oído un cierto rumor es proporcional al número de las que todavía no lo han oído.

d. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de personas que han contraído cierta enfermedad es proporcional al producto del número de personas enfermas y el número de las que no lo están.




Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:

ORDEN 1: Y´=2x

ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0

ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex

ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx

Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial Y´ = 6x 2 – 5 Tiene solución F (x) = 2x3 - 5x + C

Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x3 – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo

Para la ecuación diferencial f´(x) = 2x -1, se le determina la solución general la cual es f(x) = x2 –x +C, la cual C puede ser cualquier constante, lo que significa que tiene infinitas soluciones, pero si se estipula que la función f(x) debe cumplir la condición f(1) = 3, o en forma equivalente que la grafica de f debe pasar por el punto (1,3). Entonces, usando la condición sobre la solución general f(x)=x2–x +C, vemos que: f(1) =(1)2 –(1) +C = 3Por lo anterior C = 3. Así la solución particular es: f(x) = x2 –x +3La condición f(1) = 3 es un ejemplo de condición inicial. En general, una condición inicial es una condición impuesta sobre el valor de f en un punto x=a.

ACTIVIDAD:a. Determinar la función f si se sabe que f´(x) = 3x2 – 4x +8 y f(1) = 9b. La circulación actual de la revista Señales es de 3000 ejemplares por semana. Se espera

que la circulación aumente a razón de 4+5t(2/3) ejemplares por semana, t semanas a partir de hoy, durante los próximos tres años. Con base en esta proyección, ¿cuál será la circulación de la revista dentro de 125 semanas?

c. Un fabricante sabe que el costo marginal correspondiente a la producción de x unidades de cierto componente de una fotocopiadora está dado por 30 – 0.02x. Si el costo de producir una unidad es de US $35 dólares. ¿Cuál será el costo de producir 100 unidades?


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