CÁLCULO 2CÁLCULO 2

La Antiderivada y La Integral Indefinida.

Departamento de Ciencias

Temperatura del Cuerpo 8°C

Temperatura del Refrigerador= 5°C

¿Qué pasa con la temperatura del cuerpo?

Ley de Enfriamiento de Newton

El calor transferido hacia el cuerpo o viceversa es

Si la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande

( )adT

K T tdt

¿Cuál es la altura h(t) del agua en cualquier instante de tiempo t ?

Si la altura disminuye a razón de:

dh 1 t20

dt 25 50

Vaciado de un Tanque

Se Conoce PidenRC de la temperatura de un cuerpo Función Temperatura

Razón de cambio de la altura Función Altura

¿Qué tienen en común?

Respondemos:

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante

resuelve problemas vinculados a la

gestión e ingeniería a partir de

Ecuaciones Diferenciales (ED) con una

condición inicial, usando el cálculo de las

integrales inmediatas y las reglas básicas

de integración indefinida.

Distancia Velocidad

Ingresos Ingresos Marginales

Costo Costo Marginal

Población Razón de Crecimiento de la población

Derivada

AntiderivadaAntiderivada

1. Antiderivada

Ejemplo 1: 2( ) 3 f x xPara , la función: es una3( ) F x x

antiderivada, pues:

'3 2'( ) =3 ( )

'( ) ( )

F x x x f x

F x f x

( ) ( ) para todo F x f x x I

Una función F recibe el nombre de primitiva o

Antiderivada de f en un intervalo I si:

2( ) 3f x x

31( ) +1 F x x

32 ( ) +2 F x x

33( ) - 1 F x x

34 ( ) - 2 F x x

+C;

C es una costante cualquieraiF x x 3( )

Son antiderivadas

De la misma forma, son antiderivadas las siguientes funciones:

Puesto que:

2'( ) 3 ( )

'( ) ( )

iF x x f x

F x f x

Significado geométrico:

Si es una antiderivada de en I , cualquier otra

antiderivada de f en I es una curva paralela al gráfico de

( )F x C

Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada general de f sobre I es:

( )F x ( )f x( )y F x

Teorema Teorema

Donde:C es una constante

2. Interpretación Geométrica

Miembros de la familia de Antiderivadas de

23x

3x3x 1

3x - 13x - 2

de es es

Dando valores a la constante C, obtenemos una familia de funciones

cuyas gráficas son traslaciones verticales de una a otra.

2( ) 3f x x 3( )F x x C

x

y

Del Ejemplo 1, la antiderivada general

2( ) 3f x x

Las primitivas difieren en una constante Las primitivas difieren en una constante

Integrando Derivando

3. La Integral Indefinida

( ) ( )f x x C)d F(x

Constante de Integración

Variable de IntegraciónSímbolo de

Integral

Diferencial de x

( ) ( )f x dx F x C

La Integral Indefinida de una función f(x) es la

antiderivada general de la función.

F es una antiderivada de f en un intervalo

Conclusión:

NOTACION NOTACION

(4 )(.1. ( ) ( ) ))) (( )( fx x g x xg x d dx dxf

f x d x fC dC x x ( ) ( ) (4 ). (2 ).

( ) ( ) ( ) ( )A Af x g x dx f x dx xB dxB g

Las constantes pueden salir y entrar del signo de la integral indefinida.

La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las integrales indefinidas.

4. Propiedad de Linealidad

5. Integración Inmediata

Integrales Inmediatas

dx x c 1

1

nn xx dx c

n

1ln | |dx x c

x

x xe dx e c

ln

xx aa dx c

a

cossenxdx x c cos xdx senx c

2sec tanxdx x c

2sc cotc xdx gx c 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

sec tan secx xdx x c csc t cscxco xdx x c tan ln | cos | ln | sec |xdx x c x c

t ln | se |co xdx nx c sec ln | sec tan |xdx x x c

c ln | c t |cs xdx cs x co x c

2 2

1 xdx arcsen c

aa x

Encontrar las siguientes Integrales:

EJEMPLOS:

Ejemplo:

2

4

df xx

dx (0) 5f

Ecuación Diferencial Condición Inicial

6. Ecuación Diferencial (ED)

Es aquella condición que se expresa 0 0( )f x yCondición Inicial:

Esta condición permite determinar la Solución Particular de la ED.

Resolución de EDEjemplo:

2 1

2

dfx

dx x

Resolver la siguiente Ecuación Diferencial

Esta solución se denomina Solución General pues depende de una constante C

Para resolverla se integra ambos miembros, obteniendo:

3

( )3

xf x x C

Si: (0) 5f

Se reemplaza la CI en la SG:3

( )3

xf x x C

Obteniendo:30

(0) 0 5 53

f C C

La solución particular es:3

( ) 53

xf x x

Se tiene un tanque con área seccional constante de 50 m2 y un agujero de un área seccional constante de 0.05 m2, localizado en la parte inferior del tanque.

h

El tanque se llena con agua hasta una altura de h metros y se deja vaciar, la altura del agua disminuye a razón:

120 ,

25 50

dh t

dt

Determinar la altura del agua en cualquier instante t.

7. Problema: Vaciado de un Tanque

Ecuación Diferencial

Si su altura es de 5 metros.

Condición Inicial

Pasos para Resolver la ED:

( ) ( )y x x x C)f d F(

En equipos de 4 estudiantes desarrollar los ejercicios indicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3.

TRABAJO EN EQUIPO

# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL

1515.33 PURC

PURCELL, EDWIN J.

Cálculo Diferencial E Integral

Pearson Educación

2515

STEW/P 2007

STEWART, JAMES

Cálculo De Una Variable:

Transcendentes Tempranas

Thomson Learning

3 515.15/LARS

LARSON, RON Cálculo Mcgraw-Hill

BIBLIOGRAFÍA