computer vision: three dimensional data from geometría de ... · una ecuación condicional para x...
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Geometría de las superficies
Klette, schluns, koschanComputer vision: three dimensional data from
images
Cap 3
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Representaciones funcionales
Representación medianteuna ecuación condicionalpara X e Y en un rango M.
Admite múltiplessoluciones
Representación funcional,solución única pero existensingularidades en las que noestá definida.
Modelo de facetas, basado en laecuación de pendiente-intercepción. Define un plano en3D de pendiente que depende dep y q. La intercepción con el ejeZ es en el punto (0,0,r).
Define una aproximación lineal ala superficie.
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Reconstrucción de la superficie
Es posible recuperar la superficie a partir del campo vectorial dado por susderivadas parciales
El conjunto de todas lasantiderivadas de una campovectorial es una integralindefinida, que corresponde ala superficie caracterizada porel campo, salvo unaconstante. Z(X,Y) es unaantiderivada del campo si secumple la condición deintegrabilidad (el campo esconservativo).
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Camino de integración
Existencia de una superficie(antiderivada) para el campovectorial (gradiente) condicionada aque se cumpla la condiciòn de laintegrabilidad.
∂∂ ∂
∂∂ ∂
2 2Z X Y
X Y
Z X Y
Y XX Y
, ,; ,
( )=
( ) ( ) ∈M
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Normales y gradientesPlano tangente a un punto de la superficie P=(X,Y,Z(X,Y)): plano incidente a lasuperficie en P y perpenticular a la normal.
Normal unitaria
Vector gradiente en (X,Y).
Un orientation edge es una curva sobrela superficie a lo largo de la cual existeuna discontinuidad de las normales.
La normal unitaria caracteriza univocamente laorientación de la faceta o plano tangente a lasuperficie en el punto dado.
La derivada direccional es la derivadaa lo largo de una dirección en el planoXY, caracterizada por un ángulo α.
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Gradiente de un vector
Vectores paralelos tienen el mismo gradiente, por lo que una línea puede caracterizarse por un vector unitario.
Plano en R3Ecuación de intercepción de la pendiente
Normal al plano Normal unitaria
Gradiente del plano.
Derivada direccional del plano
Un borde de orientación (orientation edge) es una curva sobre la superficie 3D tal que existe unadiscontinuidad de las normales en todos sus puntos. No depende de la visualización.El rim de un objeto respecto de una proyección (vista, visualización) concreta se define como elconjunto de puntos en los que la normal de la superfice es ortogonal al rayo de proyección.Define las fronteras de oclusión en la imagen.
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Aproximación lineal
Expresión general parafunciones unarias
Aproximación lineal para funciones de dos argumentos
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Esfera y ángulos sólidosEcuaciones de los puntos en una esfera de radio r:
Partes visible e invisible de la esfera.
En la esfera gausiana (r=1) los puntospueden especificarse por doscoordenadas angulares: slant (σ)angulo al eje z y tilt (θ) ángulo al ejex.
Cada punto representa una normalunitaria.
Normal en la parte visible
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La intersección con un plano queatraviesa el centro de la esfera da lugara hemiesferas gausianas.
La intersección de dos circulos definecuatro lunas esféricas de area:
Ángulo sólido Ω:(steradianes): ratiode la superficie de la esfera alcuadrado del radio.
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Ángulo sólido subtendido por una superficie(plana) A en una esfera de radio r.
dA elemento infinitesimal de superficie.
P vector posición del elemento desuperficie.
n normal de dA.
Ángulo sólido bajo el que dA se ve desde el origen de la esfera.
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Problema general dereconstrucción
• Una vista particular da una reconstrucción2-1/2D dada por mapas de profundidad,altura o de gradientes.
• El registro de los distintos mapas generadosbajo distintas vistas los pone en relación.
• La integración de los mapas registrados dala reconstrucción de la forma.
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Dado el origen de proyección
El rayo de proyección que pasa por elpunto Q=(x,y,f) del plano imagen
Para el caso de proyección paralela
Definición de proyección: Un punto P=(X,Y,Z) de la superficie se proyecta enun punto del plano imagen p=(x,y) si existe un rayo de proyeción queintersecta la superficie por primera vez en el punto P=(X,Y,Z): para el menort≥f tras pasar por el punto Q=(x,y,f) de la imagen.
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Mapa de profundidad: proporciona para cada punto de la imagen lacoordenada Z del punto original.
El mapa de alturas se define en relación aun plano de fondo de altura cero paralelo alplano imagen. El mapa H(x,y) da la altura, respecto del plano de referencia, del punto.
Los mapas de profundidad están definidos sobre una malla y puedenvisualizarse como imágenes (blanco corresp. mayor dist.)
La imagen de rangos (range image) es un mapa de la distancia al plano imagen,lo que es geométricamente equivalente a un mapa de profundidad, en lo que serefiere a la distancia euclídea.
El mapa de gradientes presenta los gradientes (p,q)T de la superficie en el punto dela superficie P=(X,Y,Z) cuya proyección es el punto de la imagen (x,y). Puedenrepresentarse mediante dos imágenes monocromas p(x,y), q(x,y).
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Retroproyección (backproyection) es la proyección inversa desde la imagen al espacio 3D
Retropoyeccion de una faceta en el plano Z=pX+qY+r.
Las coordenadas de un punto visible (X;Y;Z) pueden obtenerse a partir de (1) lacoordenadas imagen, (2) los parámetros de la faceta p(x,y); q(x,y) y r(x,y) y (3) ladistancia focal f efectiva.
Todos los puntos visibles cumplen:
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Visualización de mapas de gradientes:
La normal a la superficie serepresenta normalizada.
Puede representarse enformato vectorial o como unpar de ángulos slant y tilt.
Para cada punto se calcula,dependiendo de larepresentación, elincremento que da la lineadel diagrama.
Para evitar la saturación dela representación se suelesubmuestrear la imagen paradeterminar los puntos queson representados.
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Mapas de profundidad a partir de mapas de gradiente
Es el factor de escala local en la recuperación de la posición.
Las superficies no pueden tener discontinuidades (C(1)). El factor de escala en larecuperación de la profundidad depende de la distancia focal y los gradientes dela superficie.
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Para imágenes creadas mediante proyección ortogonal la reconstrucción se puedehacer a partir de los gradientes con un error aditivo constante:
Un algoritmo razonable, conocidos los gradientes en cada punto y la profundidadasociada a un punto de la imagen, consiste en propagar los valores de profundidadutilizando los gradientes y siguiendo caminos de integración redundantes. Estastécnicas se denominan de integración local.
Se requiere que los puntos de la imagen estén en la misma superficie continua C(1).
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Algoritmo de Frankot-Chelappa
Asume una superficie Z=Z(X,Y) en C(2). Se asume proyección ortogonal(paralela) x=X, y=Y, y se busca un mapa de profundidad Z=Z(x,y).
Se trata de un algoritmo global que minimiza un error de reconstrucción.Sean las pendientes actuales en la superficie:
Son las aproximaciones calculadas
Restricción de integrabilidad
Función objetivo a minimizar
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geometríaFrankot-Chelappa (cont.)
Expansión de Fourier de la superficie.
Los mismos coeficientes son la expansión de las derivadas sobre una base de derivadas.
Para las aproximaciones se considera también la expansión de Fourier, concoeficientes desconocidos.
Estos coeficientes se pueden obtener a partir de la expansión:
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Este teorema establece una técnica de integración global para la construccióndel mapa de profundidad a partir de las estimaciones de las funciones gradiente.
La solución es óptima en el sentido de minimizar el funcional de error, perosólo produce una función de altura relativa hasta una constante aditiva, quecorresponde a la parte real de Z(F)(0,0). Pero este valor no puede ser calculadoporque la función H(u,v) es singular en este punto.
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Simplificando la expresión del teorema 3.5
Escribiendo como números complejos:
La transformada H(u,v) de la superficie se obtiene
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Elimina los gradientes demasiado altosque corresponden a normalesortogonales al eje óptico (superficies novisibles).
Resuelve la ecuacióndeducida a partir del teorema
Invierte la transformada pararecuperar la superficie y añade laaltura promedio dada por H(0,0).
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Escena, mapa de gradiente como unmapa de agujas, resultados delalgoritmo de Frankot-Chelappa unplot de contornos, una superficiesombreada, una textura lambertiana yuna representación mallada.
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El espacio gradiente
El espacio gradiente es el plano euclideo R2 con coordenadas p y q. Un punto(p,q) especifica una posición de gradiente en ese plano. Corresponde a la familiainfinita de planos con el mismo gradiente pero distinta intercepción (0,0,r).
El vector denota el gradiente de superficie correspondiente a unanormal dada:
Se cumple la siguiente relación por definición:
El espacio gradiente tiene el inconveniente de que las diferencias angulares entrelas normales no se relacionan linealmente con las distancias (diferencias) en elespacio gradiente. La distancia entre normales no se preserva en el espaciogradiente.La esfera Gausiana es una representación más adecuada en este sentido.
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Esfera Gausiana
Normal unitaria: de normaunidad
El punto en la esfera Gausiana determinado por la normal unitaria
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Proyección estereográfica
Asume que el centro de la esfera Gausiana está en coordenadas (0,0,1).
En proyección polar, el centro de proyecciónes el centro de la esfera. El plano fg deproyección es tangencial al polo sur de laesfera.En proyección estereográfica, el centro deproyección es el polo norte. Permiteproyectar toda la superficie de la esfera en unplano, excepto el polo norte.
Supongase un par de valores de gradiente
Valores de gradiente para una normal
La proyección en el plano fg se calcula:
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Propiedades del espacio gradienteSean dos planos ortogonales,cuyas normales también lo son.
De donde:
Conocido un gradiente, el otro está constreñido a una recta en el espacio gradiente:la linea recta dual (dual straight line) g, que cumple:A- No interseca el cuadrante en el que está el punto (p1,q1) conocido.B- es ortogonal a la linea que pasa por el origen y (p1,q1).C- Las distancias entre (p1,q1) y el origen, y la recta g y el origen son reciprocas.Toda linea en el plano pq determina un punto dual (p1,q1).
Propiedad 1
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Propiedad 2
Considera dos caras vecinas de un poliedro, o dos facetas vecinas, su borde linealy sus gradientes en el espacio pq.
La linea que pasa por lasposiciones (p1,q1) y (p2,q2)es una linea recta g en elespacio pq, definida por:
El producto cruzado de las normales es paralelo a G.
La proyección G’ de G en el espacio XY es paralela a
Las lineas G’ y g son ortogonales
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Propiedad 3Distinción entre bordes orientados cóncavos y convexos en poliedros.
EA y Ec son coplanares. Las caras EA
y EB forman un borde orientadoconvexo PQ. Las caras EA y ED
forman un borde orientado cóncavoPQ.
EA y Ec tienen la mismarepresentación A=C en el plano pq.
Por la propiedad 2, lasrepresentaciones A,B,D caen en unalinea g ortogonal a la proyecciónparalela a PQ.La semirecta AB es el lugar en el plano pq de
los planos que forma bordes orientadosconvexos con el plano EA, Ec. La semirectaAD es el lugar de los planos que formanplanos orientados cóncavos.