FUNCIÓN EXPONENCIALDÍA 30 * 1º BAD CS

FUNCIÓN EXPONENCIAL• Se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL a la expresión:• y = ex f (x) = ex • Es decir una potencia donde la base es el número “e” y el

exponente la variable “x”. El número “e” es el número irracional de valor e = 2,718281

• Funciones exponenciales son también:• f(x) = ax , donde a debe ser un número positivo.• g(x) = ef(x) , donde el exponente es otra función.• h(x) = af(x) , donde a > 0 y el exponente es otra función.• En general funciones exponenciales son todas aquellas potencias

donde la variable independiente, x, forme parte del exponente.

• f (x) = [g (x)] h(x) se llaman funciones polinómico-exponenciales.

• Sea y = ex

• Tabla de valores

• x y

• -4 0,018• -3 0,050• -2 0,135• -1 0,368• 0 1• 1 2,718• 2 7,389• 3 20,085 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

La función exponencial

Gráfica

Características

• DOMINIO: Dom f(x) = R

• RECORRIDO: Img f(x) = R+ , (0, +oo)

• Es una función continua en R.

• Es creciente en R

• Pasa por el punto (0, 1)• (Corte con eje de ordenadas)

• Cuando los valores de x se van haciendo más y más negativos, el valor de y tiende a ser cero. La gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas.

• Decimos entonces que el eje de abscisas, y = 0, es una ASÍNTOTA de la función.

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

Gráfica

y = ex

Pc(0, 1)

La función exponencial y=2x

• Sea y = 2x

• Donde la base, a, vale 2.• Muy importante: Siempre a > 0

• Tabla de valores

• x y

• - 4 1 / 16• - 3 1 / 8• - 2 1 / 4• - 1 1 / 2• 0 1• 1 2• 2 4• 3 8

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

Gráfica

8

4

2

• Sea la función exponencial • f (x) = 2x

• Está representada en color NEGRO

• La base es un número y el exponente es la variable independiente.

• Sea la función polinómica • f (x) = x2

• Está representada en color ROJO

• La base es la variable independiente y el exponente es un número.

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

La función exponencial y=2x y la función cuadrática y=x2

f (x) = 2x

f (x) = x2

8

4

2

1

9

La función y = (1/2)x

• Sea y = (1/2)x • Donde la base, a, vale ½ .• Muy importante: Siempre a > 0

• Tabla de valores

• x y

• - 4 16• - 3 8• - 2 4• - 1 2• 0 1• 1 1/2• 2 1/4• 3 1/8 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

Gráfica

8

4

2

• Sea la función: f(x) = ax

• La diferencia más importante de las funciones con ( 0 < a < 1 ) y a > 1 , es el CRECIMIENTO.

• Si 0 < a < 1

• La función es DECRECIENTE.

• Si a = 1

• La función es CONSTANTE

• f(x) = 1 No es f. exponencial.

• Si a > 1

• La función es CRECIENTE.- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

f(x) = (1/2)x

f(x) = 2x

Características de y = ax

• Sea la función: f(x) = 3x-2

• Tabla de Valores:

• x f(x)

• -1 1/27

• 0 1/9

• 1 1/3

• 2 1

• 3 3

• 4 9

• Al ser la base a=3 > 1

• La función es CRECIENTE.

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

f(x) = 3 x- 2

Ejemplos de otras funciones

1

• Sea la función: f(x) = 3 – 2 - x

• Tabla de Valores:

• x f(x)

• - 3 3 – 8 = - 5

• - 2 3 – 4 = - 1

• - 1 3 – 2 = 1

• 0 3 – 1 = 2

• 1 3 – ½ = 2,5

• 2 3 – ¼ = 2,75

• 3 3 – 1/8 = 2,875

• 4 3 – 1/16 = 2,9375

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

f(x) = 3 – 2 - x

Ejemplos de otras funciones

2

3

1

• Nota:

• La función y=2–x equivale a y=(1/2)x

• Al ser la base 0<1/2<1 la función es decreciente.

• Pero al estar precedida por el signo “–” se vuelve creciente como se aprecia en la gráfica.

• Finalmente el 3 sumando hace que tenga un desplazamiento vertical.

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

f(x) = 3 – 2 - x

Proceso gráfico función anterior

1

f(x) = 2 - x

2

f(x) = – 2 - x

- 1

y = 2x

• Sea y = 2x

•

• La función y = 2x - 3 será idéntica a y = 2x, aunque trasladada 3 unidades abajo.

• La función y = – 2(x - 1) será idéntica a y = 2x, aunque trasladada 1 unidad a la derecha e invertidos sus valores.

y=2x

y=2x - 3

y= – 2 (x – 1)

y=2 (x – 1)

Declive de un valor

• Digamos que comenzaste un pequeño negocio y compraste una camioneta nueva para hacer entregas.

• La camioneta tuvo un costo de 25.000 € y de acuerdo a la ley de impuestos, te es permitido depreciar su valor por 15% por año.

• Esto significa que después de la depreciación del primer año, el valor de la camioneta será de solamente 85% de su costo original, o 21.250 €.

• La fórmula: y = 25000.(1 – 0,15)x y = 25000.(0,85)x

• predecirá el valor de la camioneta después de x años de depreciación a 15% por año.

• Tenemos y = 25000.(0,85)x • 1. ¿Disminuye el valor de la camioneta la misma cantidad cada año?• No, pues aunque disminuye siempre el 15%, lo hace sobre cantidades

diferentes.• 2. ¿Cuándo es mayor la caída en valor?• El primer año, por ser mayor el valor inicial.• 3. ¿Cuándo es menor la caída en valor?• Nunca, pues por muchos años que pasen siempre quedará algún

valor.• 4. ¿No tendrá ningún valor la camioneta en algún momento, de

acuerdo a este modelo?.• El resultado nunca puede ser 0.• 5. ¿Tendrá la camioneta en algún momento un valor negativo, de

acuerdo a este modelo?• El resultado nunca puede ser negativo.• 6. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que su valor fiscal sea de

5.000 €, de acuerdo a este modelo?• y = 25000.(0,85)x 5000 = 25000.(0,85)x

• 5000/25000 = 0,85x 0,2 = 0,85x ln 0,2 = x.ln 0,85• ln 0,2 - 1,609437• x = -------------- = ---------------- = 10 años aproximadamente• ln 0,85 - 0,162519

La desintegración radiactiva.

• Los elementos radiactivos se desintegran transformándose en otros diferentes. Supongamos que tenemos una sustancia radiactiva que se desintegra reduciéndose a la mitad cada año. A este tiempo se le llama periodo de semi-desintegración.

• Calcula la cantidad que queda según los años transcurridos:

• Tiempo (en años) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • Kilos de sustancia 1 0’5

• Elabora una función exponencial que nos de en todo momento la cantidad de material en función del tiempo.

La población mundial

• Un grupo de expertos en demografía tras estudiar el crecimiento de la población mundial, ha establecido que esta población, y, en función del año correspondiente, x, puede expresarse según la siguiente ecuación:

• y = 100,00389.x+2

• a) Dibuja la gráfica de esta función.• b) ¿En qué año la población alcanzó los mil millones?.• c) ¿Y los 3 mil millones?• d) Del mismo modo calcula en que año alcanzará los 6

mil millones de habitantes.

Pandemia• En una población hay inicialmente 20 personas con la gripe Z. En

una semana el número de personas es de 300. Se sabe que la supuesta pandemia sigue una ley exponencial. ¿Cuántas personas estarán infectadas al cabo de un mes de no ponerse remedio?. ¿Y en un año?.

• N = No.kx

• Inicialmente 20 = No. K0 20 = No.1 No = 20• En una semana x=1 300 = 20.k k = 15

• En un mes x = 4 N = 20. 154 = 20.50625 = 1012500

• En un año x = 54 N = 20. 1554 = 3,44.1064