funciÓn definidas por partes - fio.unicen.edu.ar · la función parte entera, se denota de la...

Escuela Nacional Adolfo Pérez Esquivel – U.N.C.P.B.A. 3º año

Más sobre Funciones…

Ing. María Beatriz Bouciguez - 1

FFUUNNCCIIÓÓNN DDEEFFIINNIIDDAASS PPOORR PPAARRTTEESS Los valores que toma una función pueden estar definidos por medio de una fórmula pero también por varias fórmulas. En este último caso se dice que está definida por partes ó por tramos o es una función partida porque para definirla se necesitan distintas fórmulas para distintos subconjuntos del dominio (intervalos de la variable independiente). El dominio R de la función se parte en subconjuntos disjuntos.

Ejemplo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⟩+≤⟨+≤

1 x si 10x-1 x 1- si 72x1- x si 5

FFUUNNCCIIÓÓNN PPAARRTTEE EENNTTEERRAA La función parte entera, se denota de la siguiente manera:

( ) [ ]xxf = Está definida por: [ ] 1+<≤= nxnsinx , donde n es un número entero ( Nn∈ ).

ZfRfDom == Im;

FFUUNNCCIIÓÓNN EESSCCAALLOONNAADDAA Problema: Una empresa paga los sueldos a sus vendedores según el siguiente criterio: un vendedor nuevo comienza con un sueldo de $ 600; cada año de antigüedad en el puesto, su salario se incrementa en $ 100. ¿Cuál es el sueldo de un empleado que tiene un año de antigüedad?, ¿y cuando la antigüedad es de un año y medio? ¿Cuál es la gráfica que puede usarse para representar el salario en función del tiempo de antigüedad?

Como el sueldo aumenta al momento de cumplirse cada año nuevo y se mantiene constante durante todo su transcurso, la gráfica resulta escalonada.




En casos como este la función lineal no es adecuada para representar la situación, porque los incrementos no son proporcionales al tiempo transcurrido. La gráfica resulta “escalonada”. En general, el dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales o un subconjunto de él y la imagen es el conjunto o un subconjunto de los números naturales o enteros.

FFUUNNCCIIÓÓNN MMAANNTTIISSAA La función mantisa, se denota de la siguiente manera:

( ) [ ]xxxf −=

Indicar dominio e imagen de esta función

FFUUNNCCIIÓÓNN SSIIGGNNOO DDEE XX La función mantisa, se denota de la siguiente manera:

( ) ( )xxf sgn= Está definida por:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<−

=010001

sgnxsixsixsi

x

Indicar dominio e imagen de esta función

FFUUNNCCIIÓÓNN MMÓÓDDUULLOO OO VVAALLOORR AABBSSOOLLUUTTOO

Recordar: definición de valor absoluto. Dado un número real x, se define como valor absoluto ó módulo x a la distancia de x a 0.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⟨

=≥=

-x x 0 x

x 0 x

si

xsix

Considerando la función ( ) xf =→ xfR/ R : , esta función se llama “función módulo” y se

define por partes.

( )⎩⎨⎧

⟨≥

==0 x six -0 x si x

xxf

Gráficamente




El conjunto imagen de esta función es ( ) [ )∞= ;0Im xf , lo cual lo relaciona con una propiedad ya conocida: el módulo de cualquier número real es un número real positivo o cero. La gráfica de la función resulta simétrica respecto del eje y, es una función par.

FFUUNNCCIIOONN PPOOLLIINNÓÓMMIICCAA

Función polinómica de grado n es una función de la forma

P(x) = an xn + an-1 xn – 1 + ... + a2 x2 + a1 x1 +a0

Donde n es un número entero no negativo y an ∫ 0

Los números reales a0, a1, a2, ... , an se llaman coeficientes del polinomio.

El número real a0 se llama término independiente o coeficiente constante.

A an se lo llama coeficiente principal y an xn es el término principal.

Recordando… Para realizar el análisis de las funciones polinómicas deberás repasar los contenidos abordados en 2º año: Factorización de polinomios Método de Gauss para la búsqueda de raíces racionales de un polinomio entero.

TTeeoorreemmaa FFuunnddaammeennttaall ddeell ÁÁllggeebbrraa

Si un polinomio está expresado como producto de otros polinomios, las raíces de éstos son las raíces de P(x)

Ejemplo

Polinomio expresado como producto Raíces reales Cantidad de raíces reales

( ) ( ) ( ) ( )3212 +−−−= x.x.x.xP 321 −=== x;x;x Tres

( ) ( ) ( ) ( )99735

−−−= x.x.x.xQ 97 == x;x (raíz doble) Tres

( ) ( ) ( ) ( )666 +++= x.x.xxR 6−=x (raíz triple) Tres

( ) ( ) ( )131311 2 +−= x.xxS 3=x Una

Si al escribir un polinomio como producto hay más de un factor que tiene la misma raíz, a esta se la llama raíz múltiple.

Por eso 9=x es raíz doble de Q(x) (se cuentan como dos raíces), y 6−=x es raíz triple de R(x) (se cuentan como tres raíces).




En la tabla anterior figuran raíces reales, pero un polinomio puede tener raíces reales y raíces no reales. Existe un teorema, llamado teorema fundamental del álgebra (TFA) que afirma lo siguiente:

Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales

Ejemplo

1 es raíz de ( ) 1−= xxP porque ( ) 01 =P

2 es raíz de ( ) 82 2 −= xxP porque ( ) 02 =P

0 es raíz de ( ) xxxP −= 3 porque ( ) 00 =P

No existe Ra ∈ raíz de ( ) 92 += xxP pues el polinomio

( )xP no se anula para ningún número real.

Conclusiones:

• El número de raíces de un polinomio está relacionado con su grado.

• Existen polinomios con coeficientes reales que “no poseen raíces reales”

• Todo polinomio con coeficientes reales de grado impar, admite al menos una raíz real

Para poder expresar un polinomio como producto se estudiaron las técnicas de factorización

CCoonnsseeccuueenncciiaass ddee llaa ffaaccttoorriizzaacciióónn ddee ppoolliinnoommiiooss

En general se puede afirmar que:

Todo polinomio P(x) compuesto y de grado n, que tenga n raíces reales, puede factorizarse como

( ) ( ) ( ) ( )n21 rx.....rx.rx.axP −−−=

Donde

an es el coeficiente principal de P(x)

r1, … , rn son la n raíces reales de P(x)

RRaaíícceess mmúúllttiipplleess Profundizaremos aquí esta cuestión mencionada más arriba Ejemplo

Hallar las raíces de ( ) 2f x 4x 8x 4= − +

¿-2 también es raíz?

¿Es la única raíz real? ¿Por qué?

( )Ra

09ay9aaP 22

∈∀>++=




Para hallar las raíces de este polinomio se puede factorizar el mismo aplicando casos de factorización o trabajándolo como una ecuación de segundo grado y aplicando la fórmula resolvente.

( ) ( ) ( ) ( )2f x 4 x 1 x 1 4 x 1= − − = − En la descomposición de f(x), x 1= es raíz de los dos factores. Entonces se dice que x 1= es raíz doble de f(x).

En general se puede afirmar que:

Un polinomio ( ) 2f x ax bx c= + + que tiene una raíz doble (r), es de la forma

( ) ( )2P x a. x r= −

Ejemplo

Graficar la función polinómica dada anteriormente ( ) 2f x 4x 8x 4= − +

O bien, ( ) ( )2f x 4 x 1= −

Si un polinomio de grado dos puede expresarse mediante un número por un cuadrado de un binomio, el polinomio tiene una raíz doble. Al haber un solo punto de contacto entre la parábola y el eje x, ese punto debe ser necesariamente el vértice de la parábola.

Es decir,

esta raíz doble representa un rebote de la gráfica de la función en el eje x.

Veamos que sucede con polinomios de otros grados Ejemplo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2= + + + + − − −

O bien,

( ) ( ) ( )4 3g x x 1 x 2= + −

Por lo tanto, x 1= − es raíz doble de g(x) x 2= es raíz triple de g(x) Observando el gráfico de g(x) y el grado de multiplicidad de las raíces

En general, cuando una raíz r tiene:

Grado de multiplicidad impar, el polinomio atraviesa el eje x en x r= .

Grado de multiplicidad par, el polinomio toca pero no atraviesa el eje x; “rebota“ en x r=




Al factorizar un polinomio, descubrimos el grado de multiplicidad de sus raíces. Ejemplo

Hallar las raíces de ( ) 3 2V x x 5 x 7x 3= − + − y el grado de multiplicidad de cada una.

Como los coeficientes son enteros se puede aplicar Teorema de Gauss. Factorizado el polinomio queda expresado de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2V x x 1 x 1 x 3 x 1 x 3= − − − = − −

⇒ x 1= es raíz de multiplicidad 2 de V(x) y x 3= es raíz de multiplicidad uno de V(x).

En resumen: Suponiendo que r es un cero de la función polinómica de multiplicad n. entonces la forma de la gráfica de f(x) cerca de r es como sigue

Atención!!

Si se desea conocer la multiplicidad de una raíz, se debe controlar que el polinomio esté factorizado.

Ejemplo Erróneamente se puede decir que x 6= − es raíz cuádruple del polinomio

( ) ( ) ( )4 2P x x 6 x x 30= + + − .

Pero P(x) no está factorizado. Al factorizar ( ) 2Q x x x 30= + − , se obtiene

( ) ( ) ( )Q x x 6 x 5= + − .

Entonces, ( ) ( ) ( )5P x x 6 x 5= + − .

Ahora P(x) está factorizado y se puede ver que x 6= − es raíz quíntuple de P(x).




TTeeoorreemmaa ddee BBoollzzaannoo

Si P es una función continua en un intervalo [ ]b,a y tiene distinto signo en los extremos del mismo, entonces tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.

( )P a y ( )P b tienen signos opuestos ( )b,ac ∈∃⇒ tal

que ( )P c 0= .

No se demostrará este teorema, pero en la figura se muestra por qué es intuitivamente posible.

Una consecuencia importante de este teorema es que entre dos ceros sucesivos cualesquiera, los valores de un polinomio son todos positivos o negativos. Es decir, entre dos ceros sucesivos la gráfica esta por completo arriba o abajo del eje x.

MMááxxiimmooss yy mmíínniimmooss llooccaalleess ddee uunnaa ffuunncciióónn ppoolliinnóómmiiccaa

Recordar Definiciones de extremos relativos o locales.

Para una función polinómica el número de extremos locales debe ser menor que el grado, como indica el siguiente principio.

Si P(x) = an xn + an-1 xn – 1 + ... + a2 x2 + a1 x1 +a0 es un polinomio de grado n, entonces la gráfica de P tiene a lo sumo n-1 extremos locales.

Esto significa que un polinomio de grado n puede tener de hecho menos de n-1 extremos locales. Por ejemplo, ( ) 5P x x= no tiene extremos locales, aún cuando es de grado 5. El

principio precedente indica sólo que un polinomio de grado n puede tener NO más de n-1 extremos locales.

GGrrááffiiccaass ddee ppoolliinnoommiiooss Las gráficas de polinomios de grado 0 o 1 son rectas, y las gráficas de polinomios de grado dos son parábolas. Mientras mayor sea el grado del polinomio, más complicada será la gráfica. Sin embargo, la gráfica de una función polinómica o polinomial es siempre una curva lisa; es decir, no tiene discontinuidades en las esquinas. La demostración de este hecho requiere cálculo, lo cual no está al alcance de este curso.




Las funciones polinómicas más simples son los polinomios ( ) nP x x= . La gráfica de ( ) nP x x=

tiene la misma forma general que 2y x= cuando n es par y la misma forma general que, 3y x= cuando n es impar. Sin embargo, a medida que el grado de n es más grande, las

gráficas se vuelven más planas respecto al origen y más inclinadas en otra parte.

2xy = 3xy = 4xy =

5xy = 6xy = 7xy =

CCoommppoorrttaammiieennttoo eexxttrreemmoo yy eell ccooeeffiicciieennttee pprriinncciippaall El comportamiento extremo de un polinomio es una descripción de los que sucede cuando x se vuelve grande en la dirección positiva o negativa. Para cualquier polinomio, el comportamiento extremo está determinado por el término que contiene la potencia más alta de x, porque cuando x es grande, los otros términos son de tamaño relativamente insignificante. En el cuadro se muestran los tipos posibles de comportamiento extremo, con base en la potencia más alta y el signo de su coeficiente.




TTrraazzaaddoo ddee ggrrááffiiccaass ddee ffuunncciioonneess ppoolliinnóómmiiccaass

Ceros. Factorizar el polinomio para hallar todos sus ceros reales; estos son las intersecciones con el eje x de la gráfica. Puntos de prueba. Construir una tabla de valores para el polinomio. Incluir los puntos de prueba para determinar si la gráfica del polinomio está arriba o abajo del eje x en los intervalos determinados por ceros. Incluir la intersección con el eje y en la tabla. Comportamiento extremo. Determinar el comportamiento extremo del polinomio. Gráfica. Trazar las intersecciones y otros puntos que haya encontrado en la tabla. Bosquejar una curva lisa que pase por estos puntos y mostrar el comportamiento extremo requerido.

Ejemplo

Bosquejar la gráfica de la función polinómica ( ) ( ) ( ) ( )P x x 2 x 1 x 3= + − −

El domino de la función es el conjunto de los números reales. Los ceros de la función son x 2 ,1, 3= − . Empleando estos puntos de prueba, se obtiene la siguiente información.

Graficando algunos puntos adicionales y conectándolos con una curva uniforme, se obtiene el siguiente gráfico




PPoolliinnoommiiooss ““aa mmeeddiiddaa”” Se pueden inventar polinomios que posean determinadas características. Ejemplos

Inventar un polinomio K(x) que sea de grado cuatro, mónico y que toque pero no atraviese el eje x en x 1= y en x 2= .

Inventar un polinomio P(x) con las siguientes características: Que sea de grado tres; Que su conjunto de ceros sea { }0C 2;3= −

Que atraviese al eje x únicamente en la raíz positiva, y Que su conjunto de positividad sea ( )C 3;+ = ∞

¿Es único el polinomio posible con esas características?

FFUUNNCCIIOONN RRAACCIIOONNAALL.. EECCUUAACCIIOONN RRAACCIIOONNAALL AASSOOCCIIAADDAA

Recordando…

Así como llamamos números racionales a los números de la forma ab

con a y b

enteros (b 0≠ ), llamaron (el año pasado) expresiones racionales a las expresiones de la forma

donde P(x) y Q(x) son polinomios de un sola indeterminada x, siendo Q(x) no nulo.

Ejemplos

3x

es una expresión racional, porque el numerador ( )P x 3= es un polinomio y el

denominador ( )Q x x= también es un polinomio.




2

3 2

9x 2 x 1x 6x 5

− + −+ −

es una expresión racional, porque el numerador ( ) 2P x 9x 2 x 1= − + − es

un polinomio y el denominador ( ) 3 2Q x x 6x 5= + − también es un polinomio.

5

3

3x 7x2x x

++

NO es una expresión racional, porque el numerador ( ) 5P x 3x 7x= + es un

polinomio, pero el denominador ( ) 3Q x 2x x= + NO es un polinomio.

Concepto de función racional Llamamos función racional a las funciones f: A → R tal que

( ) ( )( )

P xf x

Q x=

Donde P(x) y Q(x) son polinomios reales y ( )Q x 0≠

Salvo que se indique otra cosa, debe quedar entendido que el dominio de una función es el conjunto más amplio de números reales para el cual la fórmula tiene sentido.

Como la división por cero no está definida, el dominio de una función racional es el conjunto de todos los valores de la variable independiente que no anulan al denominador.

( )Dom f x A= donde ( ){ }A x R / Q x 0= ∈ ≠

Cuando trabajamos con funciones racionales, como su dominio NO puede ser R, es importante que tener presente constantemente su dominio.

Ejemplo

El dominio de la función ( ) x 7f xx 3+

=−

es ( ) { }Dom f x R 3= −

El dominio de la función ( ) ( )x 5g x

x x 3−

=−

es ( ) { }Dom g x R 0,3= −

El dominio de la función ( ) 2

3x 5h xx 16

−=

− es ( ) { }Dom h x R 4,4= − −

El dominio de la función ( ) 2

3x 11p xx 16

−=

+ es ( )Dom p x R=

El dominio de la función ( )2

3 2

x 1q xx 3x x 3

−=

+ − −

Para indicar su dominio, se debe factorizar el denominador. Para ello, deberás repasar los casos de factorización de polinomios estudiados en 2º año.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2x 3x x 3 x x 3 1 x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1+ − − = + − + = + − = + + −

Extrayendo factor común por grupos y luego factorizando la diferencia de cuadrados ( ) ( ) ( )3 2x 3x x 3 x 3 x 1 x 1+ − − = + + −

Significa que la función se puede q(x) se puede escribir

( ) ( ) ( ) ( )2x 1q x

x 3 x 1 x 1−

=+ + −




Las raíces del denominador son

1x 3= − , 2x 1= − , 3x 1=

Por lo tanto el dominio de la q(x) es ( ) { }Dom q x R 3, 1,1= − − −

Recordando… Simplificación de expresiones racionales Al trabajar con funciones racionales resulta conveniente simplificar las expresiones racionales. Es posible simplificarlas cuando existen factores comunes al numerador y al denominador; de lo contrario, la expresión racional es irreducible

Para poder simplificar deberán primero factorizar los polinomios del numerador y del denominador, para poder encontrar los factores comunes. Para la función q(x)

( )( )x 1

q x+

=( )x 1−

( ) ( )x 3 x 1+ + ( )x 1−1

x 3=

+

Las dos expresiones racionales anteriores son equivalentes. Es más sencillo trabajar con la irreducible, pero sin perder de vista que el dominio de la función es el que quedó determinado a partir de la expresión original

( ) { }Dom q x R 3, 1,1= − − −

RReepprreesseennttaacciióónn ggrrááffiiccaa ddee uunnaa ffuunncciióónn rraacciioonnaall

Estudiaremos una característica que suelen presentar algunas funciones racionales. INTERSECCIONES CON LOS EJES Intersección con el eje y: Ordenada al origen

Recordando… La intersección del gráfico de una función f(x) con el eje y se produce cuando la variable x se anula.

Esto es posible únicamente si x 0= pertenece al dominio de f(x); en caso contrario, no hay intersección

Ejemplo

Considerar la función ( ) 2

x 2f xx 1−

=+

( )Dom p x R=




Como x pertenece al dominio de f, entonces se puede calcular f(0)

( ) 2

0 2f 0 20 1−

= = −+

Por lo tanto, la intersección de la función con el eje y se produce en el punto ( )yP 0, 2= −

Intersección con el eje x: Ceros de la función

Recordando… Las intersecciones del gráfico de una función racional f(x) con el eje x se producen los valores de x que anulan la función, es decir, para aquellos que anulan el numerador y que pertenecen al dominio de f. Estos valores de x, si existen, son los ceros de f(x).

f: A → R / ( ) ( )

( )P x

f xQ x

= , entonces 0x es CERO de f(x) si y sólo si ( )0f x 0= , es

decir ( )0P x 0= , 0x A∈

Ejemplo

Sea ( ) x 1f xx 1+

=−

( ) { }Dom f x R 1= − para hallar los ceros, se resuelve la ecuación

racional asociada x 1 0x 1+

=−

, lo que implica x 1 0+ =

Por lo tanto, la solución de dicha ecuación es x 1= − , como ( )1 Dom f x− ∈ el conjunto de

ceros de f(x) es: { }0C 1= −




Sea ( )2

2

x 2x 1g xx 1+ +

=−

( ) { }Dom f x R 1,1= − −

Para hallar los ceros, se resuelve la ecuación racional asociada 2

2

x 2x 1 0x 1+ +

=−

, lo que

implica 2x 2x 1 0+ + = , ( )2x 1 0+ = , x 1 0+ = , x 1= −

Pero!!! ( )1 Dom g x− ∉ , luego el conjunto de ceros de g(x) es vacío.

0C = ∅

Si se factoriza g(x)

( ) ( ) 22

2

x 1x 2x 1g xx 1

++ += =

− ( )x 1+ ( )x 1x 1x 1+

=−−

Es válida la simplificación pues x 1= − no pertenece al dominio de g(x), luego las gráficas de f(x) y de g(x) son IDÉNTICAS, EXCEPTO EN x 1= − .

ASÍNTOTAS VERTICALES

Consideremos la función ( ) 1f xx

= , cuyo dominio es ( ) { }Dom f x R 0= −

Como no podemos calcular ( )f 0 , analizaremos las imágenes de f(x) para valores de x muy

próximos a cero.

A medida que x toma valores cada vez más próximos a 0 por la derecha ( x 0+→ ), los valores de f(x) son cada vez mayores ( ( )f x →∞ )

( )f 0,0001 10000=

( )f 0,00001 100000=

( )f 0,000001 1000000=

Lo indicamos así Si x tiendo a 0+ ⇒ f(x) tiende a +∞




Si nos acercamos al cero por la izquierda

A medida que x toma valores cada vez más próximos a 0 por la derecha ( x 0−→ ), los valores de f(x) son cada vez menores ( ( )f x →−∞ )

Lo indicamos así Si x tiendo a 0− ⇒ f(x) tiende a - ∞

El gráfico de ( ) 1f xx

= tiene una rama derecha y una rama

izquierda. Si x tiende a 0, cada una de las ramas se aproxima a la recta vertical x 0= (eje de ordenadas). Esa recta es una asíntota vertical de la función.

En general

Si a R∈ es cero de Q(x) y no anula a P(x) ( ( )P a 0≠ ), la recta de ecuación x a= es

una asíntota vertical.

Cuidado!!! La recíproca no es válida.

Ejemplo ( ) 2

xh xx

=

Si el denominador de la fórmula de una función racional no tiene ceros ( ( )Q x 0≠ ),

esa función NO TIENE ASÍNTOTAS VERTICALES. En cambio, si a es cero del denominador y no anula al numerador, la recta de ecuación x a= es una asíntota

vertical. En resumen para el trazo de gráficas de funciones racionales, se debe

Factorizar. Factorizar el numerador y el denominador Intersecciones. Hallar las intersecciones con el eje x determinando los ceros del numerador, y las intersecciones con el eje y del valor de la función en 0x = . Asíntotas verticales. Hallar las asíntotas verticales determinando los ceros del denominador, y luego ver si ∞→y o ∞−→y en cada lado de cada asíntota vertical usando valores de prueba. Asíntota horizontal. Encontrar la asíntota horizontal (si existe) dividiendo numerador y denominador entre la potencia más alta de x que aparece en el denominador; luego, permitir que ∞±→x . Bosquejar la gráfica. Graficar la información que se determinó en los cuatro primeros pasos. Luego, trazar tantos puntos adicionales como sea necesario para completar una curva lisa que pase por estos puntos y mostrar el comportamiento extremo requerido.




DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEELL DDOOMMIINNIIOO DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN En la determinación del dominio de la función hay que tener en cuenta lo siguiente:

La naturaleza de la variable independiente: continuas o discretas. Las operaciones que definen la ecuación asociada a la función: teniendo en cuenta que hay operaciones que no tienen sentido para determinados valores en el conjunto de los números reales, consideraremos los siguientes casos:

División por cero: Si una función está dada como cociente, aquellos valores reales que anulen el denominador deben ser excluidos del dominio, pues en ellos no tiene sentido el cálculo.

Radicandos: Hay que excluir del dominio aquellos valores que hacen negativo al radicando cuando el índice es par, ya que no se puede calcular la raíz de un número negativo.

Logaritmos: El argumento de un logaritmo no puede ser negativo o nulo, por lo tanto habrá que excluir los valores de x que no lo hagan estrictamente positivo, para poder así determinar el dominio.

Ejemplo: Calcular el dominio de las siguientes funciones:

a) 3512)(

++

=xxxf

b) 2f(x) x 2x 3= + −

c) ( )y ln 4 x= −

Resolución a) Veamos qué valores de x anulan el denominador, resolviendo la ecuación 5x 3 0+ = se obtiene que su raíz es

3x5

= −

El dominio estará formado por todos los números reales excepto el consignado, expresado simbólicamente:

( ) 3Domf x R5

⎧ ⎫= − −⎨ ⎬⎩ ⎭

ó ( ) 3 3Domf x , ,5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −∞ − ∪ − ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Vamos a factorizar el radicando, para lo cual debemos detectar las raíces,

2x 2x 3 0+ − ≥ es equivalente a

(x 1).(x 3) 0− + ≥ Formarán el dominio los valores de x que hagan que los dos factores sean de igual signo o alguno de ellos anule la expresión. Una forma útil de visualizar la solución consiste en estudiar el signo de cada uno de los factores. Gráficamente

Signo de (x 3)+

Signo de (x 1)−




Signo de (x 1).(x 3)− +

Observando en la última línea dónde es positivo o nulo el producto de los factores considerados, el dominio resulta: ( ] [ )Dom(f ) , 3 1,= −∞ − ∪ ∞

c) Aquí se analizará para qué valores el argumento del logaritmo es un número positivo

4 x 0− > Resolviendo la inecuación, resulta

x 4− > − Multiplicando ambos miembros por (-1) e invirtiendo el sentido de la desigualdad, resulta

x 4< Resulta así

Dom (y) ( ,4)= −∞

Observación: Pueden aparecer combinaciones de los casos precedentes que se irán solucionando mediante sucesivas intersecciones.




AALLGGEEBBRRAA DDEE FFUUNNCCIIOONNEESS Con las funciones también se pueden realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y otras más (composición de funciones).

Dadas dos funciones

f: A → B y g: B → C La suma de las funciones f y g:

( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+

La diferencia de las funciones f y g:

( )( ) ( ) ( )xgxfxgf −=−

El producto de las funciones f y g:

( )( ) ( ) ( )xg.xfxg.f =

El producto de las funciones f y g:

( ) ( )( )xgxfx

gf

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

El dominio en cada caso, consiste en la intersección de los dominios de f y g

( )( ) ( ) ( ){ }xgDomxfDomxxgfDom ∩∈=+

( )( ) ( ) ( ){ }xgDomxfDomxxgfDom ∩∈=−

( )( ) ( ) ( ){ }xgDomxfDomxxg.fDom ∩∈=

y en el caso del cociente se deben restar los valores de la variable independiente que anulan la función del denominador

( ) ( ) ( ){ } ( ){ }0/ =∈−∩∈=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ xgRxxgDomxfDomxxgfDom

Ejemplos:

Hallar el dominio de ( )( )xgf + , tales que f: R → R y g: R → [0;∞) tales que ( ) 1−= xxf y

( ) 2xxg =

( )( ) RxgfDom =+

CCoommppoossiicciióónn ddee ffuunncciioonneess

Dadas dos funciones

f: A → B y g: B → C tales que la segunda tiene como dominio imagen de la primera, hay una función asociada a f y g . Dicha función se llama compuesta entre f y g y se define:

( )( ) ( )( )xfgxfg/CA:fg =→ oo

El dominio de la composición fg o es el conjunto de todos los x que

pertenecen al dominio de f(x), tal que f(x) está en el dominio de g(x):

( )( ) ( ) ( ) ( ){ }xgDomxfIm/xfDomxxfgDom ⊂∈=o




La función compuesta es la función de una función

Ejemplos:

Dadas f: R → R y g: R → R tales que ( )212 −−= xxf y ( ) 2.3 += xxg

Encontrar ( f o g ) y ( g o f )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )29.6

214.6

212.3.22.3 −−=−−−=−+−=+== xxxxfxgfxgf o

( )( ) ( )( )21.62

23.62

21.2.3

21.2 +−=+−−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−== xxxxgxfgxfg o

f: R → R y g: R → [0;∞) tales que f( x ) = x - 1 y g( x ) = x2

Resolución

1) La función compuesta g o f tiene dominio y la imagen en R y está definida:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )211 −=−== xxgxfgxfg o

2) La función compuesta f o g tiene dominio y codominio en R y está definida:

( )( ) ( )( ) ( ) 122 −=== xxfxgfxgf o

Dadas ( ) 12 −= xxf y ( ) 3+= xxg , hallar gf o y fg o y determinar los dominios respectivos.

Resolución:

1) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 21332

+=−+=+== xxxfxgfxgf o

( ) [ )∞−= ;3xgDom ( ) [ )( ) ( ) ( )xfDomxg

RxfDomxg

⊆⎭⎬⎫

=∞=

Im;0Im

Por lo tanto,

( )( ) [ )∞−= ;3xgfDom o

2) ( )( ) ( )( ) ( ) 2311 222 +=+−=−== xxxfxfgxfg o

( ) RxfDom = ( ) [ )

( ) [ ) ( ) ( )xfDomxgxgDom

xf⊆

⎭⎬⎫

∞−=∞−=

Im;3

;1Im

Por lo tanto,

( )( ) RxfgDom =o

Dadas ( ) 4xxf 2 −= y ( ) 1xxg −= , hallar fg o y determinar su dominio.

( ) RxfDom = ( ) [ )

( ) [ ) ( ) ( )xfDomxgIm;1xgDom;4xfIm

⊄⎭⎬⎫

∞=∞−=

Por lo tanto, se debe restringir la imagen de f(x).

Redefiniendo la imagen

( ) [ )∞= ;1xfIm




Por lo tanto, es necesario recalcular el dominio de f(x)

14x2 ≥− Operando

5x ≥

Por lo tanto, el nuevo dominio de f(x) es

( ) ( ] [ )∞∪−∞−= ;55;xfDom

Por lo tanto, el dominio de la función composición

( )( ) ( ] [ )∞∪−∞−= ;55;xfgDom o

Dadas ( ) xxf = y ( ) xcosxg = , hallar gf o y determinar su dominio.

Dada f y g definida por 12)( 1)( 2 +=−= xxgxxf , determinar:

i) ( )x)gf( o ii) ( )x)fg( o

iii) Calcular ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

41)gf( o y ( )2)gf( o

Encontrar el dominio de cada una de las funciones compuestas.

DDeessccoommppoossiicciióónn ddee ffuunncciioonneess

En la composición ( )( ) ( )( )xfgxfg =o es muy útil ver a f como la “función interna“ y a g como la “función externa”.

Es muy útil en precálculo y cálculo, representar una función dada h(x) como la composición de dos funciones g(x) y f(x). El proceso de identificar funciones posibles g(x) y f(x) se llama descomposición de una función.

Sea ( ) 12 += xxh . Determinar dos funciones f(x) y g(x) de modo que ( ) ( )( )xgfxh o=




FFUUNNCCIIÓÓNN IINNYYEECCTTIIVVAA,, SSUURRYYEECCTTIIVVAA YY BBIIYYEECCTTIIVVAA

Sea f una función, BAf →: , se dice:

f es una función inyectiva si dos elementos distintos cualesquiera del dominio (A) tienen, por f, imágenes distintas.

En símbolos:

f es inyectiva ⇔ ( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠

f es una función suryectiva o sobreyectiva si y sólo si para todo y perteneciente a B, existe x perteneciente a A, tal que ( ) yxf =

En símbolos:

f es suryectiva ⇔ Bf =Im

f es una función biyectiva si y sólo si es inyectiva y suryectiva.

FFUUNNCCIIOONNEESS IINNVVEERRSSAASS

Definición:

Sea f ( BAf →: ) una función biyectiva. Se llama función inversa de f a la

correspondencia f-1 ( ABf →− :1 ).

Propiedad:

Una función f-1 se llama inversa de otra cuando

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) xxffxffxffxff ==== −−−− oo 111

Ejemplo:

( ) 42/: −=→ xxfRRf

( ) 3/: 2 −=→ xxfRRf

[ ) [ )∞−→∞ ,3,0:f es función biyectiva, luego existe [ ) [ )∞→∞−− ,0,3:f tal que

31 ++=− xf

Si ( ) 4.5 −= xxf y ( )5

4+=

xxg , f y g son inversa porque

( )( ) xxxxfxgf =−+=−/+

/=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= 4445

4.55

4

( )( ) ( ) xxxxgxfg =//

=/+/−

=−=5.5

544.54.5

Si ( )31.2

+−

=xxxf y ( )

xxxg−+

=2

1.3, f y g son inversa porque




( )( ) xxx

x

xxx

xxx

xx

xx

xxfxgf =

−−

=

−−++

−+/−/+

=+

−+

−−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=7

227

2.361.3

222.6

32

1.3

12

1.3.2

21.3

( )( ) xxxx

xx

xx

xx

xx

xxgxfg =

////

=+−+

++

++−=

+−

−

++−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=7.7

1.26.23

333.6

31.22

131.2.3

31.2

funciÓn definidas por partes - fio.unicen.edu.ar · la función parte entera, se denota de la...

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