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Ecuaciones DiferencialesTarea No 5: Ecuaciones Lineales de Orden Superior y Homogeneas

Maestro Oscar Villarreal, Agosto-Diciembre 2018

Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:-1

1. Indique si las funciones siguientes forman un conjunto linealmente independiente

f(x) = 2, f2(x) = cos2(2x), f3(x) = sen2(2x)

A Verdadero

B Falso

2. Evalue en x = 0 el Wronskiano de cada par de funciones:

1) y1 = e−2 x, y2 = e−x

2) y1 = e−2 x, y2 = x e−2 x

3) y1 = cos (5x) , y2 = sen (5x)

Respuesta:

3. Resuelva la siguiente ED reduciendola en orden

y′′ = 16 + (y′)2

A y = − ln(C2 cos(4x+ C1))

B y = C2 − ln(cos(x+ C1))

C y = C2 + ln(cos(x+ C1))

D y = C2 + ln(cos(4x+ C1))

4. Calcule el valor en x = −1 para la solucion particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y(− 13 ) = 1 y y′(− 1

3 ) = 3 a

la ED:

y′′ = 6 y y′

Respuesta:

5. Un cohete es lanzado verticalmente desde el suelo. Si la direccion positiva es hacia arriba y se desprecia la resistencia del

aire, la ED que modela el movimiento, una vez que el combustible se ha acabado, es:

d2y

dt2= −gR

2

y2

Si se asume que la velocidad inicial es vo = 5 km/seg para yo = R = 6, 378 kms el cual es el radio de la tierra, encuentre

una formula que relacione la velocidad del cohete dydt en funcion la altura alcanzada y. Reporte en kilometros la altura

maxima alcanzada por dicho cohete. Hint: Piense en reduccion de orden.

Respuesta:

6. Resuelva la siguiente ED lineal con coeficientes constantes

24 y − 70 y′ + 49 y′′ = 0

A y = C1 e− 7

4 x + C2 e− 7

6 x

B y = C1 e47 x + C2 e

67 x

C y = C1 e− 4

7 x + C2 e− 6

7 x

Ecuaciones Diferenciales, Tarea No 5: Ecuaciones Lineales de Orden Superior y Homogeneas, Tipo: -1 2

D y = C1 e74 x + C2 e

76 x


3 y + 6 y′ + 9 y′′ = 0

A y = C1 cos(x∣∣∣3× 1√

2

∣∣∣) e−3 x + C2 sen(x∣∣∣3× 1√

2

∣∣∣) e−3 x

B y = C1 cos(x∣∣ 13

√2∣∣) e− 1

3 x + C2 sen(x∣∣ 13

√2∣∣) e− 1

3 x

C y = C1 cos(x∣∣√2

∣∣) e−x + C2 sen(x∣∣√2

∣∣) e−xD y = C1 cos(2x) e−x + C2 sen(2x) e−x

8. Indique los valores de A y B para que

y′′ +Ay′ +B y = 0

sea la ED que tiene como solucion general a:

y(x) = C1 e65 x + xC2 e

65 x

Respuesta:

9. Un cuerpo con peso de 3 libras fuerza cuelga de un resorte con constante 83 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece

una fuerza de resistencia al movimiento que es numericamente igual a su velocidad instantanea. Si el peso es liberado 12 pies

por encima de su posicion de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 24 pies por segundo, determine la posicion mas

baja que alcanza el objeto. Considere magnitudes hacia abajo negativas y hacia arriba positivas.

Respuesta:

10. Un pendulo simple puede ser modelado mediante la ED que se da a continuacion. Si L = 140 centımetros y se abre a la

derecha y deja balancearse a partir de una posicion medida a 7 centımetros de la vertical, determine el tiempo aproximado

en el cual cruza por la posicion de equilibrio por primera vez. En el modelo θ(t) representa el angulo, medido en radianes,

del pendulo a la posicion de equilibrio positivo a la derecha.

θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:

11. Encuentre la carga en el capacitor en un circuito serie LRC en el instante t = 0.01s cuando L = 0.05h, R = 2Ω, C = 0.01f ,

E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:



Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:0


f1(x) = e4 x, f2(x) = e5 x, f3(x) = e6 x

A Falso

B Verdadero

2. Evalue en x = 0.9 el Wronksiano de las funciones

y1 = e2 x

y

y2 = e3 x

Respuesta:

3. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 3 y y′(0) = 1 reduciendola en orden

(y′)2

= 3 y y′′

A y4 = 81 + 4 x

313

B y = 3 e13 x

C y23 = 3

23 + 2

3x

313

D y23 = 3

23 + 2

3 x


81 y′ y′′ = 54 y

A y = (1 + x)3

B y = (1− 53 x)

− 35

C y = (1 + 13 x)

3

D y = (1− 13 x)

− 45

5. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo. Si la direccion positiva es hacia arriba y se desprecia la

resistencia del aire, la ED que modela el movimiento, una vez que el combustible se ha acabado, es:

d2y

dt2= −gR

2

y2

Si se asume que v = vo y que y ≈ R, el cual es el radio de la tierra, determine una formula que relacione velocidad del

cohete, dydt , contra la altura alcanzada, y. Hint: Piense en reduccion de orden.

Respuesta:


9 y − 36 y′ + 36 y′′ = 0

Ecuaciones Diferenciales, Tarea No 5: Ecuaciones Lineales de Orden Superior y Homogeneas, Tipo: 0 2

A y = C1 e− 1

2 x + xC2 e− 1

2 x

B y = C1 e12 x + C2 e

12 x

C y = C1 e12 x + xC2 e

12 x

D y = C1 e3 x + C2 e

−3 x


89 y + 40 y′ + 16 y′′ = 0

A y = C1 cos(2x) e45 x + C2 sen(2x) e

45 x

B y = C1 cos(2x) e−45 x + C2 sen(2x) e−

45 x

C y = C1 cos(2x) e54 x + C2 sen(2x) e

54 x

D y = C1 cos(2x) e−54 x + C2 sen(2x) e−

54 x


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e32 x + xC2 e

32 x

Respuesta:

9. Un sistema masa-resorte libre, amortiguado y no forzado colgado hacia abajo tiene los siguientes datos: masa= 4 kg ,

coeficiente de amortiguamiento de 3 newtons/metro/seg y coeficiente del resorte 916 newton/metro. Si es estirado hacia

abajo 0.3 mts , y aventado hacia arriba con una velocidad de 0.225 m/seg, determine el tiempo en que tarda en cruzar a la

posicion de equilibrio por primera vez .

Respuesta:


derecha y deja balancearse a partir de una posicion medida a 3 centımetros de la vertical, determine la velocidad angular

al momento que cruza por la posicion de equilibrio por primera vez. En el modelo θ(t) representa el angulo, medido en

radianes, del pendulo a la posicion de equilibrio positivo a la derecha.

θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:


E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:





f1(x) = e5 x, f2(x) = e6 x

A Verdadero

B Falso


y1 = cos(4x)

y

y2 = sen(4x)

Respuesta:


4− 2 y′ + 16 (y′′)2

= 0

A y = 12 ( 1

4 x+ C1)2

+ C2

B y = 2x+ 13 ( 1

4 x+ C1)3

+ C2

C y = 18 ( 1

4 x+ C1)2

+ C2

D y = 2x+ 23 ( 1

4 x+ C1)3

+ C2


3 y′ y′′ = 54 y

A y = (1 + 3x)3

B y = (1− x)− 4

5

C y = (1 + x)3

D y = (1− 5x)− 3

5



d2y

dt2= −gR

2

y2




Respuesta:


24 y − 46 y′ + 20 y′′ = 0


A y = C1 e− 3

2 x + C2 e− 4

5 x

B y = C1 e− 2

3 x + C2 e− 5

4 x

C y = C1 e32 x + C2 e

45 x

D y = C1 e23 x + C2 e

54 x

7. Indique en orden los valores de A y B para que

y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = ex C1 cos(4x) + ex C2 sen(4x)

Respuesta:


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e3 x + xC2 e

3 x

Respuesta:

9. Un sistema masa-resorte libre, amortiguado y no forzado colgado hacia abajo tiene los siguientes datos: masa= 5 kg ,

coeficiente de amortiguamiento de 3 newtons/metro/seg y coeficiente del resorte 920 newton/metro. Si es estirado hacia

abajo 0.2 mts , y aventado hacia arriba con una velocidad de 0.12 m/seg, determine el tiempo en que tarda en cruzar a la

posicion de equilibrio por primera vez .

Respuesta:





θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:


E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:





f1(x) = 3 + x, f2(x) = x, f3(x) = 3 + x+ 5x2

A Falso

B Verdadero


y1 = e3 x

y

y2 = e4 x

Respuesta:

3. Usando el caso I, indique la opcion que contiene un paso intermedio en la solucion a:

(y′)5

(y′′)4

= 1

A z94 = 9

4 x+ C1

B z94 = 9

4 (y + C1)

C z94 = 4

9 (x+ C1)

D z52 = 5

2 (y + C1)


3 ) = 3 a

la ED:

y′′ = 6 y y′

Respuesta:



d2y

dt2= −gR

2

y2



Respuesta:


−2 y + 8 y′ + 4 y′′ = 0

A y = C1 e12 (2−

√6) x + C2 e

12 (2+

√6) x

B y = C1 e(−2+

√6) x + C2 e

(−2−√6) x

C y = C1 e12 (−2+

√6) x + C2 e

12 (−2−

√6) x


D y = C1 e12 (2+

√6) x + C2 e

12 (2+

√6) x


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 cos(3x) e5 x + C2 sen(3x) e5 x

Respuesta:


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e53 x + xC2 e

53 x

Respuesta:





Respuesta:





θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:


E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:





f1(x) = 1 + x, f2(x) = x, f3(x) = −8 + x

A Verdadero

B Falso


y1 = cos(3x)

y

y2 = sen(3x)

Respuesta:

3. Determine los valores de A y B para que

z = (Ax+ C1)B

sea la solucion explıcita a la ecuacion intermedia al aplicar el caso I del metodo de reduccion de orden a:

y′ (y′′)4

= 1

Respuesta:


192 y′ y′′ = 128 y

A y = (1 + x)3

B y = (1− 13 x)

− 45

C y = (1 + 13 x)

3

D y = (1− 53 x)

− 35



d2y

dt2= −gR

2

y2

Si se asume que la velocidad inicial es vo = 8. km/seg para yo = R = 6, 378 kms el cual es el radio de la tierra, encuentre



Respuesta:


25 y + 10 y′ + y′′ = 0

A y = C1 e−5 x + xC2 e

−5 x


B y = C1 e−5 x + C2 e

−5 x

C y = C1 e5 x + xC2 e

5 x

D y = C1 e5 x + C2 e

−5 x


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e4 x + C2 e

−3 x

Respuesta:


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e32 x + xC2 e

32 x

Respuesta:

9. Un sistema masa-resorte libre y amortiguado colgado hacia abajo tiene los siguientes datos: masa= 4 kg, coeficiente de

amortiguamiento =3 newtons/metro/seg y coeficiente del resorte 916 newtons/metro. Si es estirado hacia abajo 0.6 metros ,

y aventado hacia arriba con una velocidad de 0.45 m/seg , determine la velocidad al cruzar a la posicion de equilibrio por

primera vez.

Respuesta:





θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:


E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:





f1(x) = ex, f2(x) = e2 x

A Falso

B Verdadero


y1 = e6 x

y

y2 = x e6 x

Respuesta:


y′′ = 25 + (y′)2

A y = C2 + ln(cos(x+ C1))

B y = − ln(C2 cos(5x+ C1))

C y = C2 − ln(cos(x+ C1))

D y = C2 + ln(cos(5x+ C1))


5 ) = 5 a

la ED:

y′′ = 10 y y′

Respuesta:



d2y

dt2= −gR

2

y2

Si se asume que la velocidad inicial es vo = 7.5 km/seg para yo = R = 6, 378 kms el cual es el radio de la tierra, encuentre



Respuesta:


6 y + 6 y′ + y′′ = 0

A y = C1 e(3+√3) x + C2 e

(3−√3) x

B y = C1 e(3−√3) x + C2 e

(3−√3) x

C y = C1 e(−3−

√3) x + C2 e

(−3+√3) x


D y = C1 e(3+√3) x + C2 e

(3−√3) x


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 cos(2x) e−3 x + C2 sen(2x) e−3 x

Respuesta:


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e52 x + xC2 e

52 x

Respuesta:


una fuerza de resistencia al movimiento que es numericamente igual a su velocidad instantanea. Si el peso es liberado 12

pies por encima de su posicion de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 15 pies por segundo, determine el momento,

en segundos, en el cual el objeto alcanza su posicion mas baja. Considere magnitudes hacia abajo negativas y hacia arriba

positivas.

Respuesta:





θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:


E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:





f1(x) = e4 x, f2(x) = e−4 x

A Falso

B Verdadero


y1 = e6 x

y

y2 = x e6 x

Respuesta:

3. Indique la opcion que contiene un paso intermedio en la solucion a:

y4 (y′)2

(y′′)7

= 1

A z167 = 7

16 ( 73 y

37 + C1)

B 79 z

97 = x

y47

+ C1

C 716 z

167 = C1 + ln(y

47 )

D z167 = 16

3 y37 + C1

4. Calcule el valor en x = 1 para la solucion particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 16 ) = 1 y y′( 1

6 ) = 12 a la ED:

y′′ =6 y′√y

Respuesta:



d2y

dt2= −gR

2

y2




Respuesta:


23 y − 50 y′ + 25 y′′ = 0

A y = C1 e(1− 1

5

√2) x + C2 e

15 (5+

√2) x

B y = C1 e(−1− 1

5

√2) x + C2 e

(−1− 15

√2) x


C y = C1 e15 (−5+

√2) x + C2 e

(−1− 15

√2) x

D y = C1 e(−5+

√2) x + C2 e

(−5−√2) x


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 cos(4x) e−x + C2 sen(4x) e−x

Respuesta:


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e2 x + xC2 e

2 x

Respuesta:





Respuesta:





θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:


E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:





f1(x) = 3 + x, f2(x) = x, f3(x) = 3 + x− 2x2

A Falso

B Verdadero


y1 = e4 x

y

y2 = x e4 x

Respuesta:


y (y′)5

(y′′)3

= 1

A 38 z

83 = x

y13

+ C1

B z113 = 3

11 ( 32 y

23 + C1)

C z113 = 11

2 y23 + C1

D 311 z

113 = C1 + ln(y

13 )


192 y′ y′′ = 2 y

A y = (1− 112 x)

− 45

B y = (1 + 112 x)

3

C y = (1 + 14 x)

3

D y = (1− 512 x)

− 35



d2y

dt2= −gR

2

y2




Respuesta:


22 y + 30 y′ + 9 y′′ = 0


A y = C1 e13 (5−

√3) x + C2 e

13 (5−

√3) x

B y = C1 e13 (5+

√3) x + C2 e

13 (5−

√3) x

C y = C1 e(5+√3) x + C2 e

(5−√3) x

D y = C1 e13 (−5−

√3) x + C2 e

13 (−5+

√3) x


117 y − 108 y′ + 36 y′′ = 0

A y = C1 cos(x) e−23 x + C2 sen(x) e−

23 x

B y = C1 cos(x) e32 x + C2 sen(x) e

32 x

C y = C1 cos(x) e−32 x + C2 sen(x) e−

32 x

D y = C1 cos(x) e23 x + C2 sen(x) e

23 x


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e45 x + xC2 e

45 x

Respuesta:



por encima de su posicion de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 24 pies por segundo, determine la velocidad en el

momento en el cual pasa por la posicion de equilibrio. Considere magnitudes hacia abajo negativas y hacia arriba positivas.

Respuesta:





θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:


E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:





f1(x) = e3 x, f2(x) = e−3 x

A Verdadero

B Falso


y1 = e2 x

y

y2 = e5 x

Respuesta:


y y′′ = 7 (y′)2

A y−6 = C1 + xC1

B 7 ln(y) = xC1 + C2

C y = C1

(1+xC2)16

D y C1 + 17 ln(y) = x+ C2


3 ) = 3 a

la ED:

y′′ = 6 y y′

Respuesta:



d2y

dt2= −gR

2

y2



Respuesta:


25 y + 40 y′ + 16 y′′ = 0

A y = C1 e54 x + xC2 e

54 x

B y = C1 e− 5

4 x + C2 e− 5

4 x

C y = C1 e5 x + C2 e

−5 x

D y = C1 e− 5

4 x + xC2 e− 5

4 x



y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = ex C1 cos(4x) + ex C2 sen(4x)

Respuesta:


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e32 x + xC2 e

32 x

Respuesta:




primera vez.

Respuesta:





θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:


E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:





f1(x) = e4 x, f2(x) = e5 x

A Verdadero

B Falso


y1 = e3 x

y

y2 = ex

Respuesta:


y′′ = 36 + (y′)2

A y = C2 + ln(cos(x+ C1))

B y = − ln(C2 cos(6x+ C1))

C y = C2 − ln(cos(x+ C1))

D y = C2 + ln(cos(6x+ C1))


4 ) = 4 a

la ED:

y′′ = 8 y y′

Respuesta:



d2y

dt2= −gR

2

y2




Respuesta:


9 y + 12 y′ + 4 y′′ = 0

A y = C1 e32 x + xC2 e

32 x

B y = C1 e− 3

2 x + C2 e− 3

2 x

C y = C1 e3 x + C2 e

−3 x


D y = C1 e− 3

2 x + xC2 e− 3

2 x


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 cos(3x) e3 x + C2 sen(3x) e3 x

Respuesta:


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e43 x + xC2 e

43 x

Respuesta:





Respuesta:





θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:


E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:





f1(x) = e2 x, f2(x) = x e2 x

A Falso

B Verdadero

2. Evalue en x = 0 el Wronskiano de cada par de funciones:

1) y1 = e−x, y2 = e3 x

2) y1 = e−x, y2 = x e−x

3) y1 = cos (2x) , y2 = sen (2x)

Respuesta:


y5 (y′)6

(y′′)7

= 1

A 713 z

137 = x

y57

+ C1

B z207 = 7

20 ( 72 y

27 + C1)

C 720 z

207 = C1 + ln(y

57 )

D z207 = 10 y

27 + C1

4. Calcule el valor en x = 12 para la solucion particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y(0) = 0 y y′(0) = −1 de la

ED (Use el caso I):

y′′ = 2 (y′)2

Respuesta:



d2y

dt2= −gR

2

y2

Si se asume que la velocidad inicial es vo = 7.5 km/seg para yo = R = 6, 378 kms el cual es el radio de la tierra, encuentre



Respuesta:


−2 y + 12 y′ + 9 y′′ = 0

A y = C1 e13 (−2−

√6) x + C2 e

13 (−2+

√6) x

B y = C1 e(2+√6) x + C2 e

(2−√6) x


C y = C1 e13 (2+

√6) x + C2 e

13 (2−

√6) x

D y = C1 e13 (2−

√6) x + C2 e

13 (2−

√6) x


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e4 x + C2 e

−6 x

Respuesta:


y′′ +Ay′ +B y = 0


y(x) = C1 e34 x + xC2 e

34 x

Respuesta:




primera vez.

Respuesta:





θ′′(t) +g

Lθ(t) = 0

Respuesta:


E(t) = 0V , q(0) = 5C, y i(0) = 0A.

Respuesta:

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