matemáticas discretas tc1003 -...

Click here to load reader

Post on 06-Nov-2018

214 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 1/28

    Matemticas DiscretasTC1003

    Teora de Conjuntos: Definiciones BsicasDepartamento de Matemticas / Centro de Sistema Inteligentes

    ITESM

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 2/28

    Introduccin

    En esta lectura veremos la teora elemental deconjuntos. Esto incluye cmo se definen y culesson las operaciones bsicas. Un aspecto queintentamos enfatizar es cmo elaborar la teora deconjuntos haciendo uso de la lgica matemtica.

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 3/28

    Definicin de Conjunto

    DefinicionUn conjunto es una coleccin o familia de objetos.

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 3/28

    Definicin de Conjunto

    DefinicionUn conjunto es una coleccin o familia de objetos.Las llaves { } tendrn un uso muy especial y nico:servirn para definir un conjunto. Para ningunaotra cosa ms.

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 4/28

    Formas de Construir o Definir Conjuntos

    Manejaremos dos formas de constrir conjuntos: Definicin de un conjunto por extensin. Definicin de un conjunto por intencin.

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 5/28

    Definicin por Extensin

    DefinicionConstruir o definir un conjunto por extensinconsiste en declarar todos lo elementos que loforman.Ejemplo

    {Rosana, Sakura, Mara del Carmen, VitoCorleone, Pedro }

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 6/28

    Definicin por Intencin

    DefinicionConstruir o definir un conjunto por intencinconsiste en declarar cules elementos de un ciertoconjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabopor una propiedad o predicado P(x).

    {x D|P(x)}

    Ejemplo

    {x R | 2 < x}

    Todos aquellos nmeros reales que son mayoresque -2.

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 7/28

    Conceptos

    Veamos los conceptos bsicos sobre teora deconjuntos.

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 8/28

    Pertenencia a un Conjunto

    DefinicionUn objeto x se dice pertenecer o ser elemento oestar en un conjunto A si cuando el conjunto A est definido por extensin

    cuando el elemento x aparece en la lista deelementos del conjunto A

    cuando el conjunto A est definido por intencincuando el elemento x es tomado del universo deldiscurso y cumple la propiedad establecida paraA

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 9/28

    EjemploIndique cules opciones contienen elementos delconjunto:

    A = { Rosana, Sakura, Mara del Carmen, Vito Corleone, Pedro}

    1. Jonas : Jonas < A2. Toms Toms3. Agrin4. Luca5. Pedro :Pedro A6. Pablo Morales

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 10/28

    EjemploIndique cules opciones contienen elementos delconjunto:

    {x Z| 2 < x < 5}

    1. 3 : 3 A pues 3 es entero y comple 2 < 3 < 52. 6 : 6 < A pues 2 < 6 53. -3 :3 < A pues 2 3 < 54. 1.5 : 1.5 < A pues 1.5 no es entero.

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 11/28

    Definicin de Subconjunto

    DefinicionDiremos que un conjunto A es un subconjunto deel conjunto B y lo simbolizaremos

    A B

    si todo elemento de A es tambin elemento de B.Observe que de la definicin se tiene la siguienteequivalencia:

    A B x, x A x B

    Y negando lo anterior:

    A * B x, x A x < B

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 12/28

    EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los nmeros enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los nmeros realesQ El conjunto de los nmeros racionales o fraccionarios

    Se tiene:1. N Z2. Z Q3. Q R4. Z * N5. Q * Z6. R * Q

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 13/28

    Definicin de Subconjunto Propio

    DefinicionDiremos que un conjunto A es un subconjuntopropio de el conjunto B y lo simbolizaremos

    A B

    si todo elemento de A es tambin elemento de B yadems existe un elemento de b que no eselemento de A.

    A B (A B) (B * A)

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 14/28

    EjemploEn referencia a los conjuntos N,Z,Q,R:1. N Z2. Z Q3. Q R

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 15/28

    EjemploSi

    A = {c, d, f , i}

    B = {a, f }

    C = {c, i}

    Indique cules afirmaciones son verdaderas:(a) B B :(b) B B(c) C B(d) C A(a) cierto pues todo elemento de B es elemento de B. (b) Falso,

    pues no tolera la igualdad. (c) Falso, pues existe un elemento en

    C, a saber i, que no es elemento de B. (d) Cierto, pues todo

    elemento de C, tanto c como i, son elementos de A.

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 16/28

    Cuidado con la Notacin

    EjemploIndique cules opciones contienen afirmaciones falsas:1. c {c}

    2. {c} {a, b, {c}}

    3. {c} {a, b, {c}}

    4. {c} {{c}}

    5. {c} {{c}}

    1. Falsa: Note que X y se usa para cuando x es conjunto y Y es

    conjunto. 2. Falsa: Para revisar si se tiene se deben tomar los

    elementos de {c}, el nico es c y ver si son elementos de {a, b, {c}},

    pero no es elemento: el conjunto formado con c s es elemento pero

    c no. 3. Cierta: {c} es un elemento de {a, b, {c}}, es el ltimo

    elemento. 4. Cierta: {c} efectivamente es elemento de {{c}} (es el

    nico elemento!) 5. Falsa: el elemento c no es elemento de {{c}}, el

    que s es elemento es {c}.

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 17/28

    Igualdad entre conjuntos

    DefinicionDos conjuntos A y B se dicen iguales si poseen losmismos elementos. Es decir, todos los elementosde A son elementos de B y todos los elementos deB son tambin elementos de A. En trminosformales:

    A = B (A B) (B A)

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 18/28

    EjemploIndique cules opciones contienen afirmacionesciertas para los conjuntos:a) D = {a, b, e, f }b) A = {a, a, f , g, e, g}c) C = { f , g, a, e}d) B = { f , b, a, e}Entre:1. D = C

    2. C = A

    3. D = B

    4. D = A

    1. es falsa, pues D * C debido a que b D y b < C. 2. es cierta,

    pues todo elemento de A (tanto a, como f , como g, y como e) estn

    en C y recprocamente. 3. es cierta, por el mismo tipo de razn que

    2. 4. es falsa, pues b D y b < A.

  • IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

    - P(A)- A B

    Teora de Conjuntos: Defini

View more