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Teora de Conjuntos: Definiciones Bsicas Matemticas Discretas - p. 1/28

Matemticas DiscretasTC1003

Teora de Conjuntos: Definiciones BsicasDepartamento de Matemticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x A- A B- A BOjo con y - A B- Ojo con-A B- A B- A B- Ac

- P(A)- A B

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Introduccin

En esta lectura veremos la teora elemental deconjuntos. Esto incluye cmo se definen y culesson las operaciones bsicas. Un aspecto queintentamos enfatizar es cmo elaborar la teora deconjuntos haciendo uso de la lgica matemtica.

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Definicin de Conjunto

DefinicionUn conjunto es una coleccin o familia de objetos.

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Definicin de Conjunto

DefinicionUn conjunto es una coleccin o familia de objetos.Las llaves { } tendrn un uso muy especial y nico:servirn para definir un conjunto. Para ningunaotra cosa ms.

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Formas de Construir o Definir Conjuntos

Manejaremos dos formas de constrir conjuntos: Definicin de un conjunto por extensin. Definicin de un conjunto por intencin.

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Definicin por Extensin

DefinicionConstruir o definir un conjunto por extensinconsiste en declarar todos lo elementos que loforman.Ejemplo

{Rosana, Sakura, Mara del Carmen, VitoCorleone, Pedro }

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Definicin por Intencin

DefinicionConstruir o definir un conjunto por intencinconsiste en declarar cules elementos de un ciertoconjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabopor una propiedad o predicado P(x).

{x D|P(x)}

Ejemplo

{x R | 2 < x}

Todos aquellos nmeros reales que son mayoresque -2.

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Conceptos

Veamos los conceptos bsicos sobre teora deconjuntos.

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Pertenencia a un Conjunto

DefinicionUn objeto x se dice pertenecer o ser elemento oestar en un conjunto A si cuando el conjunto A est definido por extensin

cuando el elemento x aparece en la lista deelementos del conjunto A

cuando el conjunto A est definido por intencincuando el elemento x es tomado del universo deldiscurso y cumple la propiedad establecida paraA

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EjemploIndique cules opciones contienen elementos delconjunto:

A = { Rosana, Sakura, Mara del Carmen, Vito Corleone, Pedro}

1. Jonas : Jonas < A2. Toms Toms3. Agrin4. Luca5. Pedro :Pedro A6. Pablo Morales

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EjemploIndique cules opciones contienen elementos delconjunto:

{x Z| 2 < x < 5}

1. 3 : 3 A pues 3 es entero y comple 2 < 3 < 52. 6 : 6 < A pues 2 < 6 53. -3 :3 < A pues 2 3 < 54. 1.5 : 1.5 < A pues 1.5 no es entero.

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Definicin de Subconjunto

DefinicionDiremos que un conjunto A es un subconjunto deel conjunto B y lo simbolizaremos

A B

si todo elemento de A es tambin elemento de B.Observe que de la definicin se tiene la siguienteequivalencia:

A B x, x A x B

Y negando lo anterior:

A * B x, x A x < B

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EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los nmeros enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los nmeros realesQ El conjunto de los nmeros racionales o fraccionarios

Se tiene:1. N Z2. Z Q3. Q R4. Z * N5. Q * Z6. R * Q

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Definicin de Subconjunto Propio

DefinicionDiremos que un conjunto A es un subconjuntopropio de el conjunto B y lo simbolizaremos

A B

si todo elemento de A es tambin elemento de B yadems existe un elemento de b que no eselemento de A.

A B (A B) (B * A)

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EjemploEn referencia a los conjuntos N,Z,Q,R:1. N Z2. Z Q3. Q R

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EjemploSi

A = {c, d, f , i}

B = {a, f }

C = {c, i}

Indique cules afirmaciones son verdaderas:(a) B B :(b) B B(c) C B(d) C A(a) cierto pues todo elemento de B es elemento de B. (b) Falso,

pues no tolera la igualdad. (c) Falso, pues existe un elemento en

C, a saber i, que no es elemento de B. (d) Cierto, pues todo

elemento de C, tanto c como i, son elementos de A.

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Cuidado con la Notacin

EjemploIndique cules opciones contienen afirmaciones falsas:1. c {c}

2. {c} {a, b, {c}}

3. {c} {a, b, {c}}

4. {c} {{c}}

5. {c} {{c}}

1. Falsa: Note que X y se usa para cuando x es conjunto y Y es

conjunto. 2. Falsa: Para revisar si se tiene se deben tomar los

elementos de {c}, el nico es c y ver si son elementos de {a, b, {c}},

pero no es elemento: el conjunto formado con c s es elemento pero

c no. 3. Cierta: {c} es un elemento de {a, b, {c}}, es el ltimo

elemento. 4. Cierta: {c} efectivamente es elemento de {{c}} (es el

nico elemento!) 5. Falsa: el elemento c no es elemento de {{c}}, el

que s es elemento es {c}.

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Igualdad entre conjuntos

DefinicionDos conjuntos A y B se dicen iguales si poseen losmismos elementos. Es decir, todos los elementosde A son elementos de B y todos los elementos deB son tambin elementos de A. En trminosformales:

A = B (A B) (B A)

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EjemploIndique cules opciones contienen afirmacionesciertas para los conjuntos:a) D = {a, b, e, f }b) A = {a, a, f , g, e, g}c) C = { f , g, a, e}d) B = { f , b, a, e}Entre:1. D = C

2. C = A

3. D = B

4. D = A

1. es falsa, pues D * C debido a que b D y b < C. 2. es cierta,

pues todo elemento de A (tanto a, como f , como g, y como e) estn

en C y recprocamente. 3. es cierta, por el mismo tipo de razn que

2. 4. es falsa, pues b D y b < A.

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