matemáticas discretas a

7/25/2019 Matemticas Discretas A

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Matematicas

Discretas II

Presentacion del

curso

Aritmetica

Entera

Axiomas deAnillo

Axiomas deOrden

Divisibilidad

Maximo ComunDivisor

Mnimo comunMultiplo

PrimosEcuacionesDiofanticas

SistemaPosicional

Aritmetica

Modular

Congruencias

Aritmetica enZm

ExponenciacionModular

Congruenciaslineales

Sistemas decongruenciaslinelaes

Teorema Chinodel Residuo

El pequenoteorema de

FermatTeorema deEuler

Matematicas Discretas II

Departamento de Ingeniera de SistemasUniversidad de Antioquia

1 de septiembre de 2015
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Modular

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Contenido

Presentacion del curso

Aritmetica Entera

Axiomas de AnilloAxiomas de OrdenDivisibilidadMaximo Comun DivisorMnimo comun MultiploPrimosEcuaciones DiofanticasSistema Posicional

Aritmetica ModularCongruenciasAritmetica en Zm

Exponenciacion ModularCongruencias linealesSistemas de congruencias linelaesTeorema Chino del ResiduoEl pequeno teorema de FermatTeorema de Euler
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Nombre del curso: Matematicas Discretas II

Area Academica: Matematicas Discretas

Creditos: 4 teoricos

OBJETIVO GENERALComprender y aplicar los conceptos y propiedades de las estructurasmatematicas discretas, para la representacion y estudio defenomenos discretos.
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Evaluacion

Dos parciales del 25 % cada uno y un parcial del 26 %

Tres tareas del 8 % cada una
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Evaluacion



Libro gua:

Matematicas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen Kenneth.
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Evaluacion



Libro gua:


Horario de asesoras:

Martes de 15 : 00-16 : 00 y 18 : 00-19 : 00 en el sal on 4 107 o4 110.


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Evaluacion



Libro gua:


Horario de asesoras:

Martes de 15 : 00-16 : 00 y 18 : 00-19 : 00 en el sal on 4

107 o4 110.
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Axiomas de Anillo

El conjunto de los numeros enteros Z junto con las operacionesbinarias suma (+) y producto () cumplen con los siguientesaxiomas.

1. Para cada a, bZ, se tiene a+bZ y abZ;

2. a+b= b+a y ab= ba para todo a, bZ;

3. a+ (b+c) = (a+b) +c y a(bc) = (ab)c para todo a, b, c

Z;

4. Existe dos elementos 0 y 1 en Z que cumplen: para todo aZa+ 0 = 0 +a= a, y a1 = 1a= a;

5. Para todo aZ, existe un unico elementoaZ tal quea+ (a) = (a) +a= 0;

6. Para todo a, b, cZ se tiene

(a+b)c= ac+bc y a(b+c) =ab+ac
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Axiomas de Orden

Ademas, sobre el conjunto Z se tiene una relacion de orden () quesatisface los siguientes axiomas:

1. Para todo a, b

Z a

b o b

a;

2. Reflexividad: Para todo aZ aa;

3. Antisimetrica: Para todo a, bZ ab y ba, entoncesa= b;

4. Transitiva: Para todo a, b, cZ. Si ab y bc, entoncesac;

Se define: a < b si y solo si ab y a=b. La relacion a < b,as definida cumple con los siguientes axiomas:

1. Tricotonoma: Para todo a, bZ, se cumple una y solo una delas siguientes relaciones a < b, a= b, b < a

2. Principio de Buen Orden (P.B.O): Todo subconjunto de Z

no vacio acotado inferiormente tiene un elemento mnimo.
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Divisibilidad

Estudiaremos una de las nociones mas importantes y basicas quepodemos encontrar en la matematica. Cuando un entero distinto de

cero divide a otro entero, el cociente puede ser un numero entero ono. Por ejemplo, 38

14= 2 es un entero, pero 10

4 = 2, 5 no lo es. Se

tiene la siguiente definicion,

Definicion (Divisibilidad)

Sean a, bZ con b= 0. Decimos que b divide a a si y solo si existekZ tal que a= bk. Tambien se lee a es divisible por b, a esmultiplo de b o b es divisor de a, y como notacion, se abrevia b|a.Escribimosba si b no divide a a.

Ejemplos

1. 4|28 porque 28 = 2(14)2. 410 porque no es posible encontrar un entero k tal que

10 = 4k.


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Divisibilidad

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Propiedades de Divisibilidad

Los siguientes teoremas nos muestran algunas propiedades dedivisibilidad,

TeoremaSia, b yc numeros enteros, entonces

1. a|b implicaa|bc para cualquier entero c;

2. a|b yb|c implicaa|c;

3. a|b ya|c implicaa|(bx+cy) para todo par de enterosx yy;

4. a|b yb|a implicaa=b;5. a|b, a >0 yb >0 implicaab;
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Algoritmo de la Division

Teorema (Algoritmo de la Division)

Dadosa yb enteros conb= 0, existe unicos enterosqyr tales quea= bq+r, y0r


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Definicion (Maximo Comun Divisor)

Dados dos enteros a y b, y por lo menos uno de a y b no es 0.Entonces el Maximo Comun Divisor de a y bes el entero positivod que cumple con

d|a y d|b, Si c|a y c|b, entonces c|d, para todo cZ.

Denotamos el Maximo Comun Divisor de a y bpor d= mcd(a, b)

ObservacionEl maximo comun divisor mcd(a, b) esta definido para todo par deenteros a y bexcepto en el caso a= 0 y b= 0 y se observa ademasque mcd(a, b)1

Teorema (Identidad de Bezout)

Sid es el maximo comun divisor dea yb, entonces existen losenterosx0 ey0 tales que

d= ax0+by0.
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Propiedades del Maximo Comun Divisor

1. Si k es un entero diferente de cero, mcd(ka, kb) =|k|mcd(a, b),

2. Si a|bc y mcd(a, b) = 1, entonces a|c,

3. Si mcd(a, b) = 1 y mcd(a, c) = 1, entonces mcd(a,bc) = 1,

4. mcd(a, b) =mcd(|a| , |b|),5. Si mcd(a, b) = 1, entonces para cualquier entero c,

mcd(ac, b) =mcd(c, b),

6. Simcd

(a, b

) =d

si y solo sid|

a,d|

by

mcd(

a

d, bd ) = 1.

Se dice que a y b son primos relativos en el caso de quemcd(a, b) = 1.
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Algoritmo de Euclides

TeoremaSia yb son enteros, conb < a, yr=a mod b, entonces

mcd(a, b) =mcd(b, r).

Teorema (Algoritmo de Euclides)

Dados los enterosa, b conb >0, se hace una aplicacion repetida delalgoritmo de la division para obtener una serie de ecuaciones

a= bq1+ r1, 0< r1 < b,

b= r1q2+ r2, 0< r2 < r1,

r1 =r2q3+ r3, 0< r3 < r2,

... ...

rj2 =rj1qj +rj , 0< rj < rj1,

rj1 =rjqj+1.

El maximo comun divisor dea yb esrj, el ultimo residuo diferentede cero en el proceso de la division
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Modular

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Ejemplos

a= 1420 y b= 820

1420 = 820 1 +600820 = 600 1 +220600 = 220

2 +160

220 = 160 1 +60160 = 60 2 +40

60 = 40 1 +2040 = 20 2 +0

M i
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Definicion (Mnimo comun Multiplo)Los enteros a, bdistintos de cero, tiene un multiplo en comun c, sia|c y b|c. El menor de los multiplos comunes positivos recibe elnombre demnimo comun multiploy lo denotamos pormcm(a, b)

TeoremaSia, b son enteros distintos de cero. Entonces

mcm(a, b) = ab

mcd(a, b).

M t ti
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Primos

EcuacionesDiofanticas

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El pequenoteorema deFermat

Teorema deEuler

Definicion (Primos)

Un entero p mayor que 1 es un numero primo o simplemente quees un primo, si los unicos divisores positivos de p son 1 y p. Si un

entero mayor que 1 no es un primo, entonces se dice que es unnumero compuesto.

Ejemplos

As, los numeros 2, 7, 13 y 17 son primos, mientras que 4, 8, 15 y 20

son compuestos

Teorema (Teorema fundamental de la Aritmetica)

Todo entero n mayor que1 puede expresarse unicamente como unprimo o un producto de dos o mas numeros primos, salvo el orden.

TeoremaSin es un numero compuesto, entoncesn tiene un divisor primo quees menor o igual a

n

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Teorema deEuler

Teorema

Sip|ab, p siendo primo, entoncesp|a o p|b.

TeoremaExisten infinitos numeros primos. Esto es, no existe fin para lasucesion de primos2, 3, 5, 7, 11, 13, . . ..

Ejemplos

1. Determinar si el numero 541 es primo

2. Demostrar que todo numero primo mayor que 5 se puede

escribir de la forma 6q+ 1 y 6q+ 5

MatematicasC j t bl bi t b l i


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Teorema deEuler

Conjeturas y problemas abiertos sobre los numeros primos

Conjetura de los numeros primos gemelos

Decimos que dos numeros primos son primos gemelos si uno deellos es igual al otro mas dos.

Ejemplos

1. 3 y 5

2. 11 y 13

La conjetura de los numeros gemelos postula la existencia deinfinitos pares de primos gemelos.

Conjetura de Goldbach

Todo numero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dosnumeros primos.

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Teorema deEuler

Definicion (Ecuaciones Diofanticas)

Dado un polinomio p(x1, x2, . . . , xn) con coeficientes enteros,llamamos ecuacion diofantica a una ecuacion polinomica de la forma

p(x1, x2, . . . , xn) = 0

cuyas soluciones son numeros enteros.

Ejemplos xn +yn =zn con nN, es una ecuacion diofantica; n= x2 +y2 +z2 . . . con nN, es una ecuacion diofantica; x2 dy2 =N con d, N N, es una ecuacion diofantica.

En honor a Diofanto de Alejandra estas ecuacionesse denominan ecuaciones diofanticas. La mas sencillade estudiar son las ecuaciones lineales de la formaax+by =c

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Teorema deEuler

Definicion (La ecuacion ax+by =c)

Si a= 0 y b= 0. La ecuacion ax+by =c es una ecuacion diofanticalineal con dos incognitas.

TeoremaDenotemos pord= mcd(a, b). La ecuacion diofanticaax+by =ctiene soluciones enteras si, y solo si, d|c

Ejemplos

Verifique si las siguientes ecuaciones tiene soluciones:

1. 24x+ 16y= 7

2. 10x+ 4y= 20

TeoremaDenotemos pord= mcd(a, b). Six1, y1 es una solucion particular dela ecuacion diofanticaax+by =c, entonces todas las solucionesenteras de la ecuacion son de la forma

x= x1+ b

dt, y=y1 a

dt, tZ

MatematicasProcedimiento para solucionar una ecuacion Diofantica de la
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Teorema deEuler

Procedimiento para solucionar una ecuacion Diofantica de laforma ax+by =c

1. Calcular mcd(a, b) =d

2. Verificar que d|c.

3. Encontrar una solucion particular de la ecuacion ax+by =c.

Supongamos que x1, y1Z son solucion, esto es,ax1+ by1 =c.

4. Aplicando el ultimo teorema, podemos concluir que todas las

soluciones enteras de la ecuacion ax+by =c son de la forma

x= x1+ b

dt, y=y1 a

dt, tZ

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Ejemplos

1. Solucionar las ecuaciones

1.1 10x + 4y= 20

1.2 1745x + 1485y= 15

1.3 10x 7y= 17

2. Una bufanda cuesta 19 euros, pero el comprador no tiene masque billetes de tres euros; y la cajera, solo de cinco. Puede enestas condiciones abonarse el valor de la compra y comohacerlo?.

3. Se ha comprado libros de una oferta por 215000 pesos elvolumen y en otra oferta libros a 190000 pesos el volumenpagando en total 2940000. Cuatos libros se ha comprado encada oferta?

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Teorema deEuler

Definicion (Sistemas numericos posicionales)

Un sistema numerico en el cual cada dgito obtiene un valor quedepende de su posicion que ocupa dentro de un numero, es un

sistema numerico posicional

Ejemplos

Normalmente utilizamos un sistema posicional de base 10. Elsistema decimal. En este sistema los numeros son representados

utilizando diez dgitos diferentes que son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Entonces si un dgito a ocupa la posicion n a la izquierda del puntodecimal dentro de un numero, el valor que aporta al numero esa10n1, mientras que si ocupa la posicion n a la derecha del puntodecimal, su aporte al valor del numero es 10n. Por ejemplo:

582,73 = 5 102 + 8 10 + 2 + 7 10

1 + 3 10

2

ObservacionCualquier numero entero b >1 puede ser utilizado como base.

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Di t II
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Teorema deEuler

TeoremaSeab un entero positivo mayor que1. Sir es un numero racional,entonces lo podemos escribir de forma unica como

r= (

1)s(akbk +. . .+a1b+a0+a1b

1 +a2b

2 +. . .+amb

m)

dondek ym son enteros no negativo, am, . . . , a1, a0, a1. . . . , ak

son enteros menores queb conak= 0 yam= 0.Ademas, s= 0 sires positivo o s= 1 sir es negativo.

La representacion de r dada por el teorema anterior es llamada la

representacion de r en base b. Esta es denotada por(1)s(akak1. . . a1a0.a1. . . am)b.

ObservacionCuando b= 10, escribimos (1)sakak1. . . a1a0.a1. . . am paradenotar (1)

s

(akak1. . . a1a0.a1. . . am)10.

Ejemplos

1. Cual es la representacion decimal del numero (245,37)8?

2. Cual es la representacion decimal del numero (1011,01)2?

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Di t IISistema Binario, Octal y Hexadecimal
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Teorema deEuler

Sistema Binario, Octal y Hexadecimal

DefinicionAdemas del sistema decimal, hay otros tres sistemas posicionales que

resultan muy importantes en las ciencias de la computacion:1. Binario: Cuando b= 2, los dgitos del sistema son el 0 y el 1.

Esta es la representacion que utilizan todas las computadoraspersonales

2. Octal: Cuando b= 8, el sitema octal esta formado por los

dgitos del 0 al 7.3. Hexadecimal: Cuando b= 10, los dgitos hexadecimales son:

0, 1, . . . , 9, A , B , C , D , E , F . Donde A denota al dgito 10 de labase 16, B el dgito 11, . . .

Ejemplos1. Cual es la representacion decimal del numero (AE5B)16?

2. Cual es la representacion decimal del numero (ABBA.CD)16?

3. Representar en base 10 el numero (10101)2

Matematicas

Discretas IIConversion de numeros de la base 10 a la base b
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Modular

Congruencias

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Teorema deEuler

C 0Para convertir un numero entero positivo de base 10 a baseb >1

1. Realice la division entera por b del cociente obtenido en el pasoanterior, comenzando con el numero dado.

2. Guarde el resto de tal division

3. Continue con el paso 1 hasta que el dividendo sea cero.

4. Lea los restos obtenidos, desde el ultimo al primero, para formarla representacion buscada.

Para convertir un numero decimal entre 0 y 1 a la base b >1

1. Realice la multiplicacion por b de la parte fraccionaria obtenidaen el paso anterior, comenzando con el numero dado.

2. Guarde la parte entera de tal producto.

3. Continue con el paso 1 hasta que la parte fraccionaria sea cero,o hasta obtener el numero suficiente de dgitos requeridos parasu representacion

4. Lea las partes enteras obtenidas, del primero hacia el ultimo,

para formar la representacion buscada.

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Primos


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Aritmetica

Modular

Congruencias

Aritmetica enZm






Teorema deEuler

Ejemplos

1. Convertir 142,286 a las bases 2, 8 y 16

2. Convertir 0,1 a binario

3. Convertir 245 a la base 5

4. Convertir 6,78 a binario

Matematicas

Discretas IICongruencias
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Divisibilidad

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Mnimo comunMultiplo

Primos


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Aritmetica

Modular

Congruencias

Aritmetica enZm






Teorema deEuler

g

DefinicionSi un entero positivo m, diferente de cero, divide a la diferencia

a b, se dice que a es congruente con b modulo my se escribeab (mod m). Si a bno es divisible entre m, se dice que a no escongruente con b modulo my en este caso se escribeab (mod m).

Ejemplos

1. 8311 (mod 8)2.153 (mod 6)3. 315 (mod 3)

ObservacionDos numeros enteros a y b son congruentes modulo m si y solo sidan el mismo residuo cuando se dividen entre m

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Discretas IIPropiedades
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Divisibilidad

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Mnimo comunMultiplo

Primos


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Congruencias

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Teorema deEuler

Teorema

La relacion de congruencia modulo m es una relacion deequivalencia, esto es,

1. Reflexiva: aa (modm).

2. Simetrica: Sia

b (modm) entonces, b

a modm.

3. Transitiva: Siab (modm) ybc (modm) entoncesac (modm).

Una relacion de equivalencia sobre un conjunto ayuda a reagrupar

los elementos de dicho conjunto mediante una propiedad ocaracterstica que estos tengan en comun, de tal forma que se logradividir el conjunto en subconjuntos no vacos y disjuntos llamadosclases de equivalencia.

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Discretas IIClases de equivalencia
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Mnimo comunMultiplo

Primos


SistemaPosicional

Aritmetica

Modular

Congruencias

Aritmetica enZm






Teorema deEuler

Fijamos un entero positivo m. Para cada entero a se define la clasede equivalencia

a={bZ|ba (mod m)}={a+km|kZ}

TeoremaSeana yb dos clases de equivalencia (cona, bZ) entonces

a= b ab (modm)

ObservacionDel anterior teorema podemos deducir: La relacion de equivalencia

modulo mdivide a Z en mclases de equivalencia que corresponden alos posibles residuos de dividir un entero entre m. Estas clases son:

0, 1, . . . , m 1.

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Discretas II
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Modular

Congruencias

Aritmetica enZm






Teorema deEuler

Definicion (Entero modulo m, Zm

)

Para todo entero positivo m, el conjunto

0, 1, . . . , m 1 lodenotamos por Zm. Esto es,

Zm :=

0, 1, . . . , m 1 .Al conjunto Zm lo denominamos conjunto de enteros modulo m.

EjemplosSi m= 3, la relacion de congruencia modulo 3 divide a Z en tresclases de equivalencia que son 0, 1, 2 y Z3 =

0, 1, 2

.

En la clase 0 estan todos los numeros que son divisibles por 3

En la clase 1 estan todos los numeros que dan residuo 1 cuando

se dividen por 3 Finalmente, en la clase 2 estan todos los numeros que dan

residuo 2 cuando se dividen por 3

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Discretas IIAritmetica en Zm
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Modular

Congruencias

Aritmetica enZm






Teorema deEuler

Se defien dos operaciones binarias en Zm suma (+) y producto (),como:

a+b = a+b

a b = a bcon a,bZ.ObservacionSi a, b pertenecen a Zm. Denotamos por:

a b:= a + (b)

Ejemplos

Si m= 7, entonces Z7 =

0, 1, . . . , 6

1. 6 + 3 = 6 + 3 = 9 = 22. 6 3 = 6 3 = 43. 37 22 = 37 22 = 15 = 1

Ejercicios

Si m= 49, determinar la clase a la que pertenece el numero 5951

Matematicas

Discretas IIPropiedades de la suma y la multiplicacion en Zm
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Modular

Congruencias

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Teorema deEuler

Si m es un entero mayor que uno, y para todo a, b, cZm se tiene:Teorema

1. Conmutatividad: a+b= b+a yab= ba

2. Asociatividad: a+ (b+c) = (a+b) +c ya(bc) = (ab)c

3. Elemento neutro y unidad: Existen0, 1Zm tal que paratodo aZm se cumple

0 +a= a+ 0 =a y 1 a= a 1 =a

4. Elemento opuesto: Para todo aZm existen un unicoelementoaZm tal que

a+ (a) = (a) +a= 0

5. Distributividad: a(b+c) =ab+ac y(a+b)c= ac+bc

Matematicas

Discretas IIInverso modulo m
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Teorema deEuler

DefinicionSi m es un entero mayor que uno. Decimos que aZm tiene uninverso (o a es invertible) si existe bZm tal que a b= 1.Denotamos por a

1

al inverso de a, esto es

b:= a1

Ejercicios

Encontrar todos los elementos invertibles en Z6.TeoremaSeaa, m enteros conm positivo. Entonces, el elemento aZm esinvertible si y solo simcd(a, m) = 1.

Ejemplos

En Z8, los numeros 1, 3, 5 y 7 son primos relativos con 8. Por lotanto los unicos elementos invertibles de Z8 son 1, 3, 5 y 7

Ejercicios

Determinar si 37 es invertible en Z512 y calcular su inverso de ser

posible.

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Discretas IIExponenciacion Modular
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Modular

Congruencias

Aritmetica enZm

Exponenciacion

ModularCongruenciaslineales




Teorema deEuler

Ejercicios

Calcular el menor residuo positivo de 1235

modulo 25.

Estudiaremos un metodo para realizar este tipo de calculos de formamas eficiente. Para calcular bN modulo mdonde b, m y N sonenteros positivos.

Para calcular bN modulo m

1. Exprese el numero Nen su representacion binaria, es decir,N= (akak1. . . a1a0)2

2. Calcule los menores residuos positivos de las potencias b20

, b21

,

b22

, . . . , b2k

modulo m

3. Tomen los residuos de las potencias de b2i

para los cualesai = 1. Estos los multiplican y los van reduciendo modulo mdespues da cada multiplicacion.

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Discretas II
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Modular

Congruencias

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Teorema deEuler

Ejemplos

1. 2644 modulo 645

2. 25463258 modulo 25

Ejercicios

1. 2357 modulo 61

2. 1387 modulo 91

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Discretas IICongruencias Lineal
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Modular

Congruencias

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Teorema deEuler

Definicion (Congruencia lineal)

Es un congruencia de la forma axb (mod m) siendo a, b, menteros con m positivo y x una incognita.

Ejemplos

Resolver las congruencias lineales

1. 2x

0 (mod 4)

2. 7x1 (mod 11)

Observacion

1. Solucionar una congruencia lineal axb (mod m) en elconjunto Z implica encontrar todos los numeros enteros quesatisfagan dicha congruencia.

2. Resolver la congruencia lineal axb (mod m) en el conjuntoZ es equivalente a resolver la ecuacion ax= b en el conjunto Zm

Matematicas

Discretas IITeoremaLa congruencia ax b mod m tiene solucion si y solo si b es
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Teorema deEuler

La congruenciaaxb modm tiene soluci on si y s olo sib esdivisible por el maximo comun divisord= mcd(a, m).

Ademas, sid divide ab yx0 es una solucion deax

b modm, la

solucion general enZ esta dada por

x= x0+m

dt, con tZ

Mas aun, la ecuacionax= b (o la congruenciaax

b modm) en

Zm tiene exactamented clases de equivalencia como soluciones, queson:

x0, x0+m

d, x0+

2m

d , . . . , x0+

(d 1)md

Ejemplos

Resolver las congruencias lineales

1. 6x7 mod 92. 33x15 mod 15

3. 16x301 mod 595

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Modular

Congruencias

Aritmetica enZm

Exponenciacion





Teorema deEuler

Ejemplos

Encuentre cada una de las soluciones de los siguientes sistemas decongruencias lineales

1.x+ 5y3 (mod 9)

4x+ 5y1 (mod 9)

2.2x+y1 (mod 6)x+ 3y3 (mod 6)

3.7x+ 2y3 (mod 15)9x+ 4y6 (mod 15)

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Discretas IISistmeas de congruencias lineales en distintos modulos


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Modular

Congruencias

Aritmetica enZm

Exponenciacion





Teorema deEuler

Un sistema de congruencias lineales es un sistma de la forma

a1x

b1 (mod m1)

a2xb2 (mod m2)...

akxbk (mod mk)donde m1, m2, . . . , mk son enteros positivos.

Ejemplos

1.2x3 mod 63x2 mod 72x4 mod 8

2. Se tiene una canasta de naranjas. Formando grupos de 4 sobran2 y formando grupos de 6 sobran 4. Encontrar el numero denaranjas que hay en la canasta sabiendo que esta entre 150 y160.

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Discretas IITeorema Chino del Residuo
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Teorema deEuler

Teorema (Teorema Chino del Residuo)

Supongase quem1, m2, . . . , mr denotanr enteros positivos los cualesson primos relativos en pares y supongase quea1, a2, . . . , ar denotanr enteros cualesquiera. Entonces el sistema de congruencias

xa1 (mod m1)xa2 (mod m2)

...xak (mod mk)

tiene soluciones. Mas aun, dos soluciones cualesquiera soncongruentes modulo m1m2. . . mr.

ObservacionSi los modulos m1, m2, . . . , mr no son primos relativos en pares, elsistema de congruencias puede no tener solucion.

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Discretas II

Para solucionar el sistema de congruencias dado en el enunciado del


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Teorema deEuler

Para solucionar el sistema de congruencias dado en el enunciado delteorema Chino del Residuo

1. Se debe verificar que los modulosm1, m2, . . . , mr son primos

relativos en pares2. Consideramos m= m1m2. . . mr

3. Notemos que mj |m y que mcd(mj |m, mj) = 1. Por esta razon,existen enteros bj tales que

m

mjbj

1 mod mj

para cada j. Debemos de encontrar los numeros bj

4. Finalmente, considermos la suma

x=r

i=1

m

mibiai

esta es una solucion al sistema de congruencias, la cual defineuna unica clase de equivalencia modulo m= m1m2. . . mr

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Teorema deEuler

Ejemplos

1. Resolver el sistema

x2 (mod 3)x3 (mod 5)x2 (mod 7)

2. Diecisiete piratas se reparten un botn de n monedas de oro.Acordaron partes iguales, y, si hubiese un resto, se lo darian al

cocinero chino. Despues del reparto el chino recibo 3 monedas.Pero en la borrachera nocturna 6 piratas murieron acuchillados(en la rina acostumbrada en esos casos). Al otro da lossobrevivientes se vuelven a repartir las monedas y al cocinero letocaron 4 monedas. Posteriormente, en un naufrago, solo sesalvo el botn, el cocinero y 6 piratas. As que se vuelven a

repartir y le tocaron 5 monedas al cocinero. Encuentre elnumero n de monedas con que se quedo el cocinero (comomnimo) despues de envenenar a los piratas.

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Discretas IIEl pequeno teorema de Fermat
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Teorema deEuler

Teorema (Teorema de Fermat)

Seap un numero primo. Sipa, entoncesap1 1 modp. Paratodo entero a, a

p

a modp.

Ejemplos

Calcular

1. 593 mod 31

2. 340 mod 11

3. 4162003 mod 101

Ejercicios

1. Probar que n6 1 es divisible entre 7 si mcd(n, 7) = 1, paracualquier entero n.

2. Probar que n12 a12 es divisible entre 13 si mcd(n, 13) = 1 ymcd(a, 13) = 1

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Discretas IIFuncion de Euler
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Teorema deEuler

DefinicionLa funcion de Euler esta definida por: Si mes un entero positivo,

entonces (m) se define como el numero de enteros positivosmenores o iguales a m que son primos relativos con m.

Ejemplos

Evaluar(m) para m= 1, 2, 3, . . . , 12.

Observacion(m) nos proporciona la cantidad de elementos invertibles de Zm

Proposicin (Propiedades de la funcion de Euler)

1. (1) = 1;

2. (p) =p 1, sip es primo;3. (pk) = (p 1)pk1, sip es primo yk un numero natural;4. es una funcion multiplicativa: Sim yn son primos relativos,

entonces(mn) =(m)(n).

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Teorema deEuler

TeoremaSeam un entero positivo, por el teorema fundamental de laaritmetica obtenemos,

m= p11 . . . prr

donde lospj son numeros primos distintos, entonces

(m) =m

1 1

p1

. . .

1 1

pr

Ejemplos

1. Encontrar (48)

2. Encontrar (120)3. Encontrar (131769000)

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Teorema deEuler

Teorema (Teorema de Euler)Simcd(a, m) = 1, entoncesa(m) 1 modm

Ejemplos

1. Calcular1.1 34 mod 81.2 3100000 mod 35

2. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones de congruenciasutilizando el teorema de Euler

2.1 5x 3 (mod 14)2.2 4x 7 (mod 15)

matemáticas discretas a

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