Resumen de Matemáticas Discretas

Equipo #4: Pablo Herrera, Jesús Juarez, Donovan Gavilánez, Enrique Torres, Eli Patlán, Alexis García, Heleodoro Espinoza.

Grupo 2AM

Matemáticas Discretas

Maestra: Ángela Yanina Romero

Fecha: 07/04/2014

Primer Corte:Conjuntos, Diagramas de Venn y Lógica

conjuntos

• CONJUNTO: elemento que pertenece a un grupo de terminado (ejemplo un grupo de colores, números etc.)

• CONJUNTO UNIVERSAL: contiene todos los elementos del conjuntos.

• CONJUNTO FINITO: tiene un limite, ejemplo las letras del abecedario.

• CONJUNTOS INFINITO: conjunto que no tiene un fin. Ejemplos conjunto de números pares.

• SUBCONJUNTO: conjunto que se encuentra dentro de otro. Ejemplos abecedario – vocales.

• UNION: un conjunto que contiene los elementos de otro conjunto.

• INTERSECCION: elementos en común dada la unión de dos o mas conjuntos.

• DIFERENCIA: es eliminar los elementos de un conjuntos, contenidos en otro.

• DIFERENCIA SIMETRICA: eliminar en común entre dos conjuntos.

• COMPLEMENTOS: los elementos restantes que no están en contenido dentro del conjunto.

Notaciones

• ⋃ Unión: elemento que pertenece a un grupo determinado

• ⋂ Intersección: elementos en común dada la unión de dos o mas conjuntos

• ⋃ Universo: la agrupación de todos los sub conjuntos

• Δ Diferencia simétrica: eliminar entre dos conjuntos

• C Subconjunto: conjunto que se encuentra dentro de otro

• A Complemento: los elementos restantes que no están contenidos dentro del

conjunto

• [ ] conjunto: elemento que pertenecen a un grupo determinado

Diagrama de Venn

Es un medio grafico donde

podemos mostrar la relación

que existe entre dos temas.

LOGICA PROPOSICIONAL

¿Para que se utiliza la lógica? Para facilitar el raciocinio correcto y verdadero.

¿Qué es el pensamiento verdadero?Es aquel que está de acuerdo a la realidad.

¿Qué es el pensamiento falso?Es aquel que no está de acuerdo con la realidad.

¿Qué es el pensamiento correcto?Esta de acuerdo con las leyes de la razón y es congruente

consigo mismo.

¿Qué es lógica? Es la ciencia de los pensamientos (en cuanto a sus

formas mentales), para facilitar el raciocinio correcto

y verdadero.

Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor

asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por ejemplo:Ejemplo:

• Hoy es Viernes

• Ayer llovió

• Hace frío

¿QUE ES UNA PROPOSICIÓN?:

¿Cuántos tipos de proposiciones existen?:

•Simple:

Cuando en ella no interviene una conectiva logia

( y, o, si… entonces, si y solo si)

•Compuesta:

Cuando se unen una o varias proposiciones simples.

Leyes de equivalencia

Conmutativa:

• Esta ley puede aplicarse con tres de los cuatros conectivos: conjunción, disyunción y bicondicional. Con el único conectivo que no puede aplicarse esta ley es con el conectivo de la condicional. Cambia el orden de las proposiciones sin modificar el conectivo.

Ejemplo: Simbologia

(P ^ Q) ⇆ (Q ^ P)

(P v Q) ⇆ (Q v P)

Asociación

• Esta ley ordena de diversas formas sin alterar los productos, cuando se tenga el mismo conectivo lógico, ya sea la conjunción o disyunción.

Ejemplo: Simbologia

[(P v Q) v R] ⇆ [P v (Q v R)]

o bien

[(P ^ Q) ^ R] ⇆ [P ^ (Q ^ R)]

Distribución

• Se aplican cuando se tienen dos conectivos diferentes: conjunción - disyunción o bien disyunción - conjunción. Distribuye a la proposición fuera del paréntesis con las que están dentro de este.

Ejemplo: Simbologia

[(P v Q) ^ R] ⇆ [(P ^ R) v (Q ^ R)

[(P ^ Q) v R)] ⇆ [(P v R) ^ (Q v R)

CONECTIVA NOTACION EJEMPLO DE USO Se lee

Negación ~ ~P NO P

Conjunción ∧ p∧q p y q

Disyunción ∨ p∨q p o q

Condicional pq si entonces

Bicondicional pq si y solo si

CONECTIVOS LOGICOS

PRIORIDAD PARA RESOLVER

1.- ELEMENTOS DE AGRUPAMIENTO: ( ) [ ] { }

2.- NEGACION: ~

3.- IMPLICACION:

4.- EQUIVALENCIAS:

5.- CONJUNCION: ∧

6.- DISYUNCION: ∨

p q ~p pvq pΛq pq pq

v v f v v v v

v f f v f f f

f v v v f v f

f f v f f v v

TABLAS DE VERDAD

Segundo Corte:Demostraciones Matemáticas

Qué es una demostración?

• Indicar, señalar, mostrar o comprobar algo supone una acción que se conoce como demostrar.

• Es aquello que prueba o evidencia una cierta cosa. A través de demostraciones, pueden comprobarse teorías o hipótesis.

I

Tautología

• Es una proposición simbólica la cual es verdadera en todos los casos posibles de sustitución de variables.

I

Axioma

• En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.

“A veces se compara a los axiomas con semillas, porque de ellos surge toda la teoría de la cual son axiomas.”

I

Postulado

• Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio del que pueda ser deducida.

J

Teorema

• Un teorema es una proposición que afirma una verdad demostrable. En matemáticas, es toda proposición que partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una verdad (tesis) no evidente por sí misma.

J

Corolario

• Es un término que se utiliza en matemáticas y en lógica para designar la evidencia de un teorema o de una definición ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente que no necesita demostración.

J

Hipótesis

• Es una suposición o idea que puede no ser verdadera, basada en información previa. Su valor reside en la capacidad para establecer más relaciones entre los hechos y explicar por qué se producen.

A

Definición

• Una definición es una proposición mediante la cual se trata de exponer de manera unívoca y con precisión la comprensión de un concepto o término de una expresión o locución. Se alude a determinar, por escrito u oralmente, de modo claro y exacto, las cualidades esenciales del tema implicado.

A

Reducción al absurdo

• Para probar que una propiedad “a” es verdadera, se supone que “a” es falsa y se llega a una contradicción. Una proposición en matemáticas es verdadera o falsa pero no ambas cosas a la vez.

E

Contra reciproco

¬B → ¬A

• Se basa en el hecho de que la implicación A → B es equivalente a la lógica ¬B → ¬A.

E

Doble Implicación

A ↔ B

• El reciproco de la implicación A → B es B → A. Si se cumple una implicación no tiene porque necesariamente cumplirse la otra.

E

Solución de problemas

• 3n = 3n+1 – 32

n= 1

n= k

n= k+1

C

Tercer Corte:Grafos

Un grafo es un conjunto de puntos (vértices) en el espacio, que están conectados por

un conjunto de líneas (aristas). Otros conceptos básicos son:

Dos vértices son adyacentes si comparten la misma arista.

Los extremos de una arista son los vértices que comparte dicha arista.

Un grafo se dice que es finito si su numero de vértices es finito.

Clases de grafos:

Un multígrafo es un grafo con varias aristas entre dos vértices.

Un pseudografo es un grafo en el que hay aristas (lazos) que tienen el mismo

extremo.

Un dígrafo es un grafo donde a cada arista se le indica un sentido mediante una

flecha.

Los multígrafos o pseudomultidigrafos son combinaciones de los anteriores.

Dos grafos son isomorfos si tienen el mismo numero de vértices y aristas y, estas se

corresponden con los mismos extremos.

El grado del vértice de un grafo (gr) es el numero de aristas que tienen por extremo

dicho vértice.

Si dos grafos son isomorfos, los vértices que se corresponden tienen el mismo grado.

Un subgrafo es un grafo que esta contenido dentro de otro grafo y que se obtiene

eliminando algunas aristas y vértices del grafo principal.

Caminos, Cadenas y Ciclos

Cadena: Sucesión finita de vértices y aristas.

Cadena Cerrada: Es cuando en la cadena los vértices inicial y final coinciden.

Camino: Cadena en la que no se repiten los vértices ni las aristas.

Ciclo: Cadena en la que no se repite ninguna arista, ni vértice a excepción del inicial y el final.

Tipos de Caminos

Circuito Euleriano: Es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice y

recorre todas las aristas exactamente una vez.

Teorema 1: Un grafo admite un circuito euloriano si; G es conexo; cada vértice de G

es de grado par.

Teorema 2: Si un grafo G tiene un vértice de grado impar no existe circuito Euler. Si

G es conexo y todos los vértices tiene grado par, existe circuito Euler.

Teorema 3: Si G es conexo y tiene dos vértices de grado impar, existe una

trayectoria de Euler. Cualquier trayectoria de Euler comienza en un vértice de grado

impar y termina en otro vértice de grado impar.

Ciclo de Hamilton

El ciclo de Hamilton es un circuito simple que contiene todos los vértices de G. Es

una trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice y pasa por cada vértice

una sola vez.

Es u circuito hamiltoniano si m ≥ ½ (n^2 – 3n + 6) donde m=aristas y n=vértices

Matrices

Matriz de incidencia representa las relaciones binarias entre dos elementos, en

nuestro caso entre un vértice y una arista del grafo.

En esta matriz las columnas representan las aristas y las filas los vértices.

Para cada A[i][j] ,nótese que A es la matriz de Incidencia, puede valer:

0 si vértice i no es incidente con arista j

1 si vértice i es incidente con arista j

La Matriz de Adyacencia representa relaciones binarias, en este caso entre dos

nodos de un grafo.

Cada A[i][j] representa si existe una arista que una i,j vértice.

0 si i y j no tiene arista que los relacione

1 si i y j si tiene arista que los relacione

2 si i=j y existe arista, lazo.