matemáticas discretas (1)

MC.Rosy Ilda Basave Torres 1

MC. Rosy Ilda Basave Torres

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Matemticas Discretas


Unidad I Sistemas numricos

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1 Sistemas numricos.

1.1 Sistemas numricos (Decimal, Binario, Octal, Hexadecimal).

1.2 Conversiones entre sistemas numricos.

1.3 Operaciones bsicas (Suma, Resta, Multiplicacin, Divisin).

1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicacin y divisin en binario.

1.5 Aplicacin de los sistemas numricos en la computacin.

Unidad I



MC. Rosy Ilda Basave Torres

El objetivo de la materia es conocer y comprender los conceptos bsicos de lgica matemtica, relaciones, grafos y rboles para aplicarlos a modelos que resuelvan problemas de computacin.

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4

Sistemas numricos

Un sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permiten representar datos numricos.

Los sistemas de numeracin actuales son sistemas posicinales, que se caracterizan porque un smbolo tiene distinto valor segn la posicin que ocupa en la cifra. Los sistemas que abarcaremos son los siguientes:

Sistema Decimal Sistema Binario Sistema Octal Sistema Hexadecimal

MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I

5

Sistema Decimal

Al utilizar estos smbolos como dgitos de un nmero podemos expresar cualquier cantidad.

Sistema decimal

1

2

3

4

5

6 7 8 9

Smbolos

0

Smbolos


6

Sistema Decimal

Conocido como sistema de base 10.

Evolucion en forma natural a partir del hecho de que el ser humano tiene 10 dedos

Sistema decimal

1

2

3

4

5

6 7 8 9

Smbolos

0

Smbolos


7

Sistema Decimal

La palabra dgito significa dedo en latn.

Sistema decimal

1

2

3

4

5

6 7 8 9

Smbolos

0

Smbolos

Es un sistema de valor posicional en el cual el valor de un dgito depende de su posicin.


8

Sistema Decimal

MSD; most significant digit

Ejemplo:

4 5 6

centenas decenas unidades

MSD LSD

LSD; least significant digit


9

Sistema decimal

2745.214 = (2X10+3)+(7X10+2)+(4X101)+(5X100)+(2X10-1)+(1X10-2)+(4X10-3)

2 7 4 5 . 2 1 4

Punto decimal MSD LSD

103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 Valores posicionales

(valores relativos)


10

Sistema decimal

2705.214 = (2X10+3)+(7X10+2)+(0X101)+(5X100)+(2X10-1)+(1X10-2)+(4X10-3)

2 7 0 5 . 2 1 4

Punto decimal MSD LSD


(valores relativos)


11

Sistema Decimal

30

...

40

99

100

999

1000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

102=100 nmeros diferentes (de 0 a 99).


10N= 10N nmeros diferentes (de 0 a 10N 1


12

Gracias por su atencin

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13

Sistema Binario

El sistema numrico decimal no se presta para una instrumentacin conveniente en los sistemas digitales.

Resulta muy difcil disear equipo electrnico que pueda funcionar con 10 diferentes niveles de voltaje

Es muy fcil disear circuitos electrnicos sencillos y precisos que operen con slo dos niveles de voltaje.

Por esta razn, casi todos los sistemas digitales utilizan el sistema binario (base 2) de sus operaciones, aunque con frecuencia se emplean otros sistemas conjuntamente con el binario.


14

Sistema Binario


Sistema binario 1

Smbolos

0

Smbolos


15

Sistema Binario


Es muy fcil disear circuitos electrnicos sencillos y precisos que operen con slo dos niveles de voltaje.

Sistema binario 1

Smbolos

0

Smbolos


16

Sistema Binario

Casi todos los sistemas digitales utilizan el sistema binario, aunque con frecuencia se emplean otros sistemas conjuntamente con el binario.

Es un sistema de valor posicional en el cual el valor de un dgito depende de su posicin.

Sistema binario 1

Smbolos

0

Smbolos


17

Sistema Binario

1011.1002=(1X23)+(0X22)+(1X21)+(1X20)+(0X2-1)+(0X2-2)

+(0X2-3) = 8+0+2+1+0.5+0+0= 11.510

1 0 1 1 . 1 0 0

Punto binario MSD LSD


(valores relativos)

MSD; most significant digit LSD; least significant digit

Ejemplo:


18

Sistema Binario

1002=(1X22)+(0X21)+(0X20)=4+0+0 = 410

1 0 0

MSD LSD

22 21 20 Valores posicionales

(valores relativos)

El termino dgito binario se abrevia a menudo como bit


Ejemplo:


19

Sistema Binario

10112= (1X23)+(0X22)+(1X21)+(1X20)=8+0+2+1 = 1110

1 0 1 1

MSD LSD

23 22 21 20 Valores posicionales

(valores relativos)


Ejemplo:


20

Sistema binario

0

1

10

11

100

101

110

111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

21=2 nmeros diferentes (0 y 1).




2N=2N nmeros diferentes (de 0 a 2N 1


21

Conteo en Sistema Binario

23=8 22=4

21=2

20=1

Dec.

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 2

0 0 1 1 3

0 1 0 0 4

0 1 0 1 5

0 1 1 0 6

0 1 1 1 7

23=8 22=4

21=2

20=1

Dec.

1 0 0 0 8

1 0 0 1 9

1 0 1 0 10

1 0 1 1 11

1 1 0 0 12

1 1 0 1 13

1 1 1 0 14

1 1 1 1 15


22


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23

Sistema Octal


Sistema Octal

1

2

3

4

5

6 7

Smbolos

0

Smbolos



24

Sistema Octal

7021.7058=(7X83)+(0X82)+(2X81)+(1X80)+(7X8-1)+(0X8-

2)+(5X8-3) = 3584+0+16+1+0.875+0+0.009 = 3601.88410

7 0 2 1 . 7 0 5

Punto Octal MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:


25

Sistema Octal

4308=(4X82)+(3X81)+(0X80)=256+24+0 = 28010

4 3 0

MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:


26

Sistema Octal

11118= (1X83)+(1X82)+(1X81)+(1X80)=512+64+8+1 = 58510

1 1 1 1

MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:


27

Conteo Sistema Octal

0

1

2

3

4

5

6

7

10

11

12

13

14

15

16

17

20

21

27

30

77

100

777

1000

81=8 nmeros diferentes (0 al 7).




8N = 8N nmeros diferentes (de 0 a 8N 1


28

Sistema Hexadecimal


Sistema Hexadecimal

Smbolos

0

1

2

3

Smbolos


4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F


29


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30

Sistema Hexadecimal

FA21.B0516=(15X163)+(10X162)+(2X161)+(1X160)+

(11X16-1)+(0X16-2)+(5X16-3) = 61440+2560+32+1+0.6875+0+0.001 = 64033.68810

F A 2 1 . B 0 5

Punto Octal MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:


31

Sistema Hexadecimal

43016=(4X162)+(3X161)+(0X160)=1024+48+0 = 107210

4 3 0

MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:



32

Sistema Hexadecimal

111116= (1X163)+(1X162)+(1X161)+(1X160)=4096+256+16+1= 436910

1 1 1 1

MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:



33

Conteo Sistema Hexadecimal

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

1C

1D

1E

1F

20

21

2F

30

FF

100

FFF

1000

161=16 nmeros diferentes (0 al 15).




16N = 16N nmeros diferentes (de 0 a 16N 1


34

Actividad 1

1. Convierta los nmeros del sistema dado al sistema faltante detalle el procedimiento

Binario Hexadecimal

Octal Decimal

101102

100011012

1001000010012

11110101112

101111112

3710

1410

18910

20510

231310

7438

368

37778

2578

12048

8918

51110

Binario Hexadecimal Octal Decimal

9216

1A616

37FD16

2C016

7FF16

Cul es el mayor valor decimal que se puede representar con un nmero binario de 8 bits?

Liste los nmeros octales en secuencia del 165 al 200

Liste los nmeros hexadecimales 280 al 2A0


35


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36

Conversin entre sistemas Conversin de Decimal a Binario Conversin de Decimal a Octal Conversin de Decimal a Hexadecimal

Conversin de Binario a Decimal Conversin de Binario a Octal Conversin de Binario a Hexadecimal

Conversin de Octal a Decimal Conversin de Octal a Binario Conversin de Octal a Hexadecimal

Conversin de Hexadecimal a Decimal Conversin de Hexadecimal a Binario Conversin de Hexadecimal a Octal


37


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38

Conversin de Decimal a Binario

El mtodo ms usado para convertir de decimal a binario es la

divisin repetida por 2.

La conversin, que se ilustra a continuacin para 2510,

LSB

MSB

Divisin Residuo

25/2=12 1

12/2=6 0

6/2=3 0

3/2=1 1

1/2=0 1

2510=110012


39

Conversin de decimal a octal

El mtodo ms usado es la divisin repetida por 8. La

conversin, que se ilustra a continuacin para 26610,

LSB

MSB

Divisin Residuo

266/8=33 2

33/8=4 1

4/8=0 4

26610=4128


40

Conversin de decimal a Hexadecimal



LSB

MSB

Divisin Residuo

423/16=26 7

26/16=1 10

1/16=0 1

42310=1A716


41

Conversin de decimal a Hexadecimal



LSB

MSB

Divisin Residuo

214/16=13 6

13/16=0 13 21410= D616


42

Conversin de Binario a Decimal

110012=(1X24)+(1X23)+(0X22)+(0X21)+(1X20)= 16+8+0+0+1

= 2510

1 1 0 0 1

MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo: 2510=110012

24


43


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44


1011.1002=(1X23)+(0X22)+(1X21)+(1X20)+(1X2-1)+(0X2-2)

+(0X2-3) = 8+0+2+1+0.5+0+0 = 11.510

1 0 1 1 . 1 0 0

Punto binario MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:


45


1002=(1X22)+(0X21)+(0X20)=4+0+0 = 410

1 0 0

MSD LSD


(valores relativos)

El termino dgito binario se abrevia a menudo como bit


Ejemplo:



46


10112= (1X23)+(0X22)+(1X21)+(1X20)=8+0+2+1 = 1110

1 0 1 1

MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:


47

Conversin de binario a octal

La conversin de enteros binarios a octales es simplemente la operacin inversa a la conversin octal a binario.

Nmero binario 100 111 010

Nmero octal 4 7 2

Algunas veces el nmero binario no tendr grupos de 3 bits. En esos

casos, podemos agregar uno o dos ceros a la izquierda del MSB del

nmero binario a fin de completar el ltimo grupo.


48

Conversin de binario a hexadecimal

La conversin de enteros binarios a hexadecimales es simplemente la operacin inversa a la conversin hexadecimal a binario. 11101001102


Nmero Hex. 3 A 6

Algunas veces el nmero binario no tendr grupos de 4 bits. En esos

casos, podemos agregar uno, dos o tres ceros a la izquierda del

MSB del nmero binario a fin de completar el ltimo grupo.


49

Conversin de octal a decimal

7021.7058=(7X83)+(0X82)+(2X81)+(1X80)+(7X8-1)+(0X8-

2)+(5X8-3) = 3584+0+16+1+0.875+0+0.009 = 3601.88410

7 0 2 1 . 7 0 5

Punto Octal MSD LSD


(valores relativos)

Ejemplo:

Un nmero octal puede convertirse a su equivalente decimal multiplicando cada dgito octal por su valor posicional.


50


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51


4308=(4X82)+(3X81)+(0X80)=256+24+0 = 28010

4 3 0

MSD LSD


(valores relativos)

Ejemplo:


52


11118= (1X83)+(1X82)+(1X81)+(1X80)=512+64+8+1 = 58510

1 1 1 1

MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:


53

Conversin de octal a binario

La conversin de enteros octales a binarios es simplemente la operacin inversa a la conversin binario a octal. Los ocho dgitos posibles se convierten como si indica en la tabla

Nmero octal 4 7 2


Dgito Octal 0 1 2 3 4 5 6 7

Equivalente binario 000 001 010 011 100 101 110 111

Por medio de estas conversiones, cualquier nmero octal se convierte a binario


54

Conversin de octal a hexadecimal

La conversin de enteros octales a hexadecimales se hace convirtiendo primero el numero octal a binario y posteriormente de binario a hexadecimal.

Nmero octal 4 7 2



Nmero Hex. 1 3 A


55

Conversin de hexadecimal a decimal

FA21.B0516=(15X163)+(10X162)+(2X161)+(1X160)+

(11X16-1)+(0X16-2)+(5X16-3) = 61440+2560+32+1+0.6875+0+0.001 = 64033.68810

F A 2 1 . B 0 5

Punto MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:


56


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57


43016=(4X162)+(3X161)+(0X160)=1024+48+0 = 107210

4 3 0

MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:


58


111116= (1X163)+(1X162)+(1X161)+(1X160)=4096+256+16+1= 436910

1 1 1 1

MSD LSD


(valores relativos)


Ejemplo:


59

Conversin de hexadecimal a binario

Al igual que el sistema de numeracin octal, el sistema hexadecimal se usa principalmente como mtodo taquigrafico en la representacin de nmeros binarios. Cada dgito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de 4 bits. Esto se ilustra a contunuacin para el nmero 9F216=1001111100102

9 F 2

1001 1111 0010


60

Conversin de hexadecimal a octal

Es una tarea relativamente simple la de convertir un nmero hexadecimal en binario. Cada dgito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de 4 bits, y posteriormente en grupos de tres binarios para finalmente hacer la conversin de binario a octal.

Esto se ilustra a contunuacin para el nmero 9F216=1001111100102 =47628

9 F 2

1001 1111 0010

100 111 110 010

4 7 6 2


61

Actividad 1

1. Convierta los nmeros del sistema dado al sistema faltante detalle el procedimiento

Binario Hexadecimal

Octal Decimal

101102

100011012

1001000010012

11110101112

101111112

3710

1410

18910

20510

231310

7438

368

37778

2578

12048

8918

51110

Binario Hexadecimal Octal Decimal

9216

1A616

37FD16

2C016

7FF16

Cul es el mayor valor decimal que se puede representar con un nmero binario de 8 bits?

Liste los nmeros octales en secuencia del 165 al 200

Liste los nmeros hexadecimales 280 al 2A0


62


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63

Operaciones bsicas en los sistemas

Adicin Decimal, Binaria, Octal y Hexadecimal.

Resta Decimal, Binaria, Octal y Hexadecimal.

Divisin Decimal, Binaria, Octal y Hexadecimal.

Multiplicacin Decimal, Binaria, Octal y Hexadecimal.


64


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65

Adicin Decimal

LSD

376 + 461 ________ 837


66

Adicin Binaria

011 (3)

110 (6)

1001 (9)

+

1001 (9)

1111 (15)

11000 (24)

+

11.011 (3.375)

10.110 (2.750)

110.001 (6.125)

+

0+0=0 1+0=1 1+1=10=0+ acarreo de 1 ala siguiente posicin 1+1+1=11=1+ acarreo de 1 ala siguiente posicin.


67

Adicin Octal

071

123

214

+

7

7

16

+

23.01

12.17

35.20

+

777

777

1776

+

745

737

1704

+

203.71

172.77

376.70

+

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7


68

Adicin Hexadecimal

071

1A3

214

+

7

A

11

+

23.01

12.17

35.28

+

FFF

FFF

1FFE

+

C45

7D7

141C

+

203.71

172.77

375.E8

+

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Los nmeros hexadecimales se utilizan ampliamente en la programacin de computadoras, en lenguajes de mquina y en conjuncin con la memoria de la computadora (es decir, direcciones). Cuando se trabaje en estas reas, habr sustituciones donde los nmeros hexadecimales tengan que restarse y sumarse.


69

Resta Decimal

LSD

476 - 361 ________ 115


70


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71

Resta Binaria

101101

010010

+ 1

010011

111101

1010000

10000

0 1 0 1 1 0 1 Num. Bin.

Comp. A 1.

1 0 1 0 0 1 1

=+4510

=-4510

Bit del signo Nmero binario

Bit del signo Complemento a 2

Suma 1.

Comp. A 2.

Reste 1011012 a 1111012

Suma el minuendo.

Se descarta.

Resultado.


72

Resta Octal

1 2 3

001 010 011

110 101 100

+ 1

110 101 101

6 5 5

Reste 1238 de 1718

Solucin: Primero, convierta el sustraendo (123) a su forma complemento a 2 utilizando cualquiera de los mtodos. El resultado smelo al esto al minuendo (171).

7 7 7

1 2 3

6 5 4

+ 1

6 5 5

171

655

1046

Num. Oc.

Conv. Bin.

Comp. a 1.

Comp. A 2.

Conv. Oct.

Reste cada digito de 7

Sume 1

+

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7


73

Resta Hexadecimal

7 3 A

0111 0011 1010

1000 1100 0101

1000 1100 0110

8 C 6

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Reste 73A16 de 99216

Solucin: Primero, convierta el sustraendo (73A) a su forma complemento a 2 utilizando cualquiera de los mtodos. El resultado es 8C6. Luego sume esto al minuendo (992).

F F F

7 3 A

8 C 5

+ 1

8 C 6

992

8C6

1258

Num. Hex.

Conv. Bin.

Comp. a 1.

Comp. A 2.

Conv. Hex.

Reste cada digito de F

Sume 1

+


74

Multiplicacin Decimal

376 X 11 ________ 376 376 4136


75


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76

Multiplicacin Binaria

1001 X 1011 ________ 1001 1001 0000 1001 1100011


77

Multiplicacin Octal

77 X 12 ________ 176 77 1166

2X0=0

2X1=2

2x2=4

2X3=6

2X4=10

2X5=12

2X6=14

2x7=16

1X0=0

1X1=1

1x2=2

1X3=3

1X4=4

1X5=5

1X6=6

1x7=7


78

Multiplicacin Hexadecimal

FF X 12 ________ 1FE FF 11EE

2X0=0

2X1=2

2x2=4

2X3=6

2X4=8

2X5=A

2X6=C

2x7=E

2X8=10

2X9=12

2XA=14

2XB=16

2XC=18

2XD=1A

2XE=1C

2XF=1E

1X0=0

1X1=1

1x2=2

1X3=3

1X4=4

1X5=5

1X6=6

1x7=7

1X8=8

1X9=9

1XA=A

1XB=B

1XC=C

1XD=D

1XE=E

1XF=F


79

Divisin decimal

18 6

03

00

18

18

00

-

-


80


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81

Divisin binaria

1001 11

0011

011

0011

11

0

-

-


82

Divisin octal

2347 21

011

21

024

21

3

-

-

2X0=0

2X1=2

2x2=4

2X3=6

2X4=10

2X5=12

2X6=14

2x7=16

1X0=0

1X1=1

1x2=2

1X3=3

1X4=4

1X5=5

1X6=6

1x7=7

1176 12

0077

106

0116

106

010

-

-


83

Divisin Hexadecimal

11DD 12

00FE

10E

00FD

FC

001

-

-


2X0=0

2X1=2

2x2=4

2X3=6

2X4=8

2X5=A

2X6=C

2x7=E

2X8=10

2X9=12

2XA=14

2XB=16

2XC=18

2XD=1A

2XE=1C

2XF=1E

1X0=0

1X1=1

1x2=2

1X3=3

1X4=4

1X5=5

1X6=6

1x7=7

1X8=8

1X9=9

1XA=A

1XB=B

1XC=C

1XD=D

1XE=E

1XF=F

84


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85

Actividad 2

Realiza las siguientes operaciones bsicas en los sistemas detallando procedimiento.

Ejercicio 1 Realiza las siguientes operaciones de nmeros binarios

10001010 + 10101010 10001010 -10101010 10001010 / 10101010 10001010 * 10101010

101+1101+110 101-1101-110 101 / 1101 101 * 1101

001+0111+1110 001-0111-1110 001 / 0111 001 * 0111

Ejercicio 2 Realiza las operaciones de los siguientes nmeros decimales

178 + 35 178 35 178 / 35 178 * 35

205 + 31 205 31 205 / 31 205 * 31

270 + 17 270 - 17 270 / 17 270 * 17


86

Actividad 2

Realiza las siguientes operaciones bsicas en los sistemas detallando procedimiento.

Ejercicio 3 Realiza las siguientes operaciones de nmeros octales:

365 + 23 365 - 23 365 / 23 365 * 23

2732 + 1265 2732 -1265 2732 / 1265 2732 * 1265

65 + 1773 65 -1773 65 / 1773 65 * 1773

Ejercicio 4 Realiza la suma los siguientes nmeros hexadecimales

17A + 3C 17A -3C 17A / 3C 17A* 3C

20F5 + 31B 20F5 - 31B 20F5 / 31B 20F5 * 31B

2E70C + 1AA7F 2E70C - 1AA7F 2E70C / 1AA7F 2E70C * 1AA7F


87

Actividad 3

Investigar el tema Algoritmos de Booth para la multiplicacin y divisin en binario.


88

Actividad 4

Investigar el tema Aplicacin de los sistemas numricos en la computacin.


89


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Unidad II Conjuntos

90 MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II

2 Conjuntos

MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II

2.1 Caractersticas de los conjuntos.

2.1.2 Nmeros naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios.

2.1.1 Conjunto universo, vaco.

2.1.3 Subconjuntos.

2.1.4 Conjunto potencia.

2.2 Operaciones con conjuntos (Unin, Interseccin, Complemento, Diferencia y diferencia simtrica).

2.3 Propiedades de los conjuntos.

2.4 Aplicaciones de conjuntos.

2 Conjuntos

Un conjunto es una coleccin o listado de objetos con caractersticas bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.

Un conjunto se representa con letras maysculas y sus elementos con letras minsculas

X={a,e,i,o,u}

a X

X

a e

i

o u

U

Elementos o miembros

Conjunto X

Universo

Diagrama de Venn


2 Conjuntos


94


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2.1 Caractersticas de los conjuntos.

Un conjunto no distingue la repeticin de objetos. A={a, b, c, d}, B={a, b, c, d, a}. Estos conjuntos son

iguales

El orden entre los elementos de un conjunto, matemticamente es irrelevante (nicamente es conveniente el orden por comodidad de lectura). A={a, b, c, d}, B={b, a, d,c}. Estos conjuntos son

iguales

Los elementos de un conjunto no requieren tener relacin que la de pertenecer al mismo conjunto.

Un conjunto con un nmero infinito de elementos se dice que es infinito y la notacin utilizada para representarlo es la elipsis .


2.1.1 Conjunto universo, vaco

Conjunto vacio no contiene elemento alguno

Se denota

Ejemplo: {}



Conjunto unitario contiene solo un elemento Se denota X={1} 1

Ejemplo: Dado X={1} 1 X 2 X X



Conjunto universo contiene todos los elemento bajo estudio

1

3

4 2

5 6

7 8 9 a e

i

o u

U

B A

b

c

U={1,2,39,a,e,i,o,u,b,c}

A={1,2,39}

B={a,e,i,o,u,b,c} El conjunto universo se denota con la letra mayscula U


2.1.2 Nmeros naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios

N = {x: x es un nmero natural}={0,1,2,3,4,5,6,} Z = {x: x es un nmero entero} ={,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,} Z+ = {x: x es un nmero entero positivo} ={1,2,3,4,5,6,} Z- = {x: x es un nmero entero negativo} ={,-3,-2,-1}


2.1.2 Nmeros naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios

Q = {x: x es un nmero racional} ={x:m/n,m Z,n Z,n0} R = {x: x es un nmero real} ={,-2,,-1,,-0.9,,-0.009,,0,0.9,1,2,} C={x:x es un nmero imaginario} ={x2+1=0, sen(x)+ cos(x2)=0,}


2 Tipos de conjuntos

Conjunto finito.- Este tipo de conjunto se caracteriza por que tiene un nmero finito de elementos, por ejemplo:

X ={a, e, i, o, u} B ={1,2,3,4} C={Jos, Juan, Maria}

Conjunto infinito.- Este tipo de conjuntos se caracterizan por que tienen un nmero infinito de elementos.

Por ejemplo: el conjunto de los nmeros enteros, racionales, naturales, imaginarios.


Principios de conjuntos

Principio de extensin

Definir un conjunto completamente por sus elementos

Principio de intencin

Definir un conjunto por sus caractersticas o a travs de una proposicin

X={1,2,3,4,.} X={2,4,6,8,} X={a,e,i,o,u}

X={x: x es positivo} X={x: x es positivo y par} X={x: x es vocal}


Ejemplo: Exprese en smbolos (intencional) el conjunto de los nmeros naturales pares mayores a diez y menores a cien.

Solucin X={x: x N,x >10,x10, x

2.1.3 Subconjuntos

Subconjunto. Un conjunto A se dice que es un subconjunto B, si cada elemento de A es tambin elementos de B, la notacin matemtica es la siguiente: A B

Subconjunto propio. Un conjunto A se dice que es un subconjunto propio de B, si cada elemento de A es tambin elementos de B, y A B, la notacin es la siguiente


2.1.3 Subconjuntos

Un conjunto A se dice que es un subconjunto B, si cada elemento de A es tambin elementos de B, la notacin matemtica es A B. Ejemplo:

a

b 1 2

B={1,2} E={1}

D={a,b} F={a,b}

E F D

B

E B F D D F

U


2.1.3 Subconjuntos

Un conjunto es disjunto si no tienen elementos en comn, esto es, ningn elemento de A esta en B, esto se denota AB= . Ejemplo: el conjunto vaco es un subconjunto de cualquier conjunto.

B={1,2} E={1} D={a,b} F={a,b}

a

b 1 2

E F D

B

U

F D D F E D

ED= BF= BD= EF=

D F E


2.1.3 Subconjuntos

Segn la variada bibliografa existente sobre el tema, las siguientes expresiones son consideradas equivalentes:

A est incluido en B.

A est contenido en B.

A es un subconjunto de B.

B incluye a A.

B contiene a A.

B es un superconjunto de A.


2.1.3 Subconjuntos

Conjuntos como objetos.

Los conjuntos tambin son objetos y por ello pueden ser elementos de otros conjuntos. Por ejemplo

B={{1,2},{1,3},{1}} tiene 3 elementos.


2.1.4 Conjunto potencia

Al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A se denomina conjunto potencia de A y se representa por 2A

Ejemplos:

Dado el siguiente conjunto X={a, e, i} calcule 2X

2X ={,{a},{e},{i}{a,e},{a,i},{e,i},{a,e,i}}

Dado el siguiente conjunto A={1, 2, 3} calcule 2A

2A ={,{1},{2},{3}{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}



Particin de un conjunto. Una particin de un conjunto A (no vacio) es un nuevo conjunto formado por subconjuntos definidos por 2A tal que:

Cada elemento de es un conjunto no vaco.

Los elemento de son disjuntos entre si.

La unin de la misma particin son los mismos elementos de A.

Ejemplo A={1,2,a,b} algunas particiones posibles de A son:

A =[{1},{2},{a},{b}]

A =[{1,2,a},{b}]

A =[{1,2},{a,b}]



Cardinalidad. De manera intuitiva la cardinalidad de un conjunto es el nmero de elementos que tiene. Por ejemplo:

Conjunto Cardinalidad

A={} A|=0

B={a} B|=1

C={a,d,f,g,d} C|=5

D={{},{},{}} D|=3

E={1,2,3,4,} No es posible establecer la cardinalidad de conjuntos infinitos o simplemente su cardinalidad es infinita

La cardinalidad se denota con el smbolo barra


112


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Actividad I

1.- Cul de estos conjuntos son iguales?

A={a, b, c, d}, B={b, a, d,c}, C={d, c, b, a, d}, D={a, d, c, b, a, b},

2.- N = {1,2,3,...} hacer una lista de los elementos de los seguintes conjuntos.

a) A={x: x N, x>3, x

Actividad I

3.- Determine si los conjuntos se encuentran en forma extensional o intencional.

{1, 2, 3, 4, ...}

A={x N: x es un nmero par}

4.- Representar intencionalmente el conjunto {2} de dos maneras distintas.

5.- Genere el conjunto potencia de A={Juan, Pedro, Sonia}


Actividad I

6.- Considerar los siguientes conjuntos , A={1}, B={1, 4}, C={1,4,7}, D={1,3,5,6,9},

U={1,2,3,,9} Insertar el smbolo correcto , en cada par de

conjuntos. a) ,A b)A,B c)B,D d)C,D e)D,U 7.- Indicar si son verdaderas o falsas las

siguientes afirmaciones, justificar las respuestas. a) {} b) {} c)


Actividad I

8.-Considere el conjunto A={{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}

a) Cules son los elementos de A? b) Indicar si son verdaderas o falsas las

siguientes afirmaciones. i) 1 A ii){1,2,3} A iii){6,7,8} A

iv){{4,5}} A v) A vi) A 9.- Determinar la cardinalidad de los siguientes

conjuntos a) A={x:x Z, x

Actividad I

10.-Insertar el smbolo correcto , , entre cada par de conjuntos.

a)2,{1,2,3} b){2},{1,2,3} c){2},{{1},{2},{3}} d) ,{1,2,3}

11.- dado A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Determinar cuales de las siguientes particiones son validas.

a)[{1,3,5},{2,4},{7,8,9}] b)[{1,2,3,4},{2,5,6,7,8,9}] c) [{1,2},{4,5},{3},{6,9},{7,8}]

12.- Es verdad que los conjuntos se expresan con letras minsculas?.

13.- Es verdad que los elementos de un conjunto se representan con letras maysculas?


2.2 Operaciones con conjuntos (Unin, Interseccin, Complemento, Diferencia y diferencia simtrica)

Unin

La unin de dos A y B es un tercer conjunto cuyos elementos son tambin elementos de A y B, se denotan de la siguiente manera AB={x:x A x B}

A={1,2,3,4} B={3,4,5,6} U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

AB={1,2,3,4,5,6}

Interseccin

La interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son comunes a A y B, se denota de la siguiente manera A B={x:x A y x B}

A={1,2,3,4} B={3,4,5,6} U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A B={3,4}



Diferencia o complemento relativo

La diferencia de un conjunto A con respecto a B, es el conjunto cuyos elementos estn en A pero no estn en B, se denota de la siguiente manera A-B={x:xA y x B}

A={1,2,3,4} B={3,4,5,6} U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A-B={1,2}

B-A={5,6}

Complemento absoluto

El complemento absoluto o simplemente complemento, es simplemente los elementos que pertenecen a U pero no pertenecen a A. se denota de la siguiente manera. Ac={x:xU y x A}

Ejemplo:

A={1,2,3,4} B={3,4,5,6} U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Ac={5,6,7,8,9}

Bc={1,2,7,8,9}



Diferencia simtrica.

La diferencia simtrica entre A y B, es el conjunto que contiene exactamente todos los elementos que estn en A o en B, pero no en ambos.

.

Dado los siguiente conjuntos A={1,2,3,4} B={3,4,5,6} calcular su diferencia simtrica Primero calculo AB={1,2,3,4,5,6} Segundo calculo A B={3,4} Tercero calculo (AB)-(AB)={1,2,5,6}



Procedencia en las operaciones de conjuntos no existe el concepto, las operaciones se van realizando de izquierda a derecha. nicamente las expresiones que estn entre parntesis se resuelven primero.


Representacin de las operaciones a travs de diagramas de Venn


123


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Actividad II

Dado los siguientes conjuntos dibuje el diagrama de Venn

A={a,b,c,d,e}

B={b,d,g}

C={,7,8,9}

D={5,6,9}

E={4,5,6}

U={1,2,3,,9}

Y calcule la siguiente operaciones

Calcular a) AB b) AB c)C D d)C D e)DE f)DE g)A-B h)B-A i)C-D j)D-C k)D-E l)E-D m)AC n)BC

o)CC

p) (AB) (CD) q) (AB) (CD) r) (A B) (C D) s) (A B) (C D) t)A B C D E u) A ((B C) D E) v)(A-B) (C-D) w)(AC-B) (C-DC)


Actividad II

Dado los siguientes conjuntos

A={1,2,3,4,5}

B={2,4,6}

C={1,3,7,8,9}

D={5,6,7,8,9}

E={4,5,6}

U={1,2,3,,9}

Calcular a) AB b) AB c)C D d)C D e)DE f)DE g)A-B h)B-A i)C-D j)D-C k)D-E l)E-D m)AC n)BC

o)CC

p) (AB) (CD) q) (AB) (CD) r) (A B) (C D) s) (A B) (C D) t)A B C D E u) A ((B C) D E) v)(A-B) (C-D) w)(AC-B) (C-DC)


Actividad III

Haga un anlisis de las propiedades y aplicaciones de conjuntos.


127


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Unidad III 3 Lgica matemtica

3.1 Lgica proposicional. 3.1.1 Concepto de una proposicin 3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyuncin, Conjuncin,

Negacin, Condicional, Bicondicional) 3.1.3 Tablas de verdad 3.1.4 Tautologas, contradiccin y contingencia. 3.1.5 Equivalencias Lgicas 3.1.6 Reglas de inferencia 3.1.7 Argumentos vlidos y no vlidos 3.1.8 Demostracin formal (Directa, Por contradiccin)

3.2 Lgica de predicados. 3.2.1 Cuantificadores 3.2.2 Representacin y evaluacin de Predicados

3.3 Algebra declarativa 3.4 Induccin matemtica 3.5 Aplicacin de la lgica matemtica en la computacin

MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 128

3.1.1 Concepto de una proposicin

Una proposicin simple se considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bien es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad de dicha proposicin se le llama su valor de verdad .

Se denotan por las letras : p, q, r, s...etc.

Ejemplo Proposicin simple

Valor de verdad

p: 7 es un nmero par; Falso

q: 2 + 2 = 4; Verdadero

r: 2 es un nmero impar; Falso

s: Cmo estas? No se puede asignar un valor de verdad, no es una proposicin


3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyuncin, Conjuncin, Negacin, Condicional, Bicondicional)

Algunas proposiciones se pueden componer de dos o varias proposiciones simples, a los cuales, les llamaremos proposiciones compuestas.

Para unir dos o ms proposiciones simples es necesario usar la Disyuncin, Conjuncin, Negacin, Condicional y Bicondicional.

Podemos denotar a una proposicin compuesta, como P(p,q,r,....), donde P es la proposicin compuesta en s, y p,q,r,...sus

componentes.



La Conjuncin se da cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra y , se denota con el smbolo lgico ^. De esta manera, se tiene que la nueva proposicin p ^ q se llama conjuncin de p y q . Ahora p ^ q debe ser verdadera, si, y solamente si, tanto p, como q, son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las proposiciones simples es falsa, entonces, el valor de verdad para p ^ q , es falso.

Ejemplo : Valor de verdad

P:(r , q) //Expresin compuesta r:(2 es un nmero par) //Proposicin simple verdadera q:(7 es un nmero impar);//Proposicin simple verdadera

p: r ^q Verdadero

r:(3 es un nmero par) ^(7 es un nmero impar); Falso

s:(7 es un nmero par) ^(2 es un nmero impar); Falso

q: (2 + 2 = 4) ^(2 - 2 = 0) ^(5 + 2 = 4); Falso MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III

131


La Disyuncin se da cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra o y se denota con el smbolo v , p v q , y se lee p o q o disyuncin de p y q.


p: (2 es un nmero par) v (7 es un nmero impar);

Verdadero

q: (2 es un nmero par) v (4 es un nmero impar);

Verdadero

r:(3 es un nmero par) v (7 es un nmero impar);

Verdadero

s:(7 es un nmero par) v (2 es un nmero impar);

Falso

q: (2 + 2 = 4) v(2 - 2 = 7) v (5 + 2 = 4); Verdadero



La Negacin de una proposicin es cambiar el valor de verdad de dicha proposicin y se denota con el smbolo ~, ~p, y se lee Es falso que


p: ~ (2 es un nmero par) Falso

q: ~ (4 es un nmero impar); Verdadero

~~p Verdadero

~~q Falso

q: ~ (2 + 2 = 4) v(2 - 2 = 7) v (5 + 2 = 4); Falso



La Condicional es utilizada para condicionar una proposicin con otra proposicin, se denota con el smbolo --> , p --> q, y se lee Si p, entonces q.

Ejemplo: Condicional

a) Si hay gasolina en el tanque, entonces mi automvil funciona.

Si p, entonces q.

b) Mi automvil slo funciona si hay gasolina en el tanque.

p solamente si q.

c) Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automvil funcione

p es suficiente par q.

d) Para que mi automvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque.

q es necesario para q.

e) Que haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione.

p implica q.



La Condicional es utilizada para condicionar una proposicin con otra proposicin, se denota con el smbolo --> , p --> q, y se lee Si p, entonces q.


p: (2 es un nmero par) --> (7 es un nmero impar);

Verdadero

q: (2 es un nmero par) --> (4 es un nmero impar);

Falso

r:(3 es un nmero par) --> (7 es un nmero impar);

Verdadero

s:(7 es un nmero par) --> (2 es un nmero impar);

Verdadero

q: (2 + 2 = 4) -->((2 - 2 = 4) v (5 + 2 = 4)); Verdadero

q: (2 + 2 = 4) -->(~((2 - 2 = 4) v (5 + 2 = 4))); Falsa



La Bicondicional es llamada condicional doble, se denota con el smbolo ,

p q, y se lee p si, y solamente si, q.

La bicondicional es equivalente a (p --> q) ^ (q --> p).

Ejemplo : Valor de

verdad

r: (2 es un nmero par) (7 es un nmero impar); p:(2 es un nmero par) --> (7 es un nmero impar); q:(2 es un nmero par) (4 es un nmero impar); q: (2 es un nmero par) (7 es un nmero impar); q:(3 es un nmero par) (2 es un nmero impar); q:(7 es un nmero par)

3.1.3 Tablas de verdad

Tabla de verdad para ~p

p ~p

V F

F V



Tabla de verdad para p v q

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F



Tabla de verdad para p ^ q.

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F



Tabla de verdad para p --> q.

p q p --> q

V V V

V F F

F V V

F F V



Tabla de verdad para p q.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V



Tabla de verdad para [(p v q) ^ r] --> ~q ^ p.

p q r p v q p v q ^ r ~q ~q ^ p [(p v q ^ r] --> ~q ^ r

V V V V V F F F

V V F V F F F V

V F V V V V V V

V F F V F V V V

F V V V V F F F

F V F v F F F V

F F V F F V F V

F F F F F V F V


3.1.4 Tautologas, contradiccin y contingencia.

Una tautologa es un caso especial de proposiciones, las cuales se caracterizan por tener slo el valor de verdad V en la ltima columna de sus tablas de verdad, independientemente de el valor de las dems proposiciones.

Algunas de estas tautologas son muy comunes y tiles, es por eso que llaman leyes.

Ejemplo: Construyamos la tabla de verdad para la proposicin: p v ~p.

p ~p p v ~p

V F V

F V V

Se observa que el valor de verdad de esta proposicin p v ~p es V, independientemente de el valor de p. Por tanto se trata de una tautologa. A dicha tautologa se le llama ley del tercio excludo.


p q r [(p -->

q) ^ (q -->

r)] -->

(p -->

r)

V V V V V V V V V V V V V V

V V F V V V F V F F V V F F

V F V V F F F F V V V V V V

V F F V F F F F V F V V F F

F V V F V V V V V V V F V V

F V F F V V F V F F V F V F

F F V F V F V F V V V F V V

F F F F V F V F V F V F V F


Tabla de verdad para: [(p --> q) ^ (q --> r)] --> (p --> r)

A esta proposicin se le conoce con el nombre de La ley del silogismo, la cual es un principio fundamental del razonamiento lgico.



La contradiccin es una proposicin compuesta: P(q,r,s...) que se caracteriza por tener slo el valor de verdad F en la ltima columna de sus tablas de verdad, independientemente del valor de las dems proposiciones: q,r,s...

Si una proposicin no es una tautologa ni una contradiccin (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia.

Veamos la proposicin p ^ ~ p y verificaremos que se trata de una contradiccin

p ~p p ^ ~p

V F F

F V F


3.1.5 Equivalencias Lgicas

Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idnticas. De ser as se denota:

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

p q ~ p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

: Sea p: p q q: ~ p q

(p q) = (~ p q)


Qu es una implicacin lgica?

Sean r y s dos proposiciones compuestas. Decimos que r implica lgicamente a s cuando r s es una tautologa y lo denotamos por r s. Ejemplo: Comprueba que [(p q) p] q. En este caso, r es [(p q) p] y s es q


Qu es una implicacin lgica? Para comprobar [(p q) p] q usamos la

definicin.

p q p q [(pq) p] [(p q) p] q.

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Esta es una implicacin lgica llamada: Modus Ponens o Modo Positivo.

Est relacionada con un modo de razonamiento: Si tengo dinero, voy al cine. Y tengo dinero. Por lo tanto, voy al cine!


Qu es un argumento?

Un argumento es una proposicin compuesta del tipo Si (p1 p2 p3 ..... pk) entonces q Premisas Conclusin Ejemplo Si Juan se gana la beca, viaja a Pars. Y Juan se gan la beca. Por lo tanto, viajar a Pars.

Este argumento tiene dos premisas.

Las premisas son: Si Juan gana la beca entonces viaja a Pars y Juan se gan la beca.

La conclusin es: Juan viaja a Pars.


Si Juan se gana la beca, viaja a Pars. Y Juan se gan la beca. Por lo tanto, viajar a Pars. Este argumento puede representarse como una tabla o como una implicacin. Sean las proposiciones: p: Juan gana la beca q: Juan viaja a Pars.

Tabla: p q

p

q

Implicacin:

[(p q) p] q

Qu es un argumento?

Un argumento es vlido si cada vez que las premisas son verdaderas, la conclusin es verdadera.


Ejercicio

Fue Elisa o fue Carlos quien cometi el fraude. Pero Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido. Si ella estuvo fuera de la ciudad, no pudo cometer el crimen. Eso nos conduce, lgicamente, a Carlos. l es el culpable.

a) Cules son las premisas en este argumento?

b) Cul es la conclusin?

Proposiciones simples

p : Elisa cometi el fraude.

q : Carlos cometi el fraude.

r : Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido.

Hay varias premisas y la conclusin es una proposicin simple.

Premisa 1: p q Premisa 2: r Premisa 3: r p

Conclusin: q

Argumento


Son reglas que permiten establecer la veracidad de un argumento sin tener que realizar una gran tabla de verdad.

Las reglas estn asociadas a formas de razonamiento.

Las reglas de inferencia tienen asociadas implicaciones lgicas.

Algunas de las ms usadas son: el Modus Ponens y el Modus Tollens. Otras son: Silogismo, Silogismo disyuntivo, Simplificacin, Amplificacin, Demostracin por casos.

Reglas de Inferencia


Reglas de inferencia

Silogismo hipottico [(p q) (q r)] (p r)

Silogismo disyuntivo [( p q) p)] q

Nombre de la Regla Implicacin lgica

Simplificacin ( p q ) p

Amplificacin p ( p q )

Modus Ponens [ p ( p q)] q

Modus Tollens [( p q) q ] p


Unidad IV

4 Algebra booleana 4.1 Teoremas y postulados. 4.2 Optimizacin de expresiones

booleanas. 4.3 Aplicacin del algebra booleana

(Compuertas lgicas) 4.3.1 Mini y maxi trminos. 4.3.2 Representacin de

expresiones booleanas con circuitos lgicos.

Unidad V

5 Relaciones 5.1 Conceptos bsicos. 5.1.1 Producto cartesiano 5.1.2 Relacin binaria 5.1.3 Representacin de relaciones

(matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)

5.2 Propiedades de las relaciones (Reflexiva, Irreflexiva, Simtrica, Asimtrica, Antisimtrica, Transitiva).

5.3 Relaciones de equivalencia (Cerraduras, Clases de equivalencia, Particiones)

5.4 Funciones (Inyectiva, Suprayectiva, Biyectiva). 5.5 Aplicaciones de las relaciones y las

5.1 Conceptos bsicos.

Una relacin es una correspondencia entre dos conjuntos denominados dominio y rango

Una relacin se define mediante la definicin del dominio, el rango y una regla de asignacin

Juan Mara Pedro Luis

$2000 $4000 $6000 $8000

Dominio Rango

Regla de asignacin

5.1 Conceptos bsicos.

5.1.1 Producto cartesiano

5.1.3 Representacin de relaciones (matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)

5.2 Propiedades de las relaciones (Reflexiva, Irreflexiva, Simtrica, Asimtrica, Antisimtrica, Transitiva).

5.4 Funciones (Inyectiva, Suprayectiva, Biyectiva).

Matemticas Discretas Unidad VI 6 Teora de Grafos

6.1 Elementos y caractersticas de los grafos. 6.1.1 Componentes de un grafo (vrtices, aristas, lazos, valencia) 6.1.2 Tipos de grafos (Simples, completos, bipartidos, planos, conexos,

ponderados) 6.2 Representacin de los grafos.

6.2.1 Matemtica 6.2.2.Computacional

6.3 Algoritmos de recorrido y bsqueda. 6.3.1 El camino ms corto 6.3.2. A lo ancho 6.3.3 En profundidad

6.4 Arboles. 6.4.1 Componentes (raz, hoja, padre, hijo, descendientes, ancestros) 6.4.2 Propiedades 6.4.3 Clasificacin (altura, nmero de nodos) 6.4.4 rboles con peso 6.4.5 Recorrido de un rbol: Preorden, Inorden, Postorden,

6.5 Redes.(teorema de flujo mximo, teorema de flujo mnimo, pareos y redes de Petri)

6.6 Aplicaciones de grafos y rboles.

matemáticas discretas (1)

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