matemáticas discretas--apuntes

Instituto Tecnológico de Tláhuac 2011

Matemáticas Discretas Página 1

INSTITUTO TECNOLÓGICO

DE TLÁHUAC

MATEMATICAS PARA COMPUTACIÓN

(MATEMÁTICAS DISCRETAS)

Ing. Palmira de la Rosa

<Elaborado por>:

Alfaro Alfaro Jonathán de Jesús Gutiérrez Galicia Eduardo Daniel

Ing. SISTEMAS COMPUTACIONALES



Objetivo: El estudiante conocerá y comprenderá los conceptos básicos de la lógica matemática; relaciones, árboles y grafos para aplicarlos a modelos que resuelvan problemas de computación. Aportaciones: Conocer las bases técnicas para analizar, desarrollar y programar modelos matemáticos, estadísticos y de simulación utilizando en el desarrollo de Sistemas Computacionales.

TEMARIO UNIDAD 1.- Introducción a la lógica matemática UNIDAD 2.- Relaciones UNIDAD 3.- Teoría de grafos UNIDAD 4.- Sistemas de numeración



¿Qué es la lógica matemática?

Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas. Consiste en el estudio matemático de la lógica. Estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. Sistemas Formales.- Artificio matemático compuesto de símbolos que se unen entre sí formando cadenas que a su vez puede ser manipulada según reglas para producir otras cadenas.

MATEMÁTICAS DISCRETAS

Lógica

Razonamiento matemático:

- Diseño de

computadoras

- Inteligencia artificial

- Lenguaje de

computadoras

- Programación de PC

Conjuntos

- Estructuras

discretas que son

usadas para

representar

objetos discretos

- Universo

- Población

Funciones

Son serie de pasos para

resolver un problema

- Algoritmos



<Lógica Matemática>

Una proposición se considera un enunciado que sea cierto o falso, en general se representan por las letras TQRS etc. Los valores de verdad de una proposición los denotamos como T(true-verdadero) F (false-falso). Definición 1.- Sea una proposición la negación T que se denota “~p o ¬p” que significa “no p”. Definición 2.- Sea PQ la conjunción entre 2 proposiciones que se define como “p y q” y se denota “p ^ q”. Ésta proposición es cierta solo cuando ambas son ciertas. Definición 3.- La disyunción se define como “p o q” y se denota “p v q”. Ésta es falsa solo cuando p y q son falsas ambas. Definición 4.- La condicional o implicación se define “p si solo si q” y se denota “p q” será cierta solo cuando ambas tengan el mismo valor.

CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD

Definición 1

P ~p

F V

V F

Definición 3

P q P v q

F F F

F V V

V F V

V V V

Definición 5

P q P q

F F V

F V F

V F F

V V V

Definición 2

P q P ^ q

F F F

F V F

V F F

V V V

Definición 4

P q P q

F F V

F V V

V F F

V V V



Ejemplo:

1) Toronto es capital de Canadá F 2) Lee cuidadosamente F 3) X + 1 = 3? F 4) 2 + 3 = 5? V 5) X + y = z? F

6) 2 + 2 = 4? V 7) ¿Washington DC es capital de

USA? V 8) ¿Cómo estás? F

Ejercicio Sea p: la primavera es una fuente de agua y q: los pájaros están cantando. a)~p^q => La primavera no es una fuente… y los pájaros están. b) )~(p^q)=> No es cierto que la primavera… y los pájaros están cantando. c) )~p^~q =>La primavera no es… y los pájaros no están. d) q^~p=> Los pájaros están… y no es la primavera una fuente. e) ~p~q=> La primavera no es una fuente … entonces los pájaros están. Ejercicio: Realizar las composiciones para las siguientes proposiciones

1) Sea p: Sara es una estudiante de Ingeniería q: Carlos es un estudiante de leyes y R: Pedro es un estudiante de enfermería.

a) (q→p) )^~r =>Es cierto que carlos… entonces Sara es una estudiante de Ingenieria y Pedro no es un estudiante de enfermería. b) (~p→~r) )^q => Es cierto que Sara no es una estudiante de Ing. Entonces Pedro no es un estudiante y Carlos es un estudiante de leyes. c) ~(p^q)vr => No es cierto que Sara es una estudiante… y Carlos es un Estudiante… o Pedro es un estudiante.. d)(p→q) r Es cierto que Sara es una estudiante… entonces Carlos es un estudiante Solo si Pedro es un estudiante de enfermería. 2) Sea p: yo compre un boleto de lotería esta semana, q: yo ganare un millón de los dólares acertándole al premio el viernes. a) ~p => Yo no compre un boleto de lotería esta semana. b) p^q =>Yo compre un boleto… y yo ganare un millón de dls. c) ~p^~q=> No compre un boleto… y no ganare un millón de… d) p→q => Compre un boleto… entonces ganare un millón de dls. e) pvq => Compre un boleto… o yo ganare un millón de.. f) ~p→~q => No compre un boleto… entonces no ganare un millón de dls.



<<Realizar los sigts ejercicios>>

a) (p^q) v ~r

P Q r ( p ^ q ) ~r (p^q)v~r

F F F F F V F V F F V V V F F V F V V V F V V V

F F F F F F V V

V F V F V F V F

V F V F V F V V

b) ~p~q

P Q ~p ~q ~p~q

F F V V

F V F V

V V F F

V F V F

V F V V

Ejercicios: (por tablas de verdad)

a) (p^q)q

P Q (p^q) q

F F V V

F V F V

F F F V

V V F V

b) (p V q)^q

P Q ( p v q ) ^q

F F V V

F V F V

F V V V

F F F V



c) P~(pq)

P Q P^ (pq)

F F V V

F V F V

F F F V

V F F V

d) r (p v q)

P Q R R (p v q)

F F F F V V V V

F F V V F F V V

F V F V F V F V

V F F F F F F V

F F V V V V V V

Reglas de Inferencia

Argumento deductivo: Conjunto de proposiciones, una de ellos llamada conclusión que sigue el resto llamadas premisas Un argumento es válido cuando son ciertos las premisas, la conclusión no puede ser falsa. Deducción formal: Es una secuencia finita de forma que a partir de las premisas llegamos a la conclusión, estas formulas pueden ser:

1) Premisas 2) Supuestas provisionales, lo cual es una formula que se introduce

transitoriamente y ha de ser cancelada antes de llegar a la conclusión. 3) Formulas de nueva creación, que se crea a partir de las reglas de

inferencia. Reglas básicas de la Inferencia: Es el conjunto de reglas necesarias para llevar a cabo cualquier deducción formal. En efecto, todo argumento puede representarse mediante una proposición condicional cuyo antecedentes son las premisas y cuyo consecuente es la conclusión.



Premisas → Conclusión p → c Proposición Tautológico: Es una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. La tautología es siempre verdadera por su forma lógica, es decir por la forma en que se relacionan sus proposiciones simples.

P Q P (P V Q)

F F V V

F V F V

F F V V

V V V V

F V V V

Proposición contradictoria: Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. La contradicción es siempre falsa por su forma lógica.

P Q (p^q) ^ ~ P

F F V V

F V F V

F F F V

F F F F

V V F F

Ejercicios:

a) ~[p (p v q) ]

P Q (p v q) p (p v q) ~[p (p v q) ]

F F F V F

F V V V F

V F V V F

V V V V F

contradiccion

tauo

logia



b) ~ [ (p^q)^~p]

P Q (p^q) ~p (p^q)^~p ~[(p^q)^~p]

F F F V F V

F V F V F V

V F V F F V

V V V F F V

Proposición Indeterminada Llamada también contingente, es una proposición compuesta que es verdadera en algunas casos y falsa en otros, de pendiendo del valor de verdad de sus proposiciones simples.

P Q ~q P~q

F F V F

F V F V

V F V V

V V F F

Leyes de Implicación: Se dice que es una proposición compuesta cuando es tautología y conectiva principal tiene una condicional.

a) Modus Ponendo Ponens(m.p.p.) Si un argumento tiene esta forma es un argumento válido.

1.- p→q y puede transformarse. 2.-p en una implicación [(p→q)^p] →q 3.- q por ejemplo… 1.- Si venus es un planeta, entonces venus brila con luz refleja. 2.- Venus es un planeta Luego 3.- Venus brilla con luz refleja. Ejercicio 1.- Sea Suecia una democracia, entonces el pueblo sueco determina su forma de gobierno y el pueblo elige sus gobernadores. 2.- Suecia es una democracia. 1.- p→(q^r) 2.-p



3.- q^r

b) Modus Tolendo Tollens (m.t.t.) 1.-p→q 2.- ~q Si un argumento con esta forma es valido. Se puede. 3.- ~p transformar en una implicación. [(p→q)^~q] →~p

Ejemplo: 1.- Si la riqueza nos hace felices a los hombres, entonces la riqueza hace buenos a los hombres. 2.- No es cierto que la riqueza hace buenos a los hombres. Aplicando (m.t.t.) 1.- p→q 2.- ~p 3.- ~p 1.- Si el delfin es un pez, entonces el delfn es ovíparo y tiene branquias. 2.- No es cierto que el delfin es ovíparo y tiene branquias. 1.- p→(q^r) 2.- ~(q^r) 3.- ~p

c) Modus Tolendo Poneas (m.t.p.) 1.- pvq 1.-pvq 2.- ~p ó 2.- ~q (la implicación respectiva es) 3.- q 3.- p [(pvq)^~p] →q [(pvq)^~q] →p Ejemplo: 1.- El agua es un elemento o el agua es un compuesto. 2.- No es cierto que el agua es un elemento 3.- El agua es un compuesto 1.- pvq 2.- ~p 3.- →q



Ejercicio 1.- Los procesos psíquicos son naturales y están sometidos a leyes naturales, o bien, los procesos psíquicos son sobrenaturales. 2.- No es cierto que los procesos psíquicos son sobrenaturales. 1.- (p^q)vr 2.- ~r 3.- p^q

EQUIVALENCIA LÓGICA

Álgebra de proposiciones.- Se dice que 2 proposiciones p^q son lógicamente equivalentes o sencillamente equivalentes ó iguales, denotados por:

P q ~(p^q) ~p v ~q (p^q) ~p ~q

F F V V F V V

F V V V F V F

V F V V F F V

V V F F V F F

I.- De indentidad

1.- p v f Ξ p AUØ Ξ A 2.- p ^ t Ξ p A∩Ʊ Ξ A 3.- p v f Ξ t A∩Ʊ Ξ Ʊ

4.- p ^ f Ξ f A∩Ʊ Ξ Ø II. - De idempotencia 5.- p v q Ξ p AUA Ξ A

6.- p ^ p Ξ p AUA Ξ A III. - Complementación 7.- p v ~p Ξ t AUĀC Ξ Ʊ 8.- p ^ ~p Ξ f A∩ĀC Ξ Ø

9a.- ~t Ξ f (ĀC )CΞ A

9b.- ~f Ξ t IV. - Conmutativa 10.- p v q Ξ q ^ p AUB ΞBUA 11.- p ^ q Ξ p ^ q A∩B ΞB∩A



V. – Asociativa 12.- (p v q) v r Ξ p v (q v r)

13.- (p ^ q) ^ r Ξ p ^ (q ^ r) VI. - Distributiva

14.- p v (q ^ r) Ξ (p v q) ^ (p v r) 15.- p ^ (q v r) Ξ (p ^ q) v (p ^ r)

VII. – De Morgan

14.- ~ (p v q) Ξ ~p ^ ~q 15.- ~ (p ^ q) Ξ ~p v ~q

VIII. – Involución 18. - ~~p Ξ p Por tablas de verdad

a) P¬q indeterminada

P Q ¬q p¬q

F F V V

F V F V

V F V F

V V F V

b) ¬p q indeterminada

P Q ¬p ¬p¬q

F F V V

F V V F

V F F F

V V F V



c) ( pq ) v ( ¬p q ) indeterminada

P Q pq ¬p ¬p q a) ( pq ) v ( ¬p q )

F F V V V V

F V V V V V

V F F F F F

V V V F V V

d) ( ¬p¬q ) v ( pq ) tautological

P Q ¬p ¬q ( ¬p¬q ) pq ( ¬p¬q ) v ( pq )

F F V V V V V

F V V F F F V

V F F V F F V

V V F F V V V



Lógica de Conjuntos Conjunto.- Es una colección de objetos con una característica o propiedad en común. Ejemplo El alfabeto (conjunto de letras), dígitos (0-9). Los conjuntos se representan en general con letras mayúsculas, y las minúsculas para los elementos. Los conjuntos se representan con {} Ejemplo Representar los 10 primeros números naturales N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Ejemplo

a) El elemento x pertenece al conjunto A b) El elemento x no pertenece al conjunto A c) A y B son iguales si y solamente si tienen los mismos elementos. d) Los conjuntos A y B no son iguales.

XEA XEA

A = B A =! B



Subconjunto.- Sean A y B 2 conjuntos para cualquier relación de elementos aEA y están en B (aEB). Entonces podemos decir que ACB (a es conjunto de B) Si a EA y aEB entonces A es un subconjunto de B.

Conjunto vacío Es el conjunto el cual no contiene elementos o carece de estos, se representa 0 y se denota como {0}, {} Sean Ay B 2 conjuntos, se dice que son ajenos o disjuntos, si AnB=0 Conjunto Universal Es el cual contiene todos los subconjuntos (U), contienen todos los elementos que se refieren a la situación dada. Operación entre conjuntos Sean A y B conjuntos. La unión es AvB={xl XEA ó XEB} (l) tal que La intersección es AnB={xl XEA y XEB} Representación de diagramas de Venn Son representaciones geométricas de los conjuntos. El conjunto U se asocia a un rectángulo y los demás conjuntos se representan mediante circulo inmerso en el rectángulo.

Universo Intersección

Unión Vacío



SISTEMAS DE NUMERACION

Es un conjunto de elementos los cuales pueden ser:

a) Binario (0,1) b) Decimal (0,1…9) c) Hexadecimal (0,1…9,A,B,C,D,E,F) d) Octal (0,1…7)

Conversiones de sistema de numeración b2 b10 1 1 1 0 1 0 1 = 1+0+4+0+16+32+64 26 25 24 23 22 21 20 = 11710

b8 b10

3 7 8 8+56+192 = 256 82 81 80

b10b2

2 5 2 62 01001110111102

b10b16 4 3 2 710 0 1 0 E 7 b16b10

1 A 7 E (163*1)+(162*10)+(161*7)+(160*14)

4096+2560+112+14 = 678210



3 2 1 1 2 b2 = 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 b10 = 7 6 7 1

6 1 2 2 710 b16 = 0 E F 7 A

E E 3 216 b10 = 6 0 9 7 8

1 3 6 28 b10 = 7 5 4

4 2 6 910 b16 = 0 1 0 A D

DECIMAL HEXADECIMAL BINARIO OCTAL

0 0 0000 000

1 1 0001 001

2 2 0010 010

3 3 0011 011

4 4 0100 100

5 5 0101 101

6 6 0110 110

7 7 0111 111

8 8 1000 000

9 9 1001 001

10 A 1010 010

11 B 1011 011

12 C 1100 100

13 D 1101 101

14 E 1110 110

15 F 111 111

NOTA.- 4 dígitos binarios equivalen a 1 hexadecimal (digito). 3 dígitos binarios equivalen a 1 dígito octal.



OPERACIONES BINARIAS

SUMA 0 0 1 1 +0 +1 +0 +1 0 1 1 0 1 acarreo RESTA 0 0 1 1 -0 -1 -0 -1 0 1 1 0 1 acarreo

1 1 1 1 1 1 acarreo 1101110 + 10111 10000101

1 1 1 1 1 1 acarreo 1101110 - 10111 1010111 MULTIPLICACION 1 0 1 0 1 1 1

X 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1



CIRCUITOS LÓGICOS A TRAVÉS DE TABLAS DE VERDAD Y MAPAS DE KARNAUGTH

Los mapas de Karnaugth me permiten reducir una expresión a través de agrupaciones de 1´s dentro de cuadrantes. Ejemplo: Z= pqr + pqṝ + p~qr + p~q~r + ~pq~r + ~p~qr + ~p~q~r 111 110 1 01 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

1.- Realizar un circuito que cuando este abierta una ventana o una puerta de alguna oficina encienda la alarma en hrs no laborales. Si están abiertas y son hrs laborales deben estar apagadas.

A B S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1



2.- Realizar un circuito que simule: Un granjero tiene que transportar a través de un rio una zorra, gallina y costal de maíz, pero no se puede quedar la zorra y la gallina, ni tampoco el maíz ni la gallina al mismo tiempo.



Demostraciones Muchos argumentos lógicos son argumentos compuestos, es decir la conclusión de un argumento es la premisa para el próximo. Los argumentos formales se reflejan a derivaciones o demostraciones. Un ejemplo de ello es demostrar la correctitud de un algoritmo. Hay que demostrar que la salida de un diagrama de flujo es posible. Ejercicio Hallar la solución a través de un diagrama de flujo para el siguiente problema. Un edificio enciende su alarma cuando una ventana o una puerta está abierta en hrs no laborales.

INICIO

h = 0

in t p , v , h

p=0 || v=0

FIN

encender alarma



Definición 1 Una función es inyectiva si para toda pareja –a1,a2 ε A con a1 #a2 existe f(a1)#f(a2)

a1----------b1 a2----------b2 a3----------b3

f A B

Definición 2 Una función es proyectiva si el dominio en B V b ε B y existe una (pertenece al) ε AV f(a)=b

a1----------b1 a2----------b2 a3----------b3 a4 b4 a5 b5

Definicion 3 Una funcion es biyectiva si es inyectiva y proyectiva. Funcion Inversa Sea f(x) una función lR(real), la función inversa de f1 es considerada f(x), es decir, el dominio de f(x) es la imagen de f(x) y viceversa.



Inducción Matemática Sea Pn una proposición. El principio de inducción nos determina que la proposición Pn si es valida si se cumple con las siguientes reglas:

1. Se demuestra que Pn es válida para n=1 2. Se supone válida para n=k, por lo que se prueba que es cierta para n=k+1

Ejemplo: Sea Pn la suma de todos los números naturales. Pn-1+2+3+…+n= n(n+1) 2 1.- n=2 1= 1(1+1) => 1=1 2 2.- Para n=k+1 Pkh = 1+2+3+….n+k+1= (k+1)*(k+2) 2

Pk+1 = k(k+1) +k+1 = k(k+1)+2(k+1) = (k+1)(k+2) 2 2 2

Por el método de inducción pruebe que: Pn= 1+3+5+…+(2n-1)=n2

1.-n=1 Pk+1= (k)2 +2k+1 Pn = 1+3+5+…+(2n-1)=(1)2 = k2+2k+1=>k2+2k+1 1=1 (k+1)2 = (k+1)2

2.-n=k+1 Pk+1 = 1+3+5+…+(2(k+1)-1)=(k+1)2

2k+2-1= k2+2k+1 2k+1 = k2 + 2k +1



Números Enteros

Axiomas 1.- Sumas

a) Propiedad de la cerradura: si m, n, ε, Z→m+n εZ

b) Propiedad conmutativa: si m, n, p ε Z →m+(n+p)=(m+n)+p

c) Propiedad asociativa: si m, n, ε Z →m+n=n+m

d) Elemento neutro: Existe 0 ε Z tal que si m ε Z entonces m+0=m y 0+0=0

e) Elemento inverso aditivo: si m ε Z existe (-m) tal que m+(-m)=0

2.- Producto

a) Propiedad de la cerradura: si m, n, ε Z →m+n ε Z

b) Propiedad conmutativa: si m,n ε Z →mn=nm

c) Propiedad asociativa: si m, n, p ε Z →m(np)=(mn)p

d) Propiedad distributiva: si m, n, p ε Z →m(n+p)=mn+mp

e) Ley de cancelación: Sean m, n, p ε Z → si m+p=n+p →m=n

f) Elemento idéntico: Existen 1 ε Z tal que si m ε Z →m*1=m



Introducción a la Teoría de Números Múltiplos de un Numero Entero

1) Sea m ε Z el conjunto de múltiplos de m, representados por Mn es: Mn={xlx=mn,n ε Z } Ejemplo: M3 = {xlx=3n,n ε Z } ={0,+3, +6, +9, +12…}

2) Sean m,n € Z el conjunto de los múltiplos comunes de m y n denotado por Mm,n es:

Mn,n = Mm ^ Mn

M4 = {0,+4, +8, +12, +16, +16, +20, +24, +28, +32, +36…} M6 = {0,+6, +12, +18, +24, +30, +36…} M4,6 = {0,+12, +24, +36…}

3) Sean m,n € Z, el mínimo común múltiplo de m y n, representado por [m,n], es el menor de los múltiplos comunes positivos de m y n (exceptuando al cero).

Determinar [3,4]

M3 = {0,+3, +6, +9, +12….} M4 = {0,+4, +8, +12, +16…} M3,4 = {0,+12, +24, +36…} [3,4] = 12



Divisibilidad (n=/0)

Definición 1

Sea m,n ε Z se dice que n divide a m denotando por n/m. Si existe algún P,P ε Z tal que m=n*p En forma resumida. n/m → m=np, p ε Z

Ejemplo:

a) 3/-12 → -12=3(-4) Verdadero b) 5/11 → 11=5(?) Falso

Nota: Hay números reales pero no enteros. Propiedades: 1.- -n/n 2.- Si n/m -n/m 3.- Si n(m y m/p n/p 4.- Si p/n y p/m p2/n+m Demostración: 1.- n = n*1 como 1€Z n/n 2.- Como n/m Existe P€Z tal que m=np

M = (-n) (-p) -p€Z -n/m

3.- Como n/m existe d€Z tal que m = nd (1) Como n/p existe d2€Z tal que p = md2… (2)

P = n(d1) d2 P = n (d1, d2)

Como d1, d2, €Z Sea q = d1, d2

P = nq, q € Z n/p



4.- p/n existe d1, € Z tal que n = pd1… (1) p/m existe d2 € Z tal que m = pd2… (2) n+m = pd1 + pd2 n+m = p (d1 +d2) como d1, d2 € Z d1 + d2 € Z si q = d1 + d2 n+m = p*q, q € Z p/n+m

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