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Árboles: Definiciones y Resultados Básicos Matemáticas Discretas - p. 1/14

Matemáticas DiscretasTC1003

Árboles: Definiciones y Resultados BásicosDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

Arbol binarioResultados 2Ejemplos


Árboles: Definición

Un grafo G se dice que es un árbol si es un grafoconexo y no existe ningún circuito en él.






Un árbol trivial es un grafo que consiste de un solovértice.






Un árbol trivial es un grafo que consiste de un solovértice.

Un grafo sin circuitos se dice bosque.




Ejemplos de grafos que son árboles

G1 G2 G3

G4




Ejemplos de grafos que no son árboles

G1 G2 G3

G4




Uso de árboles: Árbol de Decisión

Se desean eligir los puestos de Director y Auxiliar de Director entreLucía, María, Tomás y Juan. Se tiene que ni Lucía ni María seráneligidas para director. También se sabe que habiendo elegido aTomás como director Lucía no debería ser auxiliar suyo. Construirel árbol de decisión.Soluci on

Inicio

Juan

Tomás

Tomás

Lucía

María

Juan

María

Elegir Director Elegir Auxiliar Selección

María

Lucía

Lucía

Director: Juan, Auxiliar: Tomás

Director: Juan, Auxiliar: María

Director: Juan, Auxiliar: María

Director: Tomás, Auxiliar: Juan

Director: Tomás, Auxiliar: María




Vértices Internos y Vértices Terminales

Sea T un árbol:





Sea T un árbol:■ Si T tiene sólo uno o dos vértices, a cada uno de

ellos se les llamará vértices terminales.







■ Si T tiene tres vértices o más entonces








◆ a cada vértice de grado 1 se le llamará vérticehoja o vértice terminal.








◆ a cada vértice de grado 1 se le llamará vérticehoja o vértice terminal.

◆ a cada vértice de grado mayor o igual que 2 sele llamará vértice rama o vertice interno.




Árboles: Resultados Principales

Sea G un grafo conexo :






■ G es un árbol si y sólo si entre cualquier dosvértices de G existe solamente un camino quelos une.







■ Si teniendo G n vértices: G es un árbol si y sólosi G tiene exactamente n − 1 lados.







■ Si teniendo G n vértices: G es un árbol si y sólosi G tiene exactamente n − 1 lados.

■ G es un árbol si y sólo si cualquier vértice degrado mayor o igual que dos es un vérticepuente.




Árbol Enraizado: Definición

Un árbol enraizado es un árbol donde existe unvértice distinguido o especial llamado raíz.






■ El nivel de un vértice v es la longitud del caminodel nodo raíz a vértice v.







■ La altura del árbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.








■ Los hijos de un nodo son los vértices adyacentesal nodo y que están en un nivel mayor que elnodo.









■ Si v es un hijo de w, w se dice padre de v.










■ Si v y w son hijos de un mismo padre se llamanhermanos.










■ Si v y w son hijos de un mismo padre se llamanhermanos.

■ Si v está en el camino de la raíz a w se dice quev es un ancestro de w o que w es undescendiente de v.




Ejemplo de árbol enraizado

Considere el árbol con raíz v0

v0

v1 v2 v3

v4 v5 v6

v7 v8 v9 v10

a. Nivel de v5: b. Nivel de v0:c. Altura del árbol: d. Hijos de v3:e. Padre de v2: f. Hermanos de v8:g. Descendientes de v3: h. Ancestros de v5:




Ejemplo de árbol enraizado

Considere el árbol con raíz v0

v0

v1 v2 v3

v4 v5 v6

v7 v8 v9 v10

a. Nivel de v5: 2 b. Nivel de v0: 0c. Altura del árbol: 3 d. Hijos de v3: v5 y v6

e. Padre de v2: v0 f. Hermanos de v8: v7 y v9

g. Descendientes de v3: v5, v6 y v10 h. Ancestros de v5: v0 y v3




Árbol Binario: Definición

Un árbol binario es un árbol enraizado donde cadanodo tiene a lo más dos hijos.





Un árbol binario es un árbol enraizado donde cadanodo tiene a lo más dos hijos.■ Cada hijo se designa se designa por el

calificativo hijo derecho o hijo izquierdo.







■ El árbol binario se dice árbol binario completo sitodo padre tiene exactamente dos hijos.








■ Para cada padre v el subárbol izquierdo es elsubgrafo de G que es el árbol enraizado con raízel hijo izquierdo de v;








■ Para cada padre v el subárbol izquierdo es elsubgrafo de G que es el árbol enraizado con raízel hijo izquierdo de v; el subárbol derecho es elsubgrafo de G que es el árbol enraizado con raízel hijo derecho de v;




Árboles Binarios: Resultados principales

■ Si T es un árbol binario que tiene n nodosterminales y que tiene altura h entonces

n ≤ 2h




Árboles Binarios: Resultados principales

■ Si T es un árbol binario que tiene n nodosterminales y que tiene altura h entonces

n ≤ 2h

■ Sea T un árbol binario completo con k vérticesinternos. Entonces T tiene un total de 2 k + 1

vértices k + 1 de los cuales son terminales.




Ejemplos de conteo en árboles binarios

Pregunta:

Un árbol binario T tiene 44 nodos terminalesentonces tiene una altura mayor o igual que. . .




Ejemplos de conteo en árboles binarios

Pregunta:

Un árbol binario T tiene 44 nodos terminalesentonces tiene una altura mayor o igual que. . .

Soluci onPor el resultado principal para árboles binarios, sih es la altura:

40 = no. nodos terminales ≤ 2h

Entoces tomando logaritmo en base 2 obtenemos:

5.321 ≤ h

Como h debe ser entero, entonces la altura delárbol es mayor o igual que 6.




Pregunta:

Un árbol binario completo T tiene 79 vérticestotales, entonces el número de vérticesinternos es:




Pregunta:

Un árbol binario completo T tiene 79 vérticestotales, entonces el número de vérticesinternos es:

Soluci onPor el resultado principal en árboles binarioscompletos: Si k es el número total de vérticesinternos en un árbol binario completo, entoces elnúmero total de vértices es 2 k + 1, por tanto:

2 k + 1 = 79

Despejando k, tenemos que k = 39.




Pregunta:

Un árbol binario completo T tiene 83 vérticestotales, entonces el número de vérticesterminales es:




Pregunta:

Un árbol binario completo T tiene 83 vérticestotales, entonces el número de vérticesterminales es:

Soluci onPor el resultado principal en árboles binarioscompletos: Si k es el número total de vérticesinternos en un árbol binario completo, entoces elnúmero total de vértices es 2 k + 1, por tanto:

2 k + 1 = 83

Despejando k, tenemos que k = 41, es decir elnúmero total de vértices internos es 41. Por tanto,el total de vértices terminales es:

n − k = 83 − 41 = 42

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