Matemáticas Discretas

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

OperacionesOperaciones entreentre conjuntosconjuntos

A ∪ B = { x | x∈A ∨ x∈B}

A ∩ B = { x | x∈A ∧ x∈B}

A – B = { x | x∈A ∧ x∉B}

A = { x | x ∉ A ∧ x∈U }, siendo U el conjunto universal U

Unión de Conjuntos

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

U

A B

Intersección de Conjuntos

A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

U

A B

Diferencia entre Conjuntos

A - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}

U

A B

Complemento de un Conjunto

Ā = {x | x ∉ A}

U

A

EjerciciosEjercicios

Sean A={a,b,c,d,e}, B={a,b,c,d,e,f,g,h}

y U={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j,k}. Calcule

A ∪ B, A ∩ B, A – B, B – A, B, A ∩ B

ConjuntosConjuntos DisjuntosDisjuntos

A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅

•Sean A={1,2,3}, B={7,8,9}, C={3,1,6}, D={1,8,9}

•E= ∅, F={1}, G={7, 3}, H={7,3,9}

Identidades entre conjuntos

Leyes de Leyes de idempotenciaidempotencia

A ∪ A = AA ∩ A = A

Leyes de Leyes de dominacidominacióónn

A ∪ U = UA ∩ ∅ = ∅

Leyes de Leyes de identidadidentidad

A ∪ ∅ =AA ∩ U = A

NombreNombreIdentidadIdentidad

Identidades entre conjuntos

Leyes Leyes distributivasdistributivas

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Leyes Leyes asociativasasociativas

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Leyes Leyes conmutativasconmutativas

A ∪ B =B ∪ A

A ∩ B =B ∩ A

NombreNombreIdentidadIdentidad

Otras Identidades

Leyes de De Leyes de De MorganMorgan

(A ∪ B) = A ∩ B

(A ∩ B) = A ∪ B

NombreNombreIdentidadIdentidad

ComprobandoComprobando identidadesidentidades� Método 1: Utilizar la notación de conjuntos y las equivalencias lógicas

� Método 2: Construir una tabla de pertenencia

� Método 3: Utilizar las identidades conocidas para probar nuevas

ConjuntosConjuntos

Pruebe que (A ∩∩∩∩ B) = A ∪∪∪∪ B

A ∩∩∩∩ B = { x | x ∉∉∉∉ A ∩∩∩∩ B }

A ∩∩∩∩ B = { x | ¬¬¬¬( x ∈∈∈∈ A ∩∩∩∩ B) }

A ∩∩∩∩ B = { x | ¬¬¬¬( x∈∈∈∈A ∧∧∧∧ x∈∈∈∈B) }

A ∩∩∩∩ B = { x | ¬¬¬¬( x∈∈∈∈A) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬ (x∈∈∈∈B) }

A ∩∩∩∩ B = { x | (x ∉∉∉∉ A) ∨∨∨∨ (x ∉∉∉∉ B) }

A ∩∩∩∩ B = { x | (x ∈∈∈∈ A) ∨∨∨∨ (x ∈∈∈∈ B) }

A ∩∩∩∩ B = A ∪∪∪∪ B

TablaTabla de de PertenenciaPertenencia

Considerar cada combinación de conjuntos en los que un elemento puede pertenecer y

verificar que los elementos en la misma combinación de conjuntos pertenecen a

ambos conjuntos en la identidad

Tabla de pertenencia

11111

11011

11101

00001

01110

01010

01100

00000

A ∩∩∩∩(B∪∪∪∪C)B∪∪∪∪CCBA

Tabla de pertenenciaTabla de pertenencia

1

1

1

0

0

0

0

0

(A∩∩∩∩B)∪∪∪∪(A∩∩∩∩C)

11111

11011

10101

00001

00110

00010

00100

00000

A∩∩∩∩CA∩∩∩∩BCBA

UsandoUsando IdentidadesIdentidades

A A ∪∪ (B (B ∩∩ C) = A C) = A ∩∩ (B (B ∩∩ C) C) Ley de De MorganLey de De Morgan

= A A ∩∩ (B (B ∪∪ C)C) Ley de De MorganLey de De Morgan

= (B (B ∪∪ C) C) ∩∩ AA ConmutativaConmutativa para para intersecciinterseccióónn

= (C (C ∪∪ B) B) ∩∩ AA ConmutativaConmutativa para para uniunióónn

............

UniUni óónn GeneralizadaGeneralizada

La unión de una colección de conjuntos es el conjunto que contiene aquellos elementos que son miembros, al menos, de uno de los conjuntos de la colección

AA11 ∪∪ AA2 2 ∪∪ . . . . . . ∪∪ AAnn = = ∪∪(1(1≤≤ i i ≤≤n)n) AAii

IntersecciIntersecci óónn GeneralizadaGeneralizada

La intersección de una colección de conjuntos es el conjunto que contiene aquellos elementos que son miembros de todos los conjuntos de las colección

A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An = ∩(1≤ i ≤n) Ai

ConjuntosConjuntos

Sea Ai={i, i+1, i+2, ...}

Determine: ∪(1≤≤≤≤ i ≤≤≤≤ n) Ai y ∩ (1≤≤≤≤ i ≤≤≤≤n) Ai

ConjuntosConjuntos

Sea Sea Ai={i, i+1, i+2, ...}

Determine: Determine: ∪∪(1(1≤≤≤≤≤≤≤≤ ii ≤≤≤≤≤≤≤≤n)n) AAi i y y ∩∩ (1(1≤≤≤≤≤≤≤≤ i i ≤≤≤≤≤≤≤≤n)n) AAii

∪∪∪∪∪∪∪∪((((((((1 1 ≤≤≤≤≤≤≤≤i i ≤≤≤≤≤≤≤≤n)n) == {1,2,3,...}{1,2,3,...}

∩∩∩∩∩∩∩∩(1(1≤≤≤≤≤≤≤≤ i i ≤≤≤≤≤≤≤≤n)n) = {n, n+1, n+2, ...}= {n, n+1, n+2, ...}

ConjuntosConjuntos

Sea Sea Ai={1,2,3,...,i} para i=1,2,3,.... i=1,2,3,....

DetermineDetermine

∀∀∪∪ (1(1≤≤≤≤≤≤≤≤ i i ≤≤≤≤≤≤≤≤=n)=n) AAii

∀∀∀∀∀∀∀∀∩∩∩∩∩∩∩∩ (1(1≤≤≤≤≤≤≤≤ i i ≤≤≤≤≤≤≤≤n)n) AAii

ConjuntosConjuntos finitosfinitos

� Es posible designar sus elementos comoprimero, segundo, etc. miembro

� Se pueden enumerar mediante losnaturales desde 1 hasta k

A es un conjunto finito si existe un enteropositivo k tal que existe una

correspondencia entre A y el conjunto de los naturales menores o iguales a k