unidad 1 matemáticas discretas

MATEMATICAS DISCRETAS

MUÑOZ LOPEZ ROSEL

SISTEMAS NUMERICOS

(UNIDAD 1)

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

1° SEMESTRE

GRUPO: C

MORALES VELAZQUEZ JARED GAMALIEL

JORGE OMAR DE LA CRUZ HILERIO

KEVIN OMAR VERA GONZALEZ

07/SEPTIEMBRE/2015

1

INDICE

INTRODUCCION………………………………….................................................4

I. SISTEMAS NUMERICOS SISTEMAS NUMERICOS (BINARIO, OCTAL, DECIMAL,

HEXADECIMAL)…………………………………………………….................5

Sistema Decimal Sistema Binario Sistema Octal Sistema Hexadecimal

CONVERSIONES ENTRE SISTEMAS NUMERICOS........................................7

Conversión de decimal a binario Conversión de binario a decimal Conversión de un número decimal a octal Conversión De Números Octales a Decimales Conversión De Un Número Decimal a Hexadecimal Conversión De Un Numero Hexadecimal a Decimal Conversión De Binario a Octal Conversión De Números Binarios a Hexadecimales y Viceversa

OPERACIONES BASICAS (SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DIVISION)……………………………………………………………………..21

Suma de números binarios Resta de números binarios Multiplicación de números Binarios División de números binarios Suma de números octales Resta de números octales Multiplicación de números octales

División de números octales Suma de números decimales

2

Resta de números decimales Multiplicación de números decimales División de números decimales

Suma de números hexadecimales Resta de números hexadecimales Multiplicación de números hexadecimales División de números hexadecimales

ALGORITMOS DE BOOTH PARA LA MULTIPLICACION Y DIVISION DE BINARIO…………………………………………………………………..34

Complemento a1 Complemento a2

APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS NUMERICOS EN LA COMPUTACION……………………………………………………………...37

Sistema binario Sistema octal Sistema hexadecimal Sistema decimal

CONCLUSION………………………………………………………………....39

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………….40

CUESTIONARIO……………………………………………………………...41

3

Introducción

Los sistemas numéricos son un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas numéricos actuales son sistemas posicionales que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa la cifra en este trabajo (unidad 1) se identificaran los diferentes sistemas numéricos, y se realizaran las conversiones entre diferentes sistemas numéricos (binario, octal, decimal y hexadecimal) se verán y analizaran los sistemas numéricos para poder realizar operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.

4

1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal).

El sistema decimal: Es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras : cero (0) - uno (1) - dos (2) - tres (3) - cuatro (4) - cinco (5) - seis (6) - siete (7) - ocho (8) y nueve (9).

El sistema binario: El sistema binario o sistema de numeración en base 2 es también un sistema de numeración posicional igual que el decimal, pero sólo utiliza dos símbolos, el “0” y el “1”. Por lo tanto para poder representar mayor número de información al tener menos símbolos tendremos que utilizar más cifras § Cuarteto: Número formado por 4 cifras en base 2 § Bit: Bynary digit § Byte: 8 bits § Kilobyte: 1024 bytes § Megabyte: 1024 kilobytes § Gigabyte: 1025 megabytes Binario puro.

El método de representación de enteros del binario puro consiste en pasar el número entero sin signo a binario, con la particularidad de respetar siempre el tamaño de la representación. El paso de decimal a binario consiste en dividir por 2 sucesivamente hasta que el cociente sea menor que la base: Con lo que queda 1110 = 10112

Sistema Octal: Es un sistema de base 8, es decir, con tan solo ocho dígitos posibles, ‘0’ a ‘7’.

El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal

Sistema Hexadecimal: Sin embargo el sistema de numeración más utilizado es el hexadecimal, el cual consta de 16 dígitos diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F).

El sistema hexadecimal es el sistema de numeración posicional que tiene como base el 16. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa 2^8 valores posibles, y esto puede representarse como 2^8 = 2^4 \cdot 2^4 = 16 \cdot 16 = 1 \cdot 16^2 + 0 \cdot 16^1 + 0 \cdot 16^0, que equivale al número en base 16 100_{16}, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente a un byte.

Representación de sistemas numéricos:

5

(Tabla Realizada En Clases)

Decimal Hexadecimal Octal Binario0 0 0 00001 1 1 00012 2 2 00103 3 3 00114 4 4 01005 5 5 01016 6 6 01107 7 7 01118 8 10 10009 9 11 100110 A 12 101011 B 13 101112 C 14 110013 D 15 110114 E 16 111015 F 17 111116 10 20 1000017 11 21 1000118 12 22 1001019 13 23 1001120 14 24 1010021 15 25 1010122 16 26 1011023 17 27 1011124 18 30 1100025 19 31 1100126 1A 32 1101027 1B 33 1101128 1C 34 1110029 1D 35 1110130 1E 36 1111031 1F 37 1111132 20 40 100000

Representación de números con base 10: Desde nuestro primer contacto con los números nos familiarizamos con el sistema base diez, utiliza diez símbolos llamados dígitos que son D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Los elementos se agrupan en decenas, diez decenas en una centena y diez centenas en una unidad de millar, etc. por lo que cada número se representa con una cadena o sucesión de dígitos, por ejemplo: 3469 representa 3 millares, 4 centenas, 6 decenas y 9 unidades como diez se representa por 10.

En general cualquier número entero se puede representar con una base arbitraria utilizando como los numerales primarios.

6

Así: Esta representación será muy utilizada pero primero estudiaremos los temas en base diez.

También podemos representar un número racional, por ejemplo: 76.512 es

7× + 6× + 5× + 1× + 2× o sea 7 decenas, 6 unidades, 5 décimos, 1 centésimo y 2 milésimos.

1.2 Conversiones entre Sistemas

Conversión de Decimal a Binario

Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos.

Método 1 por divisiones sucesivas, el cual consiste en: Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener un cociente cero. El último residuo obtenido es el bit más significativo (MSB) y el primero es el bit menos significativo (LSB).

(Ejercicio Bajado de Internet)

Convertir el número 15310 a binario.

El resultado en binario de 15310 es 10011001

Método 2: Otra forma de obtener el número decimal a binario es realizar lo siguiente: Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.

Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número decimal 77 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:

77 / 2 = 38 Resto: 1

38 / 2 = 19 Resto: 0

19 / 2 = 9 Resto: 1

9 / 2 = 4 Resto: 1

4 / 2 = 2 Resto: 0

7

2 / 2 = 1 Resto: 0

1 / 2 = 0 Resto: 1

Y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

Decimal 77 = Binario 1001101.

Ejemplos:

(Ejercicios Realizados En Clases)

Decimal – Binario

a) 23 = 10111

23 2

11 1

5 1

2 1

1 0

b) 2476= 100110101100

2476 2

1218 0

619 0

309 1

154 1

77 0

38 1

19 0

9 1

4 1

2 0

1 0

8

(Ejercicios Propuestos por el Equipo)

a) 124=1111100

124 2

62 0

31 0

15 1

7 1

3 1

1 1

b) 64=1000000

64 2

32 0

16 0

8 0

4 0

2 0

1 0

9

Conversión De Números Binarios a Decimales

(Ejercicios realizados en clases)

a) 10111 = 23

1x24+0x23+1x22+1x21+1x20=

1x16+0x8+1x4+1x2+1x1=

16+0+4+2+1= 23 resultado

b) 100110101100= 2476

1x211+0x210+0x29+1x28+1x27+0x26+1x25+0x24+1x23+1x22+0x21+0x20=

1x2048+0x1024+0x512+1x256+1x128+0x64+1x32+0x16+1x8+1x4+0x2+0x1=

2048+0+0+256+128+0+32+0+8+4+0+0= 2476 resultado


a) 110111(2) = 55(10)

(1*25)+ (1*24)+ (0*23)+ (1*22)+ (1*21)+ (1*20)

(1*32)+ (1*16)+ (0*8)+ (1*4)+ (1*2)+(1*1)

32+16+0+4+2+1=55

b) 111000(2) = 56(10)

(1*25)+ (1*24)+ (1*23)+ (0*22)+ (0*21)+ (0*20)

(1*32)+ (1*16)+ (1*8)+ (0*4)+ (0*2)+ (0*1)

32+16+8+0+0+0=56

c) 010101(2) = 21(10)

(0*25)+ (1*24)+ (0*23)+ (1*22)+ (0*21)+ (1*20)

(0*32)+ (1*16)+ (0*8)+ (1*4)+ (0*2)+ (1*1)

0+16+0+4+0+1=21

10

(Ejercicios Propuestos por el Equipo)

a) 1011=11

1x23+0x22+1x21+1x20

1x8+0x4+1x2+1x1

8+0+2+1=11

b) 11110=30

1x24+1x23+1x22+1x21+0x20

1x16+1x8+1x4+1x2+0x1

16+8+4+2+0=30

Conversión de un número decimal a octal

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:

122 / 8 = 15 Resto: 2

15 / 8 = 1 Resto: 7

1 / 8 = 0 Resto: 1

Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

Decimal 122 = Octal 172

(Ejercicios realizados en clases)

Decimal—octal

3684= 7144

3648 8

460 4

57 4

7 1

11

(Ejercicios propuestos por el equipo)

a) 460=714

460 8

57 4

7 1

b) 400=620

400 8

50 0

6 2

Conversión De Números Octales a Decimales

102364 primero pones todos los dígitos desde el ultimo al primero uno sobre el otro 4 6 3 2 0 1 luego los multiplicas por 8 elevado a 0, 1, 2, 3, 4, etc. respectivamente 4 x 8^0 = 4*1 = 4 6 x 8^1 = 6*8 = 48 3 x 8^2 = 3*64 = 192 2 x 8^3 = 2*512 = 1024 0 x 8^4 = 0*4096 = 0 1 x 8^5 = 1*32768 = 32768

12

luego sumas los resultados: 4 + 48 + 192 + 1024 + 32768 = 34036 y ese es el resultado

Ejemplo:(Ejercicios realizados en clases)

7144 = 3684

7x83+1x82+4x81+4x80=

7x512+1x64+4x8+4x1=

3584+64+32+4= 3684 resultado

(Ejercicios Propuestos Por el Equipo)

a) 654=428

6x82+5x81+4x80=

6x64+5x8+4x1=

384+40+4=428

b) 536=350

5x82+3x81+6x80=

5x64+3x8+6x1=

320+24+6=350

Conversión De Un Número Decimal a Hexadecimal

Utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número decimal 1735 será necesario hacer las siguientes divisiones:


1735 / 16 = 108 Resto: 7

108 / 16 = 6 Resto: C es decir, 12 en decimal

6 / 16 = 0 Resto: 6

13

De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:

Decimal 1735 = hexadecimal 6C7

Ejemplo:


Decimal -- Hexadecimal

a) 3684 = E64

3648 16

230 4

14 6


a) 639=27F

639 16

39 F

2 7

b) 128=82

130 16

8 2

14

Conversión De Un Numero Hexadecimal a Decimal

1. Multiplicamos el valor de posición de cada columna por el dígito hexadecimal correspondiente.2. El resultado del número decimal equivalente se obtiene, sumando todos los productos obtenidos en el paso anterior.


Como en los ejemplos anteriores este también nos ayudará a entender mejor este procedimiento: Convertir el numero hexadecimal 2B6 a su equivalente decimal.

Ejemplo:


E64 = 3684

14X162+6X161+4X160=

14X256+6X16+4X1=

3584+96+4= 3684 resultado


a) A8B=2699

10x162+8x161+11x160= 10x256+8x16+11x1

2560+128+11=2699

15

b) B79=2937

11x162+7x161+9x160=

11x256+7x16+9x1=

2816+112+9=2937

Conversión De Binario a Octal

Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:

Decimal Binario Octal

0 000 0

1 001 1

2 010 2

3 011 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Por ejemplo, para convertir el número binario 101001011 a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:

101 = 5 octal

001 = 1 octal

011 = 3 octal

Y, de ese modo el número binario 101001011 = octal 513

Ejemplo:

16

(Actividades realizadas en clases)

Binario -- octal

001110110= 166

001= 1

110= 6

110= 6 166 resultado


a) 111011=73 resultado

111=7

011=3

b) 101010111=527 resultado

101=5

010=2

111=7

Conversión De Números Octales a Binarios

La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 750 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos:

7 octal = 111

5 octal = 101

0 octal = 000

Y, por tanto el número octal 750 = 111101000 binario


a) 635=110011101 resultado

6=110

3=011

5=101

17

b) 456=100101110 resultado

4=100

5=101

6=110

Conversión De Números Binarios a Hexadecimales

Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

Decimal

Binario

Hexadecimal

0 0000 0

1 0001 0

2 0010 2

3 0011 3

4 0100 4

5 0101 5

6 0110 6

7 0111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

18

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 101001110011 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:

1010 = A

0111 = 7

0011 = 3

Y por tanto el número binario 101001110011 = al hexadecimal A73

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:

101110 = 00101110 = 2E en hexadecimal


a) 11010010=D2 resultado

1101=D

0010=2

b) 110101010111=D57

1101=D

0101=5

0111=7

Conversión De Números Hexadecimales a Binarios

La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F6 hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:

1 = 0001

F = 1111

6 = 0110

19

Y, por lo tanto el número hexadecimal 1F6 = al binario 000111110110

Ejemplo:(Actividades realizadas en clases)

Hexadecimal – Binario A8C2 = 1010100011000010

A= 10108= 1000C= 11002= 0010


a) C9D3=1100100111010011C=11009=1001D=11013=0011

b) E7F=111001111111E=11107=0111F=1111

Conversión De Números Hexadecimales a Octal

El hexadecimal - octal conversión puede realizarse fácilmente en dos pasos. Convertir el hexadecimal en su equivalente binario es el primer paso y convertir al número binario número octal equivalente de la tabla de conversión es el segundo paso para realizar la tarea. El siguiente ejemplo permite que entienda cómo realizar la conversión de hexadecimal a octal.

(Actividades realizadas en clases)Hexadecimal – OctalA8C2 = 1010100011000010 = 124302

A=1010 001= 1 8=1000 010= 2 C=1100 100= 4 2=0010 011= 3 000= 0 010= 2

20


a) B8D2 16= 10111000111000102 = 134342

B=1011 001= 1 8=1000 011= 3 D=1110 100= 4 2=0010 011= 3 100= 4 010= 2

b) C7316=1100011100112=5153

C=1100 110= 5 7=0111 001=1 3=0011 110= 5 011=3

Conversión De Números Octal a Hexadecimal

Del mismo modo, la conversión número hexadecimal octal puede hacerse por dos sencillos pasos. Convierte al número octal en su equivalente binario y luego convertir el número binario en su número hexadecimal equivalente de la tabla de conversión produce el valor resultante. En el siguiente ejemplo permite comprender cómo realizar octal en hexadecimal de conversión


a) 7458=1111001012=1D316

7=111 0001=14=100 1110=D5=101 0101=3

1.3 Operaciones Básicas (Suma, Resta, Multiplicación y División)

Suma de números binariosLa tabla de sumar para números binarios es la siguiente:

21

+ 0 1

0 0 1

1 1 10

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10

Note que al sumar 1 + 1 es 10, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición.Ejemplo Acarreo 1

1 0 0 1 1 0 0 0

+ 0 0 0 1 0 1 0 1

Resultado 1 0 1 0 1 1 0 1

Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).Ejemplo:(Actividades realizadas en clases)Suma Binaria

1011 11+ 101 5--------------------10000 16

10011 19+ 1001 9---------------------11100 28


22

a) 10000 16 +10000 16 --------------------- 100000 32b) 10101+ 1------------ 10110

Resta de números binarios

El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.En decimal, por ejemplo tienes 100-19, obviamente a 0 no le puedes quitar 9, así que debemos tomar prestado 1 para volverlo un 10 (en decimal la base es 10), y así si 10-9=1.

En binarios pasa lo mismo, no le puedes quitar 1 a 0, debes de tomar 1 prestado al de un lado, pero cuidado aquí viene lo complicado tu número no se va a volver 10, recuerda que en binario la base es 2 y por lo tanto se volverá 2 en binario, y ahora sí a 2 le quitas 1, 2-1=1, y continuas restando pero recuerda que llevas 1, porque pediste prestado.

Ejemplo: vamos a restar 201 - 67, ya sabemos que es 134, vamos a hacerlo en binario:

23

1 1 0 0 1 0 0 1.......................201- 0 1 0 0 0 0 1 1.......................67

Tomamos los dos últimos números, 1-1 es igual a 0, y no llevamos nada (no pedimos prestado)

1 1 0 0 1 0 0 1- 0 1 0 0 0 0 1 1------------------------ 0

Ahora la siguiente columna 0-1, ya vimos que no se puede, así que va a tomar 1 prestado al de la columna del lado izquierdo, pero como es un cero, no nos puede prestar 1, lo que pasa es que ese cero le pide a su vez al de lado, y así hasta que encuentres un 1, pero no debemos fijarnos en eso, vamos a seguir restando y no nos vamos a preocupar por eso ahora, entonces ahora nos prestaron 1 (no importa quién) y tenemos un 1 0 (este número es 2 en binario no 10 en decimal, no te vayas a confundir), entonces en binario tienes 10-1, que en decimal es 2-1=1, y llevamos 1 (porque pedimos 1 prestado)

1 1 0 0 1 0 0 1 arriba- 0 1 0 0 0 0 1 1 abajo------------------------ 1 0

Para la siguiente columna tenemos 0 - 0, pero recuerda que tomamos 1 prestado así que en realidad tenemos 0 - 1 (le sumamos el 1 al de abajo), de nuevo tenemos que pedir prestado y entonces tenemos en binaria 1 0 -1 que en decimal es 2-1=1, y de nuevo llevamos 1

1 1 0 0 1 0 0 1- 0 1 0 0 0 0 1 1------------------------ 1 1 0

Continuamos con 1 - 0, pero como llevamos 1 tenemos ahora 1 - 1, esto si lo podemos resolver 1 - 1 = 1 (en binario y decimal).

1 1 0 0 1 0 0 1- 0 1 0 0 0 0 1 1

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------------------------ 0 1 1 0

Lo demás es muy fácil:

0 - 0=00 - 0=01 - 1=01 - 0=1

1 1 0 0 1 0 0 1- 0 1 0 0 0 0 1 1------------------------ 1 0 0 0 0 1 1 0 que en decimal es 134.

Es lo mismo que la resta en decimal, pides prestado y llevas, nada más debes de ser cuidadoso y recordar que tu base es 2.Ejemplo:


101101 45- 1011 - 11----------------- --------- 100010 34

10110001 177- 101010 -42------------------ --------10000111 135


Multiplicación de números Binarios

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La tabla de multiplicar para números binarios es la siguiente:

· 0 1

0 0 0

1 0 1

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

10110 X 1001

10110

00000

00000

10110

11000110

Ejemplo:

(Actividades realizadas en clase)

101010X 101 ----------------101010 000000101010-----------------11010010

División de números binarios

La división en binario es similar al decimal; la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario.

Ejemplo

Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

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100010010 |1101-0000 010101 10001 -1101 01000 - 0000 10000 - 1101 00011 - 0000 01110 - 1101 00001

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Suma de números octales

1. Se empieza a sumar de derecha a izquierda.

2. Sumar el/los dígitos que se encuentran en la primer columna y se coloca el resultado debajo de la columna.

3. En caso de que la suma exceda la base del sistema, se restan 8, y se coloca un acarreo en la siguiente columna, el valor del acarreo depende de las veces que haya superado la base del sistema y el valor que se obtiene de la resta se coloca debajo de la columna.

Resta de números octales

Se realiza de la misma forma que en el sistema decimal, la única diferencia es que cuando se “piden cifras” al número que está al lado, pasa a la columna de la derecha como 8, luego se suma ese 8 con el número que “pidió” la cifra y se continua con la operación. Cuando el segundo número (sustraendo) es mayor que el primero (minuendo) el resultado (diferencia) será negativo.

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Multiplicación de números octales

División de números octales

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1011111

101 111011011 101 ----- 01001 -101 ------

1001 -101 -------- 1000 -101 -------- 00111 -101 ------- 0101 -101 -------- 0

Suma de números decimales

Suma decimal: La suma o adición es una operación básica por su naturalidad que se representa con el signo (+), consiste en combinar dos números o más para obtener una cantidad final o total.

Propiedades de la suma:

Propiedad conmutativa: si el orden de los factores cambia no altera el resultado: 1+2= 3 y 2+1=3.

Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suma tres o más números, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento. Un ejemplo es: 4+(5+6) = (4+5)+6.

Elemento neutro: 0. Para cualquier número, 7 + 0 = 0 + 7 = 7.

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Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier número a, existe un número −a tal que 7 + (−7) = (−7) + 7 = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a.

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número.

Por ejemplo, (6+3) * 4 = (6*4) + (3*4).

Propiedad de cerradura: Cuando se suman números naturales el resultado es siempre un número natural. Por ejemplo 8+1=9.

El procedimiento para efectuar sumas de varios números, llamados "sumandos", es el siguiente:

Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en columnas, empezando por la derecha con la cifra de las unidades (U), a la izquierda las decenas (D), la siguiente las centenas (C), la siguiente los millares (M), etc., luego se efectúa la operación.

Resta de números decimales

Resta decimal: Es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dadas ciertas cantidades (minuendo y sustraendo), eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia. En matemáticas avanzadas no se habla de «restar» sino de «sumar el opuesto». En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.

Propiedades de la resta:

No es conmutativa: 4 - 5 ≠ 5 – 4.

No es asociativa: 5 - (3 - 2) ≠ (5 - 3) - 2.

Elemento neutro: 9 – 0 = 9.

Elemento simétrico: 9 – (9) = 0.

Se procede colocando el minuendo encima del sustraendo, ordenando las cifras en columnas de derecha a izquierda según el orden de unidades, decenas, centenas etc. igual que en la suma y se efectúa la operación.

Multiplicación de números decimales

Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos.

1. Se multiplican sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí).

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2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes.

División de números decimales

Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos.

1. Se dividen sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí y siempre que la división sea exacta).

2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes.

Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos:

Multiplicación División

(+) ⋅(+) = + (+) : (+) = +

(−) ⋅(−) = + (−) : (−) = +

(+) ⋅(−) = − (+) : (−) = −

(−) ⋅(+) = − (−) : (+) = −

Por ejemplo:

a) (+5) ⋅ (−3) = −15 b) (−5) ⋅ (−3) = +15 c) (+5) ⋅ (+3) = +15e) (+20) : (−4) = −5 f) (−20) : (−4) = +5 g) (+20) : (+4) = +5

Suma de números hexadecimales

Cumple los mismos requisitos que la suma octal, la única diferencia es la base del sistema que se resta.

1. Se empieza a sumar de derecha a izquierda.

2. Sumar dígitos que se encuentran en la primer columna y se coloca el resultado debajo de la columna.

3. En caso de que la suma exceda la base del sistema, se escribe el resultado y se le restan 16, se coloca un acarreo en la siguiente columna, el valor del acarreo depende de las veces que haya superado la base del sistema y el valor que se obtiene de la resta se coloca debajo de la columna.

Resta de números hexadecimales

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Se realiza de la misma forma que en el sistema decimal, la única diferencia es que cuando se “piden cifras” al número que está al lado, pasa a la columna de la derecha como 16, luego se suma ese 16 con el número que “pidió” la cifra y se continua con la operación.

Multiplicación de números hexadecimales

Para multiplicar hexadecimales tomamos dos números decimales se multiplican teniendo en cuenta la siguiente tabla


9A7B X 8A ---------- 608CE 4D3D8 ----------- 5|19|4|22|20 16 16 16------------------ 5 3 4 6 4 E

División de números hexadecimales

La base hexadecimal está formada por 16 elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B, C, D, E, F donde A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

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El sistema hexadecimal es posicional como el nuestro en base 10 Si tienes una división puedes intentar pasar los números a base 10 y dividir, 96A = A * 16 + 6 * 16¹ + 9 * 16² = A+96+2304=10+96+2304=2410 ⁰Como F = 15 Solo tienes que efectuar la división. Ahora si quieres hacerla en base hexadecimal, solo tienes que hacerla como en base 10 pero acordándote de que cuando el numero pasa de 16 tienes que contar las llevadas, a ver si me explico mejor.

1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicación y división en binario.

El algoritmo de Booth es un método rápido y sencillo para obtener el producto de dos números binarios con signo en notación complemento a dos.

Complemento a1

Para obtener el complemento a uno del número en binario solo consta en cambiar sus ceros por unos, y sus unos por ceros (complementar): (010010 -> ca1:101101)

Complemento a2

El complemento a dos de un número binario es el resultado de sumar 1 al complemento a uno de dicho número binario (NOTA: En el Ca1 sólo se complementa si el número es negativo): mi número en decimal es 86

Realizar una multiplicación con el algoritmo de Booth, resulta mucho más sencillo de implementar. Partimos del ejemplo de la multiplicación 6·2=12:

1º Obtengo mis números (multiplicando y multiplicador) en binario con longitud de 8 bits

2º asigno A= multiplicando, S= Complemento a2 de A, P= 8 bits en 0. Agrego 7 bits extras a la derecha de A y S, en P agrego el valor de multiplicador con longitud de 8 bits y un bit extra con valor 0. Como se indica a continuación:

Como se puede ver en la imagen superior, partiendo de los números binarios de la multiplicación 6·2 (multiplicando y multiplicador) creamos tres nuevos números binarios del doble de tamaño (16 en el ejemplo): A, S y P.

3º Partiendo del número P (producto) comenzamos a comparar los últimos 2 bits de la derecha, siguiendo los casos base del recuadro:

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0 0 recorrer a la derecha

0 1 P = P + A

1 0 P = P + S

1 1 recorrer a la derecha

Se realizará esta comparación 8 veces en este ejemplo (número de bits de los operados) y al final de cada comparación, realizamos un desplazamiento de un bit hacia la derecha, manteniendo el último bit de la izquierda, y descartando el último bit del lado contrario. Si hacemos una traza paso a paso nos quedarían los siguientes resultados:

Finalmente obtenemos el número en binario resultante (12 en este ejemplo), descartando el bit extra que hemos añadido al principio del procedimiento y que se encuentra en el extremo a la derecha.

Procedimiento

Supongamos dos números, multiplicando y multiplicador, con longitudes

en bits, x para el primero, e Y para el segundo:

Construimos una matriz de tres filas y x+y+1 columnas. Identificaremos

las filas como, A la primera, S la segunda y P la tercera.

Se inician los x primeros bits de cada fila con:

A, el multiplicando.

S, el complemento a dos del multiplicando.

P, ceros.

Los siguientes y bits se completan con:

A, ceros.

S, ceros.

P, el multiplicador.

Para finalizar la matriz, se inician a 0 todos los valores de la última

columna.

Una vez iniciada esta matriz, se realiza el algoritmo.

Se realizan y iteraciones del siguiente bucle.

Comparar los dos bits menos significativos de P, para realizar la

siguiente acción:

00 o 11: no se hace nada.

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https://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_a_dos

https://es.wikipedia.org/wiki/Bits

01: P = P + A. Se ignora el desbordamiento (overflow).

10: P = P + S. Se ignora el desbordamiento.

Desplazamiento aritmético de P a la derecha (se conserva el bit de

signo).


0110 Multiplicando

0010 Multiplicador

Ley 0 y 0 se recorre a la derecha

1 y 1 se recorre a la derecha

1 y 0 P+S

0 Y 1 P+A Se Cambian los valores de él Multiplicando los 1 se convierten en 0 y los 0 se convierten en 1. Multiplicando 0101 1001 C1se le suma 1 al complemento C1 quedaría de la siguiente manera:

1001+ 1--------

1010

1010 C2

A 0110 0000 0

S 1010 0000 0

P 0000 0010 0

P* 0<000 0001 0

1010 0001 0

P 1101 0000 1

P* 0011 0000 1

0001 1000 0

0000 1100 0

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0110X0010------------- 0000

0110

0000

0000

----------

0001100

1.5 Aplicación De Los Sistemas Numéricos En La Computación.

• Sistema Binario: Se utiliza a nivel de hardware, en ese nivel todo se reduce a pulsos eléctricos en los cuales solo se entiende "encendido" o "apagado" es decir unos y ceros a estos impulsos se les llama bits.

• Sistema Octal: Se usa al momento de "empaquetar" los bits en grupos de 8 mejor conocidos como octetos o bytes y son útiles para saber el ancho de banda de algún bus o periférico, es decir cuanta información puede mandarse a través de tal dispositivo en un solo ciclo de reloj.

• Sistema Hexadecimal: Se utiliza para "indexar" las direcciones de memoria ya que al tener más dígitos es un sistema de numeración que permite representar números más grandes con menos información.

•Sistema Decimal: Se usa al momento de comunicarse con el usuario.

Existe una cantidad infinita de sistemas numéricos, sin embargo, para una computadora, únicamente existen 4, que son el Binario (con base 2), el octal (con base 8), el decimal (base 10) y hexadecimal (base 16). Detallaremos el uso de cada uno de ellos por la computadora.

Comenzaremos por el Binario, por ser el sistema base de la computación y el único entendido de manera nativa por una computadora, es el sistema en el que está escrita toda instrucción, dato, etc. Está compuesto por dos únicos

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dígitos que1 y 0 o como en realidad trabaja la computadora, “apagado” y “encendido” y así es como representa todos los datos con los que trabaja la computadora, desde sumas bajo nivel: el hardware. Estos dígitos son llamados bits.

Para trabajar la computadora agrupa a los bits en grupos de ocho, a los cuales denomina byte y es esta la razón por la que es tan importante el sistema octal, sin embargo una computadora no puede trabajar con el sistema octal como tal, sino que utiliza su conversión en sistema binario, usando tres bits para cada digito octal.

El sistema hexadecimal es empleado al indexar la memoria o al representar un byte debido a que al contener más dígitos es posible usar menos números para representar números más grandes, haciendo posible que un byte, conformado por8 bits o términos binarios, se represente con solo dos términos hexadecimales, lo que es un ahorro de información.

Sin embargo, la computadora tampoco reconoce el sistema hexadecimal como tal y, al igual que el sistema octal, lo representa con términos binarios, empleando conjuntos de cuatro bits, para cada término hexadecimal. Sin embargo al presentar información al usuario es más factible presentar A9 que 10101001.

Por último el sistema decimal únicamente se utiliza al interactuar con el usuario, debido a que un usuario común no está acostumbrado a tratar con diferentes sistemas numéricos.

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Conclusión

En conclusión un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos, aprendimos que en el caso del sistema decimal es (0-9), en octal (0-7), en binario (0-1)en este mundo hay 10 tipos de personas las que saben binario y las que no y en hexadecimal es (0-9,A,B,C,D,E,F), estas son las reglas que nos indican que números son válidos en el sistema y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastantes simples. Se debe aclarar que las matemática, y lo que respecta a los números es vital para entender esta materia ya que nos encontramos con que cada función está relacionada con los números directa o indirectamente. Con este trabajo se aprendió mucho sobre las conversiones, operaciones básicas y todo lo que respecta a los sistemas numéricos.

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BIBLIOGRAFIA

https://sites.google.com/site/matematicasdiscretasevz/1-1-sistemas-numericos-binario-octal-decimal-hexadecimal

https://sites.google.com/site/matematicasdiscretasevz/1-2-conversiones-entre-sistemas-numericos

http://tecelecuniminuto1.wix.com/sistemasdenumeracion#!resta-en-el-sistema-decimal/cbw0

https://devisemektronix.wordpress.com/2009/09/30/sistema-de-numeracion-octal/

Libros:

Matemáticas discretas y lógica Winfriend Kari Grassmann

Elementos de matemáticas discretas

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CUESTIONARIO (RESUELTO)

¿Qué es el sistema decimal?

El sistema de numeración decimal es un sistema posicional. La base del sistema de numeración decimal es 10 (0,9)

¿En la computación qué Sistema se utiliza a nivel del hardware?

El sistema binario

¿Qué es el algoritmo de Booth?

Es un método rápido y sencillo para obtener el producto de dos números binarios con signo en notación complemento a dos.

¿Cuál es el sistema de base 8(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)?

El sistema octal

¿En la computación qué sistema se usa al momento de comunicarse con el usuario?

El sistema decimal

¿Cuál es el sistema de numeración más utilizado en la computación?

El Hexadecimal

¿Cuáles son los sistemas numéricos que se utilizan en la aplicación de computadoras?

El decimal, hexadecimal, octal y binario

¿Sistema numérico que va de 0 a 1?

El sistema Binario

¿De Cuantos dígitos consta el sistema hexadecimal?

De 16 dígitos diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)

41

¿Cuántos métodos se emplean para la conversión de decimal a binario?

2 métodos

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unidad 1 matemáticas discretas

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