matemáticas discretas

Lógica Formal Parte 3

Matemáticas Discretas

Objetivos

Comprender el concepto de proposición y la forma en que se pueden elaborar proposiciones compuestas usando conectores lógicos. Evaluar proposiciones lógicas por medio de tablas de verdad. Comprender los conceptos de tautología, contradicción, equivalencia lógica y regla de inferencia. Representar enunciados en forma de teorema usando simbología lógica. Demostrar teoremas por medio del método deductivo directo y contradicción. Distinguir entre argumentos válidos y no validos. Representar predicados con notación lógica, usando los cuantificadores existencial y universal. Demostrar proposiciones por medio de inducción matemática.

-

-

-

-

-

-

-

-

Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más proposiciones para obtener una tercera que es válida en una demostración.

Reglas de inferencia

Ejemplo

“Si estudio mucho y hago ejercicios, entonces aprobaré las materias. Si apruebo las materias, entonces tendré una beca”.

Sean:

p: Estudio mucho.

q: Hago ejercicios.

r: Aprobaré las materias.

t: Tendré una beca.

Silogismo hipotético p → q q → r ________ ∴ p → r

Silogismo hipotético (p ∧ q) → r r → t ________ ∴  (p ∧ q) → t


Ejemplo

((p → s’) ∨ q) → ( q’ ∧ s)

(q’ ∧ s) → (s’ ∨ p)


Considerando el siguiente argumento

Podemos aplicar


Ejemplo

((p → s’) ∨ q) → ( q’ ∧ s)

(q’ ∧ s) → (s’ ∨ p)


Considerando el siguiente argumento

Podemos aplicar

((p → s’) ∨ q) → ( q’ ∧ s)

(q’ ∧ s) → (s’ ∨ p)

————————————

∴ ((p → s’) ∨ q) → (s’ ∨ p)

Reglas de inferencia importantes

10. Adición p q _______ ∴ p ∨ q

11. Simplificación p ∧ q ______ ∴ p

12. Silogismo disyuntivo p ∨ q p’ ______ ∴ q

13. Silogismo hipotético p → q q → r ________ ∴ p → r

14. Conjunción p q _______ ∴ p ∧ q

15. Modus ponens p p → q ______ ∴ q

16. Modus tollens p → q q’ ______ ∴ p’

Principales Reglas de Inferencia Que se puede aplicar en una demostración

Equivalencia lógica

Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes, si coinciden sus resultados para los mismos valores de verdad, y se indican como p ≡ q o bien como p ⇔ q.

p q p’ q’ p → q q → p q’ → p‘ (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1

Equivalentes Equivalentes

(p → q) ≡ (q’ → p‘) (p → q) ⇔ (q’ → p‘)

(p → q) ∧ (q → p) ≡(p ↔ q) (p → q) ∧ (q → p) ⇔ (p ↔ q)

Proposiciones equivalentes

17. Doble negación a) p'' ≡ p 18. Leyes conmutativas a) (p ∨ q) ≡ (q ∨ p) b) (p ∧ q) ≡ (q ∧ p) c) (p ↔ q) ≡ (q ↔ p)

19. Leyes asociativas a) [(p ∨ q) ∨ r] ≡ [p ∨ (q ∨ r)] b) [(p ∧ q) ∧ r] ≡ [p ∧ (q ∧ r)]

20. Leyes distributivas a) [p ∨ (q ∧ r)] ≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] b) [p ∧ (q ∨ r)] ≡ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]

21. Leyes de idempotencia a) (p ∨ p) ≡ p b) (p ∧ p) ≡ p

22. Leyes de Morgan a) (p ∨ q)' ≡ (p' ∧ q') b) (p ∧ q)' ≡ (p' ∨ q')

23. Contrapositiva a) (p → q) ≡ (q' → p')

24. Implicación a) (p → q) ≡ (p' ∨ q) b) (p → q) ≡ (p ∧ q')' c) (p ∨ q) ≡ (p' → q) d) (p ∧ q) ≡ (p → q')' e) [(p → r) ∧ (q → r)] ≡ [(p ∧ q) → r] f) [(p → q) ∧ (p → r)] ≡ [p → (q ∧ r)]

25. Equivalencia a) (p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)] b) (p ↔ q) ≡ [(p’ ∨ q) ∧ (q’ ∨ p)] c) (p ↔ q) ≡ [(p ∧ q) ∨ (p’ ∧ q’)]

26. Contradicción a) (p ∧ p’) ≡ 0

27. Ley de identidad a) (p ∨ 0) ≡ p b) (p ∨ 1) ≡ 1 c) (p ∧ 0) ≡ 0 d) (p ∨ p’) ≡ 1 e) (p ∧ 1) ≡ p f) (p ∧ q ∨ q) ≡ q

28. Disyunción exclusiva a) (p ⊕ q) ≡ (p ↔ q)’

Continuación de proposiciones equivalentes

Por medio de tautologías, reglas de inferencia y equivalencias lógicas es posible demostrar de manera formal si un teorema es falso o verdadero.


Usando equivalencias lógicas demostrar que: Ejemplo

(p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)]

Demostración: (p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)] Usamos equivalencias 25b (p’ ∨ q) ∧ (q’ ∨ p) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)]

Equivalencia 25b (p ↔ q) ≡ [(p’ ∨ q) ∧ (q’ ∨ p)] Implicación 24a (p → q) ≡ (p' ∨ q) Conmutativa 18a (p ∨ q) ≡ (q ∨ p)



(p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)]

Demostración: (p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)] Usamos equivalencias 25b (p’ ∨ q) ∧ (q’ ∨ p) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)] La implicación 24a (p’ ∨ q) ∧ (q’ ∨ p) ≡ (p’ ∨ q) ∧ (q’ ∨ p)




(p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)]

Demostración: (p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)] Usamos equivalencias 25b (p’ ∨ q) ∧ (q’ ∨ p) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)] La implicación 24a (p’ ∨ q) ∧ (q’ ∨ p) ≡ (p’ ∨ q) ∧ (q’ ∨ p) Aplicamos 18a (p’ ∨ q) ∧ (p ∨ q’) ≡ (p’ ∨ q) ∧ (p ∨ q’)



Demostrar que las Proposiciones siguientes son lógicamente equivalentes, usando para ello tautologías y/o las equivalencias lógicas.:

Tarea

1.- [(p → r) ∧ (q → r)] ≡ [(p ∧ q) → r]

2.- [p ∨ (q ∧ r)] ≡ [(p ∧ p) ∨ (p ∧ r) ∨ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r)]



Tarea

1.- [(p → r) ∧ (q → r)] ≡ [(p ∧ q) → r]

[(p ∧ q) → (r ∧ r)] ≡ [(p ∧ q) → r] por 9b

[(p ∧ q) → r] ≡ [(p ∧ q) → r] por 21b

2.- [p ∨ (q ∧ r)] ≡ [(p ∧ p) ∨ (p ∧ r) ∨ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r)]



Tarea

1.- [(p → r) ∧ (q → r)] ≡ [(p ∧ q) → r]

[(p ∧ q) → (r ∧ r)] ≡ [(p ∧ q) → r] por 9b

[(p ∧ q) → r] ≡ [(p ∧ q) → r] por 21b

2.- [p ∨ (q ∧ r)] ≡ [(p ∧ p) ∨ (p ∧ r) ∨ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r)]

[p ∨ (q ∧ r)] ≡ [p ∨ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)] por 21b y 18a

[p ∨ (q ∧ r)] ≡ [p ∨ p ∧ (q ∨ r) ∨ (q ∧ r)] por 20b

[p ∨ (q ∧ r)] ≡ [p ∨ (q ∧ r)] por 27f

Un argumento consiste en una o más hipótesis y una conclusión, de forma que la conclusión se apoye en las hipótesis.

También se puede considerar a un argumento como una serie de proposiciones interrelacionadas que conforman una proposición más compleja, a la cual se le llama teorema.

La conclusión de un argumento o teorema es una consecuencia delas hipótesis, por esta razón se requiere que las hipótesis sean convincentes y explícitas.

En general los argumentos lógicos a tratar tienen la siguiente forma:

P ⇒ Q La proposición P está integrada por proposiciones más simples llamadas hipótesis, las cuales se encuentran relacionadas por el operador lógico ∧, y Q es la conclusión del teorema que también puede estar conformada por una o más proposiciones simples.

Argumentos válidos y no válidos

De esta forma el argumento puede tener la siguiente forma:

(p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn) ⇒ q

en donde p1, p2,…, pn son las hipótesis y q es la conclusión del razonamiento o teorema.

La validez del argumento depende de la estructura existente entre las hipótesis y la conclusión.

Hay argumentos que son válidos, mientras que otros no lo son. A continuación se ilustra esto en los siguientes 4 ejemplos.

Argumentos válidos y no válidos

Caso en el que el argumento es válido, y tanto las hipótesis como la conclusión son verdaderas.

Ejemplo 1

“Los jugadores profesionales de futbol soccer ganan mucho dinero. Ronaldinho es futbolista profesional. Ronaldinho gana mucho dinero.

Considerar que: p1: Los jugadores profesionales de futbol ganan mucho dinero. p2: Ronaldinho es futbolista profesional. q: Ronaldinho gana mucho dinero.

Por lo tanto el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:

1 ∧ 1 ⇒ 1 1 → 1 1

Como tanto hipótesis como conclusión son verdaderas (p1 = 1, p2 = 1, q = 1)

p1 ∧ p2 ⇒ q

Un argumento también es válido cuando todas o alguna de las hipótesis es falsa y la conclusión es verdadera.

Ejemplo 2

“Las mujeres son jóvenes. Miss universo es mujer. En conclusión, miss universo es joven.”

Aquí: p1: Las mujeres son jóvenes. p2: Miss universo es mujer. q: Miss universo es joven.

Considerando p1 = 0, p2 = 1 y q = 1 se tiene:

p1 ∧ p2 ⇒ q

0 ∧ 1 ⇒ 1 0 → 1 1

También se considera que un argumento es válido cuando las hipótesis y la conclusión son falsas.

“Los italianos ganaron la segunda guerra mundial. Adolf Hitler es italiano. Por lo tanto, Adolf Hitler ganó la segunda guerra mundial.”

Aquí: p1: Los italianos ganaron la

segunda guerra mundial. p2: Adolf Hitler es italiano. q: Adolf Hitler ganó la segunda

guerra mundial.


0 ∧ 0 ⇒ 0 0 → 0 1

p1 ∧ p2 ⇒ q

Ejemplo 3

No son argumentos válidos aquellos en donde las hipótesis son verdaderas y la conclusión falsa.

“A toda acción corresponde una reacción de la misma intensidad pero de sentido contrario. La fuerza es directamente proporcional al producto de la masa por la aceleración (F = ma). Por lo tanto, las leyes anteriores son de Boyle Mariotte”.

Aquí: p1: A toda acción corresponde una

reacción de la misma intensidad pero de sentido contrario.

p2: La fuerza es directamente proporcional al producto de la masa por la aceleración (F = ma).

q: Las leyes anteriores son de Boyle Mariotte.


1 ∧ 1 ⇒ 0 1 → 0 0

p1 ∧ p2 ⇒ q

Ejemplo 4

Cuando no se sabe si las proposiciones que integran un argumento son falsas o verdaderas, es necesario probarlo en todos los casos posibles teniendo en cuenta que un argumento no es válido solamente cuando a partir de hipótesis verdaderas se desprende una conclusión falsa, esto es, cuando 1 → 0.

La forma más fácil de determinar si un argumento es válido o no, cuando no se tienen los valores de las proposiciones, es por medio de la tabla de verdad. Si se trata de una tautología se dice que el argumento es válido, en caso contrario el argumento es inválido.

Más sobre argumentos válidos

Considerando los siguientes argumentos determine si son validos o no.

1.- (q ∧ p’) ∧ (r → q’) ⇒ r’

2.- (p ↔ r’) ∧ (q ∨ r) ⇒ (q → p’)

La forma más fácil de determinar si un argumento es válido o no, cuando no se tienen los valores de las proposiciones, es por medio de la tabla de verdad. Si se trata de una tautología se dice que el argumento es válido, en caso contrario el argumento es invalido.

Actividad

Tipos de argumentos

Existen dos tipos de argumentos lógicos:

- Deductivos

- Inductivos

Argumentos Inductivos

En un argumento inductivo se va de lo particular a lo general, se puede decir que es el conjunto de observaciones y datos cuya tendencia permite visualizar o generalizar el comportamiento de un evento.

Argumentos Deductivo

En un argumento deductivo se va de lo general a lo particular, se trata de un procedimiento que parte de un teorema que está formado por hipótesis y una conclusión.

En un argumento deductivo se va de lo general a lo particular, se trata de un procedimiento que parte de un teorema integrado por hipótesis y una conclusión.

En nuestro caso, este tipo de argumentos se demostrará formalmente por medio de leyes y reglas conocidas (tautologías, reglas de inferencia y equivalencias lógicas).

Argumentos Deductivos

La demostración formal usando el método deductivo se hará por:

-  Método directo.

-  Contradicción.

Demostración formal

Supóngase que P ⇒ Q es el teorema que resulta del planteamiento de un problema usando para ello notación lógica, y que P y Q son proposiciones compuestas en las que interviene cualquier número de proposiciones simples que conforman una serie de hipótesis consideradas verdaderas.

Se dice que Q se desprende lógicamente de P, y que por lo tanto el teorema P ⇒ Q es verdadero. Sin embargo también P ⇒ Q puede ser falso, si se presenta alguna inconsistencia en la demostración o planteamiento inicial. El teorema por demostrar tiene la forma

Por el método directo

(p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn) ⇒ q

En la demostración se deben de colocar primero las hipótesis, seguidas de las proposiciones obtenidas al aplicar reglas de inferencia, tautologías y equivalencias lógicas, hasta llegar a la conclusión. Todas las líneas de la demostración se deben de numerar, con el fin de evitar confusiones en la obtención de nuevas proposiciones que se deben considerar verdaderas. En general, las demostraciones formales deben de tener el siguiente formato:

1.- p1 2.- p2 . . n.- pn (n+1).- pn+1 . . (m−1).- pm-1 m.- q

Procedimiento


En la demostración se deben de colocar primero las hipótesis, seguidas de las proposiciones obtenidas al aplicar reglas de inferencia, tautologías y equivalencias lógicas, hasta llegar a la conclusión. Todas las líneas de la demostración se deben de numerar, con el fin de evitar confusiones en la obtención de nuevas proposiciones que se deben considerar verdaderas. En general, las demostraciones formales deben de tener el siguiente formato:

1.- p1 2.- p2 . . n.- pn (n+1).- pn+1 . . (m−1).- pm-1 m.- q

Procedimiento


Hipótesis

Tautologías Reglas de Inferencias Equivalencias Lógicas

Conclusión

Ejemplo

Representar en forma de teorema el siguiente enunciado y demostrar si es falso o verdadero usando el método directo.

"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro."

Sean: p: Trabajo. q: Ahorro. r: Compraré una casa. s: Podré guardar el coche en mi casa.

Hipótesis: (p ∨ q) → r r → s

Conclusión:

s' → q' Teorema:

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']

1.  (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']

Demostración por el método directo del teorema:

Ejemplo

1.  (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. q → (q ∨ p) Tautología, adición; 1

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Ejemplo

1.  (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. q → (q ∨ p) Tautología, adición; 1 4. q → (p ∨ q) 3; ley conmutativa; 18ª

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Ejemplo

1.  (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. q → (q ∨ p) Tautología, adición; 1 4. q → (p ∨ q) 3; ley conmutativa; 18a 5. q → r 4, 1; silogismo hipotético; 13

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Ejemplo

1.  (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. q → (q ∨ p) Tautología, adición; 1 4. q → (p ∨ q) 3; ley conmutativa; 18a 5. q → r 4, 1; silogismo hipotético; 13 6. q → s 5, 2; silogismo hipotético; 13

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Ejemplo

1.  (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. q → (q ∨ p) Tautología, adición; 1 4. q → (p ∨ q) 3; ley conmutativa; 18a 5. q → r 4, 1; silogismo hipotético; 13 6. q → s 5, 2; silogismo hipotético; 13 7. s' → q' 6; contrapositiva; 23

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Ejemplo

Demostrar la validez del argumentó utilizando otro camino, es decir otra lógica.

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Actividad

1. (p ∨ q) → r 2. r → s 3. (p ∨ q) → s 4. s’ → (p ∨ q)’ 5. s’ → (p’ ∧ q’) 6. (q’ ∧ p’) → q’ 7. (p’ ∧ q’) → q’ 8. s' → q'

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']

La demostración del mismo teorema del ejemplo anterior por el método directo siguiendo otro camino es la siguiente:

Ejemplo

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (p ∨ q) → s 1, 2; Silogismo hipotético; 13 4. s’ → (p ∨ q)’ 3; Contrapositiva; 23 5. s’ → (p’ ∧ q’) 4; Ley de Morgan; 22a 6. (q’ ∧ p’) → q’ Simplificación; 2 7. (p’ ∧ q’) → q’ 6; Ley conmutativa; 18b 8. s' → q' 5, 7; Silogismo hipotético; 13

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Ejemplo

“Si se ha realizado un buen diseño de la base de datos y se hace una buena programación, entonces se accesa rápidamente la información. Y si no se hace una buena programación, entonces toma mucho tiempo corregir el programa. Por lo tanto, si no se accesa rápidamente la información y toma poco tiempo corregir el programa, entonces no se ha realizado un buen diseño de la base de datos.”

Representar en forma de teorema el siguiente enunciado y llevar a cabo su demostración usando el método directo:

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']

Ejemplo

Ejemplo

1. (p ∧ q) → r Hipótesis 2. q’ → s’ Hipótesis 3. r’ → (p ∧ q)’ 1; Contrapositiva; 23 4. r’ → (p’ ∨ q’) 3; Ley de Morgan; 22b 5. s → q 2; Contrapositiva; 23 6. [r’ → (p’ ∨ q’)] ∧ [s → q] 4, 5; Conjunción; 14 7. (r’ ∧ s) → [(p’ ∨ q’) ∧ q] 6; Dilema constructivo; 9b 8. (r’ ∧ s) → [q ∧ (p’ ∨ q’)] 7; Ley conmutativa; 18b 9. (r’ ∧ s) → [(q ∧ p’) ∨ (q ∧ q’)] 8; Ley distributiva; 20b 10. (r’ ∧ s) → [(q ∧ p’) ∨ ∅] 9; Contradicción; 26 11. (r’ ∧ s) → (q ∧ p’) 10; Ley de identidad; 27a 12. (r’ ∧ s) → (p’ ∧ q) 11; Ley conmutativa; 18b 13. (p’ ∧ q) → p’ Simplificación; 2 14. (r’ ∧ s) → p’ 12, 13; Silogismo hipotético; 13

[(p ∧ q) → r] ∧ [q’ → s’] ⇒ [(r' ∧ s) → p’]

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (p ∨ q) → s 1, 2; Silogismo hipotético; 13 4. s’ → (p ∨ q)’ 3; Contrapositiva; 23 5. s’ → (p’ ∧ q’) 4; Ley de Morgan; 22a 6. (q’ ∧ p’) → q’ Simplificación; 2 7. (p’ ∧ q’) → q’ 6; Ley conmutativa; 18b 8. s' → q' 5, 7; Silogismo hipotético; 13

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Ejemplo

Por contradicción

El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante al del método directo, con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino que además se incluye una línea con la negación de la conclusión.

Obviamente, el objetivo de la demostración ya no es llegar a la conclusión, sino a una contradicción de la forma:

(p ∧ p’) ≡ 0

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']

Demostración por contradicción del teorema:

Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b 5. s’ ∧ q 4; Doble negación; 17

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b 5. s’ ∧ q 4; Doble negación; 17 6. s’ 5; Simplificación; 11

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b 5. s’ ∧ q 4; Doble negación; 17 6. s’ 5; Simplificación; 11 7. q 5; Simplificación; 11

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b 5. s’ ∧ q 4; Doble negación; 17 6. s’ 5; Simplificación; 11 7. q 5; Simplificación; 11 8. (p ∨ q) → s 1, 2; Silogismo hipotético; 13

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b 5. s’ ∧ q 4; Doble negación; 17 6. s’ 5; Simplificación; 11 7. q 5; Simplificación; 11 8. (p ∨ q) → s 1, 2; Silogismo hipotético; 13 9. s’ → (p ∨ q)’ 8; Contrapositiva; 23

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b 5. s’ ∧ q 4; Doble negación; 17 6. s’ 5; Simplificación; 11 7. q 5; Simplificación; 11 8. (p ∨ q) → s 1, 2; Silogismo hipotético; 13 9. s’ → (p ∨ q)’ 8; Contrapositiva; 23 10. s' → (p’ ∧ q') 9; Ley de Morgan; 22a

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b 5. s’ ∧ q 4; Doble negación; 17 6. s’ 5; Simplificación; 11 7. q 5; Simplificación; 11 8. (p ∨ q) → s 1, 2; Silogismo hipotético; 13 9. s’ → (p ∨ q)’ 8; Contrapositiva; 23 10. s' → (p’ ∧ q') 9; Ley de Morgan; 22a 11. (p’ ∧ q') 6, 10; Modus ponens; 15

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b 5. s’ ∧ q 4; Doble negación; 17 6. s’ 5; Simplificación; 11 7. q 5; Simplificación; 11 8. (p ∨ q) → s 1, 2; Silogismo hipotético; 13 9. s’ → (p ∨ q)’ 8; Contrapositiva; 23 10. s' → (p’ ∧ q') 9; Ley de Morgan; 22a 11. (p’ ∧ q') 6, 10; Modus ponens; 15 12. q’ 11; Simplificación; 11

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b 5. s’ ∧ q 4; Doble negación; 17 6. s’ 5; Simplificación; 11 7. q 5; Simplificación; 11 8. (p ∨ q) → s 1, 2; Silogismo hipotético; 13 9. s’ → (p ∨ q)’ 8; Contrapositiva; 23 10. s' → (p’ ∧ q') 9; Ley de Morgan; 22a 11. (p’ ∧ q') 6, 10; Modus ponens; 15 12. q’ 11; Simplificación; 11 13. q ∧ q’ 7, 12; Conjunción; 14

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

1. (p ∨ q) → r Hipótesis 2. r → s Hipótesis 3. (s' → q' )’ Negación de la conclusión 4. (s’ ∧ q’’)’’ 3; Implicación 24b 5. s’ ∧ q 4; Doble negación; 17 6. s’ 5; Simplificación; 11 7. q 5; Simplificación; 11 8. (p ∨ q) → s 1, 2; Silogismo hipotético; 13 9. s’ → (p ∨ q)’ 8; Contrapositiva; 23 10. s' → (p’ ∧ q') 9; Ley de Morgan; 22a 11. (p’ ∧ q') 6, 10; Modus ponens; 15 12. q’ 11; Simplificación; 11 13. q ∧ q’ 7, 12; Conjunción; 14 14. 0 13; Contradicción; 26

[(p ∨ q) → r] ∧ [r → s] ⇒ [s' → q']


Por contradicción

“Si no le acelero al automóvil, entonces el automóvil no correrá. Si no le freno al automóvil, entonces el automóvil no se detendrá. Si el automóvil no corre o no se detiene, entonces el automóvil esta fallando. Por lo tanto si el automóvil no esta fallando, entonces puedo acelerar y frenar el automóvil.”

1)  Escribir el teorema en notación lógica.

2)  Demostrar la valides del teorema por cualquier método (directo o por contradicción).

EXAMEN

matemáticas discretas

Documents