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Matemáticas Discretas TC1003

Módulo I: Argumentos Válidos Departamento de Matemáticas

ITESM

Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

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Introducción

En matemáticas y en lógica un argumento no es una disputa. Más bien, es una secuencia estructurada de afirmaciones que terminan en una conclusión. En esta sección veremos cómo determinar si un argumento es válido; es decir, cuándo la conclusión se deduce de los hechos que la preceden.

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Argumento

Definición Un argumento es una secuencia de afirmaciones.

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Argumento

Definición Un argumento es una secuencia de afirmaciones. Todas las afirmaciones excepto la última se llamarán premisas, o suposiciones o hipótesis. La declaración final se llamará conclusión.

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Ejemplo

Lo siguiente representa a un argumento: 1. Si Juan estudia adecuadamente, entonces Juan

pasa el curso de Discretas. 2. Juan está estudiando adecuadamente. 3. Juan pasará el curso de Discretas.

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Argumentos Válidos e Inválidos

Definición Diremos que un argumento es argumento válido si para cualquier valor de las variables proposicionales involucradas en las fórmulas que hacen verdaderas las premisas, también la conclusión es verdadera.

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De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las

premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que

hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos

4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. En tal caso se tiene un Argumento válido ó

5. Detectar si existe un renglón crítico con conclusión falsa. En cuyo caso se dirá Argumento inválido

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Ejemplos de validez

Veamos ahora cómo se aplica el método descrito para probar la validez o invalidez de un argumento.

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Ejemplo

Determine si el siguiente argumento es válido: 1. p → q 2. q → p 3. p ∨ q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos:

p q p → q q → p p ∨ q

F F T T F

F T T F T

T F F T T

T T T T T

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De la cual los renglones críticos son:

p q p → q q → p p ∨ q

F F T T F

F T T F T

T F F T T

T T T T T De donde observamos que de los dos renglones críticos (renglón que corresponde a una combinación de las variables proposicionales que hacen verdaderas todas las hipótesis) uno de ellos tiene la conclusión falsa: concluimos que el argumento es inválido.

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Ejemplo

Determine si el siguiente argumento es válido. 1. p → q, 2. p → r, 3. p → q ∧ r Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos:

p q r p → q p → r q ∧ r p → q ∧ r

F F F T T F T

F F T T T F T

F T F T T F T

T F F F F F F

F T T T T T T

T F T F T F F

T T F T F F F

T T T T T T T

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De la cual los renglones críticos son:

p q r p → q p → r q ∧ r p → q ∧ r

F F F T T F T

F F T T T F T

F T F T T F T

T F F F F F F

F T T T T T T

T F T F T F F

T T F T F F F

T T T T T T T De donde observamos que el argumento es válido.

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Ejemplo

Determine si el siguiente argumento es válido. 1. p ∧ ¬q → r, 2. p ∨ q, 3. q → p, 4. r Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos:

p q r ¬q p ∧ ¬q p ∧ ¬q → r p ∨ q q → p

F F F T F T F T

F F T T F T F T

F T F F F T T F

T F F T T F T T

F T T F F T T F

T F T T T F T T

T T F F F T T T

T T T F F T T T

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De la cual los renglones críticos son:

p q r ¬q p ∧ ¬q p ∧ ¬q → r p ∨ q q → p

F F F T F T F T

F F T T F T F T

F T F F F T T F

T F F T T F T T

F T T F F T T F

T F T T T F T T

T T F F F T T T

T T T F F T T T De donde observamos que el argumento es inválido.

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Deducción Natural

El método de verificación de la validez de un argumento recien visto aunque correcto es uno poco humano y que no se puede llevar a cabo cuando el total de hipótesis a usar no está delimitado. El método de deducción natural consiste en construir un argumento para un conjunto de premisas y una conclusión. Este método se basa en el uso de reglas de inferencia que permiten ir obteniendo fórmulas verdaderas a partir de la suposición de que sean verdaderas un número reducido de fórmulas. Una regla de inferencia es a su vez un argumento y su validez será probada utilizando el método recien visto.

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Reglas Inferencia

Verifiquemos la validez de las reglas de inferencia que utilizaremos en el método de deducción natural. ■ Modus Pones ■ Modus Tollens ■ Silogismo Disjuntivo ■ Adición Disjuntiva ■ Simplificación Conjuntiva ■ Silogismo Hipotético ■ Adición Conjuntiva ■ Regla de Contradicción

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Ejemplo

Verifique la validez de la regla de inferencia modus ponens: 1. p → q 2. p 3. q Solución Realizando la ta