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  • Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 1/50

    Matemáticas Discretas TC1003

    Módulo I: Argumentos Válidos Departamento de Matemáticas

    ITESM

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 2/50

    Introducción

    En matemáticas y en lógica un argumento no es una disputa. Más bien, es una secuencia estructurada de afirmaciones que terminan en una conclusión. En esta sección veremos cómo determinar si un argumento es válido; es decir, cuándo la conclusión se deduce de los hechos que la preceden.

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 3/50

    Argumento

    Definición Un argumento es una secuencia de afirmaciones.

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 3/50

    Argumento

    Definición Un argumento es una secuencia de afirmaciones. Todas las afirmaciones excepto la última se llamarán premisas, o suposiciones o hipótesis. La declaración final se llamará conclusión.

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 4/50

    Ejemplo

    Lo siguiente representa a un argumento: 1. Si Juan estudia adecuadamente, entonces Juan

    pasa el curso de Discretas. 2. Juan está estudiando adecuadamente. 3. Juan pasará el curso de Discretas.

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    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 5/50

    Argumentos Válidos e Inválidos

    Definición Diremos que un argumento es argumento válido si para cualquier valor de las variables proposicionales involucradas en las fórmulas que hacen verdaderas las premisas, también la conclusión es verdadera.

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    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las

    premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que

    hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos

    4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. En tal caso se tiene un Argumento válido ó

    5. Detectar si existe un renglón crítico con conclusión falsa. En cuyo caso se dirá Argumento inválido

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    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 7/50

    Ejemplos de validez

    Veamos ahora cómo se aplica el método descrito para probar la validez o invalidez de un argumento.

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    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 8/50

    Ejemplo

    Determine si el siguiente argumento es válido: 1. p → q 2. q → p 3. p ∨ q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q p → q q → p p ∨ q

    F F T T F

    F T T F T

    T F F T T

    T T T T T

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 9/50

    De la cual los renglones críticos son:

    p q p → q q → p p ∨ q

    F F T T F

    F T T F T

    T F F T T

    T T T T T De donde observamos que de los dos renglones críticos (renglón que corresponde a una combinación de las variables proposicionales que hacen verdaderas todas las hipótesis) uno de ellos tiene la conclusión falsa: concluimos que el argumento es inválido.

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 10/50

    Ejemplo

    Determine si el siguiente argumento es válido. 1. p → q, 2. p → r, 3. p → q ∧ r Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q r p → q p → r q ∧ r p → q ∧ r

    F F F T T F T

    F F T T T F T

    F T F T T F T

    T F F F F F F

    F T T T T T T

    T F T F T F F

    T T F T F F F

    T T T T T T T

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 11/50

    De la cual los renglones críticos son:

    p q r p → q p → r q ∧ r p → q ∧ r

    F F F T T F T

    F F T T T F T

    F T F T T F T

    T F F F F F F

    F T T T T T T

    T F T F T F F

    T T F T F F F

    T T T T T T T De donde observamos que el argumento es válido.

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 12/50

    Ejemplo

    Determine si el siguiente argumento es válido. 1. p ∧ ¬q → r, 2. p ∨ q, 3. q → p, 4. r Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q r ¬q p ∧ ¬q p ∧ ¬q → r p ∨ q q → p

    F F F T F T F T

    F F T T F T F T

    F T F F F T T F

    T F F T T F T T

    F T T F F T T F

    T F T T T F T T

    T T F F F T T T

    T T T F F T T T

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 13/50

    De la cual los renglones críticos son:

    p q r ¬q p ∧ ¬q p ∧ ¬q → r p ∨ q q → p

    F F F T F T F T

    F F T T F T F T

    F T F F F T T F

    T F F T T F T T

    F T T F F T T F

    T F T T T F T T

    T T F F F T T T

    T T T F F T T T De donde observamos que el argumento es inválido.

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 14/50

    Deducción Natural

    El método de verificación de la validez de un argumento recien visto aunque correcto es uno poco humano y que no se puede llevar a cabo cuando el total de hipótesis a usar no está delimitado. El método de deducción natural consiste en construir un argumento para un conjunto de premisas y una conclusión. Este método se basa en el uso de reglas de inferencia que permiten ir obteniendo fórmulas verdaderas a partir de la suposición de que sean verdaderas un número reducido de fórmulas. Una regla de inferencia es a su vez un argumento y su validez será probada utilizando el método recien visto.

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 15/50

    Reglas Inferencia

    Verifiquemos la validez de las reglas de inferencia que utilizaremos en el método de deducción natural. ■ Modus Pones ■ Modus Tollens ■ Silogismo Disjuntivo ■ Adición Disjuntiva ■ Simplificación Conjuntiva ■ Silogismo Hipotético ■ Adición Conjuntiva ■ Regla de Contradicción

  • Introducción Argumento Argumento Válido Ejemplos Válidez Deducción Natural Reglas de Inferencia Conceptos Ejemplos dedución Comentarios Introducción Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sumario

    Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 16/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferencia modus ponens: 1. p → q 2. p 3. q Solución Realizando la ta