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  • POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 1/25

    Matemticas DiscretasTC1003

    POL: Predicados y CuantificadoresDepartamento de Matemticas

    ITESM

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 2/25

    Introduccin

    La Lgica de Predicados o Lgica de PrimerOrden (POL o FOL) es una extensin de LgicaProposicional. Todo las las equivalencias y reglasde inferencia vistas en la lgica proposicionalsiguen siendo vlidas en la lgica de predicados.En esta lectura introduciremos dos elementos queestablecen la diferencia entre la lgicaproposicional y la lgica de predicados: elconcepto de predicado y el de cuantificador.

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 3/25

    Predicados

    DefinicionUn predicado es una sentencia declarativa quecontiene un nmero definido de variables y que sevuelve en una proposicin cuando las variablesson sustituidas por valores.

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 3/25

    Predicados

    DefinicionUn predicado es una sentencia declarativa quecontiene un nmero definido de variables y que sevuelve en una proposicin cuando las variablesson sustituidas por valores. El dominio de unpredicado es el conjunto de todos los valores quepueden ser sustituidos en las variables.

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 4/25

    Ejemplo 1

    Ejemplo

    Sea P (x) el predicado con dominio los nmeroreales:

    P (x) = x2 10

    Identifique cules opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (2)

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 4/25

    Ejemplo 1

    Ejemplo

    Sea P (x) el predicado con dominio los nmeroreales:

    P (x) = x2 10

    Identifique cules opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 10.2. P (6)

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 4/25

    Ejemplo 1

    Ejemplo

    Sea P (x) el predicado con dominio los nmeroreales:

    P (x) = x2 10

    Identifique cules opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 10.2. P (6) Falsa: (6)2 = 36 6 10.

    3. P (12)

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    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 4/25

    Ejemplo 1

    Ejemplo

    Sea P (x) el predicado con dominio los nmeroreales:

    P (x) = x2 10

    Identifique cules opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 10.2. P (6) Falsa: (6)2 = 36 6 10.

    3. P (12) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 10.

    4. P (2)

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 4/25

    Ejemplo 1

    Ejemplo

    Sea P (x) el predicado con dominio los nmeroreales:

    P (x) = x2 10

    Identifique cules opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 10.2. P (6) Falsa: (6)2 = 36 6 10.

    3. P (12) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 10.

    4. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 10.5. P (4)

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 4/25

    Ejemplo 1

    Ejemplo

    Sea P (x) el predicado con dominio los nmeroreales:

    P (x) = x2 10

    Identifique cules opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 10.2. P (6) Falsa: (6)2 = 36 6 10.

    3. P (12) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 10.

    4. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 10.5. P (4) Falsa: (4)2 = 16 6 10.

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    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/25

    Ejemplo 2

    Ejemplo

    Sea P (x, y) el predicado:

    P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

    Con dominio para x y para y todo el conjunto delos nmeros reales. Identifique cules opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2)

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    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/25

    Ejemplo 2

    Ejemplo

    Sea P (x, y) el predicado:

    P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

    Con dominio para x y para y todo el conjunto delos nmeros reales. Identifique cules opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) (9 < 4): verdadera.2. P (2, 1)

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    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/25

    Ejemplo 2

    Ejemplo

    Sea P (x, y) el predicado:

    P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

    Con dominio para x y para y todo el conjunto delos nmeros reales. Identifique cules opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) (9 < 4): verdadera.2. P (2, 1) : (2 < 1) (4 < 1): falsa.3. P (3, 1)

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/25

    Ejemplo 2

    Ejemplo

    Sea P (x, y) el predicado:

    P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

    Con dominio para x y para y todo el conjunto delos nmeros reales. Identifique cules opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) (9 < 4): verdadera.2. P (2, 1) : (2 < 1) (4 < 1): falsa.3. P (3, 1) : (3 < 1) (9 < 1): falsa.

    4. P (12, 1)

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    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/25

    Ejemplo 2

    Ejemplo

    Sea P (x, y) el predicado:

    P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

    Con dominio para x y para y todo el conjunto delos nmeros reales. Identifique cules opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) (9 < 4): verdadera.2. P (2, 1) : (2 < 1) (4 < 1): falsa.3. P (3, 1) : (3 < 1) (9 < 1): falsa.

    4. P (12, 1) : (1/2 < 1) (1/4 < 1): cierta.

    5. P (1,3)

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    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/25

    Ejemplo 2

    Ejemplo

    Sea P (x, y) el predicado:

    P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

    Con dominio para x y para y todo el conjunto delos nmeros reales. Identifique cules opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) (9 < 4): verdadera.2. P (2, 1) : (2 < 1) (4 < 1): falsa.3. P (3, 1) : (3 < 1) (9 < 1): falsa.

    4. P (12, 1) : (1/2 < 1) (1/4 < 1): cierta.

    5. P (1,3) : (1 < 3) (1 < 9): cierta.

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    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 6/25

    Cuantificador Universal:

    DefinicionSea Q(x) un predicado y D el dominio de Q.

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    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 6/25

    Cuantificador Universal:

    DefinicionSea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unaafirmacin universal es una declaracin de laforma:

    x D,Q(x)

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 6/25

    Cuantificador Universal:

    DefinicionSea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unaafirmacin universal es una declaracin de laforma:

    x D,Q(x)

    Y es definida a ser verdadera si y slo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que est en eldominio D.

  • IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

    POL: Predicados y Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 6/25

    Cuantificador Universal:

    DefinicionSea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unaafirmacin universal es una declaracin de laforma:

    x D,Q(x)

    Y es definida a ser verdadera si y slo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que est en eldominio D. La afirmacin es falsa si y slo si Q(x)es falsa al menos para un elemento x del dominio.

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