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Negación e Implicaciones con Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 1/15

Matemáticas DiscretasTC1003

Negación e Implicaciones con CuantificadoresDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

IntroduccionNegacion de∀Negacion de∃Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5Sumario


Introducción

En esta sección veremos la negación deexpresiones con cuantificadores. Tambiénincluiremos el concepto de prueba por vacuidad.



Negación de una Declaración Universal

DefinicionLa negación de una declaración universal de laforma

∀ x ∈ D, Q(x)

ocurre cuando no es cierto que para todo x de D,P(x) es verdadera. Es decir, cuando existe almenos un elemento de D para el cual P es falsa.Es decir, que su negación es la proposición

∃ x ∈ D, ¬Q(x)

Escrito como equivalencia:

¬ (∀ x ∈ D, Q(x)) ≡ ∃ x ∈ D, ¬Q(x)



Negación de una Declaración Existencial

DefinicionLa negación de una declaración existencial de laforma

∃ x ∈ D, Q(x)

ocurre cuando no es cierto que exista un elementode D para el cual P es cierta. Es decir, cuando Pes falsa para todos los elemento de D. Es decir,que su negación es la proposición

∀ x ∈ D, ¬Q(x)

Escrito como equivalencia:

¬ (∃ x ∈ D, Q(x)) ≡ ∀ x ∈ D, ¬Q(x)



Ejemplo 1

EjemploIndique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.



Ejemplo 1

EjemploIndique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.



Ejemplo 1

EjemploIndique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.



Ejemplo 1

EjemploIndique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.3. Hay un alumno de MD que es platicador.



Ejemplo 1

EjemploIndique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.3. Hay un alumno de MD que es platicador.4. Hay un alumno no platicador en la clase de MD.



Ejemplo 1

EjemploIndique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.3. Hay un alumno de MD que es platicador.4. Hay un alumno no platicador en la clase de MD.5. Algún alumno de MD no es platicador.



Ejemplo 1

EjemploIndique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.3. Hay un alumno de MD que es platicador.4. Hay un alumno no platicador en la clase de MD.5. Algún alumno de MD no es platicador.Las respuestas correctas son 2, 4 y 5.



Ejemplo 2

EjemploIndique cuáles opciones contienen una negaciónde:

Existe un alumno de Matemáticas Discretas quees platicador y no acreditará el curso.



Ejemplo 2



1. Todos los alumnos de Matemáticas Discretasacreditarán el curso.



Ejemplo 2




2. Hay alumno de Matemáticas Discretas que sies platicador entonces acreditara el curso.



Ejemplo 2





3. Todos los alumnos de Matemáticas Discretasno son platicadores acreditarán el curso.



Ejemplo 2






4. Todos los alumnos de Matemáticas Discretas: siplatican entonces pasarán el curso.



Ejemplo 2






4. Todos los alumnos de Matemáticas Discretas: siplatican entonces pasarán el curso.

Las respuestas son 2 y 4.



Ejemplo 3

EjemploIndique cuáles opciones contienen una negaciónde: Cualquier programa, si tiene mas de mil líneasde código tiene un bug.



Ejemplo 3

EjemploIndique cuáles opciones contienen una negaciónde: Cualquier programa, si tiene mas de mil líneasde código tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil líneas de

código.



Ejemplo 3


código.2. Algún programa tiene mas de mil líneas de

código y no tiene bug.



Ejemplo 3



código y no tiene bug.3. Algunos programas tiene mas de mil líneas de

código.



Ejemplo 3




código.4. Algunos programas de mas de mil líneas de

código no tiene bug.



Ejemplo 3





código no tiene bug.5. Hay un programa que tiene mas de mil líneas

de código que no tiene un bug.



Ejemplo 3





código no tiene bug.5. Hay un programa que tiene mas de mil líneas

de código que no tiene un bug.Las respuestas son 2, 4 y 5.



Pruebas por Vacuidad

En Lógica las afirmaciones sólo pueden serverdaderas o falsas.




En Lógica las afirmaciones sólo pueden serverdaderas o falsas. Su negación porconsiguiente solo puede ser falsa o verdadera;contrariamente a lo que es la afirmación.




En Lógica las afirmaciones sólo pueden serverdaderas o falsas. Su negación porconsiguiente solo puede ser falsa o verdadera;contrariamente a lo que es la afirmación. Porconsiguiente, una afirmación es verdadera cuandosu negación es falsa.




En Lógica las afirmaciones sólo pueden serverdaderas o falsas. Su negación porconsiguiente solo puede ser falsa o verdadera;contrariamente a lo que es la afirmación. Porconsiguiente, una afirmación es verdadera cuandosu negación es falsa. Este hecho simple origina laprueba llamada por prueba por vacuidad:





Una afirmación universal es verdadera si noexiste ejemplo que haga verdadera sunegación. Dicho de otra forma, esverdadera si no existe un contraejemplo aella.





Una afirmación universal es verdadera si noexiste ejemplo que haga verdadera sunegación. Dicho de otra forma, esverdadera si no existe un contraejemplo aella.

∀x ∈ D, Q(x) es verdadera si ∃x ∈ D, ¬Q(x) es falsa.



Ejemplo 4

Veamos un ejemplo que involucra bases de datos.


EjemploConsidere los siguientes datos:

Nombre Carrera Edad Hobby

Juan ITEC 21 Leer

María IMA 20 Música

Tomás IIS 23 Futbol

Lalo LATI 22 Anime

Luis IFI 21 Leer

Soledad LCC 24 Futbol

Nuestro dominio consiste de laspersonas Juan, María, Tomás, La-lo, Luis, y Soledad.

Indique cuáles afirmacionesson verdaderas:1. ∀ x, si x es menor de 19

años entonces x tienecomo hobby el Anime.

2. ∀ x, si x estudia Letrastiene como hobby el futbol.

3. ∀ x, si x tiene como hobbycorrer, entonces x estudialetras.


EjemploConsidere los siguientes datos:

Nombre Carrera Edad Hobby

Juan ITEC 21 Leer

María IMA 20 Música

Tomás IIS 23 Futbol

Lalo LATI 22 Anime

Luis IFI 21 Leer

Soledad LCC 24 Futbol

Nuestro dominio consiste de laspersonas Juan, María, Tomás, La-lo, Luis, y Soledad.

Indique cuáles afirmacionesson verdaderas:1. ∀ x, si x es menor de 19

años entonces x tienecomo hobby el Anime.

2. ∀ x, si x estudia Letrastiene como hobby el futbol.

3. ∀ x, si x tiene como hobbycorrer, entonces x estudialetras.

Las tres afirmaciones sonverdaderas pues no existe unelemento en el dominio quehaga verdadera la hipótesis!



Variantes de una Declaración Universal

DefinicionConsidere una declaración de la forma:

∀ x ∈ D, si P(x) entonces Q(x).






■ Su contrapositiva es la afirmación:

∀ x ∈ D, si ¬Q(x) entonces ¬P(x).








■ Su recíproca es la afirmación:

∀ x ∈ D, si Q(x) entonces P(x).








■ Su recíproca es la afirmación:

∀ x ∈ D, si Q(x) entonces P(x).

■ Su inversa es la afirmación:

∀ x ∈ D, si ¬P(x) entonces ¬q(x).



De nuevo con suficiente y necesario

En en contexto de los cuantificadores de nuevo:




En en contexto de los cuantificadores de nuevo:■ ∀x ∈ D, r(x) es condición suficiente para s(x)

significa:





significa:∀x ∈ D, r(x)→ s(x)






■ ∀x ∈ D, r(x) es condición necesaria para s(x)significa:







∀x ∈ D, s(x)→ r(x)







∀x ∈ D, s(x)→ r(x)

■ ∀x ∈ D, r(x) sólo si s(x) significa:







∀x ∈ D, s(x)→ r(x)


∀x ∈ D, r(x)→ s(x)







∀x ∈ D, s(x)→ r(x)


∀x ∈ D, r(x)→ s(x)

De nuevo, ante la duda procurar pensar enejemplos concretos: Tener visa, tener pasaporte.



Ejemplo 5

EjemploIndique en cuáles casos la afirmación estácorrectamente negada:



Ejemplo 5

EjemploIndique en cuáles casos la afirmación estácorrectamente negada:1. Afirmación: El producto de cualquier número irracional por

cualquier número racional es irracional.Negación: El producto de cualquier número irracional porcualquier número racional es racional.



Ejemplo 5



2. Afirmación: Para cualquier entero n, si n2 es par n es par.Negación: Existe un número entero n, tal que n2 es para y n esimpar.



Ejemplo 5




3. Afirmación: Existe un entero n, tal que n2 divisible por 4 y n no esdivisible por 4.Negación: Para cualquier entero n, si n2 es dividible por 4,entonces n es divisible por 4.



Ejemplo 5




3. Afirmación: Existe un entero n, tal que n2 divisible por 4 y n no esdivisible por 4.Negación: Para cualquier entero n, si n2 es dividible por 4,entonces n es divisible por 4.

Son verdaderos sólo 2 y 3.


EjemploDe acuerdo a diagrama:

a

c

g

b

d

f

i

k

e

h

j

Indique cuáles afirmaciónesnegadasson verdaderas:1. ∀ t, Circulo(t)→ Gris(t)

2. ∃ t, tal que Cuadrado(t) ∧Gris(t)

3. ∃ t, tal que Cuadrado(t) ∧DerechaDe(d, t)

4. ∀ t,Estrella(t)→ Gris(t)


EjemploDe acuerdo a diagrama:

a

c

g

b

d

f

i

k

e

h

j

Indique cuáles afirmaciónesnegadasson verdaderas:1. ∀ t, Circulo(t)→ Gris(t)

2. ∃ t, tal que Cuadrado(t) ∧Gris(t)

3. ∃ t, tal que Cuadrado(t) ∧DerechaDe(d, t)

4. ∀ t,Estrella(t)→ Gris(t)Las afirmaciones 1,2 y 3 sonfalsas: por tanto, al negarlasdan afirmaciones verdaderas.



Temas Vistos

■ Negación de una expresión con cuantificadores■ Equivalencias lógicas relativas a negación de

cuantificadores■ Prueba por vacuidad■ Variantes de la condicional con cuantificadores

universales

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