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  • Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 1/35

    Matemticas DiscretasTC1003

    Teora de Conjuntos: Propiedades de las OperacionesDepartamento de Matemticas / Centro de Sistema Inteligentes

    ITESM

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 2/35

    El Argumento del Elemento

    Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que

    X Y

    recordemos que X Y x, x X x Y. Unaestrategia sera:

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 2/35

    El Argumento del Elemento

    Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que

    X Y

    recordemos que X Y x, x X x Y. Unaestrategia sera: Para manejar el para todo se usa el mtodo de

    generalizacin: suponga un elemento arbitrariox,

    para probar que muestre que x X x Yseguiremos la estratega del mtodo de pruebadirecto: supondremos que x X para x arbitrario, mostraremos que x Y.

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 3/35

    EjemploPruebe que Z Q.DemostracionSea z un elemento cualquiera de Z. As

    z =z1

    Por lo tanto, z puede ser visto como la divisinentre dos enteros (el mismo z y el 1). Por tanto, zes un racional. Por tanto z est en Q. Por elargumento del elemento arbitrario Z Q.

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 4/35

    Versiones Operativas de las Operaciones

    Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universalU , y suponga que x y y con dos elementos de U : x X Y (x X) (x Y) x X Y (x X) (x Y) x X Y (x X) (x < Y) x Xc x < X (x, y) X Y (x X) (y Y) x P(X) x X

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 5/35

    Indique en orden los conjuntos que completan lasafirmaciones: Decir que un elemento x pertenece a B (A C)

    significa que x pertenece a B y que x pertenecea (a).

    Decir que un elemento x pertence a (B C) Asignifica que x pertenece a A o que x pertenecea (b).

    Decir que un elemento x pertenece a C (B A)significa que x pertenece a (c) pero que x nopertenece a (d).

    Dentro de la opciones:1. C B 2. B C3. A C 4. B A5. C 6. C A

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 6/35

    Prueba de Igualdad entre Conjuntos

    Sean X y Y conjuntos dados. Para probar queX = Y: pruebe que X Y, pruebe que Y X.

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 7/35

    Leyes Conmutativas

    Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: A B = B A A B = B A

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 8/35

    Leyes Asociativas

    Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 9/35

    Leyes Distributivas

    Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 10/35

    Leyes de Identidad

    Sean A un conjunto cualquiera, entonces: A = A A U = A

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 11/35

    Leyes de Complemento (Negacin)

    Sean A un conjunto cualquiera, entonces: A Ac = U A Ac =

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 12/35

    Leyes de Idempotencia

    Sean A un conjunto cualquiera, entonces: A A = A A A = A

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 13/35

    Leyes de Dominacin

    Sean A un conjunto cualquiera, entonces: A U = U A =

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 14/35

    Leyes de De Morgan

    Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: (A B)c = Ac Bc

    (A B)c = Ac Bc

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 15/35

    Leyes de Absorcin

    Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: A (A B) = A A (A B) = A

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 16/35

    Complemento Base

    U c =

    c = U

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 17/35

    Ley de Diferencia

    Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: (A B) = A Bc

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 18/35

    Indique en orden la opcin que contiene la leycuyo uso se lleva a cabo en:a)(

    ((D E)c)c)c= (D E)c :Doble Complemento

    b) (B C) (B C)c = :Ley Complementoc) Ec (D B) = (Ec D) B :Asociativad) Ec Ec = Ec :Idempotenciae) B (B (C D)) = B :Absorcindentro de la lista:1. Ley de Complemento 2. Ley de Idempotencia3. Ley Asociativa 4. Ley del Doble Complemento5. Propiedad Distributiva 6. Ley de Absorcin

  • Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 19/35

    EjemploIndique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    A (A E) = A (A E)c por Ley de Diferencia

    = A (Ac Ec) por De Morgan

    = (A Ac) (A Ec) por Ley Distributiva

    = (A Ec) por Ley de Complemento

    = (A Ec) por Ley Conmutativa

    = A Ec por Ley de Identidad

    = A E por Ley de Diferencia

  • Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 20/35

    EjemploIndique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    (D Ac) (D A) = D (Ac A) por Ley Distributiva

    = D (A Ac) por Ley Conmutativa

    = D U por Ley de Complemento

    = D por Ley de Identidad

  • Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 21/35

    EjemploIndique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    (C Bc)c (Cc Bc) = (Cc (Bc)c) (Cc Bc) por= (Cc B) (Cc Bc) por= Cc (B Bc) por= Cc U por= Cc por

  • Arg