Inducción Matemática: Sucesiones ySumatorias

Departamento de Matematicas

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.1/15

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros.

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres,

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos,

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente.

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos númerospodrían escribirse en una lista ordenada:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

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Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos númerospodrían escribirse en una lista ordenada:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una

abreviatura para “y así sucesivamente".

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos númerospodrían escribirse en una lista ordenada:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una

abreviatura para “y así sucesivamente". Para expresar el

patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado

por un entero indicando su posición en el renglón:

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Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos númerospodrían escribirse en una lista ordenada:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una

abreviatura para “y así sucesivamente". Para expresar el

patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado

por un entero indicando su posición en el renglón:

Posición en el renglón 1 2 3 4 5 6 7 . . .

Número de ancestros 2 4 8 16 32 64 128 . . .Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15

Sucesión: definición

Definici on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

am, am+1, am+2, . . . , an (1)

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Sucesión: definición

Definici on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

am, am+1, am+2, . . . , an (1)

Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llamatérmino.

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15

Sucesión: definición

Definici on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

am, am+1, am+2, . . . , an (1)

Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llamatérmino. La letra k en ak se conoce como subíndiceo índice.

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15

Sucesión: definición

Definici on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

am, am+1, am+2, . . . , an (1)

Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llamatérmino. La letra k en ak se conoce como subíndiceo índice. m es el subíndice del término inicial.

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15

Sucesión: definición

Definici on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

am, am+1, am+2, . . . , an (1)

Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llamatérmino. La letra k en ak se conoce como subíndiceo índice. m es el subíndice del término inicial. n esel súbíndice del término final.

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15

Sucesión infinita: definición

Definici on

Una sucesión infinita es un conjunto ordenados deelementos que se pueden describir mediante unalista:

am, am+1, am+2, . . . (2)

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Sucesión infinita: definición

Definici on

Una sucesión infinita es un conjunto ordenados deelementos que se pueden describir mediante unalista:

am, am+1, am+2, . . . (2)

Una fórmula explícita o fórmula general para unasucesión es una fórmula en función de k queevaluada en k da el término ak.

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Ejemplo

Determine los 5 primeros términos de la sucesióndefinida por la fórmula:

an = 3 bn

3c, para n ≥ 4

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.5/15

Ejemplo

Determine los 5 primeros términos de la sucesióndefinida por la fórmula:

an = blog2(n)c, para n ≥ 4

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.6/15

Ejemplo

Determine en orden la fórmula general de lasucesión a1, a2, a3, . . . dados los términos iniciales:a) 1

2 ,−23 , 3

4 ,−45 , 5

6 ,−67 , . . .

b) 13 , 2

9 , 327 , 4

81 , 5243 , 6

729 , . . .

c) −6, 6,−6, 6,−6, 6, . . .

Ubicándola en la lista1. an = n

3n

2. an = 6 × (−1)n

3. an = 3 (−1)n (−1 + n)

4. an = (−1)(1+n) n1+n

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.7/15

Notación de Suma

La notación:n

∑

k=m

ak (3)

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Notación de Suma

La notación:n

∑

k=m

ak (3)

representa la suma desarrollada

am + am+1 + am+2 + · · · + an

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15

Notación de Suma

La notación:n

∑

k=m

ak (3)

representa la suma desarrollada

am + am+1 + am+2 + · · · + an

Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L.

Lagrange.

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Notación de Suma

La notación:n

∑

k=m

ak (3)

representa la suma desarrollada

am + am+1 + am+2 + · · · + an

Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.

L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice,

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15

Notación de Suma

La notación:n

∑

k=m

ak (3)

representa la suma desarrollada

am + am+1 + am+2 + · · · + an

Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.

L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice,

m se llama el índice inferior de la suma,

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15

Notación de Suma

La notación:n

∑

k=m

ak (3)

representa la suma desarrollada

am + am+1 + am+2 + · · · + an

Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.

L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice,

m se llama el índice inferior de la suma, n se llama el índice

superior de la suma.

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15

Notación del Producto

La notación:n

∏

k=m

ak (4)

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Notación del Producto

La notación:n

∏

k=m

ak (4)

representa la producto desarrollada

am · am+1 · am+2 · · · an

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15

Notación del Producto

La notación:n

∏

k=m

ak (4)

representa la producto desarrollada

am · am+1 · am+2 · · · an

En la notación de producto, k se llama índice,

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15

Notación del Producto

La notación:n

∏

k=m

ak (4)

representa la producto desarrollada

am · am+1 · am+2 · · · an

En la notación de producto, k se llama índice, m se llama

el índice inferior del producto,

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15

Notación del Producto

La notación:n

∏

k=m

ak (4)

representa la producto desarrollada

am · am+1 · am+2 · · · an

En la notación de producto, k se llama índice, m se llama

el índice inferior del producto, n se llama el índice superior

del producto.

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15

Ejemplo

Determine en orden la evaluación de cada fórmula:1.

∏3n=1 n2

2.∑0

n=0 2n (3 + n)

3.∑5

n=1 n (1 + n)

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.10/15

Ejemplo

Indique en orden la versión compacta de cadadesarrollo:a) 1 − r + r2 − r3 + r4

b) 13 + 23 + 33 + . . . + k3

c) 12 + 22 + 32 + . . . + k2

dentro de la lista:1.

∑4i=0(−1)iri

2.∑k

n=1 n3

3.∑n

i=3 i

4.∑n

i=1 i2

5.∑k

n=1 n2

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Ejemplo

Indique en orden la versión desarrollada de cadaforma compacta:

a)∏4

n=1(n3 − 1)

b)∏4

n=2(n2 − 1)

c)∏4

n=1(1 − t4)

dentro de la lista:1. (22 − 1) · (32 − 1) · (42 − 1)

2. 1 + 2 + 3 + . . . + n

3. (1 − t) · (1 − t2) · (1 − t3) · (1 − t4)

4. (1 − t2) · (1 − t3) · (1 − t4)

5. (13 − 1) · (23 − 1) · (33 − 1) · (43 − 1)Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.12/15

Propiedades de las Sumatorias

Si am, am+1,. . . y bm, bm+1, bm+2,. . . son sucesiones denúmeros reales y c es un número real cualquiera entoncespara enteros n ≥ m se cumple:

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Propiedades de las Sumatorias

Si am, am+1,. . . y bm, bm+1, bm+2,. . . son sucesiones denúmeros reales y c es un número real cualquiera entoncespara enteros n ≥ m se cumple:

n∑

k=m

ak +n

∑

k=m

bk =n

∑

k=m

(ak + bk) (7)

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.13/15

Propiedades de las Sumatorias

Si am, am+1,. . . y bm, bm+1, bm+2,. . . son sucesiones denúmeros reales y c es un número real cualquiera entoncespara enteros n ≥ m se cumple:

n∑

k=m

ak +n

∑

k=m

bk =n

∑

k=m

(ak + bk) (7)

c

n∑

k=m

ak =n

∑

k=m

c ak (7)

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Propiedades de las Sumatorias

Si am, am+1,. . . y bm, bm+1, bm+2,. . . son sucesiones denúmeros reales y c es un número real cualquiera entoncespara enteros n ≥ m se cumple:

n∑

k=m

ak +n

∑

k=m

bk =n

∑

k=m

(ak + bk) (7)

c

n∑

k=m

ak =n

∑

k=m

c ak (7)

(

n∏

k=m

ak

)

·

(

n∏

k=m

bk

)

=n

∏

k=m

(ak · bk) (7)

Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.13/15

Ejemplo decorrimiento de índice

Ejemplo

Indique a cuáles sumatorias es equivalente lasiquiente:

12∑

n=1

(2 + 5 n)

dentro de la lista:1.

∑22j=11 (−48 + 5 j)

2.∑7

i=−4 (27 + 5 i)

3.∑17

n=6 (−23 + 5 n)

4.∑2

k=−9 (52 + 5 k)

5.∑23

m=12 (−53 + 5 m)Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.14/15

Ejemplo

Determine en orden los valores de A, B y C paraque

A∑

k=0

(C + B k)

se igual a la suma :

−212

∑

j=3

(3 − 5 j) +6

∑

j=−3

(4 + j)

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