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Inducción MatemáticaDepartamento de Matem aticas
Induccion Matematica– p. 1/31
Inducción Matemática: Historia
Inducción Matemática es un método deprueba relativamente reciente:
Induccion Matematica– p. 2/31
Inducción Matemática: Historia
Inducción Matemática es un método deprueba relativamente reciente: el primeruso conocido lo hizo el sacerdote ita-liano Francesco Maurolico (1494-1575)en su publicación “Arithmeticorum libriduo” (1575).
Induccion Matematica– p. 2/31
Inducción Matemática: Historia
Inducción Matemática es un método deprueba relativamente reciente: el primeruso conocido lo hizo el sacerdote ita-liano Francesco Maurolico (1494-1575)en su publicación “Arithmeticorum libriduo” (1575). En el siglo 17 tanto Pie-re de Fermat como Blaise Pascal utili-zaron esta técnica.
Induccion Matematica– p. 2/31
Inducción Matemática: Historia
Inducción Matemática es un método deprueba relativamente reciente: el primeruso conocido lo hizo el sacerdote ita-liano Francesco Maurolico (1494-1575)en su publicación “Arithmeticorum libriduo” (1575). En el siglo 17 tanto Pie-re de Fermat como Blaise Pascal utili-zaron esta técnica. En 1883 AugustusDe Morgan fue el primero que describióel proceso cuidadosamente y le nombróinducción matemática.
Induccion Matematica– p. 2/31
Inducción Matemática: Idea Intuitiva
Suponga una fila interminable de fichasde dominó.
Induccion Matematica– p. 3/31
Inducción Matemática: Idea Intuitiva
Suponga una fila interminable de fichasde dominó. Suponga que las fichas es-tán estrategicamente colocadas de talforma que si cualquiera cayera haciaadelante tumbaría la siguiente ficha ha-cia adelante. (Paso Inductivo)
Induccion Matematica– p. 3/31
Inducción Matemática: Idea Intuitiva
Suponga una fila interminable de fichasde dominó. Suponga que las fichas es-tán estrategicamente colocadas de talforma que si cualquiera cayera haciaadelante tumbaría la siguiente ficha ha-cia adelante. (Paso Inductivo) Supongatambién que la primera ficha cae haciaadelante.(Base Inductiva)
Induccion Matematica– p. 3/31
Inducción Matemática: Idea Intuitiva
Suponga una fila interminable de fichasde dominó. Suponga que las fichas es-tán estrategicamente colocadas de talforma que si cualquiera cayera haciaadelante tumbaría la siguiente ficha ha-cia adelante. (Paso Inductivo) Supongatambién que la primera ficha cae haciaadelante.(Base Inductiva)¿Qué pasará con las fichas de dominó?
Induccion Matematica– p. 3/31
Inducción Matemática: Idea Intuitiva
Suponga una fila interminable de fichasde dominó. Suponga que las fichas es-tán estrategicamente colocadas de talforma que si cualquiera cayera haciaadelante tumbaría la siguiente ficha ha-cia adelante. (Paso Inductivo) Supongatambién que la primera ficha cae haciaadelante.(Base Inductiva)¿Qué pasará con las fichas de dominó?¡Caerán todas!
Induccion Matematica– p. 3/31
Inducción Matemática: Formulación
Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad,condición etc) P (n) que está definida para los enterosapartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, paran = a + 2, . . . )
Induccion Matematica– p. 4/31
Inducción Matemática: Formulación
Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad,condición etc) P (n) que está definida para los enterosapartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, paran = a + 2, . . . ) Suponga que las dos siguientesafirmaciones son ciertas:
Induccion Matematica– p. 4/31
Inducción Matemática: Formulación
Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad,condición etc) P (n) que está definida para los enterosapartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, paran = a + 2, . . . ) Suponga que las dos siguientesafirmaciones son ciertas:
P (a) es verdadero.
Induccion Matematica– p. 4/31
Inducción Matemática: Formulación
Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad,condición etc) P (n) que está definida para los enterosapartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, paran = a + 2, . . . ) Suponga que las dos siguientesafirmaciones son ciertas:
P (a) es verdadero.
Para cualquier entero k mayor o igual que a:
Si P (k) es cierto, entonces P (k + 1) es cierto.
Induccion Matematica– p. 4/31
Inducción Matemática: Formulación
Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad,condición etc) P (n) que está definida para los enterosapartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, paran = a + 2, . . . ) Suponga que las dos siguientesafirmaciones son ciertas:
P (a) es verdadero.
Para cualquier entero k mayor o igual que a:
Si P (k) es cierto, entonces P (k + 1) es cierto.
Entonces la afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P (n)
es verdadera.
Induccion Matematica– p. 4/31
Inducción Matemática: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P (n)
Pruebe que:
Induccion Matematica– p. 5/31
Inducción Matemática: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P (n)
Pruebe que:
Paso 1 (Base Inductiva): P (a) es verdadero.
Induccion Matematica– p. 5/31
Inducción Matemática: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P (n)
Pruebe que:
Paso 1 (Base Inductiva): P (a) es verdadero.
Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para cualquierentero k ≥ a . . .
Induccion Matematica– p. 5/31
Inducción Matemática: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P (n)
Pruebe que:
Paso 1 (Base Inductiva): P (a) es verdadero.
Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para cualquierentero k ≥ a . . .
suponiendo que P (k) es verdadera (Hipótesisinductiva)
Induccion Matematica– p. 5/31
Inducción Matemática: El Método
Para demostrar que es verdadera una afirmación:
Para todos los enteros n ≥ a, P (n)
Pruebe que:
Paso 1 (Base Inductiva): P (a) es verdadero.
Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para cualquierentero k ≥ a . . .
suponiendo que P (k) es verdadera (Hipótesisinductiva)entonces muestre que P (k + 1) también es verdadera.
Induccion Matematica– p. 5/31
Inducción Matemática: Ejemplo 1
Suponiendo como válidas las reglas de derivación
d
dxx = 1
y que
d
dx(f(x) · g(x)) = g(x) ·
d
dxf(x) + f(x) ·
d
dxg(x)
Induccion Matematica– p. 6/31
Inducción Matemática: Ejemplo 1
Suponiendo como válidas las reglas de derivación
d
dxx = 1
y que
d
dx(f(x) · g(x)) = g(x) ·
d
dxf(x) + f(x) ·
d
dxg(x)
Demuestre que para todo entero n ≥ 1
d
dxxn = n xn−1
Induccion Matematica– p. 6/31
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :
Induccion Matematica– p. 7/31
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros. En este caso n = 1.
Induccion Matematica– p. 7/31
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros. En este caso n = 1. La fórmula que debemosdemostrar para n = 1 queda:
d
dxx1 = 1 x1−1
Induccion Matematica– p. 7/31
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros. En este caso n = 1. La fórmula que debemosdemostrar para n = 1 queda:
d
dxx1 = 1 x1−1
es decir,d
dxx = 1
pero esto es uno de los datos que tenemos en el problema.Por tanto, la afirmación es cierta para n = 1.
Induccion Matematica– p. 7/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
d
dxxk = k xk−1
Induccion Matematica– p. 8/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
d
dxxk = k xk−1
Mostremos que entonces se cumple:
d
dxxk+1 = (k + 1) xk+1−1 = (k + 1) xk
(La igualdad anterior se debe probar)
Induccion Matematica– p. 8/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
d
dxxk = k xk−1
Mostremos que entonces se cumple:
d
dxxk+1 = (k + 1) xk+1−1 = (k + 1) xk
(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con ellado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar yhagamos un truco matemático:
Induccion Matematica– p. 8/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
d
dxxk = k xk−1
Mostremos que entonces se cumple:
d
dxxk+1 = (k + 1) xk+1−1 = (k + 1) xk
(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con ellado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar yhagamos un truco matemático:
d
dxxk+1 =
d
dx
(
xk · x)
Induccion Matematica– p. 8/31
Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:
Induccion Matematica– p. 9/31
Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:
d
dxxk+1 =
d
dx
(
xk · x)
= xd
dxxk + xk d
dxx
Induccion Matematica– p. 9/31
Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:
d
dxxk+1 =
d
dx
(
xk · x)
= xd
dxxk + xk d
dxx
Por la hipótesis inductiva d
dxxk = k xk−1, entonces tenemos
que la igualdad anterior queda:
Induccion Matematica– p. 9/31
Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:
d
dxxk+1 =
d
dx
(
xk · x)
= xd
dxxk + xk d
dxx
Por la hipótesis inductiva d
dxxk = k xk−1, entonces tenemos
que la igualdad anterior queda:
d
dxxk+1 = x
d
dxxk + xk d
dxx = x·k xk−1 + xk · 1
Induccion Matematica– p. 9/31
Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:
d
dxxk+1 =
d
dx
(
xk · x)
= xd
dxxk + xk d
dxx
Por la hipótesis inductiva d
dxxk = k xk−1, entonces tenemos
que la igualdad anterior queda:
d
dxxk+1 = x
d
dxxk + xk d
dxx = x·k xk−1 + xk · 1
Si hacemos álgebra en el lado derecho obtenemos:
Induccion Matematica– p. 9/31
Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:
d
dxxk+1 =
d
dx
(
xk · x)
= xd
dxxk + xk d
dxx
Por la hipótesis inductiva d
dxxk = k xk−1, entonces tenemos
que la igualdad anterior queda:
d
dxxk+1 = x
d
dxxk + xk d
dxx = x·k xk−1 + xk · 1
Si hacemos álgebra en el lado derecho obtenemos:
d
dxxk+1 = (k + 1) xk
Induccion Matematica– p. 9/31
Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tantohemos probado que si d
dxxk = k xk−1 es verdadera,
entonces d
dxxk+1 = (k + 1) xk es también verdadera.
Induccion Matematica– p. 10/31
Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tantohemos probado que si d
dxxk = k xk−1 es verdadera,
entonces d
dxxk+1 = (k + 1) xk es también verdadera.
Es decir, hemos probado el paso inductivo.
Induccion Matematica– p. 10/31
Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tantohemos probado que si d
dxxk = k xk−1 es verdadera,
entonces d
dxxk+1 = (k + 1) xk es también verdadera.
Es decir, hemos probado el paso inductivo.Por haber probado la base inductiva y el paso inductivo, elprincipio de inducción matemática dice que la afirmación escierta:
Induccion Matematica– p. 10/31
Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tantohemos probado que si d
dxxk = k xk−1 es verdadera,
entonces d
dxxk+1 = (k + 1) xk es también verdadera.
Es decir, hemos probado el paso inductivo.Por haber probado la base inductiva y el paso inductivo, elprincipio de inducción matemática dice que la afirmación escierta:
Para todo entero n ≥ 1,d
dxxn = n xn−1.
Induccion Matematica– p. 10/31
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2 n + 1 ≤ 2n
Induccion Matematica– p. 11/31
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2 n + 1 ≤ 2n
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :
Induccion Matematica– p. 11/31
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2 n + 1 ≤ 2n
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 3.
Induccion Matematica– p. 11/31
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2 n + 1 ≤ 2n
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 3. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 3 queda:
2 · 3 + 1 ≤ 23
Induccion Matematica– p. 11/31
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2 n + 1 ≤ 2n
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 3. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 3 queda:
2 · 3 + 1 ≤ 23
es decir, 7 ≤ 8, pero esto es verdadero.
Induccion Matematica– p. 11/31
Inducción Matemática: Ejemplo 2
Demuestre que para enteros n ≥ 3:
2 n + 1 ≤ 2n
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 3. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 3 queda:
2 · 3 + 1 ≤ 23
es decir, 7 ≤ 8, pero esto es verdadero. Por tanto, laafirmación es cierta para n = 3.
Induccion Matematica– p. 11/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquiera secumple:
2 k + 1 ≤ 2k
2 (k + 1) + 1 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar)
Induccion Matematica– p. 12/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquiera secumple:
2 k + 1 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
2 (k + 1) + 1 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar)
Induccion Matematica– p. 12/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquiera secumple:
2 k + 1 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
LHS = 2 (k + 1) + 1 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos conel lado izquierdo de la desigualdad que queremosdemostrar:
Induccion Matematica– p. 12/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquiera secumple:
2 k + 1 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
LHS = 2 (k + 1) + 1 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos conel lado izquierdo de la desigualdad que queremosdemostrar:
LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2
Induccion Matematica– p. 12/31
Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2
Induccion Matematica– p. 13/31
Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2
Induccion Matematica– p. 13/31
Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k
Induccion Matematica– p. 13/31
Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k
Induccion Matematica– p. 13/31
Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k
Induccion Matematica– p. 13/31
Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1
Induccion Matematica– p. 13/31
Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1.
Induccion Matematica– p. 13/31
Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo.
Induccion Matematica– p. 13/31
Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo. Por el principio de inducciónmatemática la afirmación es verdadera:
Para cualquier entero n ≥ 3, 2 n + 2 ≤ 2n
Induccion Matematica– p. 13/31
Note que en la demostración anterior hemos hecho uso delo siguiente:
Si A ≤ B, entonces A + C ≤ B + C.
Si A ≤ B y B ≤ C, entonces A ≤ C.
Induccion Matematica– p. 14/31
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
Induccion Matematica– p. 15/31
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :
Induccion Matematica– p. 15/31
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 4.
Induccion Matematica– p. 15/31
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 4. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 4 queda:
42 ≤ 24
Induccion Matematica– p. 15/31
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 4. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 4 queda:
42 ≤ 24
es decir, 16 ≤ 16, pero esto es verdadero.
Induccion Matematica– p. 15/31
Inducción Matemática: Ejemplo 3
Demuestre que para enteros n ≥ 4:
n2 ≤ 2n
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 4. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 4 queda:
42 ≤ 24
es decir, 16 ≤ 16, pero esto es verdadero. Por tanto, laafirmación es cierta para n = 4.
Induccion Matematica– p. 15/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquiera secumple:
k2 ≤ 2k
(k + 1)2 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar)
Induccion Matematica– p. 16/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquiera secumple:
k2 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
(k + 1)2 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar)
Induccion Matematica– p. 16/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquiera secumple:
k2 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
LHS = (k + 1)2 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos conel lado izquierdo de la desigualdad que queremosdemostrar:
Induccion Matematica– p. 16/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquiera secumple:
k2 ≤ 2k
Mostremos que entonces se cumple:
LHS = (k + 1)2 ≤ 2k+1
(La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos conel lado izquierdo de la desigualdad que queremosdemostrar:
LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1
Induccion Matematica– p. 16/31
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1
Induccion Matematica– p. 17/31
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1
Induccion Matematica– p. 17/31
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k
Induccion Matematica– p. 17/31
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k + 2k
Induccion Matematica– p. 17/31
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k
Induccion Matematica– p. 17/31
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1
Induccion Matematica– p. 17/31
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1.
Induccion Matematica– p. 17/31
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo.
Induccion Matematica– p. 17/31
Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:
LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k
Por tanto, hemos probado que
(k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo. Por el principio de inducciónmatemática la afirmación es verdadera:
Para cualquier entero n ≥ 4, n2 ≤ 2n
Induccion Matematica– p. 17/31
Inducción Matemática: Ejemplo 4
Demuestre que para enteros n ≥ 1:
1 + 2 + · · · + n =k
∑
i=1
i =n(n + 1)
2
Induccion Matematica– p. 18/31
Inducción Matemática: Ejemplo 4
Demuestre que para enteros n ≥ 1:
1 + 2 + · · · + n =k
∑
i=1
i =n(n + 1)
2
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :
Induccion Matematica– p. 18/31
Inducción Matemática: Ejemplo 4
Demuestre que para enteros n ≥ 1:
1 + 2 + · · · + n =k
∑
i=1
i =n(n + 1)
2
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1.
Induccion Matematica– p. 18/31
Inducción Matemática: Ejemplo 4
Demuestre que para enteros n ≥ 1:
1 + 2 + · · · + n =k
∑
i=1
i =n(n + 1)
2
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1. La igualdad que debemosdemostrar para n = 1 queda:
1∑
i=1
i = 1 =1 · (1 + 1)
2= 1
Induccion Matematica– p. 18/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
k∑
i=1
i =k(k + 1)
2
k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 1 + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)
2
(La igualdad anterior se debe probar)
Induccion Matematica– p. 19/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
k∑
i=1
i =k(k + 1)
2
Mostremos que entonces se cumple:
k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 1 + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)
2
(La igualdad anterior se debe probar)
Induccion Matematica– p. 19/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
k∑
i=1
i =k(k + 1)
2
Mostremos que entonces se cumple:
LHS =k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 1 + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)
2
(La igualdad anterior se debe probar)
LHS =k+1∑
i=1
i =
(
k∑
i=1
i
)
+ k + 1Induccion Matematica– p. 19/31
Por la hipótesis inductiva∑k
i=1 i = k(k+1)2 lo anterior queda:
LHS =k+1∑
i=1
i =
(
k∑
i=1
i
)
+ k + 1
Induccion Matematica– p. 20/31
Por la hipótesis inductiva∑k
i=1 i = k(k+1)2 lo anterior queda:
LHS =k+1∑
i=1
i =
(
k∑
i=1
i
)
+ k + 1 =k(k + 1)
2+ k + 1
Induccion Matematica– p. 20/31
Por la hipótesis inductiva∑k
i=1 i = k(k+1)2 lo anterior queda:
LHS =k+1∑
i=1
i =
(
k∑
i=1
i
)
+ k + 1 =k(k + 1)
2+ k + 1
Haciendo álgebra tenemos:
k(k + 1)
2+ k + 1
Induccion Matematica– p. 20/31
Por la hipótesis inductiva∑k
i=1 i = k(k+1)2 lo anterior queda:
LHS =k+1∑
i=1
i =
(
k∑
i=1
i
)
+ k + 1 =k(k + 1)
2+ k + 1
Haciendo álgebra tenemos:
k(k + 1)
2+ k + 1 =
k(k + 1) + 2(k + 1)
2
Induccion Matematica– p. 20/31
Por la hipótesis inductiva∑k
i=1 i = k(k+1)2 lo anterior queda:
LHS =k+1∑
i=1
i =
(
k∑
i=1
i
)
+ k + 1 =k(k + 1)
2+ k + 1
Haciendo álgebra tenemos:
k(k + 1)
2+ k + 1 =
k(k + 1) + 2(k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)
2
Induccion Matematica– p. 20/31
Por tanto, hemos probado que
k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 2)
2
Induccion Matematica– p. 21/31
Por tanto, hemos probado que
k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 2)
2
Esto es justo la afirmación para n = k + 1.
Induccion Matematica– p. 21/31
Por tanto, hemos probado que
k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 2)
2
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo.
Induccion Matematica– p. 21/31
Por tanto, hemos probado que
k+1∑
i=1
i =(k + 1)(k + 2)
2
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo. Por el principio de inducciónmatemática la afirmación es verdadera:
Para cualquier entero n ≥ 1,n
∑
i=1
i =n(n + 1)
2
Induccion Matematica– p. 21/31
Inducción Matemática: Ejemplo 5
Suponga una sucesión de números a1, a2, a3, . . . quecumplen la siguientes reglas:
Regla 1: a1 = 1, y
Regla 2: an+1 = 2 an + 1 para n ≥ 1.
Induccion Matematica– p. 22/31
Inducción Matemática: Ejemplo 5
Suponga una sucesión de números a1, a2, a3, . . . quecumplen la siguientes reglas:
Regla 1: a1 = 1, y
Regla 2: an+1 = 2 an + 1 para n ≥ 1.
Pruebe que la fórmula para los números an para n ≥ 1 es:
an = 2n − 1
Induccion Matematica– p. 22/31
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :
Induccion Matematica– p. 23/31
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1.
Induccion Matematica– p. 23/31
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1. La igualdad que debemosdemostrar para n = 1 queda:
a1 = 21 − 1 = 1
Induccion Matematica– p. 23/31
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1. La igualdad que debemosdemostrar para n = 1 queda:
a1 = 21 − 1 = 1
pero esto es verdadero por la regla 1.
Induccion Matematica– p. 23/31
Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1. La igualdad que debemosdemostrar para n = 1 queda:
a1 = 21 − 1 = 1
pero esto es verdadero por la regla 1. Por tanto, laafirmación es cierta para n = 1.
Induccion Matematica– p. 23/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
ak = 2k − 1
Induccion Matematica– p. 24/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
ak = 2k − 1
Mostremos que entonces se cumple:
ak+1 = 2k+1 − 1
(La igualdad anterior se debe probar)
Induccion Matematica– p. 24/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
ak = 2k − 1
Mostremos que entonces se cumple:
ak+1 = 2k+1 − 1
(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con ellado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar: porla regla 2:
ak+1 = 2 ak + 1
Induccion Matematica– p. 24/31
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:
ak+1 = 2 ak + 1
Induccion Matematica– p. 25/31
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:
ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1
Induccion Matematica– p. 25/31
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:
ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1
Induccion Matematica– p. 25/31
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:
ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1
Por tanto, hemos probado que
ak+1 = 2k+1 − 1
Induccion Matematica– p. 25/31
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:
ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1
Por tanto, hemos probado que
ak+1 = 2k+1 − 1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1.
Induccion Matematica– p. 25/31
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:
ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1
Por tanto, hemos probado que
ak+1 = 2k+1 − 1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo.
Induccion Matematica– p. 25/31
Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:
ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1
Por tanto, hemos probado que
ak+1 = 2k+1 − 1
Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo. Por el principio de inducciónmatemática la afirmación es verdadera:
Para cualquier entero n ≥ 1, an = 2n − 1
Induccion Matematica– p. 25/31
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)
Induccion Matematica– p. 26/31
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)
variable A array of float
variable n integer
variable x float
Induccion Matematica– p. 26/31
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)
variable A array of float
variable n integer
variable x float
if (n = 1) then
[a] return(A[1])
Induccion Matematica– p. 26/31
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)
variable A array of float
variable n integer
variable x float
if (n = 1) then
[a] return(A[1])
else
[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))
Induccion Matematica– p. 26/31
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)
variable A array of float
variable n integer
variable x float
if (n = 1) then
[a] return(A[1])
else
[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))
end if
end proc
Induccion Matematica– p. 26/31
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)
variable A array of float
variable n integer
variable x float
if (n = 1) then
[a] return(A[1])
else
[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))
end if
end proc
Afirmación para n ≥ 1:
SD(A, n, x) =∑
n
i=1A[i]xn−i
= A[n] + A[n − 1] x1 + · · · + A[1] xn−1
Induccion Matematica– p. 26/31
Inducción Matemática: Ejemplo 6
Considere el programa:SD(A,n,x)
variable A array of float
variable n integer
variable x float
if (n = 1) then
[a] return(A[1])
else
[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))
end if
end proc
Afirmación para n ≥ 1:
SD(A, n, x) =∑
n
i=1A[i]xn−i
= A[n] + A[n − 1] x1 + · · · + A[1] xn−1
y su ejecución se realiza con2(n − 1) FLOPs.
Induccion Matematica– p. 26/31
Demostraci onBase inductiva :
Induccion Matematica– p. 27/31
Demostraci onBase inductiva :Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa :
1∑
i=1
A[i] x1−i = A[1] x1−1 = A[1].
Induccion Matematica– p. 27/31
Demostraci onBase inductiva :Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa :
1∑
i=1
A[i] x1−i = A[1] x1−1 = A[1].
Pero esto es verdadero, pues el programa para n = 1 salepor la línea [a] entregando esto.
Induccion Matematica– p. 27/31
Demostraci onBase inductiva :Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa :
1∑
i=1
A[i] x1−i = A[1] x1−1 = A[1].
Pero esto es verdadero, pues el programa para n = 1 salepor la línea [a] entregando esto. Además, como no realizaninguna operación de punto flotante se coincide con lafórmula para el número de FLOPs invertidos: 2 (1 − 1) = 0.
Induccion Matematica– p. 27/31
Demostraci onBase inductiva :Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa :
1∑
i=1
A[i] x1−i = A[1] x1−1 = A[1].
Pero esto es verdadero, pues el programa para n = 1 salepor la línea [a] entregando esto. Además, como no realizaninguna operación de punto flotante se coincide con lafórmula para el número de FLOPs invertidos: 2 (1 − 1) = 0.Por tanto, la afirmación es cierta para n = 1.
Induccion Matematica– p. 27/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
SD(A, k, x) =k
∑
i=1
A[i]xk−i
Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs.
Induccion Matematica– p. 28/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
SD(A, k, x) =k
∑
i=1
A[i]xk−i
Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs. Mostremos queentonces se cumple:
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
Induccion Matematica– p. 28/31
Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:
SD(A, k, x) =k
∑
i=1
A[i]xk−i
Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs. Mostremos queentonces se cumple:
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
y que lo hace en 2(k + 1 − 1) = 2 k FLOPs.
Induccion Matematica– p. 28/31
Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:
Induccion Matematica– p. 29/31
Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:Como k ≥ 1 entonces k + 1 6= 1.
Induccion Matematica– p. 29/31
Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:Como k ≥ 1 entonces k + 1 6= 1. Por lo tanto, el programaejecuta la línea [b] entregando:
Induccion Matematica– p. 29/31
Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:Como k ≥ 1 entonces k + 1 6= 1. Por lo tanto, el programaejecuta la línea [b] entregando:
SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x)
Induccion Matematica– p. 29/31
Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:Como k ≥ 1 entonces k + 1 6= 1. Por lo tanto, el programaejecuta la línea [b] entregando:
SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x)
Por la hipótesis inductiva:
SD(A, k + 1, x) = A[n] + x ×
k∑
i=1
A[i]xk−i
Induccion Matematica– p. 29/31
Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:Como k ≥ 1 entonces k + 1 6= 1. Por lo tanto, el programaejecuta la línea [b] entregando:
SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x)
Por la hipótesis inductiva:
SD(A, k + 1, x) = A[n] + x ×
k∑
i=1
A[i]xk−i
Por propiedades matemáticas lo anterior queda:
SD(A, k + 1, x) = A[n] +k
∑
i=1
A[i]xk+1−i =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
Induccion Matematica– p. 29/31
Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas
Induccion Matematica– p. 30/31
Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas
la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y
Induccion Matematica– p. 30/31
Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas
la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y
la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una suma yuna multiplicación.
Induccion Matematica– p. 30/31
Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas
la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y
la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una suma yuna multiplicación.
Es decir, que el número de operaciones involucradas serán
2(k − 1) + 2 = 2 k
Induccion Matematica– p. 30/31
Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas
la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y
la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una suma yuna multiplicación.
Es decir, que el número de operaciones involucradas serán
2(k − 1) + 2 = 2 k
Esto es exactamente lo que se quería demostrar.
Induccion Matematica– p. 30/31
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,
Induccion Matematica– p. 31/31
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k,
Induccion Matematica– p. 31/31
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutadopara n = k + 1 entrega
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
Induccion Matematica– p. 31/31
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutadopara n = k + 1 entrega
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
y lo hace en 2(k + 1 − 1) FLOPs.
Induccion Matematica– p. 31/31
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutadopara n = k + 1 entrega
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
y lo hace en 2(k + 1 − 1) FLOPs. Lo que es exactamente laafirmación para n = k + 1.
Induccion Matematica– p. 31/31
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutadopara n = k + 1 entrega
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
y lo hace en 2(k + 1 − 1) FLOPs. Lo que es exactamente laafirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado elpaso inductivo.
Induccion Matematica– p. 31/31
Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutadopara n = k + 1 entrega
SD(A, k + 1, x) =k+1∑
i=1
A[i]xk+1−i
y lo hace en 2(k + 1 − 1) FLOPs. Lo que es exactamente laafirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado elpaso inductivo. Por el principio de inducción matemática laafirmación es verdadera para enteros n ≥ 1.
Induccion Matematica– p. 31/31