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Inducción Matemática Departamento de Matem ´ aticas Inducci ´ on Matem ´ atica– p. 1/31

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Inducción MatemáticaDepartamento de Matem aticas

Induccion Matematica– p. 1/31

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Inducción Matemática: Historia

Inducción Matemática es un método deprueba relativamente reciente:

Induccion Matematica– p. 2/31

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Inducción Matemática: Historia

Inducción Matemática es un método deprueba relativamente reciente: el primeruso conocido lo hizo el sacerdote ita-liano Francesco Maurolico (1494-1575)en su publicación “Arithmeticorum libriduo” (1575).

Induccion Matematica– p. 2/31

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Inducción Matemática: Historia

Inducción Matemática es un método deprueba relativamente reciente: el primeruso conocido lo hizo el sacerdote ita-liano Francesco Maurolico (1494-1575)en su publicación “Arithmeticorum libriduo” (1575). En el siglo 17 tanto Pie-re de Fermat como Blaise Pascal utili-zaron esta técnica.

Induccion Matematica– p. 2/31

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Inducción Matemática: Historia

Inducción Matemática es un método deprueba relativamente reciente: el primeruso conocido lo hizo el sacerdote ita-liano Francesco Maurolico (1494-1575)en su publicación “Arithmeticorum libriduo” (1575). En el siglo 17 tanto Pie-re de Fermat como Blaise Pascal utili-zaron esta técnica. En 1883 AugustusDe Morgan fue el primero que describióel proceso cuidadosamente y le nombróinducción matemática.

Induccion Matematica– p. 2/31

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Inducción Matemática: Idea Intuitiva

Suponga una fila interminable de fichasde dominó.

Induccion Matematica– p. 3/31

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Inducción Matemática: Idea Intuitiva

Suponga una fila interminable de fichasde dominó. Suponga que las fichas es-tán estrategicamente colocadas de talforma que si cualquiera cayera haciaadelante tumbaría la siguiente ficha ha-cia adelante. (Paso Inductivo)

Induccion Matematica– p. 3/31

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Inducción Matemática: Idea Intuitiva

Suponga una fila interminable de fichasde dominó. Suponga que las fichas es-tán estrategicamente colocadas de talforma que si cualquiera cayera haciaadelante tumbaría la siguiente ficha ha-cia adelante. (Paso Inductivo) Supongatambién que la primera ficha cae haciaadelante.(Base Inductiva)

Induccion Matematica– p. 3/31

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Inducción Matemática: Idea Intuitiva

Suponga una fila interminable de fichasde dominó. Suponga que las fichas es-tán estrategicamente colocadas de talforma que si cualquiera cayera haciaadelante tumbaría la siguiente ficha ha-cia adelante. (Paso Inductivo) Supongatambién que la primera ficha cae haciaadelante.(Base Inductiva)¿Qué pasará con las fichas de dominó?

Induccion Matematica– p. 3/31

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Inducción Matemática: Idea Intuitiva

Suponga una fila interminable de fichasde dominó. Suponga que las fichas es-tán estrategicamente colocadas de talforma que si cualquiera cayera haciaadelante tumbaría la siguiente ficha ha-cia adelante. (Paso Inductivo) Supongatambién que la primera ficha cae haciaadelante.(Base Inductiva)¿Qué pasará con las fichas de dominó?¡Caerán todas!

Induccion Matematica– p. 3/31

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Inducción Matemática: Formulación

Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad,condición etc) P (n) que está definida para los enterosapartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, paran = a + 2, . . . )

Induccion Matematica– p. 4/31

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Inducción Matemática: Formulación

Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad,condición etc) P (n) que está definida para los enterosapartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, paran = a + 2, . . . ) Suponga que las dos siguientesafirmaciones son ciertas:

Induccion Matematica– p. 4/31

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Inducción Matemática: Formulación

Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad,condición etc) P (n) que está definida para los enterosapartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, paran = a + 2, . . . ) Suponga que las dos siguientesafirmaciones son ciertas:

P (a) es verdadero.

Induccion Matematica– p. 4/31

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Inducción Matemática: Formulación

Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad,condición etc) P (n) que está definida para los enterosapartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, paran = a + 2, . . . ) Suponga que las dos siguientesafirmaciones son ciertas:

P (a) es verdadero.

Para cualquier entero k mayor o igual que a:

Si P (k) es cierto, entonces P (k + 1) es cierto.

Induccion Matematica– p. 4/31

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Inducción Matemática: Formulación

Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad,condición etc) P (n) que está definida para los enterosapartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, paran = a + 2, . . . ) Suponga que las dos siguientesafirmaciones son ciertas:

P (a) es verdadero.

Para cualquier entero k mayor o igual que a:

Si P (k) es cierto, entonces P (k + 1) es cierto.

Entonces la afirmación:

Para todos los enteros n ≥ a, P (n)

es verdadera.

Induccion Matematica– p. 4/31

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Inducción Matemática: El Método

Para demostrar que es verdadera una afirmación:

Para todos los enteros n ≥ a, P (n)

Pruebe que:

Induccion Matematica– p. 5/31

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Inducción Matemática: El Método

Para demostrar que es verdadera una afirmación:

Para todos los enteros n ≥ a, P (n)

Pruebe que:

Paso 1 (Base Inductiva): P (a) es verdadero.

Induccion Matematica– p. 5/31

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Inducción Matemática: El Método

Para demostrar que es verdadera una afirmación:

Para todos los enteros n ≥ a, P (n)

Pruebe que:

Paso 1 (Base Inductiva): P (a) es verdadero.

Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para cualquierentero k ≥ a . . .

Induccion Matematica– p. 5/31

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Inducción Matemática: El Método

Para demostrar que es verdadera una afirmación:

Para todos los enteros n ≥ a, P (n)

Pruebe que:

Paso 1 (Base Inductiva): P (a) es verdadero.

Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para cualquierentero k ≥ a . . .

suponiendo que P (k) es verdadera (Hipótesisinductiva)

Induccion Matematica– p. 5/31

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Inducción Matemática: El Método

Para demostrar que es verdadera una afirmación:

Para todos los enteros n ≥ a, P (n)

Pruebe que:

Paso 1 (Base Inductiva): P (a) es verdadero.

Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para cualquierentero k ≥ a . . .

suponiendo que P (k) es verdadera (Hipótesisinductiva)entonces muestre que P (k + 1) también es verdadera.

Induccion Matematica– p. 5/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 1

Suponiendo como válidas las reglas de derivación

d

dxx = 1

y que

d

dx(f(x) · g(x)) = g(x) ·

d

dxf(x) + f(x) ·

d

dxg(x)

Induccion Matematica– p. 6/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 1

Suponiendo como válidas las reglas de derivación

d

dxx = 1

y que

d

dx(f(x) · g(x)) = g(x) ·

d

dxf(x) + f(x) ·

d

dxg(x)

Demuestre que para todo entero n ≥ 1

d

dxxn = n xn−1

Induccion Matematica– p. 6/31

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Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :

Induccion Matematica– p. 7/31

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Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros. En este caso n = 1.

Induccion Matematica– p. 7/31

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Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros. En este caso n = 1. La fórmula que debemosdemostrar para n = 1 queda:

d

dxx1 = 1 x1−1

Induccion Matematica– p. 7/31

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Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros. En este caso n = 1. La fórmula que debemosdemostrar para n = 1 queda:

d

dxx1 = 1 x1−1

es decir,d

dxx = 1

pero esto es uno de los datos que tenemos en el problema.Por tanto, la afirmación es cierta para n = 1.

Induccion Matematica– p. 7/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

d

dxxk = k xk−1

Induccion Matematica– p. 8/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

d

dxxk = k xk−1

Mostremos que entonces se cumple:

d

dxxk+1 = (k + 1) xk+1−1 = (k + 1) xk

(La igualdad anterior se debe probar)

Induccion Matematica– p. 8/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

d

dxxk = k xk−1

Mostremos que entonces se cumple:

d

dxxk+1 = (k + 1) xk+1−1 = (k + 1) xk

(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con ellado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar yhagamos un truco matemático:

Induccion Matematica– p. 8/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

d

dxxk = k xk−1

Mostremos que entonces se cumple:

d

dxxk+1 = (k + 1) xk+1−1 = (k + 1) xk

(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con ellado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar yhagamos un truco matemático:

d

dxxk+1 =

d

dx

(

xk · x)

Induccion Matematica– p. 8/31

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Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:

Induccion Matematica– p. 9/31

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Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:

d

dxxk+1 =

d

dx

(

xk · x)

= xd

dxxk + xk d

dxx

Induccion Matematica– p. 9/31

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Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:

d

dxxk+1 =

d

dx

(

xk · x)

= xd

dxxk + xk d

dxx

Por la hipótesis inductiva d

dxxk = k xk−1, entonces tenemos

que la igualdad anterior queda:

Induccion Matematica– p. 9/31

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Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:

d

dxxk+1 =

d

dx

(

xk · x)

= xd

dxxk + xk d

dxx

Por la hipótesis inductiva d

dxxk = k xk−1, entonces tenemos

que la igualdad anterior queda:

d

dxxk+1 = x

d

dxxk + xk d

dxx = x·k xk−1 + xk · 1

Induccion Matematica– p. 9/31

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Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:

d

dxxk+1 =

d

dx

(

xk · x)

= xd

dxxk + xk d

dxx

Por la hipótesis inductiva d

dxxk = k xk−1, entonces tenemos

que la igualdad anterior queda:

d

dxxk+1 = x

d

dxxk + xk d

dxx = x·k xk−1 + xk · 1

Si hacemos álgebra en el lado derecho obtenemos:

Induccion Matematica– p. 9/31

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Si tomamos como f(x) = xk y como g(x) = x y utilizamoscomo probada al fórmula dada al inicio del problematenemos´:

d

dxxk+1 =

d

dx

(

xk · x)

= xd

dxxk + xk d

dxx

Por la hipótesis inductiva d

dxxk = k xk−1, entonces tenemos

que la igualdad anterior queda:

d

dxxk+1 = x

d

dxxk + xk d

dxx = x·k xk−1 + xk · 1

Si hacemos álgebra en el lado derecho obtenemos:

d

dxxk+1 = (k + 1) xk

Induccion Matematica– p. 9/31

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Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tantohemos probado que si d

dxxk = k xk−1 es verdadera,

entonces d

dxxk+1 = (k + 1) xk es también verdadera.

Induccion Matematica– p. 10/31

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Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tantohemos probado que si d

dxxk = k xk−1 es verdadera,

entonces d

dxxk+1 = (k + 1) xk es también verdadera.

Es decir, hemos probado el paso inductivo.

Induccion Matematica– p. 10/31

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Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tantohemos probado que si d

dxxk = k xk−1 es verdadera,

entonces d

dxxk+1 = (k + 1) xk es también verdadera.

Es decir, hemos probado el paso inductivo.Por haber probado la base inductiva y el paso inductivo, elprincipio de inducción matemática dice que la afirmación escierta:

Induccion Matematica– p. 10/31

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Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tantohemos probado que si d

dxxk = k xk−1 es verdadera,

entonces d

dxxk+1 = (k + 1) xk es también verdadera.

Es decir, hemos probado el paso inductivo.Por haber probado la base inductiva y el paso inductivo, elprincipio de inducción matemática dice que la afirmación escierta:

Para todo entero n ≥ 1,d

dxxn = n xn−1.

Induccion Matematica– p. 10/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 2

Demuestre que para enteros n ≥ 3:

2 n + 1 ≤ 2n

Induccion Matematica– p. 11/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 2

Demuestre que para enteros n ≥ 3:

2 n + 1 ≤ 2n

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :

Induccion Matematica– p. 11/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 2

Demuestre que para enteros n ≥ 3:

2 n + 1 ≤ 2n

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 3.

Induccion Matematica– p. 11/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 2

Demuestre que para enteros n ≥ 3:

2 n + 1 ≤ 2n

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 3. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 3 queda:

2 · 3 + 1 ≤ 23

Induccion Matematica– p. 11/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 2

Demuestre que para enteros n ≥ 3:

2 n + 1 ≤ 2n

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 3. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 3 queda:

2 · 3 + 1 ≤ 23

es decir, 7 ≤ 8, pero esto es verdadero.

Induccion Matematica– p. 11/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 2

Demuestre que para enteros n ≥ 3:

2 n + 1 ≤ 2n

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 3. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 3 queda:

2 · 3 + 1 ≤ 23

es decir, 7 ≤ 8, pero esto es verdadero. Por tanto, laafirmación es cierta para n = 3.

Induccion Matematica– p. 11/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquiera secumple:

2 k + 1 ≤ 2k

2 (k + 1) + 1 ≤ 2k+1

(La desigualdad anterior se debe probar)

Induccion Matematica– p. 12/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquiera secumple:

2 k + 1 ≤ 2k

Mostremos que entonces se cumple:

2 (k + 1) + 1 ≤ 2k+1

(La desigualdad anterior se debe probar)

Induccion Matematica– p. 12/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquiera secumple:

2 k + 1 ≤ 2k

Mostremos que entonces se cumple:

LHS = 2 (k + 1) + 1 ≤ 2k+1

(La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos conel lado izquierdo de la desigualdad que queremosdemostrar:

Induccion Matematica– p. 12/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquiera secumple:

2 k + 1 ≤ 2k

Mostremos que entonces se cumple:

LHS = 2 (k + 1) + 1 ≤ 2k+1

(La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos conel lado izquierdo de la desigualdad que queremosdemostrar:

LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2

Induccion Matematica– p. 12/31

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Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2

Induccion Matematica– p. 13/31

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Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2

Induccion Matematica– p. 13/31

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Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k

Induccion Matematica– p. 13/31

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Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k

Induccion Matematica– p. 13/31

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Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k

Induccion Matematica– p. 13/31

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Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1

Induccion Matematica– p. 13/31

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Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1.

Induccion Matematica– p. 13/31

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Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo.

Induccion Matematica– p. 13/31

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Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3,2 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo. Por el principio de inducciónmatemática la afirmación es verdadera:

Para cualquier entero n ≥ 3, 2 n + 2 ≤ 2n

Induccion Matematica– p. 13/31

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Note que en la demostración anterior hemos hecho uso delo siguiente:

Si A ≤ B, entonces A + C ≤ B + C.

Si A ≤ B y B ≤ C, entonces A ≤ C.

Induccion Matematica– p. 14/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 3

Demuestre que para enteros n ≥ 4:

n2 ≤ 2n

Induccion Matematica– p. 15/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 3

Demuestre que para enteros n ≥ 4:

n2 ≤ 2n

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :

Induccion Matematica– p. 15/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 3

Demuestre que para enteros n ≥ 4:

n2 ≤ 2n

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 4.

Induccion Matematica– p. 15/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 3

Demuestre que para enteros n ≥ 4:

n2 ≤ 2n

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 4. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 4 queda:

42 ≤ 24

Induccion Matematica– p. 15/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 3

Demuestre que para enteros n ≥ 4:

n2 ≤ 2n

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 4. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 4 queda:

42 ≤ 24

es decir, 16 ≤ 16, pero esto es verdadero.

Induccion Matematica– p. 15/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 3

Demuestre que para enteros n ≥ 4:

n2 ≤ 2n

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 4. La desigualdad que debemosdemostrar para n = 4 queda:

42 ≤ 24

es decir, 16 ≤ 16, pero esto es verdadero. Por tanto, laafirmación es cierta para n = 4.

Induccion Matematica– p. 15/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquiera secumple:

k2 ≤ 2k

(k + 1)2 ≤ 2k+1

(La desigualdad anterior se debe probar)

Induccion Matematica– p. 16/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquiera secumple:

k2 ≤ 2k

Mostremos que entonces se cumple:

(k + 1)2 ≤ 2k+1

(La desigualdad anterior se debe probar)

Induccion Matematica– p. 16/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquiera secumple:

k2 ≤ 2k

Mostremos que entonces se cumple:

LHS = (k + 1)2 ≤ 2k+1

(La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos conel lado izquierdo de la desigualdad que queremosdemostrar:

Induccion Matematica– p. 16/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquiera secumple:

k2 ≤ 2k

Mostremos que entonces se cumple:

LHS = (k + 1)2 ≤ 2k+1

(La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos conel lado izquierdo de la desigualdad que queremosdemostrar:

LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1

Induccion Matematica– p. 16/31

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Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1

Induccion Matematica– p. 17/31

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Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1

Induccion Matematica– p. 17/31

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Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k

Induccion Matematica– p. 17/31

Page 74: Inducción Matemática - cb.mty.itesm.mxcb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-42.pdf · Inducción Matemática: Idea Intuitiva Suponga una fila interminable de fichas de dominó

Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

(k + 1)2 ≤ 2k + 2k

Induccion Matematica– p. 17/31

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Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

(k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k

Induccion Matematica– p. 17/31

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Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

(k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1

Induccion Matematica– p. 17/31

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Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

(k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1.

Induccion Matematica– p. 17/31

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Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

(k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo.

Induccion Matematica– p. 17/31

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Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3,2 k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k

Por tanto, hemos probado que

(k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo. Por el principio de inducciónmatemática la afirmación es verdadera:

Para cualquier entero n ≥ 4, n2 ≤ 2n

Induccion Matematica– p. 17/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 4

Demuestre que para enteros n ≥ 1:

1 + 2 + · · · + n =k

i=1

i =n(n + 1)

2

Induccion Matematica– p. 18/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 4

Demuestre que para enteros n ≥ 1:

1 + 2 + · · · + n =k

i=1

i =n(n + 1)

2

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :

Induccion Matematica– p. 18/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 4

Demuestre que para enteros n ≥ 1:

1 + 2 + · · · + n =k

i=1

i =n(n + 1)

2

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1.

Induccion Matematica– p. 18/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 4

Demuestre que para enteros n ≥ 1:

1 + 2 + · · · + n =k

i=1

i =n(n + 1)

2

Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1. La igualdad que debemosdemostrar para n = 1 queda:

1∑

i=1

i = 1 =1 · (1 + 1)

2= 1

Induccion Matematica– p. 18/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

k∑

i=1

i =k(k + 1)

2

k+1∑

i=1

i =(k + 1)(k + 1 + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)

2

(La igualdad anterior se debe probar)

Induccion Matematica– p. 19/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

k∑

i=1

i =k(k + 1)

2

Mostremos que entonces se cumple:

k+1∑

i=1

i =(k + 1)(k + 1 + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)

2

(La igualdad anterior se debe probar)

Induccion Matematica– p. 19/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

k∑

i=1

i =k(k + 1)

2

Mostremos que entonces se cumple:

LHS =k+1∑

i=1

i =(k + 1)(k + 1 + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)

2

(La igualdad anterior se debe probar)

LHS =k+1∑

i=1

i =

(

k∑

i=1

i

)

+ k + 1Induccion Matematica– p. 19/31

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Por la hipótesis inductiva∑k

i=1 i = k(k+1)2 lo anterior queda:

LHS =k+1∑

i=1

i =

(

k∑

i=1

i

)

+ k + 1

Induccion Matematica– p. 20/31

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Por la hipótesis inductiva∑k

i=1 i = k(k+1)2 lo anterior queda:

LHS =k+1∑

i=1

i =

(

k∑

i=1

i

)

+ k + 1 =k(k + 1)

2+ k + 1

Induccion Matematica– p. 20/31

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Por la hipótesis inductiva∑k

i=1 i = k(k+1)2 lo anterior queda:

LHS =k+1∑

i=1

i =

(

k∑

i=1

i

)

+ k + 1 =k(k + 1)

2+ k + 1

Haciendo álgebra tenemos:

k(k + 1)

2+ k + 1

Induccion Matematica– p. 20/31

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Por la hipótesis inductiva∑k

i=1 i = k(k+1)2 lo anterior queda:

LHS =k+1∑

i=1

i =

(

k∑

i=1

i

)

+ k + 1 =k(k + 1)

2+ k + 1

Haciendo álgebra tenemos:

k(k + 1)

2+ k + 1 =

k(k + 1) + 2(k + 1)

2

Induccion Matematica– p. 20/31

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Por la hipótesis inductiva∑k

i=1 i = k(k+1)2 lo anterior queda:

LHS =k+1∑

i=1

i =

(

k∑

i=1

i

)

+ k + 1 =k(k + 1)

2+ k + 1

Haciendo álgebra tenemos:

k(k + 1)

2+ k + 1 =

k(k + 1) + 2(k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)

2

Induccion Matematica– p. 20/31

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Por tanto, hemos probado que

k+1∑

i=1

i =(k + 1)(k + 2)

2

Induccion Matematica– p. 21/31

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Por tanto, hemos probado que

k+1∑

i=1

i =(k + 1)(k + 2)

2

Esto es justo la afirmación para n = k + 1.

Induccion Matematica– p. 21/31

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Por tanto, hemos probado que

k+1∑

i=1

i =(k + 1)(k + 2)

2

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo.

Induccion Matematica– p. 21/31

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Por tanto, hemos probado que

k+1∑

i=1

i =(k + 1)(k + 2)

2

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo. Por el principio de inducciónmatemática la afirmación es verdadera:

Para cualquier entero n ≥ 1,n

i=1

i =n(n + 1)

2

Induccion Matematica– p. 21/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 5

Suponga una sucesión de números a1, a2, a3, . . . quecumplen la siguientes reglas:

Regla 1: a1 = 1, y

Regla 2: an+1 = 2 an + 1 para n ≥ 1.

Induccion Matematica– p. 22/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 5

Suponga una sucesión de números a1, a2, a3, . . . quecumplen la siguientes reglas:

Regla 1: a1 = 1, y

Regla 2: an+1 = 2 an + 1 para n ≥ 1.

Pruebe que la fórmula para los números an para n ≥ 1 es:

an = 2n − 1

Induccion Matematica– p. 22/31

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Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :

Induccion Matematica– p. 23/31

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Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1.

Induccion Matematica– p. 23/31

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Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1. La igualdad que debemosdemostrar para n = 1 queda:

a1 = 21 − 1 = 1

Induccion Matematica– p. 23/31

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Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1. La igualdad que debemosdemostrar para n = 1 queda:

a1 = 21 − 1 = 1

pero esto es verdadero por la regla 1.

Induccion Matematica– p. 23/31

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Demostraci onDe acuerdo al principio de inducción matemática debemosdemostrar:Base inductiva :Que la afirmación es veradera para el primero de esosenteros . En este caso n = 1. La igualdad que debemosdemostrar para n = 1 queda:

a1 = 21 − 1 = 1

pero esto es verdadero por la regla 1. Por tanto, laafirmación es cierta para n = 1.

Induccion Matematica– p. 23/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

ak = 2k − 1

Induccion Matematica– p. 24/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

ak = 2k − 1

Mostremos que entonces se cumple:

ak+1 = 2k+1 − 1

(La igualdad anterior se debe probar)

Induccion Matematica– p. 24/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

ak = 2k − 1

Mostremos que entonces se cumple:

ak+1 = 2k+1 − 1

(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con ellado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar: porla regla 2:

ak+1 = 2 ak + 1

Induccion Matematica– p. 24/31

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Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:

ak+1 = 2 ak + 1

Induccion Matematica– p. 25/31

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Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:

ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1

Induccion Matematica– p. 25/31

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Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:

ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1

Induccion Matematica– p. 25/31

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Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:

ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1

Por tanto, hemos probado que

ak+1 = 2k+1 − 1

Induccion Matematica– p. 25/31

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Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:

ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1

Por tanto, hemos probado que

ak+1 = 2k+1 − 1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1.

Induccion Matematica– p. 25/31

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Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:

ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1

Por tanto, hemos probado que

ak+1 = 2k+1 − 1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo.

Induccion Matematica– p. 25/31

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Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda:

ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1

Por tanto, hemos probado que

ak+1 = 2k+1 − 1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemosprobado el paso inductivo. Por el principio de inducciónmatemática la afirmación es verdadera:

Para cualquier entero n ≥ 1, an = 2n − 1

Induccion Matematica– p. 25/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 6

Considere el programa:SD(A,n,x)

Induccion Matematica– p. 26/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 6

Considere el programa:SD(A,n,x)

variable A array of float

variable n integer

variable x float

Induccion Matematica– p. 26/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 6

Considere el programa:SD(A,n,x)

variable A array of float

variable n integer

variable x float

if (n = 1) then

[a] return(A[1])

Induccion Matematica– p. 26/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 6

Considere el programa:SD(A,n,x)

variable A array of float

variable n integer

variable x float

if (n = 1) then

[a] return(A[1])

else

[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))

Induccion Matematica– p. 26/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 6

Considere el programa:SD(A,n,x)

variable A array of float

variable n integer

variable x float

if (n = 1) then

[a] return(A[1])

else

[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))

end if

end proc

Induccion Matematica– p. 26/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 6

Considere el programa:SD(A,n,x)

variable A array of float

variable n integer

variable x float

if (n = 1) then

[a] return(A[1])

else

[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))

end if

end proc

Afirmación para n ≥ 1:

SD(A, n, x) =∑

n

i=1A[i]xn−i

= A[n] + A[n − 1] x1 + · · · + A[1] xn−1

Induccion Matematica– p. 26/31

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Inducción Matemática: Ejemplo 6

Considere el programa:SD(A,n,x)

variable A array of float

variable n integer

variable x float

if (n = 1) then

[a] return(A[1])

else

[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))

end if

end proc

Afirmación para n ≥ 1:

SD(A, n, x) =∑

n

i=1A[i]xn−i

= A[n] + A[n − 1] x1 + · · · + A[1] xn−1

y su ejecución se realiza con2(n − 1) FLOPs.

Induccion Matematica– p. 26/31

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Demostraci onBase inductiva :

Induccion Matematica– p. 27/31

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Demostraci onBase inductiva :Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa :

1∑

i=1

A[i] x1−i = A[1] x1−1 = A[1].

Induccion Matematica– p. 27/31

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Demostraci onBase inductiva :Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa :

1∑

i=1

A[i] x1−i = A[1] x1−1 = A[1].

Pero esto es verdadero, pues el programa para n = 1 salepor la línea [a] entregando esto.

Induccion Matematica– p. 27/31

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Demostraci onBase inductiva :Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa :

1∑

i=1

A[i] x1−i = A[1] x1−1 = A[1].

Pero esto es verdadero, pues el programa para n = 1 salepor la línea [a] entregando esto. Además, como no realizaninguna operación de punto flotante se coincide con lafórmula para el número de FLOPs invertidos: 2 (1 − 1) = 0.

Induccion Matematica– p. 27/31

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Demostraci onBase inductiva :Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa :

1∑

i=1

A[i] x1−i = A[1] x1−1 = A[1].

Pero esto es verdadero, pues el programa para n = 1 salepor la línea [a] entregando esto. Además, como no realizaninguna operación de punto flotante se coincide con lafórmula para el número de FLOPs invertidos: 2 (1 − 1) = 0.Por tanto, la afirmación es cierta para n = 1.

Induccion Matematica– p. 27/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

SD(A, k, x) =k

i=1

A[i]xk−i

Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs.

Induccion Matematica– p. 28/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

SD(A, k, x) =k

i=1

A[i]xk−i

Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs. Mostremos queentonces se cumple:

SD(A, k + 1, x) =k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

Induccion Matematica– p. 28/31

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Paso inductivo :Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera secumple:

SD(A, k, x) =k

i=1

A[i]xk−i

Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs. Mostremos queentonces se cumple:

SD(A, k + 1, x) =k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

y que lo hace en 2(k + 1 − 1) = 2 k FLOPs.

Induccion Matematica– p. 28/31

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Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:

Induccion Matematica– p. 29/31

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Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:Como k ≥ 1 entonces k + 1 6= 1.

Induccion Matematica– p. 29/31

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Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:Como k ≥ 1 entonces k + 1 6= 1. Por lo tanto, el programaejecuta la línea [b] entregando:

Induccion Matematica– p. 29/31

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Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:Como k ≥ 1 entonces k + 1 6= 1. Por lo tanto, el programaejecuta la línea [b] entregando:

SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x)

Induccion Matematica– p. 29/31

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Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:Como k ≥ 1 entonces k + 1 6= 1. Por lo tanto, el programaejecuta la línea [b] entregando:

SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x)

Por la hipótesis inductiva:

SD(A, k + 1, x) = A[n] + x ×

k∑

i=1

A[i]xk−i

Induccion Matematica– p. 29/31

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Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1:Como k ≥ 1 entonces k + 1 6= 1. Por lo tanto, el programaejecuta la línea [b] entregando:

SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x)

Por la hipótesis inductiva:

SD(A, k + 1, x) = A[n] + x ×

k∑

i=1

A[i]xk−i

Por propiedades matemáticas lo anterior queda:

SD(A, k + 1, x) = A[n] +k

i=1

A[i]xk+1−i =k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

Induccion Matematica– p. 29/31

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Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas

Induccion Matematica– p. 30/31

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Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas

la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y

Induccion Matematica– p. 30/31

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Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas

la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y

la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una suma yuna multiplicación.

Induccion Matematica– p. 30/31

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Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas

la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y

la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una suma yuna multiplicación.

Es decir, que el número de operaciones involucradas serán

2(k − 1) + 2 = 2 k

Induccion Matematica– p. 30/31

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Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas

la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y

la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una suma yuna multiplicación.

Es decir, que el número de operaciones involucradas serán

2(k − 1) + 2 = 2 k

Esto es exactamente lo que se quería demostrar.

Induccion Matematica– p. 30/31

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Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,

Induccion Matematica– p. 31/31

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Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k,

Induccion Matematica– p. 31/31

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Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutadopara n = k + 1 entrega

SD(A, k + 1, x) =k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

Induccion Matematica– p. 31/31

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Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutadopara n = k + 1 entrega

SD(A, k + 1, x) =k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

y lo hace en 2(k + 1 − 1) FLOPs.

Induccion Matematica– p. 31/31

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Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutadopara n = k + 1 entrega

SD(A, k + 1, x) =k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

y lo hace en 2(k + 1 − 1) FLOPs. Lo que es exactamente laafirmación para n = k + 1.

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Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutadopara n = k + 1 entrega

SD(A, k + 1, x) =k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

y lo hace en 2(k + 1 − 1) FLOPs. Lo que es exactamente laafirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado elpaso inductivo.

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Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva,validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutadopara n = k + 1 entrega

SD(A, k + 1, x) =k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

y lo hace en 2(k + 1 − 1) FLOPs. Lo que es exactamente laafirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado elpaso inductivo. Por el principio de inducción matemática laafirmación es verdadera para enteros n ≥ 1.

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