lógica de primer orden: negación de declaraciones...
TRANSCRIPT
Lógica de Primer Orden:Negación de Declaraciones con
CuantificadoresDepartamento de Matematicas
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.1/12
Negación de una Declaración Universal
Definici on
La negación de una declaración universal de laforma
∀x ∈ D, Q(x) (1)
es lógicamente equivalente a la declaración de laforma:
∃x ∈ D, ¬Q(x) (2)
Escrito como equivalencia:
¬ (∀x ∈ D, Q(x)) ≡ ∃x ∈ D, ¬Q(x) (3)
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.2/12
Negación de una Declaración Existencial
Definici on
La negación de una declaración exsitencial de laforma
∃x ∈ D, Q(x) (4)
es lógicamente equivalente a la declaración de laforma:
∀x ∈ D, ¬Q(x) (5)
Escrito como equivalencia:
¬ (∃x ∈ D, Q(x)) ≡ ∀x ∈ D, ¬Q(x) (6)
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.3/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.4/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.
1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.4/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.
1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.
2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.4/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.
1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.
2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.
3. Hay un alumno de MD que es platicador.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.4/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.
1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.
2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.
3. Hay un alumno de MD que es platicador.
4. Hay un alumno no platicador en la clase de MD.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.4/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Todos los alumnos de MatemáticasDiscretas(MD) son platicadores.
1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.
2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.
3. Hay un alumno de MD que es platicador.
4. Hay un alumno no platicador en la clase de MD.
5. Algún alumno de MD no es platicador.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.4/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde:
Existe un alumnos de Matemáticas Discretas quees platicador y no acreditará el curso.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.5/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde:
Existe un alumnos de Matemáticas Discretas quees platicador y no acreditará el curso.
1. Todos los alumnos de Matemáticas Discretasacreditarán el curso.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.5/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde:
Existe un alumnos de Matemáticas Discretas quees platicador y no acreditará el curso.
1. Todos los alumnos de Matemáticas Discretasacreditarán el curso.
2. Hay alumno de Matemáticas Discretas que si esplaticador entonces acreditara el curso.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.5/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde:
Existe un alumnos de Matemáticas Discretas quees platicador y no acreditará el curso.
1. Todos los alumnos de Matemáticas Discretasacreditarán el curso.
2. Hay alumno de Matemáticas Discretas que si esplaticador entonces acreditara el curso.
3. Todos los alumnos de Matemáticas Discretas noson platicadores acreditarán el curso.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.5/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde:
Existe un alumnos de Matemáticas Discretas quees platicador y no acreditará el curso.
1. Todos los alumnos de Matemáticas Discretasacreditarán el curso.
2. Hay alumno de Matemáticas Discretas que si esplaticador entonces acreditara el curso.
3. Todos los alumnos de Matemáticas Discretas noson platicadores acreditarán el curso.
4. Todos los alumnos de Matemáticas Discretas: siplatican entonces pasarán el curso.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.5/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Cualquier programa, si tiene mas de mil líneasde código tiene un bug.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.6/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Cualquier programa, si tiene mas de mil líneasde código tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil líneas de
código.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.6/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Cualquier programa, si tiene mas de mil líneasde código tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil líneas de
código.2. Algún programa tiene mas de mil líneas de
código y no tiene bug.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.6/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Cualquier programa, si tiene mas de mil líneasde código tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil líneas de
código.2. Algún programa tiene mas de mil líneas de
código y no tiene bug.3. Algunos programas tiene mas de mil líneas de
código.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.6/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Cualquier programa, si tiene mas de mil líneasde código tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil líneas de
código.2. Algún programa tiene mas de mil líneas de
código y no tiene bug.3. Algunos programas tiene mas de mil líneas de
código.4. Algunos programas de mas de mil líneas de
código no tiene bug.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.6/12
Ejemplo
Indique cuáles opciones contienen una negaciónde: Cualquier programa, si tiene mas de mil líneasde código tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil líneas de
código.2. Algún programa tiene mas de mil líneas de
código y no tiene bug.3. Algunos programas tiene mas de mil líneas de
código.4. Algunos programas de mas de mil líneas de
código no tiene bug.5. Hay un programa que tiene mas de mil líneas de
código que no tien un bug.Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.6/12
Pruebas por Vacuidad
En Lógica las afirmaciones sólo pueden ser verdaderas ofalsas.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.7/12
Pruebas por Vacuidad
En Lógica las afirmaciones sólo pueden ser verdaderas ofalsas. Su negación por consiguiente solo puede ser falsao verdadera; contrariamente a lo que es la afirmación.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.7/12
Pruebas por Vacuidad
En Lógica las afirmaciones sólo pueden ser verdaderas ofalsas. Su negación por consiguiente solo puede ser falsao verdadera; contrariamente a lo que es la afirmación. Porconsiguiente, una afirmación es verdadera cuando sunegación es falsa.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.7/12
Pruebas por Vacuidad
En Lógica las afirmaciones sólo pueden ser verdaderas ofalsas. Su negación por consiguiente solo puede ser falsao verdadera; contrariamente a lo que es la afirmación. Porconsiguiente, una afirmación es verdadera cuando sunegación es falsa. Este hecho simple origina la prueballamada por prueba por vacuidad:
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.7/12
Pruebas por Vacuidad
En Lógica las afirmaciones sólo pueden ser verdaderas ofalsas. Su negación por consiguiente solo puede ser falsao verdadera; contrariamente a lo que es la afirmación. Porconsiguiente, una afirmación es verdadera cuando sunegación es falsa. Este hecho simple origina la prueballamada por prueba por vacuidad:
Una afirmación universal es verdadera si no existeejemplo que haga verdadera su negación.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.7/12
Pruebas por Vacuidad
En Lógica las afirmaciones sólo pueden ser verdaderas ofalsas. Su negación por consiguiente solo puede ser falsao verdadera; contrariamente a lo que es la afirmación. Porconsiguiente, una afirmación es verdadera cuando sunegación es falsa. Este hecho simple origina la prueballamada por prueba por vacuidad:
Una afirmación universal es verdadera si no existeejemplo que haga verdadera su negación.
∀x ∈ D, Q(x) es verdadera si ∃x ∈ D, ¬Q(x) es falsa. (7)
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.7/12
Ejemplo
Considere los siguientes datos:
Nombre Carrera Edad Hobby
Juan ITEC 21 Leer
María IMA 20 Música
Tomás IIS 23 Futbol
Lalo LATI 22 Anime
Luis IFI 21 Leer
Soledad LCC 24 Futbol
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.8/12
Ejemplo
Considere los siguientes datos:
Nombre Carrera Edad Hobby
Juan ITEC 21 Leer
María IMA 20 Música
Tomás IIS 23 Futbol
Lalo LATI 22 Anime
Luis IFI 21 Leer
Soledad LCC 24 Futbol
Nuestro dominio consiste de las personas
Juan, María, Tomás, Lalo, Luis, y Soledad.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.8/12
Ejemplo
Considere los siguientes datos:
Nombre Carrera Edad Hobby
Juan ITEC 21 Leer
María IMA 20 Música
Tomás IIS 23 Futbol
Lalo LATI 22 Anime
Luis IFI 21 Leer
Soledad LCC 24 Futbol
Nuestro dominio consiste de las personas
Juan, María, Tomás, Lalo, Luis, y Soledad.Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:
1. ∀x, si x es menor de 19 añosentonces x tiene como hobby elAnime.
2. ∀x, si x estudia Letras tiene comohobby el futbol.
3. ∀x, si x tiene como hobby correr,entonces x estudia letras.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.8/12
Variantes de una Declaración Universal
Definici on
Considere una declaración de la forma:
∀x ∈ D, si P (x) entonces Q(x).
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.9/12
Variantes de una Declaración Universal
Definici on
Considere una declaración de la forma:
∀x ∈ D, si P (x) entonces Q(x).
Su contrapositiva es la afirmación:
∀x ∈ D, si ¬Q(x) entonces ¬P (x).
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.9/12
Variantes de una Declaración Universal
Definici on
Considere una declaración de la forma:
∀x ∈ D, si P (x) entonces Q(x).
Su contrapositiva es la afirmación:
∀x ∈ D, si ¬Q(x) entonces ¬P (x).
Su recíproca es la afirmación:
∀x ∈ D, si Q(x) entonces P (x).
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.9/12
Variantes de una Declaración Universal
Definici on
Considere una declaración de la forma:
∀x ∈ D, si P (x) entonces Q(x).
Su contrapositiva es la afirmación:
∀x ∈ D, si ¬Q(x) entonces ¬P (x).
Su recíproca es la afirmación:
∀x ∈ D, si Q(x) entonces P (x).
Su inversa es la afirmación:
∀x ∈ D, si ¬P (x) entonces ¬q(x).Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.9/12
De nuevo con suficiente y necesario
En en contexto de los cuantificadores de nuevo:
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.10/12
De nuevo con suficiente y necesario
En en contexto de los cuantificadores de nuevo:
∀x ∈ D, r(x) es condición suficiente para s(x) significa:
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.10/12
De nuevo con suficiente y necesario
En en contexto de los cuantificadores de nuevo:
∀x ∈ D, r(x) es condición suficiente para s(x) significa:
∀x ∈ D, r(x) → s(x)
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.10/12
De nuevo con suficiente y necesario
En en contexto de los cuantificadores de nuevo:
∀x ∈ D, r(x) es condición suficiente para s(x) significa:
∀x ∈ D, r(x) → s(x)
∀x ∈ D, r(x) es condición necesaria para s(x) significa:
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.10/12
De nuevo con suficiente y necesario
En en contexto de los cuantificadores de nuevo:
∀x ∈ D, r(x) es condición suficiente para s(x) significa:
∀x ∈ D, r(x) → s(x)
∀x ∈ D, r(x) es condición necesaria para s(x) significa:
∀x ∈ D, s(x) → r(x)
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.10/12
De nuevo con suficiente y necesario
En en contexto de los cuantificadores de nuevo:
∀x ∈ D, r(x) es condición suficiente para s(x) significa:
∀x ∈ D, r(x) → s(x)
∀x ∈ D, r(x) es condición necesaria para s(x) significa:
∀x ∈ D, s(x) → r(x)
∀x ∈ D, r(x) sólo si s(x) significa:
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.10/12
De nuevo con suficiente y necesario
En en contexto de los cuantificadores de nuevo:
∀x ∈ D, r(x) es condición suficiente para s(x) significa:
∀x ∈ D, r(x) → s(x)
∀x ∈ D, r(x) es condición necesaria para s(x) significa:
∀x ∈ D, s(x) → r(x)
∀x ∈ D, r(x) sólo si s(x) significa:
∀x ∈ D, r(x) → s(x)
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.10/12
De nuevo con suficiente y necesario
En en contexto de los cuantificadores de nuevo:
∀x ∈ D, r(x) es condición suficiente para s(x) significa:
∀x ∈ D, r(x) → s(x)
∀x ∈ D, r(x) es condición necesaria para s(x) significa:
∀x ∈ D, s(x) → r(x)
∀x ∈ D, r(x) sólo si s(x) significa:
∀x ∈ D, r(x) → s(x)
De nuevo, ante la duda procurar pensar en ejemplos con-
cretos: Tener visa, tener pasaporte.Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.10/12
Ejemplo
Indique en cuáles casos la afirmación estácorrectamente negada:
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.11/12
Ejemplo
Indique en cuáles casos la afirmación estácorrectamente negada:1. Afirmación: El producto de cualquier número irracional por cualquier
número racional es irracional.Negación: El producto de cualquier número irracional por cualquier númeroracional es racional.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.11/12
Ejemplo
Indique en cuáles casos la afirmación estácorrectamente negada:1. Afirmación: El producto de cualquier número irracional por cualquier
número racional es irracional.Negación: El producto de cualquier número irracional por cualquier númeroracional es racional.
2. Afirmación: Para cualquier entero n, si n2 es par n es par.Negación: Existe un número entero n, tal que n2 es para y n es impar.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.11/12
Ejemplo
Indique en cuáles casos la afirmación estácorrectamente negada:1. Afirmación: El producto de cualquier número irracional por cualquier
número racional es irracional.Negación: El producto de cualquier número irracional por cualquier númeroracional es racional.
2. Afirmación: Para cualquier entero n, si n2 es par n es par.Negación: Existe un número entero n, tal que n2 es para y n es impar.
3. Afirmación: Existe un entero n, tal que n2 divisible por 4 y n no es dividiblepor 4.Negación: Para cualquier entero n, si n2 es dividible por 4, entonces n esdivisible por 4.
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.11/12
Ejemplo
De acuerdo a diagrama:
a
c
g
b
d
f
i
k
e
h
j
Indique cuálesafirmaciónes negadasson verdaderas:1. ∀ t, Circulo(t) → Gris(t)
2. ∃ t, tal que Cuadrado(t)∧ Gris(t)
3. ∃ t, tal que Cuadrado(t) ∧
DerechaDe(d, t)
Logica de Primer Orden:Negacion de Declaraciones con Cuantificadores– p.12/12