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Teoría de Conjuntos: PropiedadesDepartamento de Matematicas
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.1/35
El Argumento del Elemento
Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X ⊆ Y :
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.2/35
El Argumento del Elemento
Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X ⊆ Y :
suponga un elemento particular pero arbitrario xelegido de X,
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.2/35
El Argumento del Elemento
Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X ⊆ Y :
suponga un elemento particular pero arbitrario xelegido de X,
muestre que x es un elemento de Y .
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.2/35
Ejemplo
Pruebe que Z ⊆ Q.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.3/35
Ejemplo
Pruebe que Z ⊆ Q.
Demostraci on
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.3/35
Ejemplo
Pruebe que Z ⊆ Q.
Demostraci onSea z un elemento cualquiera de Z.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.3/35
Ejemplo
Pruebe que Z ⊆ Q.
Demostraci onSea z un elemento cualquiera de Z. Así
z =z
1
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.3/35
Ejemplo
Pruebe que Z ⊆ Q.
Demostraci onSea z un elemento cualquiera de Z. Así
z =z
1
Por lo tanto, z puede ser visto como la división entre dos
enteros (el mismo z y el 1).
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.3/35
Ejemplo
Pruebe que Z ⊆ Q.
Demostraci onSea z un elemento cualquiera de Z. Así
z =z
1
Por lo tanto, z puede ser visto como la división entre dos
enteros (el mismo z y el 1). Por tanto, z es un racional.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.3/35
Ejemplo
Pruebe que Z ⊆ Q.
Demostraci onSea z un elemento cualquiera de Z. Así
z =z
1
Por lo tanto, z puede ser visto como la división entre dos
enteros (el mismo z y el 1). Por tanto, z es un racional. Por
tanto z está en Q.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.3/35
Ejemplo
Pruebe que Z ⊆ Q.
Demostraci onSea z un elemento cualquiera de Z. Así
z =z
1
Por lo tanto, z puede ser visto como la división entre dos
enteros (el mismo z y el 1). Por tanto, z es un racional. Por
tanto z está en Q. Por el argumento del elemento arbitrario
Z ⊆ Q.Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.3/35
Versiones Operativas de las Operaciones
Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , ysuponga que x y y con dos elementos de U :
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.4/35
Versiones Operativas de las Operaciones
Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , ysuponga que x y y con dos elementos de U :
x ∈ X ∪ Y ⇔ x ∈ X ∨ x ∈ Y
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.4/35
Versiones Operativas de las Operaciones
Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , ysuponga que x y y con dos elementos de U :
x ∈ X ∪ Y ⇔ x ∈ X ∨ x ∈ Y
x ∈ X ∩ Y ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ Y
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.4/35
Versiones Operativas de las Operaciones
Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , ysuponga que x y y con dos elementos de U :
x ∈ X ∪ Y ⇔ x ∈ X ∨ x ∈ Y
x ∈ X ∩ Y ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ Y
x ∈ X − Y ⇔ x ∈ X ∧ x /∈ Y
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.4/35
Versiones Operativas de las Operaciones
Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , ysuponga que x y y con dos elementos de U :
x ∈ X ∪ Y ⇔ x ∈ X ∨ x ∈ Y
x ∈ X ∩ Y ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ Y
x ∈ X − Y ⇔ x ∈ X ∧ x /∈ Y
x ∈ Xc ⇔ x /∈ X
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.4/35
Versiones Operativas de las Operaciones
Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , ysuponga que x y y con dos elementos de U :
x ∈ X ∪ Y ⇔ x ∈ X ∨ x ∈ Y
x ∈ X ∩ Y ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ Y
x ∈ X − Y ⇔ x ∈ X ∧ x /∈ Y
x ∈ Xc ⇔ x /∈ X
(x, y) ∈ X × Y ⇔ x ∈ X ∧ y ∈ Y
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.4/35
Versiones Operativas de las Operaciones
Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , ysuponga que x y y con dos elementos de U :
x ∈ X ∪ Y ⇔ x ∈ X ∨ x ∈ Y
x ∈ X ∩ Y ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ Y
x ∈ X − Y ⇔ x ∈ X ∧ x /∈ Y
x ∈ Xc ⇔ x /∈ X
(x, y) ∈ X × Y ⇔ x ∈ X ∧ y ∈ Y
x ∈ P(X) ⇔ x ⊆ X
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.4/35
Indique en orden los conjuntos que completan lasafirmaciones:
Decir que un elemento x pertenece a B ∩ (A ∪ C)significa que x pertenece a B y que x pertenece a (a).
Decir que un elemento x pertence a (B − C) ∪ Asignifica que x pertenece a A o que x pertenece a (b).
Decir que un elemento x pertenece a C − (B ∪ A)significa que x pertenece a (c) pero que x no pertenecea (d).
Dentro de la opciones:1. C − B 2. B − C
3. A ∪ C 4. B ∪ A
5. C 6. C − A
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.5/35
Prueba de Igualdad entre Conjuntos
Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X = Y :
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.6/35
Prueba de Igualdad entre Conjuntos
Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X = Y :
pruebe que X ⊆ Y ,
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.6/35
Prueba de Igualdad entre Conjuntos
Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X = Y :
pruebe que X ⊆ Y ,
pruebe que Y ⊆ X.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.6/35
Leyes Conmutativas
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.7/35
Leyes Conmutativas
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
A ∪ B = B ∪ A
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.7/35
Leyes Conmutativas
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.7/35
Leyes Asociativas
Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.8/35
Leyes Asociativas
Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.8/35
Leyes Asociativas
Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.8/35
Leyes Distributivas
Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.9/35
Leyes Distributivas
Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.9/35
Leyes Distributivas
Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.9/35
Leyes de Identidad
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.10/35
Leyes de Identidad
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
A ∪ ∅ = A
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.10/35
Leyes de Identidad
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
A ∪ ∅ = A
A ∩ U = A
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.10/35
Leyes de Complemento (Negación)
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.11/35
Leyes de Complemento (Negación)
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
A ∪ Ac = U
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.11/35
Leyes de Complemento (Negación)
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
A ∪ Ac = U
A ∩ Ac = ∅
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.11/35
Leyes de Idempotencia
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.12/35
Leyes de Idempotencia
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
A ∪ A = A
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.12/35
Leyes de Idempotencia
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.12/35
Leyes de Dominación
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.13/35
Leyes de Dominación
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
A ∪ U = U
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.13/35
Leyes de Dominación
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.13/35
Leyes de De Morgan
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.14/35
Leyes de De Morgan
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.14/35
Leyes de De Morgan
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.14/35
Leyes de Absorción
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.15/35
Leyes de Absorción
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
A ∪ (A ∩ B) = A
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.15/35
Leyes de Absorción
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.15/35
Complemento Base
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.16/35
Complemento Base
U c = ∅
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.16/35
Complemento Base
U c = ∅
∅c = U
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.16/35
Ley de Diferencia
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.17/35
Ley de Diferencia
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
(A − B) = A ∩ Bc
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.17/35
Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso selleva a cabo en:
a)((
(D − E)c)
c)c
= (D − E)c
b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)c = ∅
c) Ec ∩ (D ∩ B) = (Ec ∩ D) ∩ B
d) Ec ∪ Ec = Ec
e) B ∩ (B ∪ (C ∪ D)) = B
dentro de la lista:1. Ley de Complemento 2. Ley de Idempotencia3. Ley Asociativa 4. Ley del Doble Complemento5. Propiedad Distributiva 6. Ley de Absorción
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.18/35
Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso selleva a cabo en:
a)((
(D − E)c)
c)c
= (D − E)c :Doble Complemento
b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)c = ∅
c) Ec ∩ (D ∩ B) = (Ec ∩ D) ∩ B
d) Ec ∪ Ec = Ec
e) B ∩ (B ∪ (C ∪ D)) = B
dentro de la lista:1. Ley de Complemento 2. Ley de Idempotencia3. Ley Asociativa 4. Ley del Doble Complemento5. Propiedad Distributiva 6. Ley de Absorción
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.18/35
Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso selleva a cabo en:
a)((
(D − E)c)
c)c
= (D − E)c :Doble Complemento
b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)c = ∅ :Ley Complemento
c) Ec ∩ (D ∩ B) = (Ec ∩ D) ∩ B
d) Ec ∪ Ec = Ec
e) B ∩ (B ∪ (C ∪ D)) = B
dentro de la lista:1. Ley de Complemento 2. Ley de Idempotencia3. Ley Asociativa 4. Ley del Doble Complemento5. Propiedad Distributiva 6. Ley de Absorción
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.18/35
Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso selleva a cabo en:
a)((
(D − E)c)
c)c
= (D − E)c :Doble Complemento
b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)c = ∅ :Ley Complemento
c) Ec ∩ (D ∩ B) = (Ec ∩ D) ∩ B :Asociativa
d) Ec ∪ Ec = Ec
e) B ∩ (B ∪ (C ∪ D)) = B
dentro de la lista:1. Ley de Complemento 2. Ley de Idempotencia3. Ley Asociativa 4. Ley del Doble Complemento5. Propiedad Distributiva 6. Ley de Absorción
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.18/35
Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso selleva a cabo en:
a)((
(D − E)c)
c)c
= (D − E)c :Doble Complemento
b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)c = ∅ :Ley Complemento
c) Ec ∩ (D ∩ B) = (Ec ∩ D) ∩ B :Asociativa
d) Ec ∪ Ec = Ec :Idempotencia
e) B ∩ (B ∪ (C ∪ D)) = B
dentro de la lista:1. Ley de Complemento 2. Ley de Idempotencia3. Ley Asociativa 4. Ley del Doble Complemento5. Propiedad Distributiva 6. Ley de Absorción
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.18/35
Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso selleva a cabo en:
a)((
(D − E)c)
c)c
= (D − E)c :Doble Complemento
b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)c = ∅ :Ley Complemento
c) Ec ∩ (D ∩ B) = (Ec ∩ D) ∩ B :Asociativa
d) Ec ∪ Ec = Ec :Idempotencia
e) B ∩ (B ∪ (C ∪ D)) = B :Absorción
dentro de la lista:1. Ley de Complemento 2. Ley de Idempotencia3. Ley Asociativa 4. Ley del Doble Complemento5. Propiedad Distributiva 6. Ley de Absorción
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.18/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)c
= A ∩ (Ac ∪ Ec)
= (A ∩ Ac) ∪ (A ∩ Ec)
= ∅ ∪ (A ∩ Ec)
= (A ∩ Ec) ∪ ∅
= A ∩ Ec
= A − E
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.19/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)c por Ley de Diferencia= A ∩ (Ac ∪ Ec)
= (A ∩ Ac) ∪ (A ∩ Ec)
= ∅ ∪ (A ∩ Ec)
= (A ∩ Ec) ∪ ∅
= A ∩ Ec
= A − E
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.19/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)c por Ley de Diferencia= A ∩ (Ac ∪ Ec) por De Morgan= (A ∩ Ac) ∪ (A ∩ Ec)
= ∅ ∪ (A ∩ Ec)
= (A ∩ Ec) ∪ ∅
= A ∩ Ec
= A − E
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.19/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)c por Ley de Diferencia= A ∩ (Ac ∪ Ec) por De Morgan= (A ∩ Ac) ∪ (A ∩ Ec) por Ley Distributiva= ∅ ∪ (A ∩ Ec)
= (A ∩ Ec) ∪ ∅
= A ∩ Ec
= A − E
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.19/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)c por Ley de Diferencia= A ∩ (Ac ∪ Ec) por De Morgan= (A ∩ Ac) ∪ (A ∩ Ec) por Ley Distributiva= ∅ ∪ (A ∩ Ec) por Ley de Complemento= (A ∩ Ec) ∪ ∅
= A ∩ Ec
= A − E
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.19/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)c por Ley de Diferencia= A ∩ (Ac ∪ Ec) por De Morgan= (A ∩ Ac) ∪ (A ∩ Ec) por Ley Distributiva= ∅ ∪ (A ∩ Ec) por Ley de Complemento= (A ∩ Ec) ∪ ∅ por Ley Conmutativa= A ∩ Ec
= A − E
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.19/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)c por Ley de Diferencia= A ∩ (Ac ∪ Ec) por De Morgan= (A ∩ Ac) ∪ (A ∩ Ec) por Ley Distributiva= ∅ ∪ (A ∩ Ec) por Ley de Complemento= (A ∩ Ec) ∪ ∅ por Ley Conmutativa= A ∩ Ec por Ley de Identidad= A − E
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.19/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)c por Ley de Diferencia= A ∩ (Ac ∪ Ec) por De Morgan= (A ∩ Ac) ∪ (A ∩ Ec) por Ley Distributiva= ∅ ∪ (A ∩ Ec) por Ley de Complemento= (A ∩ Ec) ∪ ∅ por Ley Conmutativa= A ∩ Ec por Ley de Identidad= A − E por Ley de Diferencia
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.19/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
(D ∩ Ac) ∪ (D ∩ A) = D ∩ (Ac ∪ A)
= D ∩ (A ∪ Ac)
= D ∩ U
= D
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.20/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
(D ∩ Ac) ∪ (D ∩ A) = D ∩ (Ac ∪ A) por Ley Distributiva= D ∩ (A ∪ Ac)
= D ∩ U
= D
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.20/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
(D ∩ Ac) ∪ (D ∩ A) = D ∩ (Ac ∪ A) por Ley Distributiva= D ∩ (A ∪ Ac) por Ley Conmutativa= D ∩ U
= D
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.20/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
(D ∩ Ac) ∪ (D ∩ A) = D ∩ (Ac ∪ A) por Ley Distributiva= D ∩ (A ∪ Ac) por Ley Conmutativa= D ∩ U por Ley de Complemento= D
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.20/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
(D ∩ Ac) ∪ (D ∩ A) = D ∩ (Ac ∪ A) por Ley Distributiva= D ∩ (A ∪ Ac) por Ley Conmutativa= D ∩ U por Ley de Complemento= D por Ley de Identidad
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.20/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasosindicados.
(C ∪ Bc)c ∪ (Cc ∩ Bc) =(
Cc ∩ (Bc)c)
∪ (Cc ∩ Bc) por= (Cc ∩ B) ∪ (Cc ∩ Bc) por= Cc ∩ (B ∪ Bc) por= Cc ∩ U por= Cc por
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.21/35
Ejemplo
Indique en orden la simplificación de cada conjunto:
a) B ∪ ∅
b) B ∪ B
c) B − ∅
d) B ∩ Bc
e) B ∪ Bc
dentro de la lista:
1. B
2. U
3. ∅
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.22/35
Ejemplo
Indique cuáles opciones contiene expresión que sesimplifica a E:
1. (E ∩ Cc) ∩ (Ec ∩ Cc)
2. (Dc ∩ E) ∪ E
3. (Ec ∩ D)c ∪ (Ec ∩ Dc) ∪ (E ∩ D)
4.(
E ∩(
(Ec ∪ D)c))
∪ (E ∩ D)
5. E ∩ (Dc ∪ C ∪ E)
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.23/35
TeoremaPara cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ Dentonces E ∪ D ⊆ D.Demostraci onSean E y D cualquier conjuntos.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.24/35
TeoremaPara cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ Dentonces E ∪ D ⊆ D.Demostraci onSean E y D cualquier conjuntos. Según , lo que sedebe demostrar es que todo elemento x de estambién elemento de .
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.24/35
TeoremaPara cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ Dentonces E ∪ D ⊆ D.Demostraci onSean E y D cualquier conjuntos. Según , lo que sedebe demostrar es que todo elemento x de estambién elemento de . Sea x un elemento cualquierade E ∪ D.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.24/35
TeoremaPara cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ Dentonces E ∪ D ⊆ D.Demostraci onSean E y D cualquier conjuntos. Según , lo que sedebe demostrar es que todo elemento x de estambién elemento de . Sea x un elemento cualquierade E ∪ D. Existen sólo dos casos para x:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.24/35
TeoremaPara cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ Dentonces E ∪ D ⊆ D.Demostraci onSean E y D cualquier conjuntos. Según , lo que sedebe demostrar es que todo elemento x de estambién elemento de . Sea x un elemento cualquierade E ∪ D. Existen sólo dos casos para x:
i) x ∈ E
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.24/35
TeoremaPara cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ Dentonces E ∪ D ⊆ D.Demostraci onSean E y D cualquier conjuntos. Según , lo que sedebe demostrar es que todo elemento x de estambién elemento de . Sea x un elemento cualquierade E ∪ D. Existen sólo dos casos para x:
i) x ∈ E
ii) x ∈ D
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.24/35
Para el primer caso,
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.25/35
Para el primer caso, debido a que si x ∈ E entonces
x ∈ D.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.25/35
Para el primer caso, debido a que si x ∈ E entonces
x ∈ D. Para el segundo caso, como x ∈ D nuevamente
x ∈ D.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.25/35
Para el primer caso, debido a que si x ∈ E entonces
x ∈ D. Para el segundo caso, como x ∈ D nuevamente
x ∈ D. Por consiguiente, en cualquier caso cualquiera que
sea x, si entonces x ∈ D.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.25/35
Para el primer caso, debido a que si x ∈ E entonces
x ∈ D. Para el segundo caso, como x ∈ D nuevamente
x ∈ D. Por consiguiente, en cualquier caso cualquiera que
sea x, si entonces x ∈ D. Por tanto,ambos conjuntos
son iguales. cqd
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.25/35
TeoremaPara cualquier conjuntos B, C y A se cumple:B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ ADemostraci on
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.26/35
TeoremaPara cualquier conjuntos B, C y A se cumple:B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ ADemostraci onSean B, C y A cualquier conjuntos.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.26/35
TeoremaPara cualquier conjuntos B, C y A se cumple:B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ ADemostraci onSean B, C y A cualquier conjuntos. Según ,
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.26/35
TeoremaPara cualquier conjuntos B, C y A se cumple:B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ ADemostraci onSean B, C y A cualquier conjuntos. Según , loque se debe demostrar es que:
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.26/35
TeoremaPara cualquier conjuntos B, C y A se cumple:B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ ADemostraci onSean B, C y A cualquier conjuntos. Según , loque se debe demostrar es que:
i) B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.26/35
TeoremaPara cualquier conjuntos B, C y A se cumple:B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ ADemostraci onSean B, C y A cualquier conjuntos. Según , loque se debe demostrar es que:
i) B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A
ii)
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.26/35
Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩
(C ∩ A) entonces x ∈ B y .
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.27/35
Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩
(C ∩ A) entonces x ∈ B y . Por la Ley distributiva en
Lógica x cumple x ∈ B∩C y x ∈ A, y por consiguiente .
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.27/35
Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩
(C ∩ A) entonces x ∈ B y . Por la Ley distributiva en
Lógica x cumple x ∈ B∩C y x ∈ A, y por consiguiente .
Con esto se prueba que B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.27/35
Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩
(C ∩ A) entonces x ∈ B y . Por la Ley distributiva en
Lógica x cumple x ∈ B∩C y x ∈ A, y por consiguiente .
Con esto se prueba que B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A.
Para el segundo caso, si x es cualquier elemento de
entonces x ∈ B ∩ C y .
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.27/35
Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩
(C ∩ A) entonces x ∈ B y . Por la Ley distributiva en
Lógica x cumple x ∈ B∩C y x ∈ A, y por consiguiente .
Con esto se prueba que B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A.
Para el segundo caso, si x es cualquier elemento de
entonces x ∈ B ∩ C y . Por la propiedad asociativa
de la lógica x cumple x ∈ B y x ∈ A∩C,
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.27/35
Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩
(C ∩ A) entonces x ∈ B y . Por la Ley distributiva en
Lógica x cumple x ∈ B∩C y x ∈ A, y por consiguiente .
Con esto se prueba que B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A.
Para el segundo caso, si x es cualquier elemento de
entonces x ∈ B ∩ C y . Por la propiedad asociativa
de la lógica x cumple x ∈ B y x ∈ A∩C, y por consiguiente
.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.27/35
Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩
(C ∩ A) entonces x ∈ B y . Por la Ley distributiva en
Lógica x cumple x ∈ B∩C y x ∈ A, y por consiguiente .
Con esto se prueba que B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A.
Para el segundo caso, si x es cualquier elemento de
entonces x ∈ B ∩ C y . Por la propiedad asociativa
de la lógica x cumple x ∈ B y x ∈ A∩C, y por consiguiente
. Con esto se prueba que (B ∩ C) ∩A ⊆ B ∩ (C ∩ A).
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.27/35
Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩
(C ∩ A) entonces x ∈ B y . Por la Ley distributiva en
Lógica x cumple x ∈ B∩C y x ∈ A, y por consiguiente .
Con esto se prueba que B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A.
Para el segundo caso, si x es cualquier elemento de
entonces x ∈ B ∩ C y . Por la propiedad asociativa
de la lógica x cumple x ∈ B y x ∈ A∩C, y por consiguiente
. Con esto se prueba que (B ∩ C) ∩A ⊆ B ∩ (C ∩ A).
La prueba de las contenciones mutuas prueba que ambos
conjuntos son iguales. cqd
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.27/35
Ejemplo
Sean A y B conjuntos cualquiera.Si A ⊆ B, entonces Bc ⊆ Ac.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.28/35
Ejemplo
Sean A y B conjuntos cualquiera.Si A ⊆ B, entonces A ∩ Bc = ∅.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.29/35
Ejemplo
Sean A y B conjuntos cualquiera.Si A ⊆ Bc, entonces A ∩ B = ∅.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.30/35
Ejemplo
Sean A, B y C conjuntos cualquiera.Si A ⊆ B, entonces A ∩ C ⊆ B ∩ C.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.31/35
Ejemplo
Sean A, B y C conjuntos cualquiera.Si A ⊆ B y B ∩ C = ∅, entonces A ∩ C = ∅.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.32/35
Ejemplo
Sean A, B y C conjuntos cualquiera.Si A ⊆ B, entonces A ∪ C ⊆ B ∪ C.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.33/35
Ejemplo
Sean A, B y C conjuntos cualquiera.Si B ⊆ C y A ∩ C = ∅, entonces A ∩ C = ∅.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.34/35
Ejemplo
Sean A, B y C conjuntos cualquiera.Si A ⊆ B y A ⊆ C, entonces A ⊆ B ∩ C.
Teorıa de Conjuntos: Propiedades– p.35/35