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MANUAL DE ESTUDIOS

Jorge Arturo Álvarez Díaz

1CTIC

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DESARROLLO DEL

PENSAMIENTO LOGICO

INDICEUNIDAD I.- Técnicas de Resolución de Problemas………………………………………………………..4

Técnica Subir la Cuesta………………………………………...5Análisis Medio-Fin……………………………………………..6Método de Polya……………………………………………….7-8

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UNIDAD II.- Sistemas Numéricos y Conversiones..9

De Binario a Decimal…………………………………………10De Binario con Punto a Decimal……………………………10De Decimal a Binario ………………………………………..11De Decimal con Punto a Binario…………………………...11De Octal a Decimal…………………………………………..12De Octal con Punto a Decimal……………………………...12De Decimal a Octal…………………………………………..13De Decimal con Punto a Octal……………………………...13De Hexadecimal a Decimal………………………………….14De Hexadecimal con Punto a Decimal…………………….14De Decimal a Hexadecimal…………………………………15De Decimal con Punto a Hexadecimal……………………15Sumas y Restas de Sistema Binario………………………..16-17

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Sumas y Restas Sistema Hexadecimal…………………….18-20

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UNIDAD III.- Teoría de Conjuntos y Proposiciones..21

Diagramas de Venn…………………………………………….22Proposiciones y sus Tablas de Verdad…………………… 23-25Teoria de Conjuntos…………………………………………...25-27

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UNIDAD I.- Técnicas de Resolución de Problemas

Qué es un problema?Son elementos que obstaculizan el correcto o normal desempeño de los procesos, situaciones y fenómenos que nos rodean.

A que se refieren las técnicas de resolución de problemas?Una de las capacidades más importantes en la resolución de problemas es la de hacer preguntas que permitan surgir de un conflicto y sortear la dificultad, algunas preguntas pueden servir para identificar el problema, otras para buscar alternativas, etc. Es posible preguntarse: ¿qué es lo que hace problemática esta situación? ¿Qué me falta por saber?¿Cuántos problemas están involucrados? ¿Cuál voy a intentar resolver? ¿Qué es lo que no funciona? ¿Cuáles son las alternativas que se pueden tomar? ¿Qué conozco sobre este tema? ¿Por dónde puedo empezar para que sea más fácil? etc.

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Técnica Subir La Cuesta

Avanzar desde el estado actual a otro que este más cerca del objetivo de modo que la persona que resuelve el problema, evalúa el nuevo estado en el que estará después de cada posible movimiento pudiendo elegir lo que más se acerque del objetivo.

Pasos1. Comenzar el avance de la colina 2. Visualizar alguna opción para resolver el problema3. Avanzar hacia la cuesta4. Llevar a cabo la mejor solución 5. Alcanzar la cima6. Condición máxima

VENTAJAS Algoritmo simple Rápido Adecuada para encontrar un optimo local

DESVENTAJAS No garantiza la mejor solución posible fuera del

espacio de búsqueda No genera soluciones optimas globales

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Análisis Medio-Fin

Permite al que resuelve el problema trabajar en un objetivo a la vez, consiste en descomponer el problema en subtemas escoger una para trabajar y solucionar una a una hasta completar la tarea eliminando los obstáculos que le impiden llegar a un estado final.

Los pasos a seguir son sencillos pues este método no nos habilita la posibilidad de resolver diversos problemas a la vez si no que solo admite uno por solución, así que primero debemos observar y detallar el problema eliminando uno por uno los obstáculos existentes hasta finalmente llegar a la meta.

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Método de Polya

George Pólya presentó en su libro Cómo plantear y resolver problemas es un método de 4 pasos para resolver problemas matemáticos.

Paso 1: Entender el problema¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

Paso 2: Configurar un plan¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil? Mira atentamente la incógnita y trata de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.

Paso 3: Ejecutar el planAl ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos¿Puedes ver claramente que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo?

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Paso 4: Examinar la solución obtenida¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes el razonamiento?¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? ¿Puedes emplear el resultado o el método en algún otro problema?

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UNIDAD II.- Sistemas Numéricos y Conversiones

Definición: Un sistema numérico son un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para representar datos numéricos o cantidades. Se caracterizan por su base que indican el número de símbolos distinto que utiliza y además es el coeficiente que determina cual es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe.

Conversión: Es una serie de pasos que se utiliza para convertir cierto numero con una base numérica a otra base numérica.

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De Binario a Decimal

Este método consiste en colocar el numero Binario verticalmente, después de derecha a izquierda (Si es que no hay punto decimal) asignaremos valor a cada uno de los dígitos que componen la cifra total de forma ascendente es decir del 0 al 1, después es necesario colocar la cifra y multiplicarla por la base (2) elevada a la potencia resultante del numero que asignamos.

Por ejemplo, 745 = 7 · 100 + 4 · 10 + 5 · 1O lo que es lo mismo: 745 = 7 · 102 + 4 · 101 + 5 · 100

De Binario con Punto a DecimalY cuando tenemos un numero con punto decimal lo único que hay que hacer es multiplicar a partir del punto decimal por la base (2) e igual tomar el residuo así sucesivamente hasta llegar al decimal deseado.

Ejemplo: .101

(1x2-1)*(1x2-2)+(0x2-3)

0.5 + 0.25 + 0.75

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De Decimal a BinarioPara hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar).

La lista de ceros y unos leídos de abajo a arriba es el resultado.

Ejemplo: vamos a pasar a binario 7910

79 1 (impar). Dividimos entre dos:39 1 (impar). Dividimos entre dos:19 1 (impar). Dividimos entre dos:9 1 (impar). Dividimos entre dos:4 0 (par). Dividimos entre dos:2 0 (par). Dividimos entre dos:1 1 (impar).

Por tanto, 7910 = 1001111

De Decimal con Punto a BinarioPara convertir un numero base 10 con punto decimal primero resolveremos la parte entera y después la parte decimal a partir del punto decimal multiplicaremos por dos y tomaremos los residuos para seguir multiplicando y los enteros para formar la cifra.

Parte Fraccionaria Entero(.125)2=.25 0 (.25)2=.5 0 (Se escribe de arriba hacia abajo, .001)(.5)2=1 1

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De Octal a DecimalEste método consiste en colocar el numero Octal verticalmente, después de derecha a izquierda (Si es que no hay punto decimal) asignaremos valor a cada uno de los dígitos que componen la cifra total de forma ascendente es decir del 0 al 1, después es necesario colocar la cifra y multiplicarla por la base (8) elevada a la potencia resultante del numero que asignamos.

De Octal con Punto a DecimalY cuando tenemos un numero con punto decimal lo único que hay que hacer es multiplicar a partir del punto decimal por la base (8) e igual tomar el residuo así sucesivamente hasta llegar al decimal deseado.

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De Decimal a Octal Consiste en dividir sucesivamente el número decimal, colocar una parte entera (este será el numero que se seguirá dividiendo entre ocho) y un residuo que será la parte que nos sobre la cual multiplicaremos por ocho si es que hay un punto decimal, y así consecutivamente hasta llegar a 0. Y después se tiene que ordenar tomando los residuos de abajo hacia arriba.

De Decimal con Punto a OctalPara convertir un numero base 10 con punto decimal primero resolveremos la parte entera y después la parte decimal a partir del punto decimal multiplicaremos por ocho y tomaremos los residuos para seguir multiplicando y los enteros para formar la cifra.

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De Hexadecimal a DecimalEste método consiste en colocar el numero Hexadecimal verticalmente, después de derecha a izquierda (Si es que no hay punto decimal) asignaremos valor a cada uno de los dígitos que componen la cifra total de forma ascendente es decir del 0 al 1, después es necesario colocar la cifra y multiplicarla por la base (16) elevada a la potencia resultante del numero que asignamos.

De Hexadecimal con Punto a DecimalY cuando tenemos un numero con punto decimal lo único que hay que hacer es multiplicar a partir del punto decimal por la base (16) e igual tomar el residuo así sucesivamente hasta llegar al decimal deseado.

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De Decimal a HexadecimalConsiste en dividir sucesivamente el número decimal, colocar una parte entera (este será el numero que se seguirá dividiendo entre dieciséis) y un residuo que será la parte que nos sobre la cual multiplicaremos por dieciséis si es que hay un punto decimal, y así consecutivamente hasta llegar a 0. Y después se tiene que ordenar tomando los residuos de abajo hacia arriba.

De Decimal con Punto a HexadecimalPara convertir un numero base 10 con punto decimal primero resolveremos la parte entera y después la parte decimal a partir del punto decimal multiplicaremos por dieciséis y tomaremos los residuos para seguir multiplicando y los enteros para formar la cifra.

(Se explica en la imagen de arriba)

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Suma de BinariosLas posibles combinaciones al sumar dos bits son

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

100110101 + 11010101 ——————————— 1000001010

Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

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Resta de BinariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:

0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al proximo.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

Restamos 17 - 10 = 7 (2=345) Restamos 217 - 171 = 46 (3=690) 10001 11011001 -01010 -10101011 —————— ————————— 01111 00101110

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Resta de HexadecimalComo podemos hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 15. Para ello tendremos que sumar al minuendo el complemento a quince del sustraendo, y finalmente sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo. Ésta es la resta que tenemos que resolver:

A4FC9 - DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿?

Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad de números. Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes.

A4FC9 - 00DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿?

Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo. Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, que corresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantas veces como números tiene el sustraendo.

FFFFF - 00DE8 ————————— FF217

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La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común. La diferencia obtenida se denomina el complemento a 15. Recuerda el valor correspondiente a cada letra al operar.Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15 utilizando la suma en sistema hexadecimal, mencionada anteriormente.

A4FC9 + FF217 ————————— 1A41E0

Con la suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es la respuesta final. Te habrás dado cuenta que este nuevo número tiene más cifras que los números iniciales que teníamos que restar. Tenemos que quitar el número de la izquierda (en este caso, el 1) y sumarlo.

A41E0 + 1 ————————— A41E1

La respuesta es A41E1.

Suma de Hexadecimal]

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9 + 7 = 16 (16 - 16 = 0 nos llevamos 1 y es = 10 )En este caso la respuesta obtenida, 16, no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 10 (sistema hexadecimal).Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

A + 6 = 16 (16 - 16 = 0 y nos llevamos 1)Ocurre lo mismo que en el ejemplo anterior.

A + A = 20 ( 20 – 16 = 4 y nos llevamos 1)La respuesta es 20 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 14 (sistema hexadecimal).Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

F + E = 29 ( 29 – 16 = D y nos llevamos 1)La respuesta es 29 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 1D (sistema hexadecimal).Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones. Ahora haremos una operación más complicada: A + 2 = 12 (12 corresponde a C)

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UNIDAD III.- Teoría de Conjuntos y Proposiciones.

Proposiciones: ¿Qué es una proposición? Es un enunciado u oración que solo puede tomar el valor de Verdadero o Falso.

Conjuntos: ¿Qué es un conjunto? es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

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Diagrama de ven

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus líneas límite se superponen. El conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a otros dos es la intersección de ambos.

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}B = {1; 3; 5; 15}

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}

A = {x | x es divisor natural de 12}B = {x | x es divisor natural de 15}

U = {x | x es natural menor o igual que 16}

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Proposiciones

NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓNLa negación es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición.Si p es verdadero (V)Su negación ¬p es falsa (F)¬p se lee no p.

LA CONJUNCIÓN (p ^ q) símbolo lógico ^.La proposición p ^q es verdadera únicamente si p y q son verdaderas, los demás casos p y q es falsa.

Ejemplo: Josecito, podrás salir a la calle cuando arregles la cama y limpies los muebles.

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InclusivaLa disyunción inclusiva es verdadera cuando al menos una de las proposiciones sea verdadera y es falsa cuando todas las proposiciones simples sean falsas.

Ejemplo: Josecito, te dejo salir a jugar cuando arregles la cama o sacudas el polvo.

ExclusivaLa proposición p v q cuando únicamente una de las proposiciones es verdadera y la otra falsa.El número 3 o es divisor de 6 o divisor de 10.

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BicondicionalSi las dos proposiciones simples son iguales (ambas verdaderas ó ambas falsas), la proposición compuesta es verdadera; si las dos proposiciones simples son diferentes (una verdadera y otra falsa), la proposición compuesta es falsa.

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Teoria de ConjuntosLa palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia

NOTACIÓN ABSTRACTA

Llamaremos elemento a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a,b,c,…

∈ / ∉: Se usa para expresar si un elemento pertenece o no a un conjunto.

⊂: Se usa para expresar que un conjunto, y por lo tanto, todos sus elementos, forman parte de otro conjunto mayor.

U / ∅: El primer símbolo indica el conjunto universal, es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse

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explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.El otro conjunto, se le llama conjunto vacío y cumple que todos los elementos posibles no están contenidos en él, es decir ∀x, x∉∅.

Conjuntos numéricos