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TABLA DE CONVERSIONES

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

Educación a Distancia.

Huancayo.

Impresión Digital

SOLUCIONES GRAFICAS SAC

Jr. Puno 564 - Hyo.

Telf. 214433



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ÍNDICE

UNIDAD TEMÁTICA I

LÓGICA PROPOSICIONAL

Página

Biografía de George Boole (1815 – 1864) 11

Objetivo general 12

Objetivos específicos 12

Mapa mental de lógica proposicional 14

1 Breve historia de la lógica 15

2 Lógica proposicional 18

3 Conectivos u operadores lógicos 21

4 Clases de proposiciones lógicas 22

5 Operaciones con proposiciones 23

6 Tabla de valores de verdad 26

7 Implicación lógica equivalencia lógica 28

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 01

8 Leyes del álgebra proposicional 31


9 La inferencia lógica o argumento lógico 34


10 Circuitos lógicos o booleanos 36


AUTOEVALUACIÓN Nro. 01

SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN Nro.01

BIBLIOGRAFIA

DIRECCIONES ELECTRONICAS

CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE – I UNIDAD



8

UNIDAD TEMÁTICA II

SISTEMA DE NÚMEROS REALES

Página

Objetivo general 45


Mapa mental de sistema de números reales 46

1 Conjuntos numéricos 47

2 Axiomas teoremas de los números reales 49

3 Axiomas de la adición y multiplicación de los números

reales

51

4 Axiomas de orden 51


5 Ecuaciones 59

6 Ecuación de primer grado con una incógnita 60

7 Sistema de ecuaciones 628 Ecuación de segundo grado 63

9 Ecuación polinómica 66


10 Inecuaciones de primer grado con una variable 70

11 Inecuaciones de segundo grado 71


12 Inecuaciónes polinómicas 7313 Inecuación fraccionaria 75


14 Valor absoluto 76




BIBLIOGRAFIA



9


APRENDIZAJE – II

UNIDAD TEMÁTICA III

RELACIONES DE R EN R

Página

Objetivo general 87


Mapa mental de relaciones de R en R 88

1 Relaciones binarias 89

2 Producto cartesiano 89

3 Relación binaria 90

4 Dominio y rango de una relación 90

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 015 Gráfica de una relación 93


6 Relaciones especiales 100


7 Distancia entre dos puntos 107

8 Pendiente de una recta 108

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 04 AUTOEVALUACIÓN Nro. 03


BIBLIOGRAFIA


APRENDIZAJE – III UNIDAD



10

UNIDAD TEMÁTICA IV

FUNCIONES DE R EN R

Página

Mapa mental de funciones de R en R 118

1 Funciones 119

2 Dominio y rango de una función 120

3 Cálculo del dominio de funciones usuales 120


4 Cálculo del rango de una función 124


5 Gráfica de una función 127




SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN Nro. O4

BIBLIOGRAFÍA 139CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE – IV UNIDAD



11

LÓGICA PROPOSICIONAL

GEORGE BOOLE (1815 – 1864)

Nació el 2 de Noviembre de 1815 en Lincoln,

Lincolnshire (Inglaterra), primero concurrió a una

escuela en Lincoln, luego a un colegio comercial.

Boole no estudió para un grado académico, pero a la

edad de 16 años fue profesor auxiliar de colegio.

Abrió su propio colegio y empezó a estudiar

matemáticas por si mismo.

Tardó en darse cuenta que había perdido casi cinco años tratando de aprender las

materias en vez de tener un profesor experto. En ese periodo Boole estudió los

trabajos de Laplace y Lagrange , tomando apuntes, los cuales llegaron a ser más

tarde las bases para sus primeros papeles matemáticos.

Boole fue nominado para una cátedra de matemáticas en el Queens College, en

1849, donde enseñó por el resto de su vida, ganándose una reputación como un

prominente y dedicado profesor.

En el 1854 publicó Las leyes del pensamiento sobre las cuales son basadas las

teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole aproximó la lógica en una

nueva dirección reduciéndola a un álgebra simple, incorporando lógica en las

matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que

representan formas lógicas. Su álgebra consiste en un método para resolver

problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios 1 y 0 y a tres

operadores: AND (y), OR (o) y NOT (no). Comenzaba el álgebra de la lógica



12

llamada Álgebra Bo oleana , la cual ahora encuentra aplicación en la construcción

de computadores, circuitos eléctricos, etc.

Muchos honores le fueron concedidos a Boole, fue reconocido como el genio en

su trabajo recibió grandes honores de las univers idades de Dubl in y Oxford y

fue elegido miembro académico de la Real Sociedad (1857). Sin embargo, su

carrera que comenzó un tanto tarde terminó infortunadamente temprano cuando

murió a la edad de 49 años, el 8 de Diciembre de 1864 en Ballintemple, County

Cork (Irlanda). Las circunstancias son descritas por Macfarlane de la siguiente

forma:

"Un día en el 1864 caminó desde su casa al colegio, una distancia de dos millas,

con una lluvia torrencial y luego dio una conferencia con la ropa empapada. El

resultado fue un resfrío febril el cuál pronto dañó sus pulmones y terminó su

carrera....."

El trabajo de Boole llegó a ser un paso fundamental en la revolución de los

computadores, cuando Claude Shannon en 1938, demostró como las

operaciones booleanas elementales, se podían representar mediante circuitosconmutadores eléctricos, y como la combinación de estos podía representar

operaciones aritméticas y lógicas complejas. Shannon demostró asimismo que el

álgebra de Boole se podía utilizar para simplificar circuitos conmutadores.

OBJETIVO GENERAL

Aplicar las leyes del álgebra proposicional en la resolución de ejercicios y

problemas sobre proposiciones e inferencias lógicas

http://etsiit.ugr.es/alumnos/mlii/Shannon.htm









13

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Reconocer la importancia del estudio de la lógica y valorar el aporte de

matemáticos

Diferenciar enunciado de proposición Diferenciar los conectivos lógicos

Comparar las proposiciones simples y compuestas

Diferenciar y generalizar los valores veritativos de los operadores de:

negación, conjunción, disyunción inclusiva, la condicional, la bicondicional

y la disyunción exclusiva

Construir tablas de valores de verdad y determinar si es tautología,

contradicción y contingencia Verificar la implicación y la equivalencia lógica con tablas de verdad

Simplificar proposiciones lógicas aplicando las leyes del álgebra

proposicional

Aplicar las leyes del álgebra proposicional y otros métodos en la

validación de argumentos lógicos

Construir circuitos lógicos



14

MAPA MENTAL DE LÓGICA PROPOSICIONAL



15

BREVE HISTORIA DE LA LÓGICA

INTRODUCCIÓN

El nacimiento de la lógica propiamente dicho está directamente relacionado con el

nacimiento intelectual del ser humano. La lógica emerge como mecanismo

espontáneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para

comprenderla y aprovecharla. Poncairé destaca cinco etapas o revoluciones en

ese proceso que se presentan entre dos grandes tópicos: del rigor y la formalidad,

a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como: Revolución Matemática,

Revolución Científica, Revolución Formal y Revolución Digital además de la

próxima y prevista Revolución Lógica.

LA MATEMÁTICA Y LA LÓGICA

Del año 600 a. c. hasta 300 a. c. se desarrollan en Grecia los principios formales

de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan Platón, Aristóteles y

Euclides. Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el

razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el

método axiomático. En los Elementos Euclides organiza las pruebas deductivasde que dispone dentro de una estructura sistemática, rigurosa, y altamente

eficaz.

PLATÓN

Platón, 427 a. c. - 347 a. c., propone instaurar en Siracusa una utópica república

dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas que no era solo una institución

filosófica, sino centro de formación política para jóvenes aristócratas. Segúnalgunos especialistas, Platón edifica su teoría del conocimiento con el fin de

justificar el poder emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia de dos

mundos, el mundo de las ideas y el de mundo físico de los objetos. Según Platón,

lo concreto se percibe en función de lo abstracto y por tanto el mundo sensible

existe gracias al mundo de las ideas. Platón escoge el formato d iálo go como

forma de transmisión del pensamiento.



16

ARISTÓTELES

Los tratados de lógica de Aristóteles, 384 a. c. - 332 a. c., conocidos como

Organón, contienen el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento

para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que

funda la lógica como ciencia. Aristóteles no hace de la lógica una disciplina

metafísica sino que establece correspondencias recíprocas entre pensamiento

lógico y estructura ontológica. El s i log ismo fue adoptado por los escolásticos que

representan el sistema teológico-filosófico, característico de la Edad Media. La

escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que

acarreó su descrédito a partir del Renacimiento. Los lógicos de la edad moderna

como Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert procuraron simplificarla al

máximo, y su tratamiento matemático se completó hasta principios del siglo XX

con Boole, De Morgan, Frege y Russell. Desde entonces el s i log ismo se incluye

en la lógica de predicados de primer orden y en la lógica de clases, y ocupa en la

ciencia lógica un papel mucho menor que en otros tiempos.

EUCLIDES

Matemático alejandrino autor de la universal obra, los célebres Elementos . Unode los textos matemáticos más relevantes de la historia del pensamiento científico

hasta del siglo XIX. Los Elementos están divididos en XIII Libros y constituyen la

recopilación más exhaustiva de las matemáticas conocidas en el año 300 a.c. Su

valor universal lo propaga el uso riguroso del método deductivo que distingue

entre principios - definiciones, axiomas y postulados-, y teoremas, que se

demuestran a partir de los principios. A lo largo de la historia se mantuvo la

sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. Eldeseo de resolver tal hipótesis ocupa hasta el siglo XIX con la construcción de las

geometrías no euclidianas y se deduce con ellas la imposibilidad de demostrar el

quinto postulado.

LA CIENCIA MATEMÁTICA

Ante el retroceso de la escuela clásica de los griegos se presentan periodos de

autoridad religiosa. El Renacimiento es el inicio de una nueva revolución que



17

revive la ciencia y las matemáticas. Los representantes más destacados son

Descartes, Newton y Leibniz. Este periodo abarca del año 1500 d.c. al 1800

d.c.

GEORGE BOOLE

El lógico y matemático George Boole, 1815 -1864 aplica el cálculo matemático a

la lógica, fundando el álgebra de la lógica. En cierto modo realiza el sueño de

Leibniz de una character is t ica universal is o cálculo del raciocinio. El empleo de

símbolos y reglas operatorias adecuadas permite representar conceptos, ideas y

razonamientos mediante variables y relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole dio

un método general para formalizar la inferencia deductiva, representando

complicados raciocinios mediante sencillos sistemas de ecuaciones. Así, la

conclusión de un silogismo se encuentra eliminando el término medio de un

sistema de tres ecuaciones, conforme a las reglas del álgebra común, La

formalización de la lógica, iniciada por Boole, ha contribuido poderosamente a

aclarar la estructura de los objetos lógicos, en contraposición a los materiales y

aun en contraposición a los matemáticos, pese a las analogías formales entre la

matemática y la lógica, que Boole señaló. Su obra principal es Invest ig ación de

las leyes del pensamiento en las que se fundan las teorías matemáticas de la

lógica y la probabilidad, 1854, que aún hoy se lee con deleite.

AUGUSTUS DE MORGAN

La mayor contribución de Augustus De Morgan (1806-1871) en el estudio de la

lógica incluye la formulación de las Leyes de Morgan y su trabajo fundamenta la

teoría del desarrollo de las relaciones y la matemática simbólica moderna o lógicamatemática. De Morgan es autor de la mayor contribución como reformador de la

lógica.

LA REVOLUCIÓN DIGITAL

Esta revolución se inicia con la invención de la computadora digital y el acceso

universal a las redes de alta velocidad. Tur ing relaciona lógica y computación

antes que cualquier computadora procese datos. Weiner funda la ciencia de la



18

Cibernética. En las Escuelas modernas de Computación están presentes Lógicos

que han permitido avances importantes como Hoare que presenta un sistema

axiomático de los sistemas de programación con un sistema de verificación y

deducción de programas a partir de especificaciones.

2. LOGICA PROPOSICIONAL

Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en común que nos pueden

servir de inicio para una discusión. En principio se tiene la existencia de un

conjunto finito, llamado alfabeto, el cual esta constituido de símbolos simples

llamados comúnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como

ejemplos los alfabetos: latino, árabe-persa, entre otros. En los formales como

la lógica se tiene el lexicón del: cálculo proposicional y de predicados.

Mediante la concatenación de las letras del alfabeto formaremos: monemas,

fonemas o palabras que determinan un conjunto extendido denominado y

se encuentran en el interior de un enunciado. El conjunto de palabras que

tengan un significado constituirán el diccionario del lenguaje (p. ejem. el

Webster) y, en lenguajes formales todas las palabras que puedan ser

aceptadas por un cierto autómata. A partir de lo anterior, tendremos que unlenguaje se considera como un conjunto, usualmente es infinito, de oraciones

o enunciados que se forman con palabras del diccionario. En este punto,

podemos distinguir entre dos clases de lenguajes; los ``lenguajes naturales"

como el francés, inglés, y castellano y, los ``lenguajes formales" como el de

las matemáticas y la lógica.

El ser humano en la vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de

un lenguaje determinado (oral, escrito,..., etc.) por medio de las denominadas

frases u oraciones, estas pueden tener diferentes significados pero siempre

van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo este el

precedente fundamental para el desarrollo del pensamiento humano. Lo

importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los

enunciados (frases u oraciones) y de acuerdo a su significado es posible



19

establecer una proposición y a partir de un conjunto de estas podemos llegar a

una conclusión, siendo la ciencia encargada del estudio de estas, la lógica.

1.1. ENUNCIADO.- Denominamos así a toda frase u oración.

Ejemplos:

1) Prohibido fumar.

2) 922 y x

3) El 15 de agosto del 2 007 un terremoto sacudió el Perú

4) 4x – 1= – 5

5) ¿Qué hora es?

6) ¡Mamá!

7) El es estudiante de la facultad

8) 943

9) ¿Estás sorda o qué?

10) ¡Auxilio!

11) Deténgase.

12) Dumbledore y Harry sonrieron.

13) Karina es administradora o abogada.

14) ¿Dónde estabas?

15) Prohibido hacer ruido

16) ¡Hilary! ¡Hilary!

1.2. PROPOSICIÓN.- Una proposición es un enunciado que tiene la

propiedad de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas

simultáneamente.

Representación simbólica: p, q, r, s, t,..., etc.

Ejemplos:



20

REPRESENTAC

IÓN

SIMBÓLICA

PROPOSICIÓN

VALOR

DE

VERDAD

p: El cuadrado tiene tres lados F

r: El perro tiene dos patas F

s: Ica es la región más afectada por el

terremoto del 2 007

V

t: El parque de la identidad se encuentra

ubicado en Chilca

F

p: - 4 + 9 = 7 F

r: 3,56 > 0,099 V

El valor veritativo o valor de verdad de una proposición se expresa

simbólicamente. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota por

V(p)

Se escribe: V(p) = V. Si valor de verdad de la proposición p es verdadera

Se lee: el valor de verdad de la proposición p es verdadera

Se escribe: V(p) = F. Si valor de verdad de la proposición p es falsa

Se lee: el valor de verdad de la proposición p es falsa

1.3. EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LÓGICAS

Son las expresiones que indican orden, saludo, exclamación o

interrogación. Es decir, estas expresiones sólo se quedan como

enunciados.

Ejemplos:

- ¡Buenos días!. - ¡Hola, Harry!



21

- ¿Quién tocó la puerta?

- No faltes.

- ¿Así se llaman esas criaturas?

- ¿Qué edad tienes?

- Prohibido fumar.

- ¡Viva la matemática!

1.4. ENUNCIADO ABIERTOS

Los enunciados que usan las palabras “el”, “ella” o las letras x, y, z ,...,

etc. No tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos, es decir, no

son proposiciones. Pero, si a estas palabras o letras se les asigna un

determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una

proposición. A este tipo de enunciados se les denomina enunc iados

abiertos .

Ejemplos:

- Ella es estudiante de contabilidad

- x – 3 > 7

- 5x + 3y = 2

Si en el primer ejemplo reemplazamos ella por Meredditt, se tiene,

“Meredditt es estudiante de contabilidad”, que es una proposición

donde su valor de verdad es V ó F dependiendo de que si Meredditt

sea o no estudiante de contabilidad.

Si en el segundo ejemplo “x” toma un valor menor o igual que 10 la

proposición es falsa y si “x” toma un valor mayor a 10 la proposición es

verdadera.

En el tercer ejemplo las variables o letras “x” , “y” pueden tomar

infinitos valores para que el valor de verdad de la ecuación seaverdadera o falsa.

3. CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS

Los conectivos lógicos son símbolos que enlazan proposiciones simples o

atómicas, sin formar parte de ellas: estos símbolos también toman el nombre

de operadores.

Los conectivos lógicos que usamos en matemática son:



22

LENGUAJE

COLOQUIAL

LENGUAJE

SIMBÓLICO

NOMBRE DEL OPERADOR

no La negación

y La conjunción

o La disyunción inclusiva

Si ... entonces ... La condicional

... sí y sólo sí ... La bicondicional

O bien ... o bien La disyunción exclusiva

= Delta (Cuarta letra del alfabeto griego que corresponde a d latina)

4. CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS

a. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS

Cuando en ella no existe conectivo u operador lógico alguno.

Ejemplos:

- p: El cuadrado tiene 5 lados

- q: 3 x 4 = 12

- r: 9 es múltiplo de 3

b. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES

Cuando en ella existe o está presente al menos un conectivo u

operador lógico.

Ejemplos:

- p: 7512

- q p: Romel jugó, aunque estuvo lesionado

- q p: Llegué tarde porque el carro se malogró



23

5. OPERACIONES CON PROPOSICIONES

Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números,

en lógica se estudian operaciones entre proposiciones.

a. LA NEGACIÓN

La negación de una proposición p se escribe “~

p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es

falso que p” y es otra proposición que niega

que se cumpla p.

p ~ p

V F

F V

Ejemplo:

Sea la proposición: p: 4 x 5 = 20 (V)

Su negación es: ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20 (F)

o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 20 (F)

simbólicamente: V( ~ p) = F

b. LA CONJUNCIÓN

Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p

q” y se lee “p y q”, sólo es verdadero

cuando ambos son verdaderos, en los

demás casos siempre es falso .

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Ejemplo:

Sean la proposiciones:

p: 7 es un número par (F)

q: 7 es menor que 5 (F)

p q: 7 es un número par y 7 es menor que 5 (F)

simbólicamente: V(p q) = F

NOTA: En toda proposición, las palabras: “ pero”, “sin embargo”,

“además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez” , etc. Equivalen al

conectivo ” “



24

c. LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p

q” y se lee “p ó q”, sólo es falso cu ando

ambo s so n falsos , en los demás c asos

siemp re es verdadero.

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Ejemplo:

Dadas las proposiciones:

p: 4 < 7 (V)

q: 4 = 7 (F)

p q: 4 < 7 ó 4 = 7 (V)

Simbólicamente: V(p q) = V

d. LA CONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p, q se escribe

“p q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica

q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es

fa lso cuando el pr imero es verdadero y el

segun do es f also, en los demás caso s

siemp re es verdadero.

( p = antecedente y q = consecuente)

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Ejemplo:

p q: Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los

combustibles

Ejemplo:

Sean las proposiciones:

p: 3 es un número primo (V)

q: 31 es un número par (F)

p q: si 3 es un número primo entonces 31

es un número par (F)



25

Simbólicamente: V(p q) = F

NOTA: En toda proposición las palabras: “ porque”, “puesto que”, “ya

que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”,

son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque

después de cada uno de estos términos esta el antecedente

Ejemplo:

No jugué porque llegué tarde

p: no jugué (consecuente)

q: llegué tarde (antecedente)

Simbólicamente: q p

e. LA BICONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p, q se escribe

“p q” y se lee “p si y solo si q”, es verdadero

cuando los valores de verdad son iguales y es

fa lso cuando los dos valores de verdad son

diferentes.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Ejemplo:


p: 3 < 7 (V)

q: 3 + 5 < 7 + 5 (V)

p q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5 (V)

simbólicamente: V(p q) = V

f. canon LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Dadas las proposiciones p, q se escribe “p

q” y se lee “o bien p o bien q”, es falso

si los valores de verdad de las

propos ic iones son iguales y es

verdadero si los valores de verdad de

las propo s ic iones son di ferentes .

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F



26

Ejemplo:


p: 4 > 7 (F)

q: 4 < 7 (V)

p q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7 (V)

simbólicamente: V(p q) = V

6. TABLA DE VALORES DE VERDAD

Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de la validez de

cada una de las variables proposicionales.

Para evaluar una tabla de verdad de dos variables proposicionales se

necesitan 22

= 4 valores de verdad en cada columna. En general el númerode valores de verdad que se asigna a cada variable resulta de aplicar la

fórmula n2 , donde “n” es el número de variables que hay en el esquema

molecular o proposición lógica.

Las combinaciones de todas las posibilidades de V y F se hacen en las

columnas de referencia al margen izquierdo del esquema, luego se procede a

aplicar la regla a cada uno de los operadores, empezando por el de menor

alcance hasta llegar al de mayor jerarquía.

p q p q p q p q p q p q

V V V V V V F

V F F V F F V

F V F V V F V

F F F F V V F



27

Ejemplo: Construye la tabla de verdad del esquema molecular:

~ )~()(~)( q pq p

Solución

Aplicando la fórmula 422 2 n (n = 2) porque el número de variables o

proposiciones son 2, p y q.

En la columna de p se escribe hacia abajo 2 verdaderos y dos falsos,

seguidamente en la siguiente columna, columna de q se escribe, un

verdadero y un falso, un verdadero y un falso.

Para resolver se tiene en cuenta los signos de agrupación y el orden, en

nuestro ejemplo se procede así:

Se resuelve la columna 1 con el operador de la conjunción.

Se resuelve la columna 2, en este caso, es la negación del resultado de la

columna 1.

Se resuelve la columna 3, que es la negación de la proposición p.

Se resuelve la columna 4, que es la negación de la proposición q.

Columna 5, es el resultado de operar las columnas 3 y 4, con el operador

de la disyunción inclusiva.

Columna 6, es el resultado de operar las columnas 2 y 5, con el operador

de la bicondicional.

OBSERVACIÓN

- Para combinar los valores de verdad de las variables p y q, serealiza lo siguiente: n = 2 ( 2 variables)

- Se aplica la fórmula 2n = 22 = 4- Significa que en la primera columna se tendrán 4 valores, 2

verdaderos y 2 falsos- En la segunda columna se tendrán la mitad de lo anterior, en

este caso, un verdadero y un falso



28

La columna 6 es el resultado de evaluar el esquema molecular o proposición

compuesta por el método de la tabla de valores de verdad. La columna

resultado presenta diferentes formas, que a continuación estudiamos.

a. TAUTOLOGÍA.- Llamamos tautología si en la columna resultado todos

los valores son verdaderos

b. CONTRADICCIÓN.- Llamamos contradicción si en la columnaresultado todos los valores son falsos.

c. CONTINGENCIA.- Llamamos contingencia si en la columna resultado

se encuentra verdaderos y falsos, sin considerar cuántos verdaderos o

cuántos falsos existan, es suficiente que se encuentren ambos.

7. IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA

IMPLICACIÓN LÓGICASe llama implicación lógica o simplemente implicación a toda condicional

q p que sea tautología.

Ejemplo:

Verifica si la siguiente condicional es una impl icación lógica :

pqq p ~~

p q ~ )~()(~ )( q pq p

V V

V F

F V

F F

F

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

PASOS 2 1 6 3 5 4

TAUTOLOGÍA



29

En la columna resultado se observa los valores de verdad, en este caso todos

son verdaderos. Entonces, afirmamos que la condicional es tautología, por

tanto, es una imp l icación lógica . Si en la columna resultado se obtiene

contradicción o contingencia, entonces, no existe implicación lógica.

EQUIVALENCIA LÓGICA

Se llama equivalencia lógica o simplemente equivalencia a toda bicondicional

q p que sea tautología.

Ejemplo:

Verifica si la siguiente bicondicional es una equivalencia lógica :

pq p p

Como se verifica que el resultado de la bicondicional, es tautología, afirmamos

que es una equivalencia lógica.

Entonces, podemos afirmar que: pq p p

p q p~ q~ )( q p

V VV F

F V

F F

VF

V

V

FF

F

V

FV

F

V

VV

V

V

FF

V

V

p q pq p p

V V

V F

F V

F F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

RESULTADOS IDÉNTICOS



30

Nro. 01

1) Escribe al lado derecho de cada una de estas expresiones, si es: enunciado,

proposición o enunciado abierto.

(1) ¡Hola que tal!

(2) x² + 1 < 10(3) 7 + 9 > 5

(4) Él es administrador y contador

(5) ¿Vives con tu primo?

(6) ¡Adiós!

2) Expresa en el lenguaje simbólico:

a) No es cierto que, Yadhira no vive en Huancayo entonces vive en

Concepciónb) Maritza es contadora y administradora

3) Que diferencias y similitudes estableces entre una proposición simple y una

proposición compuesta

4) Determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

a) Huancayo es una ciudad con 5 mil habitantes

b) Es falso que, Andrés Avelino Cáceres no nació en El Tambo

c) 20 es múltiplo de 4, pero 7 es menor o igual que 10

d) O 9 es mayor que 5 o es menor que 5

e) 24 es múltiplo de 8 puesto que 24 es un número impar

5) Si: p~qq p~qr q p~~ , es verdadera. Calcula los

valores de verdad de p, q y r.



31

6) Si: s~r ~q~ p , es falsa. Determina los valores de verdad de los

esquemas moleculares:

a) p~s~q~~ b) ;q~ p~sr ~~

7) Sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta:

t p s sq pq A r p~ , es siempre falsa. Determina el

valor de verdad de la proposición t pr sr ~q p~

8) Construye las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones y

evalúa si es tautología, contradicción o contingencia:a) pq~~Δ p~q~ p b) q~r p~r ~ q p

9) Dadas las proposiciones: p p M q~ y q p N q~ . Evalúa si

M implica a N.

10) Dadas las proposiciones q p~q pS y q~ p~ T Evalúa si S

es equivalente a T.

8. LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

Las proposiciones equivalentes se convierten en leyes lógicas. Existen

infinitas proposiciones equivalentes. Pero sólo consideraremos algunas a las

que llamaremos leyes del álgebra proposicional

1) Leyes del tercio excluido

p~ p V p~ p F

6) Leyes distributivas

r pq pr q p

r pq pr q p

r pq pr q pr pq pr q p

2) Ley de involución o doble

negación

~(~p) p

7) Leyes de De Morgan

q~ p~q p~

q~ p~q p~



32

3) Ley de idempotencia

p p p p p p

8) Leyes condicionales

~´q pq p~

q p~q p

4) Leyes conmutativas

pqq p

pqq p

pqq p

9) Leyes bicondicionales

q~ p~q pq p

pqq pq p

5) Leyes asociativas

r q pr q p

r q pr q p

r q pr q p

10) Leyes de absorción

q pq p~ p

pq p p

q pq p~ p

pq´p p

11) Formas normales para la conjunción y disyunción

VV pFF p

pF p pV p

FFFVVV

Las leyes del álgebra proposicional se aplican o utilizan en la validación de

proposiciones compuestas, es decir, para determinar el valor de verdad de

una proposición. Además se utiliza en la simplificación de proposiciones

compuestas

Ejemplo:

Simplifica la proposición q p q~ p~ aplicando las leyes del álgebraproposicional

q p q~ p~~ ……………… Ley condicional

q p p q~ ……………… Ley de doble negación

qq~ p ……………… Ley distributiva

V p ……………… Ley del tercio excluido

p ……………… Formas normales



33

Nro. 02

Simplifica los siguientes esquemas moleculares aplicando las leyes del álgebra

proposicional:

1) p q~q p~~

2) pq~ p~ q p

3) q p~q p~q~ p~~ p

4) q~q~ p~q~ p~ pq pq p



34

9. LA INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO

Se llama inferencia lógica o argumento lógico a toda condicional de la forma:

q p... p p k 21 donde las proposiciones k p p p ,...,, 21 son llamadas

premisas, y originan como consecuencia otra proposición denotada por q

llamada conclusión.

Una inferencia puede ser tautología, contingencia o contradicción.

Si la condicional es una tautología, es decir si es una implicación entonces

recibe el nombre de argum ento válido o inf erenc ia válida .

Si la condicional no es una tautología entonces se denomina falacia o

simplemente argumento no válido.

Ejemplo:

Válida el argumento pq p

Solución

Aplicando las leyes del álgebra proposicional

p q p~ …………….. Ley condicional

q p p~ …………….. Leyes asociativa y conmutativa

pV …………….. Ley del tercio excluido

V …………….. Formas normales



35

Nro. 03

1) Verifica la validez de los siguientes argumentos aplicando las leyes del

álgebra proposicional y construyendo tablas de verdad:

a)

q~

________

q p~

q p

b)

q~ p~

____ __________

s~q~

sr q p

c)

s

sr

r pq

p

____ __________

q~ p~~

2) Dados los argumentos siguientes, determina en cada caso si es un

argumento válido o si es una falacia traduciendo previamente a símbolos:

a) Si 10 es impar, entonces 4 no divide a 11

7 no es primo 0 4 divide a 11

Pero 7 es primo

10 es par

b) Si el ómnibus sufrió desperfectos en el camino entonces Patricia

llegará tarde a la Universidad. Pero, Patricia no llegará tarde a la

Universidad. Por tanto, si el ómnibus sufrió desperfectos en el

camino entonces Patricia viajó en taxi.

c) Si trabajo no puedo estudiar

Estudio o apruebo matemática

Trabajé

Por lo tanto, aprobé matemática



36

d) En el cumpleaños de mi esposa le llevaré flores. Es el cumpleaños

de mi esposa o trabajo hasta tarde; pero hoy no le llevaré flores a mi

esposa. Por tanto, hoy trabajé hasta tarde.

10.CIRCUITOS LÓGICOS O BOOLEANOS

El valor de verdad de una proposición puede asociarse al paso de corriente

eléctrica por un circuito eléctrico controlado por un interruptor. Es decir, si el

interruptor está cerrado entonces pasa corriente y si el interruptor está

abierto entonces no pasa corriente.

p p

CIRCUITO CERRADO CIRCUITO ABIERTO

(pasa corriente: V) (no pasa corriente: F)

a. CIRCUITOS EN SERIE

Son aquellos que constan de dos interruptores p y q conectados en

serie, de modo que en todo el circuito pasará la corriente solamente enel caso en que ambos interruptores p y q se encuentren cerrados.

p q

Esto corresponde a la tabla de valores de verdad de la conjunción.

p q p q1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

OBSERVACIÓNV=1F=0



37

b. CIRCUITOS EN PARALELO

Son aquellos circuitos que constan de dos interruptores p y q conectados

en paralelo, de modo que para que pase la corriente en el circuito es

suficiente que alguno de los interruptores p o q esté cerrado y solamente

deja de circular la corriente si ambos están abiertos.

Esto corresponde a la tabla de verdad de la disyunción inclusiva.

SIMBOLOGÍA:De aquí en adelante esquematizaremos a un interruptor “p”

simplemente como:

Nro. 04

Construye los siguientes circuitos:

1) q p~s~q p~~ p

2) q~ p~ q p

p q p q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

p

q

p



38

3) q~ p~ p~ p~ pq~

4) p~r ~ p~q p~~

Dados los siguientes circuitos, simplifica y expresa el resultado como proposición:



39

Nro. 01

1) Escribe al lado derecho de cada una de las siguientes expresiones, si es:

enunciado, proposición o enunciado abierto:

1) 72 x

2) ¿Quién llamó por teléfono?

3) 1059 4) Ella es contadora y administradora

5) ¡Viva el Perú!

6) Si hoy es jueves entonces mañana es viernes

2) Escribe en el lenguaje simbólico:

1) No es cierto que, Yumara no es alcaldesa de Huancayo

2) Yulissa llegó tarde porque el carro no se malogró

3) Dadas las proposiciones:

p : Yamile estudió matemática

q : Yamile aprobó matemática

Expresa en el lenguaje escrito:

1) q p~~

2) q p~

4) Determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

1) Alan García no es el alcalde de Huancayo

2) Es falso que, las rosas no son de color negro

5) Escribe al lado derecho de cada expresión, si es una proposición simple o

compuesta



40

1) Hoy es lunes

2) Si estudio entonces seré un buen profesional

3) 734

4) Alberto es docente de la facultad

6) Si la proposición q r p~ es verdadera. Calcula los valores de verdad de:

1) r ~ q p

2) pqr ~

7) Construye las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones y

evalúa si es: tautología, contradicción o contingencia1) pq~q p~

2) q p p q~

8) Dadas las proposiciones: q p~ R y q p~ S . Evalúa si R implica a S

9) Dadas las proposiciones: q p~~ M y pq~ N . Evalúa si M y N son

proposiciones equivalentes

10) Simplifica el siguiente esquema molecular aplicando las leyes del álgebra

proposicional

pq~~ pq p

11) Valida el siguiente argumentoTrabajo o apruebo matemática

Si trabajo no puedo estudiar

Aprobé matemática

Por lo tanto, estudie

12) Construye el circuito correspondiente a la proposición:



41

p~q~ q p

13) Expresa como proposición el circuito

SOLUCIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN Nro. 01

1)

1) Enunciado abierto

2) Enunciado

3) Proposición

4) Enunciado abierto

5) Enunciado

6) Proposición

2)

1) p~~

2) pq~



42

3)

1) No es cierto que, Yamile no estudia matemática pero aprobó

2) Yamile no estudia matemática entonces aprueba

4)

1) Verdadero

2) Falso

5)

1) Proposición simple

2) Proposición compuesta

3) Proposición compuesta

4) Proposición simple

6) p = V ; q = V y r = F

1) Verdadero

2) Verdadero

7)

1) Contingenciap q p q~ q p~

V V F V V F F V V

V F F V F F V V V

F V V V V V F F F

F F V F F V V V F

2) Tautología

p q q p q~ p

V V V F F V V

V F V V V V V

F V F F F V V

F F F F V V F



43

8) R no implica a S, porque al construir su tabla de verdad se obtiene como

resultado contingencia

9) M y N son proposiciones equivalentes, porque al construir su tabla de

verdad estas son iguales en sus diferentes combinaciones

10) pq~q p~~ p

pq~ pq~ p

pq~q~ p

q~ p

11) q p

r p ~

q

_________

r

Al validar por cualquier método se obtiene como resultado contingencia, es

decir, el argumento no es válido

12)

13) q~ p~q p~ q p



44

1. ALLEN R. A. 1 992. Álgebra intermedia, 2da. Edición, Editorial, Prentice Hall,

México

2. FIGUEROA G. R. 2 003. Matemática básica I, 5ta. Edición, Editorial América,

Lima - Perú

3. VENERO B. A. 2 002. Matemática básica, SE, Editorial San Marcos, Lima –

Perú

4. EDUARDO BELLO REGUERA. 2006. Discurso del método, sexta edición,Editorial Tecnos, Madrid – España.

5. MOSTERIN, JESUS y TORRETTI, ROBERTO. 2 002. Diccionario de lógica

y filosofía de la ciencia, primera edición, Alianza editorial S.A.Madrid –España

DIRECCIONES ELECTRÓNICAS

1 Antonio Escohotado. Génes is y Evo luc ión del Pensam ien to Científico.

www.escohotado.com

3 Cfr. Escohotado. El Pen sam ien to Preci entífic o . Tema 1.www.escohotado.com

4 Alfred Tarski. Wikipedia.

en.wikipedia.org/wiki/Tarski

CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE – I

UNIDAD

ACTIVIDADDE

APRENDIZAJ

E

FECHAHOR

A

FORMADEL AL

DIA MES AÑO DIA ME

S

AÑO

1

2

3

4

http://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm#1bis


http://www.escohotado.com/genesisyevoluciondelanalisiscientifico/prefacio.htm




http://www.escohotado.com/genesisyevoluciondelanalisiscientifico/tema1.htm




http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski










45

SISTEMA DE NÚMEROS REALES

OBJETIVO GENERAL

Resolver ejercicios y problemas de ecuaciones, sistema de ecuaciones,

inecuaciones y valor absoluto aplicando los axiomas, teoremas y

definiciones de los números reales.


Comparar axiomas, teoremas y definiciones de los números reales

Resolver ejercicios y problemas de ecuaciones de primer grado,

segundo grado y polinómicas

Resolver ejercicios y problemas sobre sistema de ecuaciones linealescon dos y tres incógnitas

Resolver ejercicios y problemas de inecuaciones primer grado,

segundo grado, polinómicas y fraccionarias

Definir valor absoluto e identificar sus propiedades

Resolver ejercicios y problemas de ecuaciones e inecuaciones con

valor absoluto



46

MAPA MENTAL DE SISTEMA DE NÚMEROS REALES



47

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

N

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Q = { ... , -1,2

1 , 0,

2

1, 1, ... }

El conjunto de los números racionales tienen una característica, que llevados a

su forma decimal, son periódicos (puros o mixtos).

Por periodo entendemos al número o números de la parte decimal que se

repiten hasta el infinito.

Ejemplos:

a) 1,234666…

Es un decimal periódico mixto, tiene una parte no periódica conformada por

los números 234 y una parte periódica que es el número 6, la parteperiódica se repite hasta el infinito.

b) -3,777…

Es un decimal periódico puro, porque inmediatamente después de la coma

aparece el periodo, es decir, en este caso, el número 7 que se repite hasta

el infinito.



48

c) 32,767676…

Es un decimal periódico puro, porque inmediatamente después de la coma

aparece el periodo, es decir, en este caso, el periodo está conformado por

el número 76, la misma que se repite hasta el infinito.

d) 15,2999…

Es un decimal periódico mixto, porque antes del periodo encontramos el

número 2 que no es parte del periodo. En este caso el periodo está

conformado por el número 9.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

I = { ... , - , - e, 2 , 2 , e, }

Ejemplo:

2 = 1,4142135623730950488016887242097...

Los números irracionales más importantes son:

El número: (pi) que es la razón existente entre la longitud de la

circunferencia y el diámetro de la misma.

= 3,1415926535897932384626433832795...

El número: “ e “ , que es el limite de “ n “ cuando tiende al infinito.

n

nn

11e lim

e = 2,7182818284590452353602874713527...

Los números irracionales tienen una característica, que llevados a su forma



49

decimal estos números no son periódicos.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales es la reunión del conjunto de los números

racionales (periódicos) con el conjunto de los números irracionales (no

periódicos).

R = Q I

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

C = { a + bi / a R b R , i = 1 }

Los números complejos están conformados por los números que tienen una parte

real y una parte imaginaria.

a + bi

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

Simbólicamente se tiene:

z b

z abi aZ

Im

Re

Ejemplo:

a) Z = – 4 – 7i b) Z = 8 + 5i

2. AXIOMAS Y TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

El sistema de los números reales es el conjunto de los números reales ( R )

con las operaciones de adición (+) y multiplicación (.) y una relación de orden “

< “.



50

AXIOMAS

AXIOMAS DE IGUALDAD:

a, b, c y d R , se cumplen los axiomas siguientes:

1) AXIOMA DE REFLEXIVIDAD

Todo número real es igual a sí mismo:

a = a

2) AXIOMA DE SIMETRÍA

Si un número es igual a otro, entonces el segundo es igual al primero:

Si a = b b = a

3) AXIOMA DE TRANSITIVIDAD

Si un número es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el

primero es igual al tercero:

Si a = b b = c a = c

4) AXIOMA DE ADICIÓN DE LA IGUALDAD

Si a = b c = d a + c = b + d

5) AXIOMA DE MULTIPLICACIÓN DE LA IGUALDAD

Si a = b c = d a c = b d

6) PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Todo número real puede ser reemplazado por su equivalente.



51

3. AXIOMAS DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN DE LOS NÚMEROS

REALES

El sistema de los números reales se construye a partir de los axiomas de

la adición y multiplicación.

a, b y c R se cumplen los siguientes axiomas:

PARA LA ADICIÓN

PARA LA MULTIPLICACI N

1. AXIOMAS DE CLAUSURA

( a + b ) R ( a.b ) R

2. AXIOMAS DE CONMUTATIVIDAD

a + b = b + a a.b = b.a

3. AXIOMAS DE ASOCIATIVIDAD

( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b +

c

( a.b ).c = a. (b.c ) = a.b.c

4. AXIOMAS DE IDENTIDAD O ELEMENTO NEUTRO

a + 0 = 0 + a = a a.1 = 1.a = a

5. AXIOMAS DE INVERSOS

a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0 a . a- = a- . a = 1

6. AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD

a ( b + c ) = a.b + a.c ; ( b + c ).a = b.a + c.a

4. AXIOMAS DE ORDEN

a, b y c R se cumplen los siguientes axiomas:

1) AXIOMA DE TRICOTOMÍA

Dados a y b R una y solamente una de las siguientes relaciones se

cumple:

a < b ; a = b ; a > b



52

2) AXIOMA DE TRANSITIVIDAD

Si : a < b b < c a < c

3) AXIOMAS DE MONOTONÍA

CONSISTENCIA ADITIVA

Si : a < b c R a + c < b + c

CONSISTENCIA MULTIPLICATIVA

Si: a < b c > 0 ac < bc

Si: a < b c < 0 ac > bc

5. TEOREMAS

TEOREMAS RELATIVOS A LA IGUALDAD

1) TEOREMA DE IGUALDAD – ADICIÓN

Si: a = b a +c = b + c ; c R

2) TEOREMA DE IGUALDAD MULTIPLICACIÓN

Si: a = b a.c = b.c ; c R

3) TEOREMA DE CANCELACIÓN - ADICIÓN

Si: a + c = b + c a = b

4) TEOREMA DE CANCELACIÓN – MULTIPLICACIÓN

Si: a.c = b.c c 0 a = b

TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES

1) TEOREMA:

a R, se cumple a.0 = 0

2) TEOREMA:

a R, se cumple -a = (-1) a



53

COROLARIO:

a.(-b) = - (ab) = (-a) b , a, b R

3) TEOREMA:

- (-a ) = a, a R

4) TEOREMA:

( - a ) ( -b ) = a.b , a, b R

5) TEOREMA:

a R, a 0 se tiene ( a –1 ) – 1 = a

6) TEOREMA:

( ab ) –1 = a –1. b –1, a, b R donde a 0, b 0 , a.b 0

TEOREMAS DE LA RELACIÓN DE ORDEN

1) Si a < c b < d a + b < c + d

2) Si a < b - a > - b

DEFINICIÓN DE SUSTRACCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

a, b R a - b = a + ( - b )

DEFINICIÓN DE DIVISIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

., Rba 0b , se tiene:

1. bab

a

.,, Rcyd ba se cumplen los siguientes teoremas:

OTROS TEOREMAS

1) TEOREMA:

acabcba



54

2) TEOREMA:

bd

ac

d

c

b

a. , 0,0 d b

3) TEOREMA:

xb

xa

b

a

.

. , 0,0 xb

4) TEOREMA:

bcad d

c

b

a , 0,0 d b

5) TEOREMA:

baba

1.

1

.

1 , 0,0 ba

6) TEOREMA:

1.. ba xab x , 0b

7) TEOREMA:

11. abba , 0a

8) TEOREMA:

Si 000. baba

9) TEOREMA:

bd

bcad

d

c

b

a , 0,0 d b

10) TEOREMA:

bd

bcad

d

c

b

a , 0,0 d b



55

Existen otros teoremas, solamente hemos mencionado aquellos que son

fundamentales y más usuales.

DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS Y OTROS

1) Si: a = b a +c = b + c ; c R

1) ba …………… Por hipótesis

2) cc …………… Axioma de reflexividad

3) cbca …… Axioma de adición de la igualdad

2) Si: a = b a.c = b.c ; c R

1) ba …………. Por hipótesis

2) cc ………….. Axioma de reflexividad

3) bcac ……….. Axioma de multiplicación de la igualdad

3) Si: a.c = b.c c 0 a = b

1) bcac …………………….. Por hipótesis

2) 11 cbccac ………. Teorema: si bcacba

3) 11 .. ccbcca ………… Axioma de asociatividad

4) 1.1. ba …………………… Axioma de inverso multiplicativo

5) ba ………………………. Axioma de neutro multiplicativo

4) a R, se cumple -a = (-1) a

1) a ……………………… Por hipótesis

2) 0 a ………………….. Axioma de neutro aditivo

3) 0.aa ………………… Teorema: 00. a

4)

11 aa …………

Axioma de inverso aditivo



56

5) 11. aaa ……….. Axioma de distributividad

6) 11. aaa ……… Axioma de asociatividad

7) 1 aaa ……….. Axioma de neutro multiplicativo8) 10 a ………………. Axioma de inverso aditivo

9) 1a ………………….. Axioma de neutro aditivo

10) a1 ………………….. Axioma de conmutatividad

5) a.(-b) = - (ab) , a, b R

1) ba …………………… Por hipótesis

2) ba 1 ………………… Teorema: aa 1

3) ba 1 ………………… Axioma de asociatividad

4) ba1 ………………… Axioma de conmutatividad

5) ab1 ………………… Axioma de asociatividad

6) ab …………………… Teorema: aa 1

6) - (-a ) = a, a R

1) a ………………….. Por hipótesis

2) 0 a ……………… Axioma de neutro aditivo

3) aaa ……. Axioma de inverso aditivo

4) aaa ……. Axioma de conmutatividad

5) aaa 1 …. Teorema: aa 1

6) aaa 1 …. Axioma de asociatividad

7) aaa .11 .. Axioma de neutro multiplicativo

8) aa 11 ……… Axioma de distributividad

9) aa .0 ……………. Axioma de inverso aditivo

10) aa 0. ……………. Axioma de conmutatividad



57

11) a0 …………………… Teorema 00. a

12) a ……………………….. Axioma de neutro aditivo

7) ( - a ) ( -b ) = a.b , a, b R

1) ba ……………… Por hipótesis

2) ba 1 …………….. Teorema: aa 1

3) ba 1 …………… Axioma de asociatividad

4) ba 1 …………… Axioma de conmutatividad5) ba 1 …………… Axioma de asociatividad

6) ba ……………… Teorema: aa 1

7) ba …………………… Teorema aa

8) ab ……………………… Axioma de asociatividad

8) xb

xa

b

a

.

. , 0,0 xb

1)b

a …………………….. Por hipótesis

2) 1ab …………………. Definición de división

3) 1.. 1ba …………….. Axioma de neutro multiplicativo

4) 11 .. x xba ……….. Axioma de inverso multiplicativo

5) 11 ... x xba ………… Axioma de asociatividad

6) 11. xb xa …………. Axioma de conmutatividad

7) 11. xbax ……….. Axioma de asociatividad

8) 1bxax ………….. Teorema 111 baab

Ejemplos:



58

Demuestra que 5 – 9 = – 4

1) )9(5 ……………… Por definición de sustracción

2) 915 …………….. Por teorema aa 1

3) 4515 …………….. Por el principio de sustitución

4) 41515 …………….. Por axioma de distributividad

5) 455 …………….. Por teorema aa 1

6) 455 …………….. Por axioma de asociatividad

7) 40 …………….. Por axioma de inverso aditivo

8) – 4 …………….. Por axioma de

identidad aditiva y definición de sustracción

Nro. 01

1) Realiza un gráfico conjuntista considerando todos los conjuntos numéricos.

2) Demuestra los teoremas aplicando los axiomas y/o teoremas.

a) Si: a + c = b + c a = b

b) a R, se cumple a.0 = 0

c) (ab) –1 = a –1. b –1, a, b R donde a 0, b 0 , a.b 0

d) xb

xa

b

a

.

. , 0,0 xb

3) Demuestra las igualdades siguientes aplicando axiomas y teoremas:

a) 12 – 4 = 8 b) 3 – 4 = – 1 c) – 6 – 7 = – 13 d) 7 – 10 = –3



59

ECUACIONES

6. ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica o satisface para

determinados valores de sus incógnitas.

PROPIEDADES

Estas propiedades se conocen con el nombre de teoremas nos servirán para

resolver las ecuaciones.

a) Si a ambo s miem bro s de una igualdad se le sum a una misma cant idad

la igualdad se mant iene.

b) Si en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma

cant idad la igualdad se mant iene.

;: RcbacbcaSi

c) Si a ambo s miembro s de una igualdad lo mu l t ip l icamos por un a

mism a cant idad la igualdad se mant iene.

d) Si en ambos m iembros de una igualdad cancelamo s una mism a

cant idad la igualdad s e mant iene.

0;...: c R c bac bc aSi

Los cuatro teoremas que hemos mencionado no son los únicos para resolver una

ecuación, es necesario aplicar los axiomas de igualdad, los axiomas de adición y

multiplicación de los números reales y otros teoremas.

R c c bc abaSi :

0;..: c R c c bc abaSi



60

7. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma: 0bax

COMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA

INCÓGNITA

1.- Se suprimen los signos de agrupación o colección si es que hubiera,

efectuando las operaciones que se presenten.

2.- Se efectúa de tal manera que la variable x quede con signo positivo, ya sea en

el primer miembro o en el segundo miembro. Aplicando las reglas y/o

axiomas.

3.- Las constantes se pasan al miembro donde no está la variable. Aplicando las

reglas ya mencionadas.

4.- Se reducen los términos semejantes y se opera las constantes para luego

despejar la incógnita o variable.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación: – 5x – 2 = x – 3

Solución

Pasamos – 5x del primer miembro al segundo miembro como 5x

Pasamos – 3 del segundo miembro al primer miembro como 3

– 2 + 3 = x + 5x

Para resolver x + 5x, se operan los coeficientes 1 y 5, el resultado lleva x,

así: ( 1 + 5 )x = 6x

– 2 +3 = 6xOperamos los números – 2 + 3 del primer miembro 1 = 6x

Como 6 está multiplicando a x en el segundo miembro, pasa al primer

miembro dividiendo

x6

1

Aplicando el axioma de simetría se tiene

61 x



61

Ejemplo:

Determina el conjunto solución de:2

1

4

31

3

2 x x

Solución

Pasamos x3

2 del primer miembro al segundo miembro como x3

2 y

pasamos2

1del segundo miembro al primer miembro como

2

1

x x3

2

4

3

2

11

Resolviendo2

11 en el primer miembro se tiene

2

3

2

12

21

121

Resolviendo x x3

2

4

3 en el segundo miembro se tiene

Entonces: x12

1

2

3

x debe quedar sólo en el segundo miembro, es decir, debe estar despejado

El número 1 que está multiplicando a x en el segundo miembro pasa al

primer miembro dividiendo

El número 12 que está dividiendo a x en el segundo miembro pasa al

primer miembro multiplicando

x x x x

12

1

12

89

34

2433

3

2

4

3



62

x12

123

Simplificando y operando se tiene

–18 = x

Aplicando el axioma de simetría

x = – 18

7.SISTEMA DE ECUACIONES

SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

Ax + By = C ....................Ecuación (1)

Dx + Ey = F .....................Ecuación (2)

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables se resuelve

por los métodos: reducción, sustitución, igualación, Cramer, Gauss-Jordan

etc.

Ejemplo:

Resuelve el sistema:

2..............42

1.............1332

y x

y xaplicando los métodos de

reducción y sustitución.

Soluciones

A) MÉTODO DE REDUCCIÓN

Multiplicamos a la ecuación (2) por (-2)

2..............842

1................1332

y x

y x

3

217

y

y



63

El valor de 3 y , reemplazamos en la ecuación (2)

432

42

x

y x

2

64

46

x

x

x

Respuesta: 2 x ; 3 y

B) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Despejamos la variable “x” en la ecuación (2)

42 y x

Este resultado reemplazamos en la ecuación (1)

8137

13384

133422

1332

y

y y

y y

y x

3

217

y

y

Reemplazamos el valor de 3 y en (2)

2

46

432

42

x

x

x

y x


8. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Toda ecuación que se puede reducir a la forma general:

constantes:c b,a,

incógnita:x0a donde 0c bxax 2

se llama ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática.

Para determinar el tipo de solución que tiene una ecuación de segundo grado

se calcula el discriminante acb 42 .



64

Si > 0 , la ecuación tiene dos raíces reales diferentes.

Si = 0 , la ecuación tiene dos raíces reales iguales.

Si < 0 , la ecuación tiene dos raíces complejas.

Es necesario determinar el discriminante de una ecuación de segundo grado

para determinar qué tipo de raíces tiene, complejas o reales.

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita existen varios

métodos. Toda ecuación de segundo grado con una incógnita tiene dos

soluciones o dos raíces.

A) MÉTODO DEL ASPA

Si calculamos el discriminante de la ecuación de segundo grado y el

resultado es 0 (cero) o es un número que tiene raíz cuadrada exacta,

entonces, se puede resolver por el método del aspa, en caso contrario no

es posible resolver por este método.

Para resolver una ecuación de segundo grado por el método del aspa, se

factoriza el polinomio aplicando el método del aspa simple. Luego, cada

factor se iguala a cero (0), seguidamente se despeja la variable. Los dosresultados obtenidos son el conjunto solución o raíces de la ecuación.

Ejemplo: Resuelve: 01253 2 x x

Solución

01253 2 x x

x3 4

x 3

0343 x x

03043 x x

3

4 x 3 x

B) LA FÓRMULA GENERAL O FÓRMULA CUADRÁTICA

Cuando una ecuación de segundo grado no es posible resolver por el

método del aspa, recurrimos a la fórmula general o fórmula cuadrática. Es



65

decir cuando se obtiene como discriminante un número diferente de 0

(cero) o cuando este número no tiene raíz cuadrada exacta.

a

acbb x 2

42

Aplicando este método es posible resolver cualquier ecuación de segundo

grado.

Ejemplo:

Resuelve: 21112 2 x x

Solución

021112 2 x x , identificamos los valores: a = 2; b = -11 y

c = - 21, luego reemplazamos en la fórmula general o cuadrática.

22

212411112

x =4

28911=

4

1711

74

28

4

17111

x

2

3

4

6

4

1711

x x

TEOREMA

Si x1 y x2 son las raíces de cualquier ecuación de segundo grado se tiene:

a

b x x

21

a

c x x 21.

C) COMPLETANDO CUADRADOS



66

Para resolver por este método, el polinomio de segundo grado se

transforma hasta convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, luego se

despeja la variable “x”.

Ejemplo:

Resuelve: 0202 x x

Solución

0204

1

2

12

x

4

81

2

12

x

4

81

2

1 x

2

1

2

9 x

2

1

2

9 x

2

1

2

9 x

4 x 5 x

9. ECUACIÓN POLINÓMICA

NÚMERO DE RAÍCES DE UN POLINOMIO

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Todo polinomio P(x) de grado mayor o igual que 1, tiene por lo menos una

raíz, puede ser real o compleja.

Todo polinomio de grado “n” tiene “n” raíces

Pasos:- Se trabaja solamente con los términos

que tienen variable.- El coeficiente del término de segundo

grado debe ser 1. De no ser así,obligatoriamente se tiene que factorizar.

- Se extrae raíz cuadrada de 2 x ,

obteniéndose x .- Se escribe el signo del término con

variable x - Se calcula la mitad del coeficiente del

término con variable x

- Se encierra en paréntesis los resultados

obtenidos en los tres pasos anterioresinmediatos, y se eleva al cuadrado.

- Luego se resta el cuadrado del segundotérmino del binomio elevado al cuadrado.

- Se copia los demás términosnormalmente.

- Se procede a despejar x con las técnicasya conocidas.



67

Ejemplo:

Resuelve la ecuación polinómica 01036 23 x x x

Solución

MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS

Se utiliza para resolver ecuaciones polinómicas que aceptan como

factores a binomios de la forma ax + b, basándose en el principio de la

división algebraica, si el polinomio se anula para x = a, entonces un factor

será (x – a).

Ordenamos en forma decreciente y completamos el polinomio.

Resolvemos como el método de Ruffini, probamos con los divisores del

último término, es decir 10: 10;5;2;1 . En este caso cumple con el

número -2

1 6 3 -10

x = -2 -2 -8 10

1 4 -5 0

Se tiene un nuevo polinomio de menor grado. Se continúa como en el caso

anterior. Pero esta vez con los divisores de 5: 5;1 . Por ser el último

coeficiente.

Ahora cumple con 1. Se continúa:

1 6 3 -10

x =-2 -2 -8 10

1 4 -5 0

x =1 1 5

1 5 0

x = -5 -5

1 0



68

Los resultados: -2; 1 y – 5 son los valores que toma “x”

Es decir el conjunto solución es 5;1;2

RAÍCES RACIONALES DE UN POLINOMIO

TEOREMA DE GAUSS

Dado un polinomio de grado “n” con coeficientes enteros, para calcular las raíces

racionales se considera como “p” a los divisores del término independiente y

como “q” a los divisores del coeficiente del primer término. Entonces las raíces se

obtienen al dividir p entre q, es decir q

p

x

Ejemplo:

Resuelve la ecuación: 026 2 x x

Solución

A los divisores del último coeficiente “2” llamaremos “p” ( 2;1 ) y a los divisores

del primer coeficiente “6” llamaremos “q” ( 6;3;2;1 ). Con los divisores de “p” y

“q”, se forman las siguientes fracciones:q

p:

3

2;

6

1;

3

1;

2

1

6 1 -2

2

1 x 3 2

3

2 x

6 4 0

- 4

6 0



69

Nro. 02

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Resuelve la ecuación:

1)4

33

2

1 x 2) x x

7

4

8

2

12

13) 3

2

5

7

54

3

2 x x

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

4)35

432

y x

y x5)

42

73

y x

y x 6)

2

625

y x

y x

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Calcula el discriminante de cada una de las ecuaciones de segundo grado,

interpreta que tipo de raíces tendría cada ecuación y calcula las raíces:

7) 0123 2 x x 8) 0122 x x 9) 0632 x x

Calcula los valores de “x” en:

10)32

3

2

1

x

x

x

x11)

3

3

32

2

25

x

x

x

x

Calcula las raíces de las ecuaciones completando cuadrados:

12) 0142 x x 13) 0954 2 x x

14) Calcula el conjunto de valores de k para los que x tome valores reales

en la ecuación xk k x 2132

15) Calcula el conjunto de valores de m para que la siguiente ecuación no

tenga soluciones reales: 05435

2 mmx xm



70

16) Determina el conjunto de valores de k para que la ecuación 22 kx x

tenga dos raíces, una de las cuales es 1.

ECUACIÓN POLINÓMICA

Calcula las raíces de las ecuaciones:

17) 01243 23 x x x 18) 021176 23 x x x

10. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

Una inecuación de primer grado con una variable es aquella que tiene una

sola variable (incógnita) con exponente 1.

Estas inecuaciones son de la forma:

0;0

0;0

baxbax

baxbax

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1) Propiedad Aditiva:

cbcabaSi :

2) Propiedad Cancelativa de la adición:

bacbcaSi :

3) Propiedad Multiplicativa:

bcacb y caSi:

bcacb y caSi:

0

0



71

4) Propiedad Cancelativa de la multiplicación:

babc y cacSi:

babc y cacSi:

0

0

Ejemplo:

Resuelve: 3x – 2 4

Solución

– 2 del primer miembro lo pasamos al segundo miembro como 2

3x 4 + 2

3x 6

3 del primer miembro está multiplicando a x, entonces, pasa al segundo

miembro dividiendo

x 3

6

Efectuando

x 2

Respuesta: x 2 ó ;2 x

11. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una inecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma:

0

0

0

0

0

2

2

2

2

a

cbxax

cbxax

cbxax

cbxax



72

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Se siguen los siguientes pasos:

a) Se factoriza el polinomio utilizando cualquier método, luego cada factor se

iguala a cero, para luego despejar la variable, obteniendo de esta manera

los puntos críticos. Si se aplica la fórmula general, entonces en forma

directa se obtiene los puntos críticos.

b) Se traza la recta numérica real, en esta se ubican los puntos críticos.

c) Si la desigualdad o inecuación es > ó < , los puntos críticos son abiertos.

d) Si la desigualdad o inecuación es ó , los puntos críticos son cerrados.

e) La recta real ha sido dividida en tres partes o intervalos, empezamos del

lado derecho y anotamos en cada parte o intervalo los signos + y - en

forma ordenada.

f) Si el sentido de la desigualdad es < ó se elige el intervalo que lleva el

signo (-).

g) Si el sentido de la desigualdad es > ó se eligen los intervalos que llevan

el signo (+).

Ejemplo:

Resuelve la inecuación: 062 x x

Solución

Factorizando el polinomio se tiene

023 x x

Se iguala cada factor a cero (0) y se despe ja la variable “x”

3

03

x

x

2

02

x

x

Los valores obtenidos se llaman puntos críticos:

;23;..S C

++ -

-3 2



73

Nro. 03

Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) 1243 x x 2) 162 x x

3) 362 x x 4) x x x 42132

5) 0132 x x 6) 0753 2 x x

7) 0755 2 x x 8) 016 2 x x

12. INECUACIONES POLINÓMICAS

0... 01

1

1 a xa xa xa x P n

n

n

n

0... 01

1

1 a xa xa xa x P n

n

n

n

Una inecuación polinómica se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus

raíces.

Ejemplo:

Determina el conjunto solución de 05132 x x x

Solución

Se calcula los puntos críticos de cada factor, es decir, se iguala cada factor a

cero (0)

3

03

x

x

1

01

x

x

5

05

x

x

Los puntos críticos se ubican en la recta real: si la desigualdad es > ó < son

abiertos y si la desigualdad es ó son cerrados



74

Se trazan curvas, desde el lado derecho hacia la izquierda, tomando como

referencia para estas los puntos críticos.

El número uno (1) no es considerado para el trazo de la curva porque esta

proviene de un factor que tiene exponente par. Concluimos que cuando el o

los puntos críticos provienen de un factor que tiene exponente par, estos no

se toman en cuenta para el trazo de la curva.

Luego, a partir del lado derecho se codifican con los símbolos + y –

alternando hasta cubrir el último intervalo o curva.

El resultado final puede estar conformado por los intervalos que tienen el

código + o por los intervalos que tienen el código -. Esto depende del sentido

de la desigualdad. Si la desigualdad es:> ó se eligen los intervalos que llevan el código +

< ó se eligen los intervalos que llevan el código –

En nuestro ejemplo el sentido de la desigualdad es , por tanto, elegimos el

intervalo con código –

Pero no debemos olvidar, los puntos críticos que no se tomaron en cuenta

para el trazo de las curvas al final, deben ser evaluados. Si el punto críticoes cerrado se toma en cuenta y si el punto crítico es abierto entonces no se

toma en cuenta.

13;5.. S C

++

-

-5 -3 1



75

13. INECUACIÓN FRACCIONARIA

0 xQ

x P

0 xQ

x P ; 0 xQ

Ejemplo

Resuelve la inecuación:

03

5427

x

x x

Solución

Se trabaja como en el caso de las inecuaciones polinómicas, pero esta vez,

los puntos críticos que se obtengan del numerador pueden ser abiertos o

cerrados y dependerán de la desigualdad, pero, los puntos críticos que

provienen del denominador siempre serán abiertos.

En nuestro ejemplo los puntos críticos son: 4 x (cerrado), 3 x (abierto)y 5 x (cerrado)

Después de procesar como en el caso anterior se obtienen el siguiente

resultado: ;34;..S C



76

Nro. 04

Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) 0533 x x

2) 0215274 x x x

3) 05126152 x x x

4)

025

532

x x

x x

5)

0

42

13196

x x

x x

14. VALOR ABSOLUTO

Definición:

0:

0:0

0:

:

x si x

x si

x si x

x

PROPIEDADES

1) Raa 0

2) aa

3) Raaa

4) baab

5) 0; bb

a

b

a

6) baba ( desigualdad triangular )



77

PROPIEDADES PARA RESOLVER ECUACIONES E INECUACIONES

CON VALOR ABSOLUTO

1) 00 aa

2) bababba 0

3) bababa

4) Si 0b , entonces:

i) babba

ii) babba

5) Si 0b , entonces:

i) bababa

ii) bababa

6) i) 2aa

ii)22

aa

Ejemplo

Resuelve: 75 x

Solución

Aplicando la propiedad 2 se tiene

12

75

x

x

2

75

x

x

12;2.. S C

Ejemplo

Resuelve: 732 x



78

Solución

5

102

732

x

x

x

2

42

372

732

732

x

x

x

x

x

Estos intervalos se llevan a la recta real y el resultado debe ser la intersección

de ambos. Que al final da como resultado: 5;2.. S C

Nro. 05

Determina el valor de “x” en:

1) 723 x 2) 252 x x

3) 3732 x x 4) x x 5462

5) 012 x x 6) 8) 1354 x x

9) 635 x x 10) 762 x



79

Nro. 02

1) Demuestra aplicando axiomas y teoremas de los números reales:

acabcba

2) Demuestra aplicando axiomas y teoremas de los números reales:

-2 – 3 = - 5

3) Calcula el valor de “x” en: 3753 x x

4) Deter

5) mina el valor de “x” en:

2

3

4

3

2

1

3

1 x x

6) Resuelve el sistema por los métodos de reducción y sustitución:

2............32

1...............53

y x

y x

7) Calcula el discriminante de la ecuación: 02

2

x x

8) Calcula la raíz de la ecuación completando cuadrados

01522 x x



80

9) Determina el valor de k, para que la ecuación k xk xk 2214 2

tenga raíces iguales

10) Resuelve la inecuación:532 x x

11) Resuelve la inecuación: 0122 x x

12) Resuelve la inecuación: 0412973 x x x

13) Resuelve la inecuación:

0

3

5175

x

x x

14) Resuelve: 132 x x

15) Resuelve: 323 x


1) acabcba

1) cba ………………. Por hipótesis

2) cba …………… Definición de sustracción3) caab …………… Axioma de distributividad

4) acab …………. Teorema abba

5) acab ………………. Definición de sustracción

2) – 2 – 3 = - 5

Demostración

1) 32 …………… Por hipótesis2) 32 ………….. Por definición de sustracción

3) 3121 ………….. Teorema: aa 1

4) 321 ………….. Por axioma de distributividad

5) 51 ………….. Por principio de sustitución

6) 5 ………….. Teorema: aa 1



81

3) 5373 x x

2

84

84

x

x

x

4) Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores

122;4;2;3... mcm y multiplicamos a cada término de la ecuación por este

valor

2

3.12

4

3.12

2

1.12

3

1.12 x x



82

Simplificamos y operamos

61894

18964

x x

x x

5

24

245

245

x

x

x

5) A) MÉTODO DE REDUCCIÓN:

Multiplicamos a la ecuación (1) por 2

2..............321.............1026

y x y x

1

77

x

x

El valor de 1 x reemplazamos en la ecuación (2) y despejamos la variable

“y”

2

42

133

321

32

y

y

y

y

y x


B) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Para resolver por este método se siguen los pasos mencionados en el

capítulo correspondiente y llegamos al mismo resultado, es decir:Respuesta: 1 x ; 2 y

6) 211 cba

acb 42

21412

81

9



83

7) Completando cuadrados:

161

01511

2

2

x

x

161 x

41 x

41 x

Al final se obtienen los siguientes resultados

3

41

x

x;

5

41

x

x

8) Ordenando la ecuación: k xk xk 224 2

0224 2 k xk xk

Los valores de los coeficientes son. 4 k a ; 22 k b y k c

Para que las raíces de una ecuación de segundo grado sean iguales, su

discriminante debe ser cero (0)0

042 acb

044222 k k k

0164484 22 k k k k

2

1

48

k

k

9) 532 x x

8

352

x

x x

8;.. S C

10) Factorizamos el polinomio



84

034 x x

Calculando los puntos críticos: 4 x y 3 x

Después de graficar se obtiene como resultado: 4;3.. S C 11) 0412

973 x x x

Se calculan los puntos críticos de cada factor

2 x ; 1 x ; 4 x

Se aplica el método gráfico y se llega al siguiente resultado

;41;2..S C

12)

0

3

5175

x

x x

35;1.. S C

13) Resuelve: 132 x x

4;3

2..S C

14) 323 x

RS C ..



85

6. FIGUEROA G. R. 2 003. Matemática básica I, 5ta. Edición, Editorial América,

Lima - Perú

7. VENERO B. A. 2 002. Matemática básica, SE, Editorial San Marcos, Lima –

Perú

8. LAZARO C. 2 000. Matemática básica, 4ta edición, editorial Moshera, Lima – Perú.

9. ESPINOZA R. E. 2 002. Análisis matemático I, 3ra. Edición, Editorial

servicios gráficos J.J., Lima – Perú.

CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE – II

UNIDAD

ACTIVIDAD

DE

APRENDIZAJE

FECHA

HOR

A

FORMADEL AL

DIA MES A O DIA MES

A O

1

2

3

4

5



86



87

RELACIONES DE R EN R

OBJETIVO GENERAL

Graficar, calcular el dominio y rango de relaciones de R en R


Definir pares ordenados y resolver problemas sobre igualdad de pares

ordenados

Aplicar las propiedades del producto cartesiano al resolver ejercicios

Construir la gráfica de una relación, determinar su dominio y rango

Determinar el dominio, rango y graficar las relaciones: la recta, la

parábola, la circunferencia, la elipse y la hipérbola Aplicar la distancia entre dos puntos al calcular la pendiente de una

recta



88

MAPA MENTAL DE RELACIONES DE R EN R



89

RELACIONES BINARIAS

1. RELACIONES BINARIAS

PAR ORDENADOLlamamos par ordenado a un conjunto ordenado de dos elementos a y b al cual

denotamos por (a;b) , donde “a” es la primera componente y “b” la segunda

componente.

Ejemplos: (2;4) , (- 4;7)

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS

Dos pares ordenados (a;b) y (c;d) son iguales si y solo si sus primeras componentes

son iguales: a = c, así como también sus segundas componentes: b = d. es decir:

d bcad ;cb;a

Ejemplo:

Dados los pares ordenados: y x3;14; y x2 calcula los valores de “x” e “y”

Solución

Aplicando el teorema de igualdad de pares ordenados se tiene:

4 y x3

1 y x2

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene como resultado

1 y1 x

2. PRODUCTO CARTESIANO

Consideremos dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano de A y B, al

conjunto formado por todos los pares ordenados (a;b) de tal manera que la primera

componente “a” pertenece al conjunto A y la segunda componente “b” pertenece al

conjunto B.

Se denota:

Bb A AxB/aba; AxB



90

Ejemplo.

Sean 4,5 B y3 ,2 ,1 A , se tiene: 5;3 ,4;3 ,5;2 ,4 ,2 ,5 ,1 ,4;1 AxB

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO1) BxA AxB

2) φ xAφφ Ax

3) AxC AxBC B Ax

4) AxC AxBC B Ax

5) AxC AxBC B Ax

6) BxC Ax xC AxB

7) Si C , BxC AxC B A

8) Si CxD AxB DCyB A

NOTA.- Si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente,

entonces el producto cartesiano A x B tiene m x n elementos.

3. RELACIÓN BINARIA

Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama una relación

de A en B si R es un subconjunto cualquiera de A x B.

R es una relación de A en B R A x B.

Una relación de A en B es también llamada una RELACIÓN BINARIA.

DEFINICIÓN.- Se dice que un conjunto R es una relación en A si R A x A.

Ejemplo:

Si R es una relación en 9 ,3 ,2 A tal que 2 x1 y / AxA y; x R

Entonces 9;9 ,3;9 ,2;9 ,3;3 ,2;3 ,3;2 ,2;2 R

4. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

Sea R una relación de A en B; es decir R A x B. Se llama dominio de la relación R

al conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de R. Y se llama

rango de la relación R al conjunto de todas las segundas componentes de los pares

ordenados de R.



91

B R y; x / y R Rang

A R y; x / x R Dom

Al conjunto A se le llama conjunto de partida de la relación R y al conjunto B se le

llama conjunto de llegada.

Ejemplo:

Sea 3;5 ,2;4 ,1;4 ,2;3 ,1;3 ,3;2 ,1 ,2 ,1;1 R , se tiene 5 ,4 ,3 ,2 ,1 R Dom y

3,2,1 R Rang .

y

A BR

Dom(R)Rang(R)



92

Nro. 01

1) Dados 206 x12 / Z x A y 400 x10 / Z x B2 . ¿Cuántos

elementos tiene A x B?

2) Dadas las relaciones en Z, 3 y2 x / y; x R 2

1 y y x y x / y; x R2 .

Calcula 21 R R .

3) Dado el universo 4 ,3 ,2 ,1U , y las relaciones y x / y; x R1 ,

3 y / y; x R2 y y x / y; x R3 . Calcula 213 R R R

4) Dados los conjuntos, 5 x y par es x / N x B y 6 x ,impar es x / N xC .

Calcula y x BxC y x R /;1 , además determina su dominio y rango

5) Si 6/ x Z x A y 6/ x Z x B . Calcula 9/;2 y x AxB y x R ,

además determina su dominio y rango.



93

5. GRÁFICA DE UNA RELACIÓN

Ejemplo:

Bosqueja la gráfica de la relación: 0 y4 x yx / R y; xS 22

Solución

Para graficar vamos a seguir 6 pasos:

1) DETERMINACIÓN DE LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES

COORDENADOS

Intersección con el eje “x”

Se resuelve la ecuación 00; x f

Reemplazamos “y” por 0 y despejamos “x”

004 x x0 2

00 x0

0 x

Significa que la curva interseca al eje “x” en el punto 0;0



94

Intersección el eje “y”.

Se resuelve la ecuación 0 y;0 f

Reemplazamos “x” por 0 y despejamos “y”.

0 y400 y2

0 y400

0 y

Significa que la curva interseca al eje “y” en el punto 0;0

0 0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y



95

2) DETERMINACIÓN DE LA SIMETRÍA DE LA CURVA CON RESPECTO A LOS

EJES Y AL ORIGEN

Simetría con respecto al eje “x” debe cumplir:

y; x f y; x f

y4 x yx y4 x x y22

y4 x yx y4 x yx22

No existe simetría con respecto al eje “x” porque: y; x f y; x f

Simetría con respecto al eje “y” debe cumplir:

y; x f y; x f

y4 x yx y4 x x y 22

y4 x yx y4 x yx 22

No existe simetría con respecto al eje “y” porque y; x f y; x f :

(0;0)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-

-

-

X

Y



96

Simetría con respecto al origen, debe cumplir:

y; x f y; x f

y4 x yx y4 x x y 22

y4 x yx y4 x yx 22

No existe simetría con respecto al origen porque: y; x f y; x f

3) DETERMINACIÓN DE LA EXTENSIÓN DE LA CURVA

Cálculo del dominio:

Se despeja la variable “y” y se evalúa que valores reales debe tomar “x” de tal

manera que “y” también sea real.

4 x

x y

2

El denominador debe ser diferente de cero, por tanto

2 x

04 x 2

Entonces 2 ,2 R f Dom

Cálculo del rango:

Se despeja la variable “x” y se evalúa, que valores reales puede tomar “y” de tal

manera que “x” también sea real.

y2

y16 11 x

2

El denominador debe ser diferente de cero, por tanto:

0 y

0 y2

Entonces 0 R f Rang



97

4) DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS

Asíntotas verticales:

Se obtienen del denominador cuando “y” está despejado.

4 x x y 2

2 x

04 x 2

Las asíntotas son: x = 2 y x = - 2

Asíntotas horizontales

Se obtienen del denominador cuando “x” está despejado:

y

y x

2

1611 2 ; 02 y ; 0 y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y

Y=0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

YX = - 2 X = 2



98

5) TABULACIÓN

Se calcula un número suficiente de puntos para obtener una gráfica con mayor

aproximación:

4 x

x y

2

x < -2 -2 < x < 2 x > 2

X - 4 - 3 - 2,5 - 1,5 - 1 0 1 1,5 2,5 3 4

Y - 0,3 - 0,6 - 1,1 0,8 0,3 0 - 0,3 - 0,8 1,1 0,6 0,3

6) MAPEO Y TRAZO DE LA CURVA

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

X = - 2 X = 2

Y=0

Y



99

Nro. 02

Bosqueja la gráfica de las siguientes relaciones

1) 0 y4 x yx / R y; xS 22

2) 0 x y4 yx / R y; x R222

3) 01 y3 x y / R y; x R

222

4) 0 y4 x4 y x / R y; xT

22222

5) 05 y3 xy / R y; x M 2



100

6. RELACIONES ESPECIALES

A) LA RECTA

Se define: bax y R y x R /;2

, donde R R Dom y R R Rang

Ejemplo:

Bosqueja la gráfica, calcula el dominio y el rango de la función:

12/; 2 x y R y x R

Solución

Para graficar una recta es suficiente contar con dos puntos, tabulando se tiene:

B) LA PARÁBOLA

Ecuaciones de la parábola:

Forma canónica: 2 x y ; 0;0k ;hV

Forma ordinaria: k h xa y2 ; k ;hV

si 0a la parábola se abre hacia arriba

si 0a , la parábola se abre hacia abajo.

Forma general: 0a;cbxax y 2 , para graficar es necesario completar

cuadrados para llevar a la forma ordinaria.

Ejemplo

x 0 1

y -1 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y



101

Construye la gráfica y determina el dominio y rango de: 2 x y

Solución

Tabulando:x … -2 -1 0 1 2 …

y … 4 1 0 1 4 …

;0 f Rang y R f Dom

Ejemplo

Calcula el dominio rango y grafica la función: 232 x y

Su vértice 2;3V

2;RangoyR Dominio

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y



102

C) LA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos y; x P del plano, que

equidistan de un punto fijo k ;hC llamado centro. Al valor de dicha distancia

constante se le llama radio de la circunferencia y se denota por “r”.

22k yh xr

Ecuaciones de la circunferencia:

Forma canónica: 222 r y x ; 0;0C k ;hC ; r = radio

Forma ordinaria: 222r k yh x ; k ;hC ; r = radio

Forma general: 0 F Ey Dx y x22

En general r h;r h R Dom y r k ;r k R Rang

Ejemplo

Construye su gráfica, determina dominio y rango de222

3 y x

Solución

x

y

h

k C(h;k)

P(x;y)

r

X

Y

-3

-3 3

3



103

3;3 R Rang y3;3 R Dom

Ejemplo

Construye su gráfica, determina dominio y rango de 222 223 y x

Solución

Su centro es 2;3C

6 ;1 R Dom y 0;4 R Rang D) LA ELIPSE

Ecuaciones de la elipse

Forma canónica: 12

2

2

2

b

y

a

x; 0;0C k ;hC ;

a = semieje mayor o menor

b = semieje mayor o menor

Forma ordinaria: 12

2

2

2

b

k ya

h x ; k ;hC ;



Forma general: 022 F Ey Dx By Ax donde B A

Ejemplo:Calcula el dominio, rango y bosqueja la gráfica de 3694/;

222

1 y x R y x R

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y



104

Solución

Se transforma hasta llevar a la forma ordinaria de la elipse

123 2

2

2

2

y x donde a = 3 y b = 2

Graficando:

Dominio: 3;3

Rango: 2;2

E) LA HIPÉRBOLA

Ecuaciones de la hipérbola

Forma canónica: 12

2

2

2

b

y

a

x; 0;0C k ;hC ;



Forma ordinaria:

12

2

2

2

b

k y

a

h x; k ;hC ;



Forma general: 022 F Ey Dx By Ax donde

Ejemplo

Construye su gráfica, determina dominio y rango de:

11

1

2

2/;

2

2

2

2

2 y x R y x R

Y

X

-2

-3 3

2



105

Solución

121;2 baC

;40; R Dom

R R Rang

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y



106

Nro. 03

Bosqueja su gráfica, determina su dominio y rango de cada una de las siguientes

relaciones:

1) 4 y3 x2 / R y; x R2

2) 02 y5 x2 / R y; x R2

3) 01 y x4 / R y; x R 22

4) 05 y3 x3 / R y; x R 22

5) 04 y4 x2 x / R y; x R222

6) 92 y3 x / R y; x R222

7) 432/;222 y x R y x R

8) 432/;

222

y x R y x R

9)

12

3

1

2/;

2

2

2

2

2 y x R y x R

10)

13

2

2

1/;

2

2

2

2

2 y x R y x R



107

7. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos 11 y; x P y

22 y; xQ y que denotamos por Q; P d d ,satisface la siguiente relación pitagórica:

2

12

2

12 y y x xQ; P d d

Ejemplo

Calcula la distancia de 4;3 P a 8;6 Q

224836 Q; P d

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.- las coordenadas del punto medio M, dados

los puntos 11 y; x P y 22 y; xQ , está dada por el teorema:



108

2;

2

2121 y y x x M

Ejemplo:

Dados los puntos 4;1 A y 2;3 B ,. Calcula las coordenadas del punto medio del

segmento AB

Solución

2

24;

2

31 M 1,1 M

8. PENDIENTE DE UNA RECTA

9.

Se llama pendiente de la recta L, al valor de la tangente de su ángulo de inclinación α

y se denota con la letra m:12

12

x x

y yα g tanm



109

En cualquier ecuación de la recta, si despejamos la variable “y” se obtiene: bmx y

, en este caso el coeficiente de “x”, es decir “m” es la pendiente.

Ejemplo

Dados los puntos 2;1 M y 4;3 N . Calcula la pendiente de la recta que pasa por estos

puntos

Solución

Aplicando el teorema de pendiente de una recta dado dos puntos

2

1

4

2

13

24

m



110

Nro. 04

1) Calcula la distancia de A a B si A = (-4;7) y B = ( 2;5)

2) Halla las pendientes de las rectas que pasan por los puntos:

a) (-2;3) y (6;1) b) (0;-1) y (4;-2)

3) Una recta L con pendiente negativa pasa por (-1;1) y dista 5 unidades del punto

A = (4;1). Calcula la pendiente y la ecuación de L.

4) Una recta que pasa por el origen corta a las rectas x – y = 3 , Y = 2x +4 en los

puntos A y B respectivamente. Si el origen es punto medio del segmento AB ,

calcula las coordenadas del punto A.

5) Halla la ecuación de la recta que es mediatriz del segmento que une a los puntos

A(7;4) y B(-1;-2)



111

Nro. 03

1) Dados los conjuntos 12/ x Z x A y 2/ x N x B . Calcula AxB

2) Dados los conjuntos 5/ x Z x M y 41/ x N x N . Calcula

2/;1 y x MxN y x R

3) Bosqueja la gráfica de 02 y2 x2 xy / R y; x N 2

4) Bosqueja la gráfica, calcula el dominio y el rango de: 23/; 2 x y R y x R

5) Bosqueja la gráfica, calcula el dominio y el rango de: 34/; 22 x x y R y x R

6) Bosqueja la gráfica, calcula el dominio y el rango de:

0464/;222 y y x x R y x R


13

1

2

2/;

2

2

2

2

2 y x R y x R


13

1

2/;

2

2

2

22 y x

R y x R

9) Dados los puntos 3;1 A y 4;2 B . Calcula la distancia entre ellos

10) Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos 2;1 M y 5;3 N



112


1) Determinando por extensión los dos conjuntos se tiene: 1,0,1 A y 1,0 B .

Luego 1;1,0;1,1;0,0:0,1;1,0;1 AxB

2) Expresando los conjuntos por extensión 4,3,2,1 M y 4,3,2 N

2;21 R ; 21 R Dom y 2¨1 R Rang

3) La gráfica de 02 y2 x2 xy / R y; x N 2

4) Gráfica de 23/; 2 x y R y x R

x 1 2

y 1 4

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

5

4 3

2 1

- 1

- 2 - 3

- 4 - 5

X

Y

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

5

4 3

2 1

- 1

- 2 - 3

- 4 - 5

X

Y



113

5) 34/; 22 x x y R y x R

Completando cuadrados se tiene la ecuación de la circunferencia en su forma

ordinaria

12 2 x y 1;2 V

R R Dom y ;1 R Rang

6) 0464/;222 y y x x R y x R

Completando cuadrados y llevando a la forma ordinaria de la ecuación de la

circunferencia se tiene

222332 y x

1;5 R Dom y 6;0 R Rang

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y



114

7)

1

3

1

2

2/;

2

2

2

2

2 y x R y x R

1;2 C , valores de los semiejes: 2a y 3b

4;0 R Dom y 2;4 R Rang

8)

13

1

2/;

2

2

2

22 y x

R y x R

1;0 C ; 2a ; 3b

;22; R Dom R R Rang

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y



115

9) Aplicando el teorema de distancia entre dos puntos

22

3412 ABd

2

11 22

ABd

ABd

10) Aplicando el teorema de pendiente de una recta dado dos puntos

2

3

13

35

m



116

1. FIGUEROA G. R. 2 003. Matemática básica I, 5ta. Edición, Editorial América, Lima

- Perú

2. VENERO B. A. 2 002. Matemática básica, SE, Editorial San Marcos, Lima – Perú

3. LAZARO C. 2 000. Matemática básica, 4ta edición, editorial Moshera, Lima –

Perú.

4. ESPINOZA R. E. 2 002. Análisis matemático I, 3ra. Edición, Editorial servicios

gráficos J.J., Lima – Perú.

5. LÁZARO M . C. 2 000. Relaciones y funciones de R en R, 4ta. Edición, editorial

Moshera, Lima – Perú.

CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE – III UNIDAD

ACTIVIDAD

DE

APRENDIZAJ

E

FECHA

HOR

A

FORMADEL AL

DIA MES AÑO DIA ME

S

AÑO

1

2

3

4



117

FUNCIONES DE R EN R

OBJETIVO GENERAL

Graficar, calcular el dominio y rango de relaciones y funciones de R en R


Definir una función y calcular el dominio de las funciones: función polinómica,

función raíz de índice par, función raíz de índice impar, función racional,

función logarítmica y función exponencial

Calcular el rango de una función con y sin dominio restringido

Graficar funciones

Graficar y calcular el dominio y rango de las funciones: constante, identidad,

lineal, raíz cuadrada, valor absoluto, cuadrática y polinomial



118

MAPA CONCEPTUAL DE FUNCIONES DE R EN R



119

FUNCIONES

1. FUNCIONES

Uno de los más importantes conceptos de la matemática se refiere a un tipo especial

de relaciones entre los elementos de dos conjuntos A y B, llamadas funciones de A enB.

Una función expresa la idea de una cantidad que depende de otra. Por ejemplo el

área de un círculo depende de la medida de su radio, si se conoce la medida de la

longitud del radio, su área está completamente determinada. Luego decimos que el

área de un círculo es una función de la longi tud de su radio.

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FUNCIÓN

Suponga usted que viaja en un automóvil cuya velocidad promedio es de 40

kilómetros por hora. Entonces, la distancia recorrida se determina por medio del

tiempo que se ha viajado.

distancia = velocidad x tiempo

Simbólicamente, esta relación se puede expresar con la ecuación d = 40t

Donde d es la distancia recorrida en el tiempo t (medido en horas). Para t = 2 horas,

la distancia recorrida es:

D = 40(2) = 80 kilómetros

De manera semejante, para cada valor específico de t 0 la ecuación produce

exactamente un valor para d. Esta correspondencia entre la distancia d y el tiempo t

constituye un ejemplo de una relación que llamaremos func ión. Específicamente,

decimos que la ecuación d = 40t define a d en función de t.

Y decimos que d = 40t define a d en función de t porque a cada elemento de t le

corresponde exactamente un valor de d. Primero, escogemos un valor para t Luego,

hay un valor correspondiente de d, que depende de t; d es la variable dependiente y t

es la variable independiente de la función definida por medio de d = 40t.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, un conjunto de partida y un

conjunto de llegada, tal que a cada valor del dominio le corresponde exactamente un

valor del rango.Una función de A en B es una relación AxB f que hace corresponder a cada



120

elemento del conjunto A a lo más un elemento y del conjunto B, se denota por

B x f y . Al conjunto A se le llama conjunto de partida y al conjunto B conjunto de

llegada.

2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Se llama dominio de una función f al conjunto de todos sus antecedentes (primeras

componentes), y se denota por:

A x f y / B y / A x

A f y; x / B y / A x f dom

Se llama rango o recorrido de la función f al conjunto de las imágenes de todos los

elementos de A, vía f; y se denota Ran(f) ó R f .

3. CÁLCULO DEL DOMINIO DE FUNCIONES USUALES

a) FUNCIONES POLINÓMICAS

Si: 01

2n

2n

1n

1n

n

n aa... xa xa xa x P

; 0an

Es un polinomio de grado “n” con coeficientes racionales.

Dom R x P , es decir, el dominio de cualquier función polinómica es el

conjunto de números reales

Ejemplo:

Calcula el dominio de 2 x x x f 2

Solución

R f Dom

a.

b.

x.

d.

e.

A

.p

.q

.y

.r

.s

B f



121

b) FUNCIONES CON RAÍCES DE ÍNDICE PAR

Si: 0 xu / R x f Dom Z n; xu x f n2

Ejemplo: Calcula el dominio de x21 x f

Solución

x21 xu como 0 xu entonces 0 x21

resolviendo se tiene2

1 x

2

1; f Dom

c) FUNCIONES CON RAÍCES DE ÍNDICE IMPAR

Si: xu Dom f Dom Z n; xu x f 1n2

Ejemplo: Calcula el dominio de 3 2 5 x x f

Solución

Como el dominio de x f es igual al dominio de xu y 5 x xu 2 este es un

polinomio, entonces su dominio es R.

d) FUNCIONES RACIONALES

Si: polinomios son xQ y x P ; xQ

x P x f

Entonces:

0 xQ / R x ó

0 xQ / R x R f Dom

Ejemplo: Calcula el dominio de la función 9 x

2 x x f

2

Solución



122

En el numerador, “x” puede tomar cualquier valor real, pero, en el denominador

“x” no puede tomar los valores de -3 y 3.

C.S. 3 ,3 R f Dom

Los diversos casos mencionados no siempre se presentan independientemente,es posible que en algunos ejercicios se presenten combinaciones de estos.

Ejemplo: Determina el dominio de 2

x9

3 x x f

Solución

0 x9 2 , factorizando se tiene 03 x3 x , calculamos los puntos críticos x

= - 3 y x = 3. Luego, obtenemos como resultado 3;3 f Dom



123

Nro. 01

Determina el dominio de:

1) 5 x4 x3 x f 2

2) 8 x x f

3) 6 x x x f 2

4) 5 x x4 x x f 23

5) 3 2 2 x x7 x f

6) 1 x

x x f

2

2

7) 6 x

x3 x f

8) 5 x

2 x x f

9) 2 x

1 x

x f

2

10) 5 2 4 x x f



124

4. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA FUNCIÓN

Al determinar el rango de una función se presentan dos casos:

CASO 1: (SIN RESTRICCIÓN)Cuando la función está definida en todo su dominio, entonces es suficiente despejar la

variable “x” en términos de “y”= f(x), para luego analizar ¿Qué valores reales toma “y”

de tal manera que “x” también sea real?. Como si se tratará del cálculo del dominio,

pero esta vez, se trabaja con “y”.

Ejemplo: Dada la función 4 x

x2 x f

2 , donde 2 ,2 R f Dom . Calcula el rango

de f .

Solución

Paso 1.- Se despeja la variable “x”.

4 x

x2 y

2

0 x2 y4 y x2

0 y4 x2 y x2

Para despejar la variable “x” aplicamos la fórmula general:

y2

y4 y422 x

2

y

y411 x

2

Paso 2.- Analizamos: , R y R x donde 0 y Luego: 0 R f Rang

Ejemplo:

Calcula el rango de 4 x

x x f

2

2

; 2 ,2 R f Dom

Solución

Despejando “x”: 22 x y4 yx



125

0 y4 x yx 22

y41 y x2

1 y

y4 x2

1 y

y4 x

Evaluando los valores reales que debe tomar “y” para que “x” también sea real:

01 y

y4

.

Efectuando se obtiene: ;10; f Rang

CASO 2: (CON RESTRICCIÓN)

Cuando el dominio de la función se encuentra restringido. En este caso se pueden

utilizar diversos métodos de resolución.

Ejemplo:

Sea la función R2;1: f , definida por 1 x3 x f . Determina el rango de f .

Solución:

Método 1

Sabemos que 2;1 x ; 1 x3 y

Luego: 2 x1

6 x33 (se multiplicó por 3)

51 x34 (se resto a cada miembro 1)

Luego: 5 y4 ( 1 x3 y )

Como “y” representa al rango, entonces:

5;4 f Rang



126

Método 2

Despejamos “x” en 1 x3 y

31 y x como 2;1 x

23

1 y1

(el objetivo es despejar “y”)

6 1 y3 (se multiplicó por 3 a cada miembro)

5 y4 (se restó a cada miembro 1)

Luego, como “y” representa al rango se tiene:

5;4 f Rang

Ejemplo: Sea la función R8;2: f , definida por x x4

1 x f

2 . Calcula el rango

de f .

SoluciónCompletando cuadrados se tiene:

12 x4

1 y

2

Método 1

Sabemos que 8;2 x

8 x2

6 2 x4 (se restó a cada miembro 2)

Como uno de los extremos es negativo y el otro es positivo no es posible elevar al

cuadrado ambos miembros directamente. Pero, si es posible si aplicamos la siguiente

propiedad:b x00 xab xa

: R x 0b0a:Si



127

Luego:

02 x4 6 2 x0

02 x4 6 2 x0

222 02 x4 222 6 2 x0

02 x16 2 36 2 x0

2

0

4

2 x4

2

94

2 x0

2

( se dividió a cada miembro entre 4)

11

4

2 x3

2

814

2 x1

2

(Se resto 1 a cada miembro)

Como 12 x4

1

y

2

ó

14

2 x

y

2

1 y3 8 y1

Reuniendo los dos intervalos se tiene:

8;1 f Rang

Método 2

Se tiene 12 x4

1

y

2

, despejando x:

4 y42 x , sabemos que 8;2 x

Luego.

84 y422

6 4 y44 ( se restó 2 a cada miembro)

Aplicando la propiedad:

04 y44 6 4 y40

04 y44 6 4 y40 (se multiplicó a la primera inecuación por -1)

04 y416 36 4 y40 (se elevó al cuadrado a las inecuaciones)

4 y412 32 y44 (se restó cuatro a cada miembro de las

inecuaciones)

1 y3 8 y1 (se dividió entre 4 a las inecuaciones)

Reuniendo las dos inecuaciones e obtiene: 8;1 f Rang



128

Nro. 2

Calcula el rango de cada una de las funciones:

1) 1 x x x f 2

2) 1 x x f 2

3) 1 x21 x4 x f

2

1;2:12 xSi x x f

4) 4;1:4252 xSi x x x f



129

5. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Para graficar una función se realizan los siguientes pasos:

(Es exactamente igual a la gráfica de una relación)

a) Cálculo del dominio y rango de la función

b) Determinación de las asíntotas, verticales y horizontales.

c) Tabulación, asignar valores a “x” para obtener otros valores en “y”.

d) Mapeo, es ubicar los puntos en el plano cartesiano.

e) Trazo de la curva, unir los puntos mediante curvas.

Ejemplo:

Bosqueja la gráfica de la función:1 x

x y

Solución:

a) Cálcu lo del domin io y rango de la fun ción

Como1 x

x y

, evaluamos que valores reales debe tomar x de tal manera que

y también sea real. Luego: 1 R Dom

Despejamos la variable y

1 y

y x

y1 y x

y x xy

x y xy

Evaluamos que valores reales puede tomar y de tal manera que x también sea

real. Luego: 1 R Rang

b) Determ in ación de las asínto tas

Asíntota vertical, se obtiene de1 x

x y

; 1 x



130

Asíntota horizontal, se obtiene de1 y

y x

; 1 y

c) Tabulación El dominio 1 R Dom nos sirve para tabular.

1; ;1

x … -4 -3 -2 0 1 2 …

y …

3

4

2

3

2 0

2

1

3

2

…

d) y e) Mapeo y trazo de la cu rva.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y



131

Nro. 3

Construye la gráfica de las siguientes funciones:

1) 4 x

2 x x f

2

2) 3 x

x x f

3) x

2 x x f

2

4)

1 x si; x

1 x si; x x f

3

2

5) 1

2

x

x x f

6. FUNCIONES ESPECIALES:

a) FUNCIÓN CONSTANTE

A la función f le llamamos función constante, si su regla de correspondencia es:

c x f , donde c es una constante. Su dominio es R f Dom , su rango es

c f Rang

X

Y

0

c c x f



132

b) FUNCIÓN IDENTIDAD

A la función f le llamaremos función identidad, si su regla de correspondencia es: x x f ó x y . Su dominio es R f Dom , su rango es R f Rang .

c) FUNCIÓN LINEAL

A la función f le llamaremos función lineal, si su regla de correspondencia es:

bax x f . Donde a y b son constantes y 0a . También se expresa de la

forma bax y , donde su dominio es R f Dom y su rango es R f Rang .

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

A la función f, le llamaremos función raíz cuadrada, si su regla de correspondencia

es: x x f ó x y . Donde su dominio es R f Dom , su rango es

;0 f Rang

X

Y

0

x x f

X

Y

0

bax x f



133

d) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

A la función f le llamaremos función valor absoluto, si su regla de correspondencia

es:

0 x; x

0 x; x x:donde , x x f

Donde R f Dom y ;0 f Rang

e) FUNCIÓN CUADRÁTICA

A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es:

R x;cbxax x f 2

X

Y

0

x x f

1 4

1

2

X

Y

0

x x f



134

k h xa x f 2

abajohaciaabre se parábolalaaSi

arribahaciaabre se parábolalaa si

k hV

0:

0:

,

f) FUNCIÓN POLINOMIAL

Qa; N n; R x;a xa... xa xa x P 01

1n

1n

n

n

Su gráfica es una curva continua

Ejemplo: Bosqueja la grafica de 433 x x x f

Solución:

Tabulando y graficando se tiene:

x - 2 - 1 0 1 2

y 2 6 4 2 6

X

Y

0

k

h

V(h;k)

(0;0)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y

X

Y



135

Nro. 04

Construye su gráfica y determina dominio y rango de las siguientes funciones:

1) 3 x f

2) 4;1 x si 2 x5 x f

3) 12 x x f 4) 2;0 x si 1-2x x f

5) 2 x x f

6) 23 x x f

7) 12 x x f

8) 122

x x f

9) 342 x x x f

10) 222 x x x f



136

Nº 04

1) Calcula el dominio de 5373245 x x x x f

2) Calcula el dominio de 4 2 1 x x f

3) Calcula el dominio de 5

2

x

x x f

4) Calcula el dominio de 5

92

x

x x f

5) Calcula el rango de 0132 x y xy

6) Calcula el rango de 32 x x f si 5;3 x

7) Construye la gráfica de la función 3

x

x x f

8) Bosqueja la gráfica de 3 x f

9) Bosqueja la gráfica de 12 x x f

10) Construye la gráfica de 2 x x f


1) R f Dom

2) 12 x

Factorizando 11 x x

Calculando los puntos críticos 1 x ; 1 x

Aplicando el método gráfico en la resolución de

inecuación se tiene ;11; f Dom

3) 2 R x Dom



137

4) 5 R x Dom

5) Despejando la variable “x” se tiene3

12

y

y x

3 R f Rang

6) 7;9 x Rang

7) La gráfica de 3

x

x x f es

8) La gráfica de 3 x f es

9) La gráfica de 12 x x f es

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y



138

10) La gráfica de 2 x x f

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

X

Y



1. FIGUEROA G. R. 2 003. Matemática básica I, 5ta. Edición, Editorial América, Lima

- Perú

2. VENERO B. A. 2 002. Matemática básica, SE, Editorial San Marcos, Lima – Perú

3. LAZARO C. 2 000. Matemática básica, 4ta edición, editorial Moshera, Lima –

Perú.

4. ESPINOZA R. E. 2 002. Análisis matemático I, 3ra. Edición, Editorial servicios

gráficos J.J., Lima – Perú.

5. LÁZARO M. C. 2 000. Relaciones y funciones de R en R, 4ta. Edición, editorial

Moshera, Lima – Perú.

CRONOGRAMA DE ENTREGA DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE – IV UNIDAD

pensamiento logico matematico.pdf

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