factorización scherzer

Factorización Scherzer

Prohibida su copia o reproducción sin permiso del autor el fisicomatemático

Raúl Scherzer Alcalde 582 Guadalajara, Jalisco, México

33 36 14 68 15

La factorización o escríbelo como una multiplicación

Factor común,

factorización por agrupación y

por fórmula.

Las ocho factorizaciones básicas.

Se inventaron como un procedimiento para convertir las sumas y restas de polinomios

en productos o multiplicaciones.

Las ocho factorizaciones.

Factor común.

Por fórmula

Por agrupación.

Diferencia de cuadrados x2 − y2 = (x + y)(x − y)

Diferencia de cubos x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2)

Suma de cubos x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)

Trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio de la forma x2 + bx + c.

Trinomio de la forma ax2 + bx + c.

FACTOR COMÚN

Factorización por término o factor común.

Las reglas para encontrar el factor común son:

1) Se toma del polinomio la literal o letra que se repita en

todos los términos pero que sea la de menor

exponente.

2) Se toma, si existe, el divisor mayor diferente de 1 que

divida a todos los coeficientes o números del polinomio.

3) Con los elementos tomados en el paso 1 y 2 formamos

el que llamaremos el término o factor común, luego

dividiremos al polinomio entre el factor común y el

resultado de la división será el otro factor.

Factorización por término o factor común.

1) a2 + ab =

2) b + b2 =

3) x2 + x =

4) 3a3 − a2 =

5) x3 − 4x4 =

6) 5m2 + 15m3 =

7) ab − bc =

8) x2y + x2z =

9) 2a2x + 6ax2 =

10)9a3x2 − 18ax3 =

a (a + b) b (1 + b) x

a2 (3a − 1)

x3 (1 − 4x)

5m2 (1 + 3m)

b (a − c)

x2 (y + z)

2ax (a + 3x) 9ax2 (a2 − 2x)

(x + 1)

Factorización por término o factor común.

1) 15c3d2 + 60c2d3 =

2) 35m2n3 − 70m3 =

3) abc − abc2 =

4) 24a2xy2 − 36x2y4 =

5) 14x2y2 − 28x3 + 56x4 =

6) 55m2n3x+110m2n3x2−220m2y3=

7) x − x2 + x3 − x4 =

8) 12m2n+24m3n2−36m4n3+48m5n4 =

9) 16x3y2−8x2y−24x4y2−40x2y3=

10)3a2b+6ab−5a3b2+8a2bx =

15c2d2 (c + 4d) 35m2 (n3 − 2m)

abc

12xy2 (2a2 − 3xy2)

14x2 (y2 − 2x + 4x2)

55m2 (n3x+2n3x2−4y3)

x (1 − x + x2 − x3)

12m2n (1 + 2mn − 3m2n2 + 4m3n3)

8x2y (2xy−1−3x2y−5y2)

ab (3a + 6 − 5a2b + 8ax)

(1 − c)

Ejemplos donde el factor común es un polinomio.

a(x+1) + b(x+1) = (x+1) (a+b)

x(a+1) − 3(a+1) = (a+1) (x−3)

2(x−1) + y(x−1) = (x−1) (2+y)

m(a−b) + (a−b)n = (a−b) (m+n)

2x(n−1) − 3y(n−1) = (n−1) (2x−3y)

a(n+2) + n+2 = (n+2) (a+1) a(n+2) + 1(n+2) =

a2+1 − b(a2+1) = (a2+1) (1−b) 1(a2+1) − b(a2+1) =

Ejemplos donde el factor común es un polinomio.

1−x + 2a(1−x) = 1(1−x) + 2a(1−x) = (1−x) (1+2a)

−m−n+x(m+n) = −1(m+n)+x(m+n) = (m+n) (x−1)

a3(a−b+1)−b2(a−b+1) = (a−b+1)

4m(a2+x−1)+3n(x−1+a2) = (a2+x−1)

(a3−b2)

(4m+3n)

x(2a+b+c)−2a−b−c = (2a+b+c) (x−1)

(x+y)(n+1)−3(n+1) = (n+1) (x+y−3)

(x+1)(x−2)+3y(x−2) = (x−2) (x+1+3y)

(a+3)(a+1)−4(a+1) = (a+1) (a+3−4) = (a+1) (a−1)

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

Factorización por agrupación.

Factorizar

a2 + ab + ax + bx

a(a + b) + x(a + b) = (a + b)(a + x)

Factorizar

am − bm + an − bn

m(a − b) + n(a − b) = (a − b)(m + n)

Factorizar

ax − 2bx − 2ay + 4by

x(a − 2b) − 2y(a − 2b) = (a − 2b)(x − 2y)

Factorización por agrupación.

Factorizar

3m − 2n − 2nx4 + 3mx4

3m + 3mx4 − 2n − 2nx4 = 3m(1 + x4) − 2n(1 + x4) =

= (1 + x4)(3m − 2n)

Factorizar

4a3 − 1 − a2 + 4a

4a + 4a3 − 1 − a2 = 4a(1 + a2) − (1 + a2) =

= (1 + a2)(4a − 1)

Factorización por agrupación.

Factorizar

x + x2 − xy2 − y2

x2 + x − xy2 − y2 = x(x + 1) − y2(x + 1) =

= (x + 1)(x − y2)

Factorizar

a2x2 − 3bx2 + a2y2 − 3by2

a2x2 + a2y2 − 3bx2 − 3by2 = a2(x2 + y2) − 3b(x2 + y2) =

= (x2 + y2)(a2 − 3b)

Factorización por agrupación.

Factorizar

2a2x − 5a2y + 15by − 6bx

2a2x − 6bx − 5a2y + 15by = 2x(a2 − 3b) − 5y(a2 − 3b) =

= (a2 − 3b)(2x − 5y)

Factorizar

6m − 9n + 21nx − 14mx

6m − 9n − 14mx + 21nx = 3(2m − 3n) − 7x(2m − 3n) =

= (2m − 3n)(3 − 7x)

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Diferencia de cuadrados.

Factorizar.

x2 − y2 = (x + y)(x − y)

36x4 − 49x10 = (6x2 + 7x5)(6x2 − 7x5)

16a2 − 25b6 = (4a + 5b3)(4a − 5b3)

1 − 4m2 = (1 + 2m)(1 − 2m)

a2b8 − c2 = (ab4 + c)(ab4 − c)

4a2 − 9 = (2a + 3)(2a − 3)

100 − x2y6 = (10 + xy3)(10 − xy3)

25x2y4 − 121 = (5xy2 + 11)(5xy2 − 11)

Diferencia de cuadrados.

25 − 36x4 = (5 + 6x2)(5 − 6x2)

100m2n4 − 169y6 = (10mn2 + 13y3)(10mn2 − 13y3)

196x2y4 − 225z12 = (14xy2 + 15z6)(14xy2 − 15z6)

256a12 − 289b4m10 = (16a6 + 17b2m5)(16a6 − 17b2m5)

1 − 9a2b4c6d8 = (1 + 3ab2c3d4)(1 − 3ab2c3d4)

1

16 −

4x2

49 = (

1

4 +

2x

7 ) (

1

4 −

2x

7 )

a2

36 −

x6

25 = (

a

6 +

x3

5 ) (

a

6 −

x3

5 )

Diferencia de cuadrados.

Caso especial.

(a + b)2 − c2 = [(a + b) + c][(a + b) − c] =

= (a + b + c)(a + b − c)

a6 − (a + 1)2 = [a3 + (a + 1)][a3 − (a + 1)] =

= (a3 + a + 1)(a3 − a − 1)

(x + y)2 − a2 = [(x + y) + a][(x + y) − a] =

= (x + y + a)(x + y − a)

4 − (a + 1)2 = [2 + (a + 1)][2 − (a + 1)] =

= (2 + a + 1)(2 − a − 1)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA DIFERENCIA DE CUBOS.

Diferencia de cubos.

Factorizar.

x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2)

a3 − 8 = (a − 2)(a2 + 2a + 4)

27a3 − b6 = (3a − b2)(9a2 + 3ab2 + b4)

64a3 − 729 = (4a − 9)(16a2 + 36a + 81)

x3y6 − 216y9 = (xy2 − 6y3)(x2y4 + 6xy5 + 36y6)

a3b3x3 − 1 = (abx − 1)(a2b2x2 + abx + 1)

8a3 − 27b6 = (2a − 3b2)(4a2 + 6ab2 + 9b4)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA SUMA DE CUBOS.

Suma de cubos.

Factorizar.

x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)

a3 + 8 = (a + 2)(a2 − 2a + 4)

27a3 + b6 = (3a + b2)(9a2 − 3ab2 + b4)

64a3 + 729 = (4a + 9)(16a2 − 36a + 81)

x3y6 + 216y9 = (xy2 + 6y3)(x2y4 − 6xy5 + 36y6)

a3b3x3 + 1 = (abx + 1)(a2b2x2 − abx + 1)

8a3 + 27b6 = (2a + 3b2)(4a2 − 6ab2 + 9b4)

Trinomio Cuadrado Perfecto

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado

perfecto.

Un trinomio ordenado en relación con una letra es

cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer

términos son cuadrados perfectos o tienen raíz

cuadrada exacta positiva y el segundo término es

el doble producto de sus raíces cuadradas.

Por ejemplo: el trinomio a2 − 10a + 25 sus raíces

son a y 5, su doble producto es 2(a)(5) = 10a que

es el segundo término, luego es trinomio cuadrado

perfecto.

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado

perfecto.

Por ejemplo: el trinomio 49m6 − 70am3n2 + 25a2n4

sus raíces son 7m3 y 5an2, su doble producto es

2(7m3)(5a2n4) = 70am3n2 que es el segundo

término, luego es trinomio cuadrado perfecto.

Por ejemplo: el trinomio 9b2 − 35a2b + 25a4 sus

raíces son 3b y 5a2, su doble producto es

2(3b)(5a2) = 30a2b que no es el segundo término,

luego no es trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

x2 ± 2xy + y2 = (x ± y)2

Estando ordenado se toma la raíz del primero el

signo del segundo y la raíz del tercero.

Factorizar

9b2 − 30a2b + 25a4 = (3b − 5a2)2

49a2 − 14a + 1 = (7a − 1)2

36 + 12m2 + m4 = (6 + m2)2

y4 + 1 + 2y2 = y4 + 2y2+ 1 = (y2 + 1)2

Trinomio Cuadrado Perfecto

Factorizar

9 − 6x + x2 = (3 − x)2

1 − 2a3 + a6 = (1 − a3)2

4x2 − 12xy + 9y2 = (2x − 3y)2

1 + 14x2y + 49x4y2 = (1 + 7x2y)2

1 + a10 − 2a5 = 1 − 2a5 + a10 = (1 − a5)2

a2/4 − ab + b2 = (a/2 − b)2

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO DE LA FORMA X2+BX+C.

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma

x2+bx+c.

Se ordena en forma descendente se saca raíz al

primer término y se coloca la misma como el

primer término en un par de paréntesis, luego se

buscan dos números que sumados o restados den

el coeficiente del segundo término, pero que

multiplicados los mismos números den el

coeficiente del tercer término con todo y signo.

Esos números son respectivamente los segundos

términos del par de paréntesis.

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma

x2+bx+c.

Factorizar

x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) Se observa que:

2 + 5 = 7 y 2 x 5 = 10

Factorizar

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Se observa que:

2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6

Factorizar

x2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) Se observa que:

−3 −4 = −7 y

(−3)x(−4) = 12

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma

x2+bx+c.

Factorizar

x2 + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5)

Se observa que:

−3 + 5 = 2 y

(−3)x(5) = −15

Factorizar

x2 − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2) Se observa que:

−7 + 2 = −5 y

(−7)x(2) = −14 Factorizar

a2 − 13a + 40 = (a − 5)(a − 8) Se observa que:

−5 −8 = −13 y

(−5)x(−8) = 40

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma

x2+bx+c.

Factorizar

m2 − 11m − 12 = (m − 12)(m + 1)

Se observa que:

−12 + 1 = −11 y

(−12)x(1) = −12

Factorizar

n2 + 28n − 29 = (n − 1)(n + 29) Se observa que:

−1 + 29 = 28 y

(−1)x(29) = −29 Factorizar

x2 + 6x − 216 = (x − 12)(x + 18) Se observa que:

−12 +18 = 6 y

(−12)x(18) = −216

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma

x2+bx+c en casos especiales.

Factorizar

x4 − 5x2 − 50 = (x2 − 10)(x2 + 5)

Se observa que:

−10 + 5 = −5 y

(−10)x(5) = − 50

Factorizar

x6 + 7x3 − 44 = (x3 − 4)(x3 + 11) Se observa que:

−4 + 11 = 7 y

(−4)x(11) = − 44 Factorizar

a2b2 − ab − 42 = (ab − 7)(ab + 6) Se observa que:

−7 + 6 = − 1 y

(−7)x(6) = − 42

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C.

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Regla para factorizar un trinomio de la forma

ax2+bx+c.

Método de las tijeras. Ordenado el polinomio se descompone el primer y tercer

términos, en cuatro términos que se colocan en las

esquinas de un rectángulo, los primeros del lado izquierdo

y los segundos del lado derecho. Luego se obtienen dos

términos de multiplicar las diagonales y con ellos se

efectúa la suma algebraica, si se obtiene el segundo

término del trinomio, la factorización se hace sumando los

dos términos superiores del rectángulo por la suma de los

dos inferiores.

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Factorizar

6x2 − 7x − 3 =

2x

3x

− 3

1

− 9x

2x

− 7x Segundo término

(2x − 3)(3x + 1)

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Factorizar

20x2 + 7x − 6 =

4x

5x

3

− 2

15x

− 8x

7x Segundo término

(4x + 3)(5x − 2)

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Factorizar

18a2 − 13a − 5 =

a

18a

− 1

5

− 18a

5a

− 13a Segundo término

(a − 1)(18a + 5)

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Factorizar

15x4 − 11x2 − 12 =

3x2

5x2

− 4

3

− 20x2

9x2

− 11 x2 Segundo término

(3x2 − 4)(5x2 + 3)

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Factorizar

12x2y2 + xy − 20 =

3xy

4xy

4

− 5

16xy

− 15xy

xy Segundo término

(3xy + 4)(4xy − 5)

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Factorizar

6x2 − 11ax − 10a2 =

2x

3x

− 5a

2a

− 15ax

4ax

− 11ax Segundo término

(2x − 5a)(3x + 2a)

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Factorizar

20 − 3x − 9x2 =

3x

− 3x

5

4 − 15x

12x

− 3x Segundo término

(5 + 3x)(4 − 3x)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA COMBINADAS.

El trinomio cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados

Factorizar

a2 − 6ay + 9y2 − 4x2 =

Primero se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.

a2 − 6ay +9y2 − 4x2 = (a − 3y)2 − 4x2

Segundo se factoriza la diferencia de cuadrados.

(a − 3y)2 − 4x2 = [(a − 3y) + 2x][(a − 3y) − 2x] =

Finalmente

a2 − 6ay +9y2 − 4x2 = (a − 3y + 2x)(a − 3y − 2x)

El trinomio cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados

Factorizar

a2 + 2ab + b2 − 1 =

Primero se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.

a2 + 2ab + b2 − 1 = (a + b)2 − 1

Segundo se factoriza la diferencia de cuadrados.

(a + b)2 − 1 = [(a + b) + 1][(a + b) − 1] =

Finalmente

a2 + 2ab + b2 − 1 = (a + b + 1)(a + b − 1)

El trinomio cuadrado perfecto por suma o resta

Factorizar

x4 + x2y2 + y4 =

No es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y

restamos x2y2.

x4 + x2y2 + y4 = x4 + x2y2 + y4 + x2y2 − x2y2 =

Finalmente se resuelve como los anteriores:

x4 + 2x2y2 + y4 − x2y2 = (x2 + y2)2 − x2y2 =

x4 + 2x2y2 + y4 − x2y2 =

[(x2 + y2) + xy ][(x2 + y2) − xy ] =

x4 + x2y2 + y4 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 − xy)

El trinomio cuadrado perfecto por suma o resta

Factorizar

4a4 + 8a2b2 + 9b4 =

No es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y

restamos 4a2b2. Se obtiene de 2(2)(3) − 8 = 4.

4a4 + 8a2b2 + 9b4 = 4a4 + 8a2b2 + 9b4 + 4a2b2 − 4a2b2 =

Finalmente se resuelve como los anteriores:

4a4 + 12a2b2 + 9b4 − 4a2b2 = (2a2 + 3b2)2 − 4a2b2 =

4a4 + 12a2b2 + 9b4 − 4a2b2 =

[(2a2 + 3b2) + 2ab][(2a2 + 3b2) − 2ab] =

4a4 + 8a2b2 + 9b4 = (2a2 + 3b2 + 2ab)(2a2 + 3b2 − 2ab)

Factorizar una suma de dos cuadrados.

Factorizar

a4 + b4 =

En general una suma de cuadrados no tiene

factorización, pero hay algunas que al sumarles y

restarles se les puede hacer factorización como en

el caso anterior:

Para formar un trinomio cuadrado perfecto le falta

4a2b2

a4 + 4a2b2 + b4 − 4a2b2 = (a2 + 2b2)2 − 4a2b2 =

Finalmente

a4 + b4 = (a2 + 2b2 + 2ab)(a2 + 2b2 − 2ab)

Factorizar una suma de dos cuadrados.

Factorizar

4m4 + 81n4 = Para formar un trinomio cuadrado perfecto le falta

2(2m2)(9n2) = 36m2n2

4m4 + 36m2n2 + 81n4 − 36m2n2 = (2m2+ 9n2)2 − 36m2n2 =

Finalmente

4m4 + 81n4 = (2m2 + 9n2 + 6mn)(2m2 + 9n2 − 6mn)