algunos casos de factorización

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Se ecplican algunos casos de factorización y se dan algunos ejercicios propuestos.

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  • 1. FACTORIZACIN DE TRINOMIOS

2. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
TCP
3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO(TCP)
TRINOMIO: expresin algebraica con tres trminos
Ejemplo: 2x2 3x + 6.
CUADRADO PERFECTO: Nmero cuya raz cuadrada es exacta
Ejemplo: 25 es cuadrado perfecto, ya que
x2es cuadrado perfecto,
4. Un trinomio es cuadrado perfecto, si tiene, de los tres trminos, dos que sean cuadrados perfectos, y el otro trmino debe ser la raz cuadrada de los que son cuadrados perfectos.Nota: los trminos que son cuadrados perfectos deben ser positivos ambos.
5. Ejemplo: Determinar si el trinomio 10x + 25 + x2, es cuadrado perfecto
Primero ordenaremos el polinomio de mayor a menor: x2 + 10x + 25 (este paso no es necesario)
x2 + 10x + 25
(2)(x)(5)= 10x
Observamos que el trinomio cumple las condiciones, por lo tanto es un TCP
6. FACTORIZACIN DE UN TCP
Factorizar x2 + 10x + 25
Se le extrae la raz cuadradaa los trminos que son cuadrados perfectos.
x2 + 10x + 25
Se forma un binomio conestosdos trminos separados por el signo del otro trmino (+): (x + 5) y se el eleva al cuadrado
Entonces x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
7. Factorizar x2 3x + 9
x2 3x + 9
Entonces: x2 3x + 9 = (x 3) 2
8. TRINOMIO DE LA FORMA
x2 + bx + c
9. Factorizar x2 + 8x + 15
PROCEDIMIENTO:
El primer trmino de cada factor ser la raz cuadrada de x2, que es igual a x:
(x)(x)
Los signos que se colocan despus de las x se determinan as:
En el primer factor se colocael signo del segundo trmino del trinomio:
(x + )(x)
En el segundo factor se coloca el signo que resulta al multiplicar los signos del segundo y tercer trmino: (+).(+) =+
(x + )(x+)
Ahora se calculan los divisores del trmino independiente, los divisores de 15: 1, 3 y 5. De estos escogemos dos nmeros que sumados (ya que resultaron signos iguales en los factores) den el coeficiente del segundo trmino(8), los nmeros son 3 y 5. Estos nmeros se colocandentro de los parntesis , colocando primero el nmero mayor:
(x +5 )(x+3)
x2 + 8x + 15= (x +5 )(x+3)
10. Factorizarx2 x 20
x2 - x + 20 = (x)(x)
x2 - x + 20 = (x )(x+)
Se calculan los divisores de 20: 1, 2, 5, 4, 10, 20
Escogemos dos nmeros que restados (ya que en los parntesis resultaron signos diferentes) den el coeficiente de x que es 1: esos nmeros son 4 y 5
x2 x + 20 = (x 5)(x+4)
11. TRINOMIO DE LA FORMA
ax2 + bx + c
12. Factorizar 6x2 + 13x + 6
1. Se multiplica cada trmino del trinomio por el coeficiente de x2 (6), pero el producto por el segundo trmino queda expresado, 13(6x), cuidando de que dentro del parntesis quede el nmero por el cual se est multiplicando, multiplicado por la variable, es decir:
6x2 + 13x + 6 = 6(6x2)+13(6x) + (6)(6)= 36x2 + 13(6x) +36.
Como el trinomio se multiplic por 6 tambin se debe dividir entre 6,para que no cambie:
13. Factorizar 6x2 + 13x + 6
Ahora se factoriza el trinomio del numerador, aplicando el mismo procedimiento del caso anterior: (se buscan dos nmeros que sumados den 13 y multiplicado den 36
Tenemos que eliminar el 6 del denominador,
Observe que el 3 es el factor comn en (6x + 9) y 2 es el factor comn en (6x +4), entonces:
14. Por lo tanto 6x2 + 13x + 6= (2x +3)(3x + 2)
15. DIFERENCIA DE CUADRADOS
16. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Un diferencia de cuadrados es una diferencia en la cual los dos trminos tienen races cuadradas exactas.
Ejemplos:
x2 25
x2 9
x2 49
17. FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
Factorizar x2 25
El primer trmino de cada factor ser la raz cuadrada de x2, que es igual a x:
(x)(x)
Los signos que se colocan despus de las x son uno positivo y el otro negativo
(x + )(x )
Ahora se extrae la raz cuadrada de 25, que es 5, y se coloca despus de lossignos : (x + 5)(x 5 )
x2 25= (x + 5)(x 5 )
18. Factorizar x2 49
x2 49 = (x + 7) (x 7)
19. DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS
20. DIFERENCIA DE CUBOS
Factorizarx3 8
Se el extrae la raz cbica a los dos trminos:
La raz cbica de x3 es x
La raz de8 es 2
El primer factor ser entonces (x 2)
El segundo factor ser un trinomio , el cual se forma con los trminos del primer factor de la siguiente forma:
Primer trmino : El primer trmino del primer factor (x) se eleva al cuadrado: x2
Segundo trmino : el producto de los dos trminos del primer factor: (2)(x) = 2x
Tercer trmino: se eleva al cuadrado el segundo trmino del primer factor: (22) = 4
Entonces el segundo factor es x2 + 2x + 4 .
Por lo tanto.
x3 8 = ( x 2 ) (x2+2x+ 4)
21. Factorizarx3 27
x3 27 = (x 3) (x2 + 3x + 9)
Nota: los signos del segundo factor sern todos positivos si es una diferencia de cubos. Si es una suma de cubos, el procedimiento es el mismo, y los signos del segundo factor se colocan intercalados:
x3 + 27 = (x + 3) (x2 - 3x + 9)
Raz cbica de x3 y 27
El cuadrado de x
El cuadrado de 3
El producto de 3 y x: (3)(x) = 3x
22. FACTORIZAR:
1) x2 42) x4 16 3) 9 + 6x + x24) x2- x - 65) x4 10x2 + 9 6) x4 2x2 + 3 7) x2 11x + 30 8) 3x2 + 10x + 3 9) 2x2 x 110) x3 + 1000 11) 27a3 + 125b3 12) 64x3y6 + 216z9 13) 1000 - m3 14) 8a3 - 64b3 15) 125x9y18 - 512z27