REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA

EDUCACIÓN

UEP “LIBERTADOR Y GENERALÌSIMO BOLÌVAR”

LA VICTORIA. EDO. ARAGUA. PD00810505

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PRODUCTO NOTABLE Y FACTORIZACIÓN

GUIA DE ESTUDIO

Productos notables En algunos casos el producto de dos polinomios tiene una forma especial, y es posible conocer el resultado sin efectuar el producto.

La generalización de estos resultados se conoce con el nombre de productos notables y esos son el “cuadrado de la suma”, el “cuadrado de la diferencia” , “producto de una suma por una diferencia”, “producto de dos binomios con un término en común” , “ cubo de la suma” , y “cubo de la diferencia” .

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término (x²), más el doble producto del primer término por el segundo (2ax), más el cuadrado del segundo término (a²).

(x+a)²= x²+2ax+a²

cuadrado de una suma

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término (x²), menos el doble producto del primer término por el segundo (2ax), más el cuadrado del segundo término (a²).

(x+a)²= x²-2ax+a²

cuadrado de una diferencia

El producto de una suma por una diferencia. El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo.

(x+a)*(x-a) = x²-a²

producto de una suma por una diferencia

El producto de dos binomios con un término en común es igual al cuadrado del término en común, más la suma de los términos no comunes multiplicados por el término común, más el producto de los términos no comunes, es decir,

(x+a)*(x+b)= x²+(a+b)*x+ab

Producto de dos binomios con un término en común

El cubo de la suma de dos monomios es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término, es decir

(x+a)³= x³+3x²a+3xa²+a³

El cubo de la diferencia de dos monomios es igual al cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término, es decir

(x-a)³= x³-3x²a+3xa²-a³

JUSTIFICACIÓN

En muchas situaciones se presentan problemas que conducen al

planteamiento de ecuaciones, como movimiento parabólico en física,

problemas de utilidad en economía, diseño y construcción de

estructuras ingenieriles, entre otros, para las cuales es necesario

encontrar raíces o soluciones y una manera de encontrar esas raíces

es aplicar procesos de factorización a los polinomios asociados a

estas ecuaciones.

Igualmente la factorización permite realizar simplificaciones y

reducción a mínimas expresiones, lo que hace menos engorrosas las

derivadas y las integrales en cálculo.

1. Factor común monomio

Resulta cuando el factor común de todos los términos del polinomio es

un monomio.

Ejemplo:

Factorizar: 4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax – 1)

Vemos como 2 y x2 están multiplicando en ambos términos, por lo

tanto 2x2 sale como factor común:

4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax – 1)

Recordar y repasar: El término 2x2 es el Máximo Común Divisor

(MCD) de los dos términos

2. Factor común polinomio

Resulta cuando el factor común que aparece es un polinomio.

Normalmente hay que hacer la agrupación debida para obtenerlo.

Ejemplo: Factorizar a(x + 3) + b(x + 3)

Vemos como (x + 3) está multiplicando en ambos términos [tanto a a

como a b], por lo tanto (x + 3) sale como factor común:

a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b)

Ejemplo:

Factorizar: ax + bx + aw + bw

Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw)

Sacamos factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b)

Nos quedó factor común polinomio: (a + b)

Luego se divide :

x(a + b) + w(a + b)

x a + b + w a + b

= x + w

a + b

Por lo tanto: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)

Ejemplo:

Factorizar: 2a2 + 4a – 8b – 4ab

Por observación agrupamos: ( 2a2 – 4ab ) + ( 4a – 8b )

En cada binomio hay factor común: 2a(a – 2b) + 4(a – 2b)

Resulta un factor común polinomio: (a – 2b)

2a(a – 2b) + 4(a – 2b)

Luego se divide: 2a a - 2b + 4 a - 2b =2a + 4

a - 2b

Por lo tanto: 2a2 – 4ab + 4a – 8a = (a – 2b)(2a + 4)

3. Factorizar un Binomio de la forma: xn yn.

3.1 Factorizar la diferencia de dos cuadrados. Por multiplicación se

obtiene:

(a + b)(a - b) = a2 - b2.

Recíprocamente, se puede escribir:

a2 - b2 = (a + b)(a - b).

Por lo tanto la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma

de sus raíces cuadradas por su diferencia.

Ejemplos: Factorizar las expresiones siguientes:

9x2 – 16y2 = (3x)2 - (4y)2 = (3x + 4y)(3x – 4y)

(7a + 3)2 - (5a - 4)2 = (7a + 3 + 5a - 4)(7a + 3 – 5a + 4) = (12a - 1)(2a + 7).

3.2 Factorizar de la suma de dos cubos.

Del producto notable:

(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3,

se deduce bilateralmente: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).

La suma de los cubos de dos términos es igual a la suma de las raíces cúbicas de esos términos por el cuadrado imperfecto de la diferencia.

Ejemplo. Factorizar:

27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 = (3x + 2y)(9x2 - 3x·2y + 4y2) = (3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2

3.3 Factorizar de la diferencia de dos cubos.

Similar que para la suma de dos cubos, del producto notable:

(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

se obtiene inversamente:

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).

La diferencia de los cubos de dos términos es igual a la diferencia de las raíces cúbicas de esos términos por el cuadrado imperfecto de la suma.

Ejemplo. Factorizar: 125a3 - b3c3

125a3 - b3c3

= (5a)2 - (bc)2

= (5a - bc)(25a2 + 5a·bc +b2c2)

= (5a - bc)(25a2 + 5abc + b2c2)

4. Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)

Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio en el que dos de sus términos son positivos y son cuadrados perfectos y el tercero corresponde al doble producto de las raíces cuadradas de los términos positivos.

¡Recuerda! Una cantidad es un cuadrado perfecto si corresponde al cuadrado de otra cantidad.

Regla para factorizar un TCP:

1. Se ordena el trinomio por potencias descendentes de la letra principal. 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos del trinomio. 3. Se calcula el doble de la primera raíz por la segunda y se compara con el término de la mitad del trinomio.

Si el resultado es igual, los dos términos del binomio se separan por el signo del segundo término y el binomio que se forma se eleva al cuadrado.

Ilustración: Factorizar o descomponer en factores

25

Ejemplo :

Factorizar:

Solución:

c2 -10c + 25

Veamos que esta expresión es un TCP:

Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos:

= c , = 5

Ahora se multiplican estas dos raíces por dos: , dado que este resultado coincide con el segundo término, es posible afirmar que el trinomio es cuadrado perfecto, por lo tanto podemos factorizarlo tal y como lo propone la regla, así:

c2 -10c + 25 = c - 5 2

c2

16

2

Ejemplo:

Factorizar:

Solución :

x - 4x +16

4

Usando el procedimiento descrito anteriormente, se obtiene:

1. El trinomio está ordenado

2. Sacamos raíz cuadrada del primer y tercer término:

x =

2 , = 4

x

3. Calculamos el doble del primero por el segundo:

4. Por lo tanto hay trinomio cuadrado perfecto:

x2

2× × 4 = 4x 2

- 4x +16 = 4

x2

4

x

2

2

- 4

x4 x2 , y4 y2

5. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción

Un trinomio ordenado por potencias descendentes con relación a una letra, corresponde a un TCP por adición y sustracción, si al sumarle un cuadrado perfecto al segundo término del trinomio, éste se convierte en un TCP, por lo cual nos sugiere que inicialmente se debe de verificar si el trinomio dado es cuadrado perfecto.

Ilustremos lo anterior con un ejemplo:

Ejercicio Identificar si x4

sustracción. corresponde a un TCP por adición y

Solución Verifiquemos primero si el trinomio es cuadrado perfecto:

Luego 2 x2 y2 lo que indica que al trinomio original le

falta x2 y2 para completar el doble del primero por el segundo.

Veamos cómo trabajar este tipo de trinomios:

x2y2 y4

2x2y2

Para factorizar x4 como TCP por adición y sustracción debemos

seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Sumamos x2 y2 y lo restamos (para que no varie la expresión original)

x4

x2 y2 - x2 y2

Paso 2:

Paso 3:

----------------------------------- x4

x2

Sumamos término a término

El primer trinomio se factoriza como TCP

Paso 4: La diferencia de cuadrados se

factoriza y luego ordenamos

x2y2 y4

x2y2 y4

2x2 y2 y4 x2y2

y2 2

x2 y2

36y4

Otro ejemplo:

Factorizar x4 -16x2 y2 + 36y4

Ya ordenado el trinomio, veamos primero si el trinomio es cuadrado perfecto:

= x2, = 6y2

Ahora bien, el doble del primero por el segundo sería:

Que no es igual al término de la mitad del trinomio inicial.2 x2

6y2

=12x2y2

Pero tenemos -16x2 y2 lo que implica que sumándole y restándole 4x2 y2

podemos

factorizar el trinomio, así:

x4 -16x2 y2 + 36y4

4x2 y2

- 4x2 y2

……Sumamos y restamos la misma cantidad

-------------------------------------

x4 -12x2 y2 + 36y4 - 4x2 y2

……Factorizamos el TCP

Nos queda: x2 - 6y2 - 2xy

2 …..Diferencia de cuadrados

….Que ordenando nos queda:

x2 2xy - 6y2 x2 2xy - 6y2

x4

x2 - 6y2 2xy x2 - 6y2 2xy

2

6. Trinomios de la forma

Regla para factorizarlo: Ej.:

x2 +bx + c

x2 - 9x +18

1. Ordene el trinomio con los exponentes descendentes con relación a una letra.

Para el ejemplo, ya está ordenado para x.

2. El trinomio se descompone en dos factores binomios. El signo que separa las cantidades

del primer factor corresponde al signo del coeficiente del segundo término y el signo que

separa las cantidades del segundo factor corresponde al producto de los signos de los

coeficientes del segundo y del tercer término en el trinomio.

x2 - 9x +18

- -

3. La primera cantidad de cada factor corresponde a la raíz cuadrada del primer término (x) y

las segundas cantidades son dos números reales tales que su producto sea igual al tercer

término (18) y su suma (9), si los signos que separan las cantidades en cada factor son iguales,

o su resta, si los signos que separan las cantidades en cada factor son diferentes, sea igual al

coeficiente del segundo término.

x - x -

x - 6 x - 3

……dos números que multiplicados den 18 y que sumados den 9

Este caso se ha llamado factorización por inspección o evaluación.

2

7. Trinomios de la forma: ax2 +bx + c

Observemos que la diferencia con respecto al trinomio de la forma x2 +bx + c ,es

que el primer término es un cuadrado perfecto en el que aparece la variable,

multiplicado por un número real diferente de uno.

Veamos el método analítico de factorizar este tipo de trinomio resolviendo el

siguiente ejercicio:

Ejercicio Factorizar: 6a2 -11a+10

6 6a2 -11a+10 6a -11a+10 =

6

36a2 -11a 6 + 60

Multiplicamos y dividimos todo el trinomio por

el coeficiente de x2

= 6 Observemos que el trinomio tomó la forma x2 +bx + c

= 6a +15 6a - 4

6

= 3 2a + 5 2 3a - 2

6

= 2a+5 3a- 2

por lo que procedemos a factorizarlo por simple inspección o evaluación (dos números que multiplicados entre si den 60 y restados 11: 15 y 4).

Finalmente lo que se pretende es eliminar

nuevamente el denominador con el producto de

los factores comunes del numerador.

8. Suma o diferencia de bases con exponentes impares iguales.

Cuando tenemos un binomio con potencias impares iguales se procede a factorizar así: se

le saca la raíz enésima a cada término colocándolas en el primer factor separadas del

signo del segundo término del polinomio a factorizar.

En el segundo factor se escribe la primera raíz elevada al exponente menos uno del

binomio a factorizar seguida de la segunda raíz elevada a la cero, el segundo término se

obtiene sumando uno y restando uno a los exponentes del primer término

respectivamente; de la misma manera se encuentran todos los términos del segundo

factor hasta que los exponentes queden invertidos al primer término.

Ejemplos: a) a7 – b7

Solución: a7 – b7 = (a – b )( a6 b0 + a5 b1 + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a b5 +a0b6)

= (a – b )( a6 + a5 b + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + ab5 + b6 )

b) 32 x5 + y10

Solución: 32x5 + y10 = ( 2x)5 + ( y2)5 =

= ( 2x + y2 ) ( 16x4 – 8x3 y2 + 4x2 y4 – 2x y6 + y8 )

9. Factorización de un polinomio por el método de evaluación.

Este método de factorización es aplicado para polinomios que tienen cuatro o más

términos. El método utilizado es por la regla de Ruffini (división sintética) con el objetivo

de encontrar un cociente (factor ) que al multiplicarse por el divisor (factor) dé, cómo

producto, el dividendo (polinomio a factorizar). Para cumplir con lo anterior es necesario

observar que el residuo debe ser cero, (o sea división exacta).

Teorema del factor.

Un polinomio P(x) tiene como factor a (x-a) si y solo si para x = a , P(a) = 0 (es

decir, el valor del polinomio es cero)

Condición necesaria de divisibilidad:

Para que un polinomio P(x) sea divisible por (x-a) es condición necesaria pero no

suficiente que el término independiente del dividendo sea divisible entre a.

Método de evaluación:

Este esquema está diseñado para factorizar completamente un polinomio entero en x,

para él utilizamos, el teorema del factor y la división sintética o regla de Ruffini.

Ejemplo: Factorizar por el método de evaluación el polinomio

Primero determinemos los factores del término independiente 4:

Ahora veamos con cuál se vuelve cero el polinomio:

P(x) : x3

±1, ± 2, ± 4

P(x) : x3

P( 1) : ( 1)3

P( 1) : ( 1)3

5( 1) 4 8 0 por lo tan to (x 1) no es divisor del polinomio

5( 1) 4 0 por lo tan to (x 1) si es divisor del polinomio

Aplicando la regla de Ruffini, tenemos:

Por lo tanto: P(x) : x3

5x 4

5x 4

5x 4 x 1 x2 x 4

Finalmente la respuesta es:

En ocasiones la evaluación hay que realizarla en cadena hasta lograr factores

irreducibles. Esto se logra mediante divisiones sintéticas sucesivas.

Veamos un ejemplo:

Factorizar: x3

Solución:

P( 1) : ( 1)3 4(1)2 1 6 0 por lo tanto (x 1) es divisor del polinomio

x3

4x2 x 6 x 1 x 2 x 3

4x2 x 6

EJERCICIOS

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