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Colegio Monseñor Diego RosalesMatemáticaProfesora: Vanessa Machuca J

PRIMERO MEDIO - MATEMÁTICA

PRIORIZACIÓN CURRICULAR

Nombreestudiante:

Profesora: Vanessa Machuca JCorreo Electrónico: [email protected]

Fecha:28 de Septiembre de 2020

Instrucciones:1. Si lo desea, puede imprimir este documento, responder directamente en su

cuaderno de asignatura o responderla en computador y enviarla por correo electrónico.

2. Lea atentamente cada explicación del contenido para luego responder las actividades.

3. El tiempo estimado para realizar cada una es de hora y media cada día.4. Administre eficientemente su tiempo, comience por aquellas preguntas en las que

tiene mayor dominio y deje las preguntas más desafiantes para el final.5. Revise sus respuestas las veces que sea necesario.6. Si tienes alguna duda durante la realización de esta guía no dudes en contactarme

al mail: [email protected] estaré atenta para revisar tus consultas.7. Esta guía será evaluada con un porcentaje de logro del 0% al 100%, para luego ser

convertida a una calificación del 1 al 7. Su calificación equivaldrá al 20% del promedio final de la asignatura

Función lineal

En esta guía encontraras los contenidos priorizados del programa de estudios, enfocados principalmente en sentar las bases de contenidos anteriores como son la función lineal, sus elementos, representaciones y aplicaciones en la vida cotidiana.

CRONOGRAMA DE APOYO ZOOM

Estimados padres, apoderados y estudiantes, la siguiente tabla ordena los contenidos que se trabajarán semanalmente en los apoyos virtuales vía Zoom. Quedan cordialmente invitados a seguir participando activamente en estas instancias para aclarar dudas y responder inquietudes.

Fecha Nº de Clase

Objetivo ID

Martes 29 01 Comprender la función lineal sus elementos y representaciones.

332 410 2235

Martes 6 02 Reconocer funciones lineales o rectas por su pendiente.

332 410 2235

Martes 13 03 Graficar funciones o rectas por sus elementos.

332 410 2235

Martes 20 04 Problemas asociados a la función lineal en diversos contextos.

332 410 2235

1

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]


INTRODUCCIÓN AL NUEVO CONTENIDO

FUNCIONES LINEALES Y RECTAS EN EL PLANO

CLASE 1


Objetivo: Comprender la función lineal sus elementos y representaciones.

FUNCIÓN LINEAL Y SUS REPRESENTACIONES

Una función lineal es de la forma f ( x )=mx+n, donde m es

la pendiente o inclinación de ella, la cuál esta relacionada siempre a la variable independiente x. Y n es el Intercepto de la función, la cuál indica el corte de la función en el eje y.

Variables asociadas a la función:

Variable x: esta variable o incógnita es independiente, ya que, su valor no depende de ninguna otra variable. Además, se le asocia al eje de las abscisas.

Variable y: esta variable o incógnita es dependiente, ya que, depende de todo lo que la variable x sea, es decir, su valor no es libre de escoger, más bien está limitado por la otra variable. Además, se le asocia al eje de las ordenadas.

Representaciones de una función lineal:

Funcional: se escribirá siempre de la forma: f ( x )=mx+n Ecuación: se escribirá de la forma: y=mx+n, en donde solo se sustituye f(x)

por y. Tabulación: se entiende como la forma más utilizada para graficar una

función, en donde se expresa la información de la variable x y la función.

XF(x)

Gráfica: es la presentación en el plano cartesiano de la función. En donde, se debe tener muy claro que será el conjunto de todos los puntos equidistantes entre si.

Un punto en el plano siempre tendrá la forma de P(x , y)

En donde encontraremos de forma horizontal a los valores de x y de forma vertical los valores de y.

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La función lineal es utilizada para describir una multitud de eventos, en donde se relacionan dos magnitudes que varían proporcionalmente. Todas ellas se representan gráficamente mediante rectas en el plano, sobre las cuales se

aprecia como varía una magnitud respecto a la otra.


Practiquemos juntos las distintas representaciones:

PRÁCTICA GUIADA

Observemos la siguiente función y transformémosla a sus diversos registros.

Sea f ( x )=2x+1

Transformemos la función en su representación de ecuación, tabla y grafica.

Ecuación: Como acabamos de ver una función lineal, para transformarla en una ecuación de recta, solo debemos sustituir f(x) en y, entonces:

f ( x )=2x+1→ y=2 x+1 Tabla: para transformarla en una tabla, debemos darle valores a la variable

x, y reemplazarlos ya sea en la función o la ecuación. Esto es practico si queremos luego graficar.También recordemos que, a x podemos reemplazar cualquier valor real, ya que está es nuestra variable independiente.

x 0 1 −1 2y=2x+1 y=2∙0+1 y=2∙1+1 y=2∙−1+1 y=2∙2+1

y 1 3 −1 5

Como vemos, solo escogemos un valor para x. y al reemplazarlo en la ecuación obtenemos un valor para la variable y, entonces como resultado tenemos los siguientes puntos:

P1 (0,1 ) , P2 (1,3 ) , P3 (−1 ,−1 ) ,P4(2,5) Grafica: como lo dice la palabra, esta representación corresponde a una

forma visual y geométrica de la función. Para conseguirla podemos realizar dos opciones:

I. Utilizar la tabla de puntos, para esta ocasión como está previamente realizado, tomaremos los puntos y los ubicaremos en el plano cartesiano.

Como vemos hemos utilizado los puntos anteriores, que ubicamos en nuestro plano, para conseguir la representación de recta, solo debemos unir estos puntos.

3


Si lo puedes notar, esta línea pasa sobre los puntos, y es infinita.

¡Ahora prácticalo tú!

PRÁCTICA INDEPENDIENTE

Utiliza lo visto en la clase para realizar de forma independiente lo solicitado.

I. Transforma las siguientes funciones en sus tres representaciones.

a.

f ( x )=−x

Ecuación: Tabla:

xy

Puntos: P1 ( , ) ,P2 ( , ) ,P3 ( , ) ,P4(,) Grafica:

b. f ( x )=x+1 Ecuación: Tabla:

xy

Puntos: P1 ( , ) ,P2 ( , ) ,P3 ( , ) ,P4(,)

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Grafica:

c. f ( x )=3 x−2 Ecuación: Tabla:

xy


5


d. f ( x )=−2x−1

Ecuación: Tabla:

xy


6


e. f ( x )=12x+1

Ecuación: Tabla:

xy


Para finalizar…1. ¿Cómo explicarías con tus palabras lo que

hemos visto en clase? Y ¿te recuerda a algún contenido anterior?

2. ¿Qué es lo que me generó confusión? 3. ¿Qué es lo que debes reforzar?, anótalo y

cométalo en clase zoom.

¡Ahora puedes descansar!

CLASE 2


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Objetivo: Reconocer funciones lineales o rectas por su pendiente.

Las funciones como hemos apreciado en la clase anterior pueden tener distintas formas de expresarse o representarse, pero además ellas tienen un comportamiento que se lo asociamos a su pendiente.

PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN LINEAL O RECTA

La pendiente de una recta nos indica la inclinación que esta posee en un plano, además esta acompaña a la variable x, en su forma funcional o de ecuación, para encontrarla también debemos saber lo siguiente:

m=∆ y∆ x

Entenderemos como:

∆ y=movimientos verticales y al ∆ x=movimientoshorizontales.

La pendiente puede ser positiva, negativa, cero o no poseer pendiente. Y esta no indicará el comportamiento de la función, es decir, si es creciente, decreciente o constante.

¿Pero cómo lo sabremos?

Diremos que una función es creciente cuando m>0, es decir, pendiente positiva.

Ejemplo: a . f ( x )=2 x+5b . f ( x )=−x+3

De las funciones en a. y b. debemos observar el signo que acompaña a la variable x, en a. es positivo y en b. es

negativo, por ende, la función

a . f ( x )=2 x+5 es creciente, gráficamente sería:

Es decir, en la forma grafica vemos como esta siempre crecerá a los valores positivos de x e y.

Diremos que una función es decreciente cuando m<0, es decir, pendiente negativa.

Ejemplo: a . f ( x )=2 x+5b . f ( x )=−x+3

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De las funciones en a. y b. debemos observar el signo que acompaña a la variable x, en a. es positivo y en b. es negativo, por ende, la función

a . f ( x )=2 x+5 es creciente, mientras que la

b . f ( x )=−x+3 sería decreciente, gráficamente queda:

Es decir, en la forma gráfica vemos como esta siempre decrecerá en los valores de x e y.

Diremos que una función es constante cuando m=0, es decir, pendiente igual a cero.

Ejemplo: a . f ( x )=3b . f ( x )=−1

De las funciones en a. y b. debemos observar, que la variable x no está, esto debido a que la pendiente es cero y elimina la variable, cuando esto sucede estamos en presencia de una función del tipo constante.

Gráficamente sería:

Donde la función f(x) = 3 es la primera y f(x)= -1, está abajo. Además, apreciamos que siempre serán rectas paralelas al eje x.

También debemos hacer mención de una recta especial, y es cuando la pendiente no se puede determinar, este tipo de rectas no la podemos expresar en su forma funcional, pero si en su forma de ecuación.

x=1, cuando esto sucede no podemos saber su pendiente,

ya que no posee la estructura necesaria, y al graficarla nos queda:

Como podemos apreciar es una recta paralela al eje y.

PRÁCTICA GUIADA

9


Observemos las siguientes funciones y determinemos su comportamiento, es decir, si son crecientes decrecientes o constantes.

De su forma es ecuación, tenemos las siguientes rectas:

a. y=7 x−5

b. y=−2+10

c. y=−5

d. x=−2

Para poder determinar el comportamiento de la función debemos observar en cada una de ellas el valor de su pendiente.

a. y=7 x−5→m=7 , positiva, por lo tanto creciente .b. y=−2+10→m=−2 , negativa , por lotanto ,decreciente .c. y=−5→m=0 , por lo tanto , constante .d. x=−2 ,m=indeterminada .


¡Ahora hazlo tú!

I. En la siguiente tabla con funciones o ecuaciones, marca con una x, según sea su comportamiento.

creciente decreciente constante

Pediente indeterminada

f ( x )=6x−5y=6

y=−6 x+ 12

x=−6

f ( x )=−32x+1

f ( x )=12x−6

x=−10

II. Las ecuaciones en la grafica adjunta, marcalas con los siguientes colores, según sea su comportamiento.Creciente: rojo, Decreciente: Azul, Constante: Negro, Pendiente indeterminada: Amarilla.

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Para finalizar…1. ¿Cómo explicarías con tus palabras lo visto en esta

clase?

________________________________________________________________________________________________

2. Según el comportamiento observado de las funciones o rectas, ¿Cómo describirías con tus palabras las rectas del tipo y=c ó x=c?

3. ¿Qué es lo que debes reforzar?, anótalo y cométalo en clase zoom.________________________________________________________________________________________________________________________

Ahora puedes descansar!

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CLASE 3


Objetivo: Graficar funciones o rectas por sus elementos o por tabulación.

En la siguiente clase veremos otra froma de poder graficar funciones o como obtener su forma funcional o de rectas a partir de su grafica.

Recuerda que el método de tabulación visto en la clase 1, también es válido, pero en algunas situaciones es un poco lento, otro método más simplificado lo vereos hoy.

Recordemos nuevamente los elemenos de una fucnión o recta en el plano.

Sea f ( x )=mx+n, donde m=∆ y∆ x

, pendiente . Y

ncoeficente de posición puntode corte al eje y .

Con estos elementos es suficiente para poder graficar de una manera más optima todo lo necesario. Comencemos entonces:

Lo primero es fijarnos siempre en el coeficiente de posición, ya que este es nuestro intercepto o corte de la recta en el eje y, es decir, el número libre nos dira por donde partir nuestra gráfica.

Tomemos nuestra función como: f ( x )=2x+1, donde n=1, posicionaremos nuestra primer punto, entendiendo que este, será siempre de la forma: (0 , n ), para nuestro caso (0,1 )

Lo ubicamos en el plano, como lo muestra la figura adjunta.

Luego para encontrar otro punto, lo que haremos será trabajar con nuestra pendiente. La cual en nuestra función es m = 2.

Si m=∆ y∆ x

Entenderemos como:

∆ y=movimientos verticales y al

∆ x=movimientoshorizontales.

Recordemos que todo número siempre esta dividido por 1.

Entonces:

Diremos entonces: m=21=∆ y∆x

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Lo que haremos será. Partir nuestros movimientos, desde el el punto ya graficado, nos “moveremos”, según nos indica la pendiente.

Una unidad hacia la derecha y dos unidades hacia arriba (iremos hacia la derecha y hacia arriba porque ambos signos de la fracción son positivos).

Quedando entonces:

Recuerda, avanzamos desde el punto A, una unidad hacia la derecha, y luego dos unidades hacia arriba, cuando terminamos los “movimientos”, entraremos el nuevo punto B.

Como ya sabes, por dos puntos pasa una unica recta, entonces unimos los puntos y graficamos.

y ya tenemos nuestra recta graficada.

Ahora veamos el proceso inverso:

Tomaremos para esta ocasión la recta de la figura adjunta.

Lo primero que buscamos es el corte de la recta, con ele eje y, para encontrar un punto de partida.

Ojo!, el punto es (0,7).

Luego como poseemos la gráfica, busquemos un punto cómodo que pertenezca a la función.

Tomaremos entonces para esta ocasión el punto (3,5)

Entonces buscamos la pendiente entre ambos puntos.

Recordemos que: m=∆ y∆ x

Observemos que, desde el primer punto (0,7), iremos hacia el segundo (3,5), por lo tanto, primero iremos hacia abajo (movimiento vertical) 2 unidades, y luego iremos hacia la derecha 3 unidades.

Por lo tanto, m=∆ y∆ x

=23 .

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Ahora que tenemos ambos elementos completamos la forma f ( x )=mx+n,

quedando entonces f ( x )=23x+7.


I. Grafica las siguientes rectas por lo visto en clases, cada recta grafícala con un color distinta.

a. f ( x )=3 xb. f ( x )=−2x+4

c. f ( x )=35x−1

d.

f ( x )=−12x+2

II. De las siguientes gráficas, encuentra la función asociada.

a.

f ( x )=¿

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b.

f ( x )=¿

Para finalizar…1. Del método de tabulación visto en la primera clase y

este, ¿Cuál se te hizo más fácil? ¿por qué?

________________________________________________________________________________________________

2. ¿Qué dificultad presentaste en la resolución de los ejercicios propuestos?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Qué es lo que debes reforzar?, anótalo y coméntalo en clase zoom.________________________________________________________________________________________________________________________

¡Ahora puedes descansar!

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CLASE 4


Objetivo: Problemas asociados a la función lineal en diversos contextos.

Las funciones lineales no ayudan a modelar diversas situaciones cotidianas, y dar respuesta más rápida a una infinidad de situaciones. En esta clase veremos como modelar una función lineal a partir de una situación y además problemas asociados a la fucnión lineal.

MODELAR FUNCIONES LINEALES A PARTIR DE SITUACIONES COTIDIANAS

Leamos atentamente la siguiente situación:

“Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra $10000 la visita, más $1500 por cada hora de trabajo”. ¿Cuál es la función lineal que modela la situación?

Debemos prestar atención en el valor fijo, ese que no cambiara o no esta determinado por más de una situación. En este caso ese valor fijo es $10.000, esto ya que él trabaje más o menos horas, ese valor estará de igual modo incluido. Este sería entonces nuestro coeficiente de posición, n=10000.

Por otro lado, debemos encontrar la variable que va adaptándose a según cambie la situación, en esta ocasión es la variable horas, esto debido a, que pasando cada hora se le agrega un valor de $1.500, por lo tanto, es un valor variable dependiendo del tiempo asociado. Este entonces seria nuestra pendiente, m=1500.

Entonces, recordemos que la forma de una función lineal es:

f ( x )=mx+n

Reemplazamos los valores de m y n, en la función, obteniendo:

f ( x )=1500 x+10000

Qué pasa si, en la misma situación, el trabajador se demora en arreglar un electrodoméstico 3 horas. ¿Cuál será el dinero que recibirá por el trabajo realizado?

Para esta situación utilizamos la función que modela el evento: f ( x )=1500 x+10000, recordando que la variable x, esta asociada a las horas de trabajo, por lo tanto, la

variable y ó f(x), esta asociada al dinero recibido.

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Para resolver solo debemos reemplazar el valor 3 en x, y resolver:

f ( x )=1500 x+10000→f (3 )=1500 ∙3+10000→f (3 )=4500+10000→f (3 )=14500

Entonces el cobró del trabajador, por 3 horas de trabajo será de $14.500.

Ese mismo trabajador, por ir a trabajar a la casa de al lado, cobró en total $20.500, por el trabajo, si la función que modela la situación es la misma, ¿Cuántas horas de trabajo estuvo el trabajador?

Debemos observar que en este problema, tenemos el valor de dinero, y nos piden las horas de trabajo, es decir, nos entregan la variable y ó f(x), y debemos encontrar la variable x.

Entonces:

f ( x )=1500 x+10000→20500=1500 x+10000→20500−10000=1500 x→10500=1500 x→ 105001500

=x→7=x

El trabajador estuvo 7 horas arreglando un electrodoméstico.

¡Ahora debes practicarlo tú!


I. Modela las siguientes situaciones para dar solución a los siguientes problemas.

1. Una compañía de teléfonos celulares tiene inicialmente 7 mil usuarios, y el número de éstos crece alrededor de 4 mil por año. a. ¿Cuál es la función que modela la situación?

__________________________________________________b. ¿En qué año la compañía tendrá más de 15 mil usuarios?

____________________________________________________________________________________________________________

2. Camilo se compró un libro que tiene 800 páginas, y suele leer 20 páginas diarias.a. ¿Cuál es la función que modela la situación?

_________________________________________________________b. ¿En cuántos días habrá leído la mitad del libro?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Una empresa de renta de autos, cobra por la renta de alguno de ellos una tarifa fija de $75.000, más $750 pesos por cada 12 horas de uso.a. ¿Cuál es la función que modela la situación?

__________________________________________________________b. ¿Cuánto costará arrendar un auto por 4 días?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c. Si el costo total del arriendo fue de $85.500, ¿Cuántas horas arrendo el auto?____________________________________________________________________________________________________________________

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____________________________________________________________________________________________________________________

4. Un tren acaba de salir de una ciudad situada a 750 km, de la nuestra y viene hacia aquí a 200km/h. a. Encuentra la función que modela la situación.

__________________________________________________________b. ¿Cuánta distancia habrá avanzado si han pasado 2 horas, desde que

salió?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

REFLEXIONEMOS SOBRE NUESTRO TRABAJO

Todos a comienzo de unidad nos proponemos algunas metas, ya sean de contenidos o de actitud. Referentes a esta unidad, ¿Has cumplido tus metas iniciales? ¿Qué has hecho para ello? ¿Qué debes mejorar?

_______________________________________________

_______________________________________________

Hablando de las dificultades que todos presentamos en distintos momentos, ¿Cuáles tuviste? ¿las fuiste resolviendo en el transcurso de la unidad? ¿Cuáles otras te fueron surgiendo?

____________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué hiciste para ser perseverante en el ánimo y ganas de aprender? ¿Por qué si o porque no?

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