Capítulo 38A - RelatividadCapítulo 38A - RelatividadPresentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University

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Objetivos: Objetivos: Después de completar Después de completar este módulo deberá:este módulo deberá:

• Establecer y discutir los dos postulados de Establecer y discutir los dos postulados de Einstein concernientes a la Einstein concernientes a la relatividad relatividad especialespecial..

• Demostrar su comprensión de la Demostrar su comprensión de la dilatación dilatación del tiempodel tiempo y aplicarla a problemas físicos. y aplicarla a problemas físicos.

• Demostrar y aplicar las ecuaciones de Demostrar y aplicar las ecuaciones de longitudlongitud, , cantidad de movimientocantidad de movimiento, , masamasa y y energía relativistasenergía relativistas..

Relatividad especialRelatividad especialLa La Teoría Especial de la RelatividadTeoría Especial de la Relatividad de Einstein, de Einstein, publicada en 1905, se basó en dos postulados:publicada en 1905, se basó en dos postulados:

I. Las leyes de la física son las mismas para I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia que se todos los marcos de referencia que se mueven a velocidad constante uno con mueven a velocidad constante uno con respecto a otro.respecto a otro.

I. Las leyes de la física son las mismas para I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia que se todos los marcos de referencia que se mueven a velocidad constante uno con mueven a velocidad constante uno con respecto a otro.respecto a otro.

II. La rapidez de la luz II. La rapidez de la luz cc en el espacio libre es en el espacio libre es constante para todos los observadores, constante para todos los observadores, independiente de su estado de movimiento. independiente de su estado de movimiento. ((cc = 3 x 10 = 3 x 1088 m/s m/s))

II. La rapidez de la luz II. La rapidez de la luz cc en el espacio libre es en el espacio libre es constante para todos los observadores, constante para todos los observadores, independiente de su estado de movimiento. independiente de su estado de movimiento. ((cc = 3 x 10 = 3 x 1088 m/s m/s))

Reposo y movimientoReposo y movimiento¿Qué se quiere decir cuando se habla de que un ¿Qué se quiere decir cuando se habla de que un objeto está en objeto está en reposoreposo... o ... o en movimientoen movimiento? ¿Hay ? ¿Hay algo en reposo?algo en reposo?

A veces se dice que A veces se dice que hombre, computadora, hombre, computadora, teléfono y escritorio están teléfono y escritorio están en en reposoreposo..

Lo que realmente se quiere decir es que todos están en Lo que realmente se quiere decir es que todos están en movimiento con la movimiento con la misma velocidadmisma velocidad. Sólo se puede . Sólo se puede detectar el movimiento con respecto a algo más.detectar el movimiento con respecto a algo más.

Se olvida que la Tierra Se olvida que la Tierra también está en movimiento.también está en movimiento.

No hay marco de referencia preferidoNo hay marco de referencia preferido¿Cuál es la velocidad de ¿Cuál es la velocidad de este ciclista?este ciclista?

No se puede decir sin un No se puede decir sin un marco de referenciamarco de referencia..

Suponga que la bicicleta se mueve a Suponga que la bicicleta se mueve a 25 m/s, O en 25 m/s, O en relación con la Tierrarelación con la Tierra y que la plataforma se mueve a y que la plataforma se mueve a 10 10 m/s, E en relación con la Tierram/s, E en relación con la Tierra..¿Cuál es la velocidad de la bicicleta ¿Cuál es la velocidad de la bicicleta en relación con la en relación con la plataforma?plataforma?

TierraTierra

25 m/s10 m/s

esteeste

oesteoeste

Suponga que la plataforma es la referencia, entonces Suponga que la plataforma es la referencia, entonces observe el movimiento relativo de Tierra y bicicleta.observe el movimiento relativo de Tierra y bicicleta.

Referencia para el movimiento Referencia para el movimiento (Cont.)(Cont.)

TierraTierra

25 m/s10 m/s

esteeste

oesteoeste

Tierra como referencia

0 m/s0 m/s

Para encontrar la velocidad de la bicicleta Para encontrar la velocidad de la bicicleta relativa a relativa a la plataformala plataforma, debe imaginar que está sentado en la , debe imaginar que está sentado en la plataforma en reposo (plataforma en reposo (0 m/s0 m/s) con relación a ella.) con relación a ella.

Vería a la Tierra moviéndose al oeste a Vería a la Tierra moviéndose al oeste a 10 m/s10 m/s y a la y a la bicicleta al oeste moviéndose al oeste a bicicleta al oeste moviéndose al oeste a 35 m/s35 m/s..Vería a la Tierra moviéndose al oeste a Vería a la Tierra moviéndose al oeste a 10 m/s10 m/s y a la y a la bicicleta al oeste moviéndose al oeste a bicicleta al oeste moviéndose al oeste a 35 m/s35 m/s..

10 m/s10 m/s

35 m/s

0 m/sesteeste

oesteoeste

Plataforma como referencia

10 m/s10 m/s

35 m/s

0 m/sesteeste

oesteoeste

Plataforma como referencia

TierraTierra

25 m/s10 m/s

esteeste

oesteoeste

Tierra como referencia

00

Marco de Marco de referenciareferencia

Considere las Considere las velocidades de tres velocidades de tres diferentes marcos de diferentes marcos de referencia.referencia.

0 m/s35 m/s

esteesteoesteoeste

Bicicleta como referencia

25 m/s25 m/s

Rapidez de la luz constanteRapidez de la luz constantePlataforma v = 30 m/s a la derecha en relación con el suelo.

10 m/s10 m/s

c c

Velocidades observadas dentro del carro

La luz de dos linternas y las dos bolas viajan en La luz de dos linternas y las dos bolas viajan en direcciones opuestasdirecciones opuestas. Difieren as velocidades . Difieren as velocidades observadas de la bola, pero observadas de la bola, pero la rapidez de la luz la rapidez de la luz es independiente de la direcciónes independiente de la dirección..

40 m/s20 m/s

cc

Velocidades observadas desde afuera del carro

Rapidez de la luz (Cont.)Rapidez de la luz (Cont.)La plataforma se mueve a 30 m/s a la derecha en relación con

el niño.

10 m/s10 m/s

c c 30 30 m/sm/s

Cada observador vec = 3 x 108 m/s

El observador externo ve velocidades muy diferentes para

las bolas.

La rapidez de la luz no es afectada por el movimiento relativo y es exactamente igual a:

c = 2.99792458 x 108 m/s

OT

OOEE

Eventos simultáneosEventos simultáneosEl juicio de los eventos simultáneos también es cuestión de El juicio de los eventos simultáneos también es cuestión de relatividad. Considere al observador relatividad. Considere al observador OOTT sentado en el tren sentado en el tren en movimiento mientras el observador en movimiento mientras el observador OOEE está en el suelo. está en el suelo.

En t = 0, el En t = 0, el relámpago golpea relámpago golpea tren y suelo en tren y suelo en AA y y BB..

El observador El observador OOEE ve los ve los eventos relámpago eventos relámpago AAEE y y BBEE como como simultáneossimultáneos..

El observador El observador OOTT dice que el evento dice que el evento BBTT ocurre antes ocurre antes queque el evento el evento AATT debido al movimiento del tren. debido al movimiento del tren.

¡Cada observador tiene razón!¡Cada observador tiene razón!

BBEE

BT

AAEE

AT

No simultáneos

SimultáneosSimultáneos

A B

Mediciones de tiempoMediciones de tiempoDado que la medición de Dado que la medición de tiempo involucra juicios tiempo involucra juicios acerca de eventos acerca de eventos simultáneos, se puede ver simultáneos, se puede ver que el tiempo también se que el tiempo también se puede afectar por el puede afectar por el movimiento relativo de los movimiento relativo de los observadores. observadores.

De hecho, la teoría de Einstein muestra que los observadores en movimiento relativo juzgarán los tiempos de modo diferente; más aún, cada uno tiene razón.

De hecho, la teoría de Einstein muestra que los observadores en movimiento relativo juzgarán los tiempos de modo diferente; más aún, cada uno tiene razón.

Tiempo relativoTiempo relativoConsidere el carro que se mueve con velocidad Considere el carro que se mueve con velocidad vv bajo un techo con espejos. Un pulso de luz viaja al bajo un techo con espejos. Un pulso de luz viaja al techo y regresa en el tiempo techo y regresa en el tiempo ∆∆ttoo para el pasajero y para el pasajero y en el tiempo en el tiempo ∆∆tt para el observador. para el observador.

Trayectoria de luz para el pasajero

d0

2dc

t=

∆

∆toTrayectoria de

luz para el observador

dxx

R

∆t

R2R

ct

=∆

; 2 2

c t v tR x

∆ ∆= =

Tiempo relativo (Cont.)Tiempo relativo (Cont.)

Sustitución de:Sustitución de:

0

2

c td

∆=

22 2

0

2 2 2

c tc v

t t

∆ + = ∆ ∆

0

2 21

tt

v c

∆∆ =−

Trayectoria de luz para el pasajero

d0

2dc

t=

∆

∆to

d R∆t

2

c

t∆2v t∆

2 22

2 2

c vd

t t + = ∆ ∆

Ecuación de dilatación del tiempoEcuación de dilatación del tiempoEcuación de

dilatación del tiempo de Einstein:

0

2 21

tt

v c

∆∆ =−

∆∆tt = = tiempo relativotiempo relativo (tiempo medido en un marco que (tiempo medido en un marco que se mueve en relación con el evento real).se mueve en relación con el evento real).

∆∆ttoo== tiempo propiotiempo propio (tiempo medido en el mismo marco (tiempo medido en el mismo marco que el evento mismo).que el evento mismo).

v v = = velocidad relativa de dos marcos.velocidad relativa de dos marcos.

c c = = rapidez de la luz en el espacio vacío (rapidez de la luz en el espacio vacío (cc = 3 x 10 = 3 x 1088 m/sm/s).).

Tiempo propioTiempo propioLa clave para aplicar la ecuación de dilatación del La clave para aplicar la ecuación de dilatación del tiempo es distinguir claramente entre tiempo es distinguir claramente entre tiempo propio tiempo propio ∆∆ttoo y y tiempo relativo tiempo relativo ∆∆tt. Observe el ejemplo:. Observe el ejemplo:

Tiempo propio

d

∆to

Marco del

evento

Tiempo relativo

∆t

Marco relativo

∆t > ∆to

Ejemplo 1:Ejemplo 1: La nave La nave AA pasa a la nave pasa a la nave BB con una con una rapidez relativa de 0.8c (ocho por ciento la rapidez relativa de 0.8c (ocho por ciento la rapidez de la luz). Una mujer a bordo de la nave rapidez de la luz). Una mujer a bordo de la nave BB tarda tarda 4 s4 s en caminar la longitud de su nave. en caminar la longitud de su nave. ¿Qué tiempo registra el hombre en la nave ¿Qué tiempo registra el hombre en la nave AA??

v = 0.8c

A

B

Tiempo propio ∆to = 4 s

0

2 21

tt

v c

∆∆ =−

Encontrar tiempo relativo ∆t

2 2

4.00 s 4.00 s

1- 0.641- (0.8 ) /t

c c∆ = = ∆t = 6.67 s

Paradoja de los gemelosParadoja de los gemelosUn par de Un par de gemelos está en gemelos está en la Tierra. Uno la Tierra. Uno sale y viaja sale y viaja durante 10 años durante 10 años a 0.9c.a 0.9c.

Cuando el viajero Cuando el viajero regresa, ¡es 23 años regresa, ¡es 23 años más viejo debido a la más viejo debido a la dilatación del tiempo!dilatación del tiempo!

¡El viaje duplica la edad del viajero!

0

2 21

tt

v c

∆∆ =−

Paradoja:Paradoja: Puesto que el Puesto que el movimiento es relativo, ¿no es movimiento es relativo, ¿no es cierto también que el hombre cierto también que el hombre que permaneció en la Tierra que permaneció en la Tierra debe ser 23 años más viejo?debe ser 23 años más viejo?

Explicación de la paradoja de los Explicación de la paradoja de los gemelosgemelos

El movimiento del El movimiento del gemelo viajero no era gemelo viajero no era uniforme. Se uniforme. Se necesitaban necesitaban aceleración y fuerzas aceleración y fuerzas para ir a y regresar del para ir a y regresar del espacio.espacio.

El viajero El viajero envejece más y envejece más y no el que se no el que se quedó en casa.quedó en casa.

¡El gemelo viajero envejece más!

Esto NO es ciencia ficción. Esto NO es ciencia ficción. Relojes atómicos colocados a Relojes atómicos colocados a bordo de aviones que dan la bordo de aviones que dan la vuelta a la Tierra y regresan han vuelta a la Tierra y regresan han verificado la dilatación del tiempo.verificado la dilatación del tiempo.

Contracción de la longitudContracción de la longitud0.9c

Lo

L

Como el movimiento relativo Como el movimiento relativo afecta al tiempo, la longitud afecta al tiempo, la longitud también será diferente:también será diferente:

2 20 1L L v c= −

LLoo es longitud es longitud propiapropiaL L es longitud es longitud relativarelativa

Los objetos en movimiento se acortan debido a la Los objetos en movimiento se acortan debido a la relatividad.relatividad.

Los objetos en movimiento se acortan debido a la Los objetos en movimiento se acortan debido a la relatividad.relatividad.

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Un metro se mueve a 0.9c en Un metro se mueve a 0.9c en relación con un observador. ¿Cuál es la relación con un observador. ¿Cuál es la longitud relativa que ve el observador?longitud relativa que ve el observador?

0.9c

1 mLo

L = ¿?

2 20 1L L v c= −

2 2(1 m) 1 (0.9 ) /L c c= −

(1 m) 1 0.81 0.436 mL = − =

Longitud registrada por el observador:Longitud registrada por el observador: L = 43.6 cmL = 43.6 cm

Si el observador en el suelo sostiene un metro, Si el observador en el suelo sostiene un metro, desde la nave se vería la misma contracción.desde la nave se vería la misma contracción.

Acortamiento de los objetosAcortamiento de los objetosNote que es la Note que es la longitudlongitud en la dirección del en la dirección del movimiento relativo la que se contrae y no las movimiento relativo la que se contrae y no las dimensiones perpendiculares al movimiento.dimensiones perpendiculares al movimiento.

0.9c

Wo

W<Wo 1 m =1 m

Si el metro tiene 2 cm de Si el metro tiene 2 cm de ancho, cada uno dirá ancho, cada uno dirá que el otro sólo tiene que el otro sólo tiene 0.87 cm de ancho, pero 0.87 cm de ancho, pero concordarán en la concordarán en la longitud.longitud.

Suponga que Suponga que cada uno cada uno sostiene un metro.sostiene un metro.

Cantidad de movimiento relativistaCantidad de movimiento relativistaLas leyes básicas de conservación para cantidad de Las leyes básicas de conservación para cantidad de movimiento y energía no se pueden violar por la relatividad.movimiento y energía no se pueden violar por la relatividad.

La ecuación de Newton para cantidad de movimiento La ecuación de Newton para cantidad de movimiento ((mvmv) ) se deben cambiar del modo siguiente para explicar la se deben cambiar del modo siguiente para explicar la relatividad:relatividad:

0

2 21

m vp

v c=

−Cantidad de movimiento relativista:

mmoo es la es la masa propiamasa propia, con frecuencia llamada , con frecuencia llamada masa en reposomasa en reposo. Note que, para grandes . Note que, para grandes valores de valores de vv, esta ecuación se reduce a la , esta ecuación se reduce a la ecuación de Newton.ecuación de Newton.

Masa relativistaMasa relativistaSi se debe conservar la cantidad de movimiento, la masa Si se debe conservar la cantidad de movimiento, la masa relativista relativista mm debe ser consistente con la siguiente ecuación:debe ser consistente con la siguiente ecuación:

0

2 21

mm

v c=

−Masa

relativista:

Note que, conforme un objeto acelera por una Note que, conforme un objeto acelera por una fuerza resultante, su masa aumenta, lo que fuerza resultante, su masa aumenta, lo que requiere todavía más fuerza. Esto significa que:requiere todavía más fuerza. Esto significa que:

¡La rapidez de la luz es una rapidez final!¡La rapidez de la luz es una rapidez final!¡La rapidez de la luz es una rapidez final!¡La rapidez de la luz es una rapidez final!

Ejemplo 3: Ejemplo 3: La masa en reposo de un La masa en reposo de un electrón es electrón es 9.1 x 109.1 x 10-31-31 kg kg. ¿Cuál es la masa . ¿Cuál es la masa relativista si su rapidez es relativista si su rapidez es 0.80.8cc ? ?

- 0.80.8cc

mmoo = 9.1 x 10= 9.1 x 10-31-31 kg kg0

2 21

mm

v c=

−

-31 -31

2 2

9.1 x 10 kg 9.1 x 10 kg

0.361 (0.6 )m

c c= =

−

m = 15.2 x 10-31 kg ¡La masa aumentó ¡La masa aumentó 67% !67% !

Masa y energíaMasa y energíaAntes de la teoría de la relatividad, los científicos Antes de la teoría de la relatividad, los científicos consideraban masa y energía como cantidades consideraban masa y energía como cantidades separadas, cada una de las cuales se debe separadas, cada una de las cuales se debe conservar.conservar.

Ahora masa y energía se Ahora masa y energía se deben considerar como la deben considerar como la misma cantidad. ¡La misma cantidad. ¡La masamasa de una pelota de béisbol se de una pelota de béisbol se puede expresar en puede expresar en joulesjoules o o su su energíaenergía en en kilogramoskilogramos! ! El movimiento El movimiento se agregase agrega a a la masa-energía.la masa-energía.

Energía relativista totalEnergía relativista totalLa fórmula general para la energía La fórmula general para la energía relativista total involucra la masa en reposo relativista total involucra la masa en reposo mmoo y la cantidad de movimiento relativista y la cantidad de movimiento relativista p p = mv= mv..

Energía total, E 2 2 20( )E m c p c= +

Para una partícula con cantidad Para una partícula con cantidad de movimiento cero de movimiento cero p = 0p = 0::

Para una onda EM, mPara una onda EM, m00 = = 0, y 0, y E E se simplifica a:se simplifica a:

E = moc2

E = pc

Masa y energía (Cont.)Masa y energía (Cont.)El factor de conversión entre masa m y energía E es:

Eo = moc2

El subíndice cero se refiere a valores El subíndice cero se refiere a valores propiospropios o en o en reposoreposo..

Un bloque de 1 kg sobre una masa tiene Un bloque de 1 kg sobre una masa tiene una energía una energía EEoo y masa y masa mmoo relativos a la relativos a la mesa:mesa:

1 kg

EEoo = (1 kg)(3 x 10 = (1 kg)(3 x 1088 m/s) m/s)22 Eo = 9 x 1016 J

Si el bloque de 1 kg está en movimiento relativo, Si el bloque de 1 kg está en movimiento relativo, su energía cinética se agrega a la su energía cinética se agrega a la energía totalenergía total..

Energía totalEnergía totalDe acuerdo con la teoría de Einstein, la De acuerdo con la teoría de Einstein, la energía total energía total E E de una partícula está dada por: de una partícula está dada por:

Energía total: E = mc2

La energía total incluye energía en reposo y La energía total incluye energía en reposo y energía de movimiento. Si está sólo interesado energía de movimiento. Si está sólo interesado en la energía de movimiento, debe restar en la energía de movimiento, debe restar mmoocc22..

Energía cinética: K = (m – mo)c2

((mmoocc22 + K) + K)

Energía cinética: Energía cinética: K K = = mcmc2 2 – m– moocc22

Ejemplo 4:Ejemplo 4: ¿Cuál es la energía cinética de un ¿Cuál es la energía cinética de un protón (mprotón (moo = 1.67 x 10 = 1.67 x 10-27-27 kg) que viaja a 0.8c? kg) que viaja a 0.8c?

+ 0.70.7cc

mmoo = 1.67 x 10= 1.67 x 10-27-27 kg kg0

2 21

mm

v c=

−

-27 -27

2 2

1.67 x 10 kg 1.67 x 10 kg

0.511 (0.7 )m

c c= =

−; m = 2.34 x 10; m = 2.34 x 10-27 -27 kgkg

K = (m – mK = (m – moo)c)c22 = = (2.34 x 10(2.34 x 10-27 -27 kg – 1.67 x 10kg – 1.67 x 10-17 -17 kg)kg)cc22

Energía cinética relativista K = 6.02 x 10-11 JEnergía cinética relativista K = 6.02 x 10-11 J

ResumenResumenLa La Teoría Especial de la RelatividadTeoría Especial de la Relatividad de Einstein, de Einstein, publicada en 1905, se basó en dos postulados:publicada en 1905, se basó en dos postulados:

I. Las leyes de la física son las mismas para I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia que se todos los marcos de referencia que se mueven con velocidad constante uno con mueven con velocidad constante uno con respecto al otro.respecto al otro.

I. Las leyes de la física son las mismas para I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia que se todos los marcos de referencia que se mueven con velocidad constante uno con mueven con velocidad constante uno con respecto al otro.respecto al otro.

II. La rapidez de la luz II. La rapidez de la luz cc en el espacio libre es en el espacio libre es constante para todos los observadores, constante para todos los observadores, independiente de sus estados de independiente de sus estados de movimiento. (movimiento. (cc = 3 x 10 = 3 x 1088 m/s m/s))

II. La rapidez de la luz II. La rapidez de la luz cc en el espacio libre es en el espacio libre es constante para todos los observadores, constante para todos los observadores, independiente de sus estados de independiente de sus estados de movimiento. (movimiento. (cc = 3 x 10 = 3 x 1088 m/s m/s))

Resumen (Cont.)Resumen (Cont.)

0

2 21

mm

v c=

−Masa

relativista:

0

2 21

tt

v c

∆∆ =−

Tiempo relativista:

2 20 1L L v c= −Longitud

relativista:

Resumen (Cont.)Resumen (Cont.)

Energía total: E = mc2

Energía cinética: K = (m – mo)c2

0

2 21

m vp

v c=

−Cantidad de movimiento relativista:

CONCLUSIÓN: Capítulo 38ACONCLUSIÓN: Capítulo 38ARelatividadRelatividad