Capítulo 11A – Movimiento AngularCapítulo 11A – Movimiento Angular

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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University

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Las TURBINAS DE VIENTO como éstas pueden generar energía significativa en una forma que es ambientalmente amistosa y renovable. Los conceptos de aceleración rotacional, velocidad angular, desplazamiento angular, inercia rotacional y otros temas que se discuten en este capítulo son útiles para describir la operación de las turbinas de viento.

Objetivos: Después de completar Objetivos: Después de completar este módulo, deberá:este módulo, deberá:

• Definir y aplicar los conceptos de Definir y aplicar los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración desplazamiento, velocidad y aceleración angular.angular.

• Dibujar analogías que relacionan parámetros Dibujar analogías que relacionan parámetros de movimiento rotacional (de movimiento rotacional (θθ, , ωω, , αα) con lineal () con lineal (x, x, v, av, a) y resolver problemas rotacionales.) y resolver problemas rotacionales.

• Escribir y aplicar relaciones entre parámetros Escribir y aplicar relaciones entre parámetros lineales y angulares.lineales y angulares.

Objetivos: (continuación)Objetivos: (continuación)

• Definir el momento de inercia y aplicarlo Definir el momento de inercia y aplicarlo para muchos objetos regulares en rotación.para muchos objetos regulares en rotación.

• Aplicar los siguientes conceptos a rotación:Aplicar los siguientes conceptos a rotación:

1. Trabajo, energía y potencia rotacional1. Trabajo, energía y potencia rotacional

2. Energía cinética y cantidad de 2. Energía cinética y cantidad de movimiento rotacionalmovimiento rotacional

3. Conservación de cantidad de 3. Conservación de cantidad de movimiento angularmovimiento angular

Desplazamiento rotacional, Desplazamiento rotacional, θθConsidere un disco que rota de A a B:Considere un disco que rota de A a B:

A

Bθθ

Desplazamiento angular Desplazamiento angular θθ::Medido en revoluciones, Medido en revoluciones,

grados o radianes.grados o radianes.

1 rev1 rev == 360 360 00 = 2= 2ππ radrad

La mejor medida para rotación de La mejor medida para rotación de cuerpos rígidos es el cuerpos rígidos es el radiánradián..

La mejor medida para rotación de La mejor medida para rotación de cuerpos rígidos es el cuerpos rígidos es el radiánradián..

Definición del radiánDefinición del radián

Un Un radián radián es el ángulo es el ángulo θθ subtendido al subtendido al centro de un círculo por una longitud de centro de un círculo por una longitud de arco arco ss igual al radio igual al radio RR del círculo. del círculo.

1 rad = = 57.30R

R

ss

Rθ =

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Una cuerda se enrolla muchas Una cuerda se enrolla muchas veces alrededor de un tambor de veces alrededor de un tambor de 50 cm50 cm de de radio. ¿Cuántas revoluciones del tambor se radio. ¿Cuántas revoluciones del tambor se requieren para subir una cubeta a una requieren para subir una cubeta a una altura de altura de 20 m20 m??

h = h = 20 m20 m

RRθθ = 40 rad= 40 rad

Ahora, Ahora, 1 rev = 21 rev = 2ππ rad rad

θ = 6.37 revθ = 6.37 rev

( ) 1 rev40 rad

2 radθ

π =

20 m

0.50 m

s

Rθ = =

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Una llanta de bicicleta tiene un Una llanta de bicicleta tiene un radio de radio de 25 cm25 cm. Si la rueda da . Si la rueda da 400 rev400 rev, , ¿cuánto habrá recorrido la bicicleta?¿cuánto habrá recorrido la bicicleta?

θθ = 2513 rad= 2513 rad

s = s = θ θ R = R = 25132513 rad (0.25 m)rad (0.25 m)

s = 628 ms = 628 m

( ) 2 rad400 rev

1 rev

πθ =

Velocidad angularVelocidad angularLa velocidad angularLa velocidad angular, , ωω,, es la tasa de es la tasa de cambio en el desplazamiento angular. cambio en el desplazamiento angular. (radianes por segundo)(radianes por segundo)

ω =ω = 2π2πff Frecuencia angular Frecuencia angular ff (rev/s).(rev/s).ω =ω = 2π2πff Frecuencia angular Frecuencia angular ff (rev/s).(rev/s).

La velocidad angular también se puede dar La velocidad angular también se puede dar como la frecuencia de revolución, como la frecuencia de revolución, f f (rev/s o rpm):(rev/s o rpm):

ω =ω = Velocidad angular en rad/s.Velocidad angular en rad/s.∆θ∆θ

∆∆tt

Ejemplo 3:Ejemplo 3: Una cuerda se enrolla muchas Una cuerda se enrolla muchas veces alrededor de un tambor de veces alrededor de un tambor de 20 cm20 cm de de radio. ¿Cuál es la velocidad angular del radio. ¿Cuál es la velocidad angular del tambor si levanta la cubeta a tambor si levanta la cubeta a 10 m10 m en en 5 s5 s??

h = h = 10 m10 m

R

ω = 10.0 rad/sω = 10.0 rad/s

ω = = ∆θ

∆t

50 rad

5 s

θθ = 50 rad= 50 rad10 m

0.20 m

s

Rθ = =

Ejemplo 4:Ejemplo 4: En el ejemplo anterior, ¿cuál es En el ejemplo anterior, ¿cuál es la frecuencia de revolución para el tambor? la frecuencia de revolución para el tambor? Recuerde que Recuerde que ωω = 10.0 rad/s = 10.0 rad/s..

h = 10 mh = 10 m

R

f = 95.5 rpmf = 95.5 rpm

2 or 2

f fωω ππ

= =

10.0 rad/s1.59 rev/s

2 rad/revf

π= =

O, dado que 60 s = 1 min:O, dado que 60 s = 1 min:

rev 60 s rev1.59 95.5

1 min minf

s = =

Aceleración angularAceleración angularLa La aceleración angular aceleración angular es la tasa de cambio en es la tasa de cambio en

velocidad angular. (radianes por s por s)velocidad angular. (radianes por s por s)

La aceleración angular también se puede encontrar a La aceleración angular también se puede encontrar a partir del cambio en frecuencia, del modo siguiente:partir del cambio en frecuencia, del modo siguiente:

)(rad/sangular n Aceleració 2

t∆∆= ωα

ft

f πωπα 2 pues )(2 =∆=

Ejemplo 5:Ejemplo 5: El bloque se levanta desde el El bloque se levanta desde el reposo hasta que la velocidad angular del reposo hasta que la velocidad angular del tambor es tambor es 1616 rad/srad/s después de después de 4 s4 s. . ¿Cuál es la aceleración angular ¿Cuál es la aceleración angular promedio?promedio?

h = h = 20 m20 m

R

α = 4.00 rad/s2α = 4.00 rad/s2

0

f o fort t

ω ω ωα α

−= =

2

16 rad/s rad4.00

4 s sα = =

Rapidez angular y linealRapidez angular y lineal

De la definición de desplazamiento angular :s = θ R Desplazamiento lineal contra

angular

v = ω Rs R

v Rt t t

θ θ∆ ∆ × ∆ = = = ÷ ÷∆ ∆ ∆

Rapidez lineal = rapidez angular x radioRapidez lineal = rapidez angular x radio

Aceleración angular y lineal:Aceleración angular y lineal:

De la relación de velocidad se tiene:

v = ωR Velocidad lineal contra angular

a = αRv v R v

v Rt t t

∆ ∆ × ∆ = = = ÷ ÷∆ ∆ ∆

Acel. lineal = Acel. angular x radioAcel. lineal = Acel. angular x radio

Ejemplo:Ejemplo:

R1 = 20 cm R2 = 40 cm

R1

R2

A

Bωο = 0; ωf = 20 rad/s

t = 4 s

¿Cuál es la rapidez lineal final en los puntos A y B?

Considere disco rotatorio Considere disco rotatorio plano:plano:

vAf = ωAf R1 = (20 rad/s)(0.2 m); vvAfAf = 4= 4 m/sm/s

vAf = ωBf R1 = (20 rad/s)(0.4 m); vvBfBf = 8= 8 m/sm/s

Ejemplo de aceleraciónEjemplo de aceleración

R1 = 20 cm R2 = 40 cm

¿Cuáles son las aceleraciones ¿Cuáles son las aceleraciones angular y lineal angular y lineal promediopromedio en B? en B?

R1

R2

A

Bωο = 0; ωf = 20 rad/s t = 4 s

Considere disco rotatorio Considere disco rotatorio plano:plano:

α = 5.00 rad/s2α = 5.00 rad/s2

a = αR = (5 rad/s2)(0.4 m) a = 2.00 m/s2a = 2.00 m/s2

0 20 rad/s

4 sf

t

ω ωα

−= =

Parámetros angulares contra Parámetros angulares contra l inealeslineales

La La aceleración angularaceleración angular es la tasa es la tasa de cambio en el tiempo de la de cambio en el tiempo de la velocidad angular.velocidad angular.

0f

t

ω ωα

−=

Recuerde la definición de Recuerde la definición de aceleración lineal aceleración lineal aa de la de la cinemáticacinemática..

0fv va

t

−=

Pero Pero aa = = ααRR y y vv = = ωωRR, así que puede escribir:, así que puede escribir:

0fv va

t

−= se vuelve 0fR R

Rt

ω ωα

−=

Comparación: l ineal contra angularComparación: l ineal contra angular

0

2fv v

s vt t+

= =

0

2ft t

ω ωθ ω

+ = =

f o tω ω α= +f ov v at= +

210 2t tθ ω α= +21

0 2s v t at= +21

2f t tθ ω α= −

2 202 fαθ ω ω= −2 2

02 fas v v= −

212fs v t at= −

Ejemplo lineal:Ejemplo lineal: Un automóvil que Un automóvil que inicialmente viaja a inicialmente viaja a 20 m/s20 m/s llega a llega a detenerse en una distancia de detenerse en una distancia de 100 m100 m. . ¿Cuál fue la aceleración?¿Cuál fue la aceleración?

100 m100 m

vvoo = 20 m/s= 20 m/s vvff = 0 m/s= 0 m/s

Seleccione ecuación:

2 202 fas v v= −

a = = 0 - vo

2

2s

-(20 m/s)2

2(100 m) a = -2.00 m/s2a = -2.00 m/s2

Analogía angular:Analogía angular: Un disco (R = 50 cm), que rota a 600 rev/min llega a detenerse después de dar 50 rev. ¿Cuál es la aceleración?Seleccione ecuación:

2 202 fαθ ω ω= −

α = = 0 - ωo

2

2θ

-(62.8 rad/s)2

2(314 rad)α = -6.29 m/s2α = -6.29 m/s2

Rωo = 600 rpm

ω f = 0 rpm

θ = 50 rev

2 rad 1 min600 62.8 rad/s

min 1 rev 60 s

rev π = 50 rev = 314 rad

Estrategia para resolución de Estrategia para resolución de problemas:problemas:

Dibuje y etiquete bosquejo de problema.Dibuje y etiquete bosquejo de problema.

Indique dirección Indique dirección ++ de rotación. de rotación.

Mencione lo dado y establezca lo que debe Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar.encontrar.

Dado: ____, _____, _____ (θ,ωο,ωf,α,t)

Encontrar: ____, _____ Selecciones la ecuación que contenga

una y no la otra de las cantidades desconocidas y resuelva para la incógnita.

Ejemplo 6:Ejemplo 6: Un tambor rota en sentido de las Un tambor rota en sentido de las manecillas del reloj inicialmente a manecillas del reloj inicialmente a 100 rpm100 rpm y y experimenta una aceleración constante en experimenta una aceleración constante en dirección contraria de dirección contraria de 3 rad/s3 rad/s22 durante durante 2 s2 s. ¿Cuál . ¿Cuál es el desplazamiento angular?es el desplazamiento angular?

θ = -14.9 radθ = -14.9 rad

Dado:Dado: ωo = -100 rpm; t = 2 s α = +2 rad/s2

2 21 12 2( 10.5)(2) (3)(2)ot tθ ω α= + = − +

rev 1 min 2 rad100 10.5 rad/s

min 60 s 1 rev

π =

θ = -20.9 rad + 6 rad

El desplazamiento neto es en dirección de las manecilla del reloj (-)

R

+α

Resumen de fórmulas para rotaciónResumen de fórmulas para rotación

0

2fv v

s vt t+

= =

0

2ft t

ω ωθ ω

+ = =

f o tω ω α= +f ov v at= +

210 2t tθ ω α= +21

0 2s v t at= +21

2f t tθ ω α= −

2 202 fαθ ω ω= −2 2

02 fas v v= −

212fs v t at= −

CONCLUSIÓN: Capítulo 11A CONCLUSIÓN: Capítulo 11A Movimiento AngularMovimiento Angular