Capítulo 32B – Circuitos RCCapítulo 32B – Circuitos RCPresentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

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Circuitos RC: Aumento y reducción de Circuitos RC: Aumento y reducción de corrientes en circuitos capacitivoscorrientes en circuitos capacitivos

El cálculo se usa El cálculo se usa sólosólo para derivación de para derivación de ecuaciones para predecir el aumento y la ecuaciones para predecir el aumento y la reducción de carga en un capacitor en reducción de carga en un capacitor en serie con una sola resistencia. Las serie con una sola resistencia. Las aplicaciones no se basan en cálculo.aplicaciones no se basan en cálculo.

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Opcional:Opcional: Verifique con su instructor Verifique con su instructor

Circuito RCCircuito RC

R

V C

++

--

a

b

Circuito RC: Resistencia R y capacitancia C en serie con una fuente de fem V.

Comience a cargar el capacitor... la regla de la malla produce:Comience a cargar el capacitor... la regla de la malla produce:

; q

iR V iRC

= − =∑ ∑E

R

V C

++

--

a

bi

q

C

Circuito RC: Carga de capacitorCircuito RC: Carga de capacitor

Reordene los términos para colocar en forma diferencial:Reordene los términos para colocar en forma diferencial:

qV iR

C− =

R

V C

++

--

a

bi

q

C

dq qR Vdt C

= −

( )RCdq CV q dt= −

( )

dq dt

CV q RC=

− 0 ( )

q t

o

dq dt

CV q RC=

−∫ ∫

Multiplique por Multiplique por C dt :C dt :

Circuito RC: Carga de capacitorCircuito RC: Carga de capacitorR

V C

++

--

a

bi

q

C 0 ( )

q t

o

dq dt

CV q RC=

−∫ ∫

0ln( )

q tCV q

RC− − =

(1/ )RC tCV q CVe−− =

ln( ) ln( )t

CV q CVRC

−− − = ( )lnCV q t

CV RC

− −=

( )/1 t RCq CV e−= −

Circuito RC: Carga de capacitorCircuito RC: Carga de capacitorR

V C

++

--

a

bi

q

C

( )/1 t RCq CV e−= −

Carga instantánea q sobre un capacitor que se carga:

En el tiempo En el tiempo t t = 0: = 0: q = CV(1 - 1); q = 0q = CV(1 - 1); q = 0

En el tiempo En el tiempo t t = = ∞∞: : q = CV(1 - 0); qq = CV(1 - 0); qmaxmax = CV = CV

La carga q aumenta de cero inicialmente a su valor máximo qmax = CV

La carga q aumenta de cero inicialmente a su valor máximo qmax = CV

Ejemplo 1.Ejemplo 1. ¿Cuál es la carga sobre un ¿Cuál es la carga sobre un capacitor de capacitor de 4 4 µµFF cargado por cargado por 12 V12 V durante durante un tiempo un tiempo t = RCt = RC? ?

Tiempo, t

Qmaxq

Aumento Aumento en cargaen carga

Capacitor

τ

0.63 Q

El tiempo El tiempo ττ = RC = RC se conoce se conoce como como constante de tiempoconstante de tiempo..

( )/1 t RCq CV e−= −

( )11q CV e−= −

R = 1400 Ω

V 4 µF

++

--

a

bi

e e = 2.718= 2.718; e; e-1-1 = 0.63 = 0.63

( )1 0.37q CV= −

0.63q CV=

Ejemplo 1 (Cont.)Ejemplo 1 (Cont.) ¿Cuál es la constante de ¿Cuál es la constante de tiempo tiempo ττ? ?

Tiempo, t

Qmaxq

Aumento Aumento en cargaen carga

Capacitor

τ

0.63 Q

El tiempo El tiempo ττ = RC = RC se conoce se conoce como como constante de tiempoconstante de tiempo..

R = 1400 Ω

V 4 µF

++

--

a

bi

En una constante de En una constante de tiempo (tiempo (5.60 ms5.60 ms en en este ejemplo), la carga este ejemplo), la carga aumenta a aumenta a 63%63% de su de su valor máximo (CV).valor máximo (CV).

ττ = (1400 = (1400 ΩΩ)(4 )(4 µµF)F)

τ = 5.60 msτ = 5.60 ms

Circuito RC: Reducción de corrienteCircuito RC: Reducción de corrienteR

V C

++

--

a

bi

q

C

( )/1 t RCq CV e−= −

Conforme q aumenta, la corriente i se reducirá.

( )/ /t RC t RCdq d CVi CV CVe edt dt RC

− −= = − =

Reducción de corriente Reducción de corriente conforme se carga un conforme se carga un

capacitor:capacitor:

/t RCVi eR

−=

Reducción de corrienteReducción de corrienteR

V C

++

--

a

bi

q

C

La corriente es un máximo La corriente es un máximo de I = V/R cuando t = 0.de I = V/R cuando t = 0.

La corriente es cero La corriente es cero cuando t = cuando t = ∞∞ (porque la (porque la fcem de C es igual a V).fcem de C es igual a V).

/t RCVi eR

−=

Considere Considere ii cuando cuando t = 0 y t = t = 0 y t = ∞∞ . .

Tiempo, t

I i

Current Current DecayDecay

Capacitor

τ

0.37 IReducción Reducción

de corrientede corriente

Ejemplo 2.Ejemplo 2. ¿Cuál es la corriente ¿Cuál es la corriente ii después de una después de una constante de tiempo (constante de tiempo (τ = τ = RCRC)? Dados )? Dados RR y y CC como antes. como antes.

El tiempo El tiempo ττ = RC = RC se conoce se conoce como como constante de tiempoconstante de tiempo.. e e = 2.718= 2.718; e; e-1-1 = 0.37 = 0.37

max0.37 0.37V

i iR

= =/ 1t RCV Vi e eR C

− −= =

R = 1400 Ω

V 4 µF

++

--

a

bi

Tiempo, t

I i

Current Current DecayDecay

Capacitor

τ

0.37 IReducción Reducción

de corrientede corriente

Carga y corriente durante la carga Carga y corriente durante la carga de un capacitorde un capacitor

Time, t

Qmaxq

Aumento de Aumento de cargacarga

Capacitor

τ

0.63 I

En un tiempo En un tiempo τ τ de una constante de tiempo, la de una constante de tiempo, la carga carga q q aumenta a aumenta a 63%63% de su máximo, mientras de su máximo, mientras la corriente la corriente ii se reduce a se reduce a 37%37% de su valor de su valor máximo.máximo.

Tiempo, t

I i

Current Current DecayDecay

Capacitor

τ

0.37 IReducción Reducción

de corrientede corriente

Circuito RC: DescargaCircuito RC: Descarga

R

V C

++

--

a

b

Después de que C está completamente cargado, se cambia el interruptor a b, lo que permite su

descarga.

Descarga de capacitor... la regla de la malla produce:Descarga de capacitor... la regla de la malla produce:

; q

iR iRC

= = −∑ ∑E

R

V C

++

--

a

bi

q

C

Negativo debido Negativo debido a a I I decreciente.decreciente.

Descarga de qDescarga de q0 0 a q:a q:

; dq

q RCi q RCdt

= − = −

Carga instantánea q sobre capacitor que se descarga:

R

V C

++

--

a

bi

q

C

;dq dt

q RC= −

0 0;

q t

q

dq dt

q RC= −∫ ∫ [ ]

00

lnt

q

q

tq

RC = −

0ln lnt

q qRC

−− =0

lnq t

q RC

−=

Descarga de capacitorDescarga de capacitorR

V C

++

--

a

bi

q

C 0

lnq t

q RC

−=

/0

t RCq q e−=

Note Note qqoo = CV = CV y la corriente instantánea es: y la corriente instantánea es: dq/dtdq/dt..

( )/ /t RC t RCdq d CVi CVe edt dt RC

− −= = = −

/t RCVi e

C−= −Corriente Corriente ii para para

descarga de capacitor.descarga de capacitor.

Ejemplo 3.Ejemplo 3. ¿Cuántas constantes de tiempo se ¿Cuántas constantes de tiempo se necesitan para que un capacitor llegue al 99% de su necesitan para que un capacitor llegue al 99% de su carga final?carga final?

R

V C

++

--

a

bi

q

C ( )/max 1 t RCq q e−= −

/

max

0.99 1 t RCqe

q−= = −

Sea x = t/RC, entonces:Sea x = t/RC, entonces: ee-x-x = 1-0.99 o = 1-0.99 o ee-x-x = 0.01 = 0.01

10.01; 100x

xe

e= = ln (100)e x=De la definición De la definición

de logaritmo:de logaritmo:

xx = 4.61 = 4.61 t

xRC

= 4.61 constantes de tiempo

4.61 constantes de tiempo

Ejemplo 4.Ejemplo 4. Encuentre la constante de tiempo, qEncuentre la constante de tiempo, qmaxmax, y el tiempo , y el tiempo para alcanzar una carga de para alcanzar una carga de 16 16 µµC C si si VV = 12 V = 12 V y y CC = 4 = 4 µµFF..

( )/max 1 t RCq q e−= −

R

V1.8 µF

++

--

a

b i

1.4 MΩ

C12 Vττ = RC = (1.4 MW)(1.8 mF)= RC = (1.4 MW)(1.8 mF)

τ = 2.52 sτ = 2.52 s

qqmaxmax = CV = (1.8 = CV = (1.8 µµF)(12 V);F)(12 V); qmax = 21.6 µCqmax = 21.6 µC

/

max

16 C1

21.6 Ct RCq

eq

µµ

−= = − /1 0.741t RCe−− =continúa . . . continúa . . .

Ejemplo 4.Ejemplo 4. Encuentre la constante de tiempo, qEncuentre la constante de tiempo, qmaxmax, y el tiempo , y el tiempo para alcanzar una carga de para alcanzar una carga de 16 16 µµC C si si VV = 12 V = 12 V y y CC = 4 = 4 µµFF..

R

V1.8 µF

++

--

a

b i

1.4 MΩ

C12 V

/1 0.741t RCe−− =Sea x = t/RC, entonces:Sea x = t/RC, entonces:

1 0.741 0.259xe− = − =

10.259; 3.86x

xe

e= = ln (3.86)e x=De la definición De la definición

de logaritmo:de logaritmo:

xx = 1.35 = 1.35 1.35; (1.35)(2.52s)t

tRC

= =

t = 3.40 st = 3.40 sTiempo para alcanzar 16 Tiempo para alcanzar 16 µµC:C:

CONCLUSIÓN: Capítulo 32BCONCLUSIÓN: Capítulo 32BCircuitos RCCircuitos RC