Capítulo 31B – Corrientes Capítulo 31B – Corrientes transitorias e inductanciatransitorias e inductancia

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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University

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Objetivos: Objetivos: Después de completar Después de completar este módulo deberá:este módulo deberá:

• Definir y calcular la Definir y calcular la inductanciainductancia en en términos de una corriente variable.términos de una corriente variable.

• Discutir y resolver problemas que Discutir y resolver problemas que involucran involucran aumentoaumento y y reducciónreducción de de corriente en corriente en capacitores capacitores e e inductoresinductores..

• Calcular la Calcular la energíaenergía almacenada en un almacenada en un inductor inductor y encontrar la y encontrar la densidad de densidad de energíaenergía..

AutoinductanciaAutoinductancia

R

I creciente

Considere una bobina conectada a una resistencia Considere una bobina conectada a una resistencia RR y y voltaje voltaje VV. Cuando se cierra el interruptor, el aumento de . Cuando se cierra el interruptor, el aumento de corriente corriente I I aumenta el flujo, lo que produce una fuerza aumenta el flujo, lo que produce una fuerza contraelectromotriz interna en la bobina. El interruptor contraelectromotriz interna en la bobina. El interruptor abierto invierte la fem.abierto invierte la fem.

Considere una bobina conectada a una resistencia Considere una bobina conectada a una resistencia RR y y voltaje voltaje VV. Cuando se cierra el interruptor, el aumento de . Cuando se cierra el interruptor, el aumento de corriente corriente I I aumenta el flujo, lo que produce una fuerza aumenta el flujo, lo que produce una fuerza contraelectromotriz interna en la bobina. El interruptor contraelectromotriz interna en la bobina. El interruptor abierto invierte la fem.abierto invierte la fem.

R

I decrecienteLey de Lenz:Ley de Lenz:

La La fcemfcem (flecha (flecha roja)roja) debe debe oponerse al oponerse al cambio en cambio en

flujo:flujo:

InductanciaInductanciaLa fuerza contraelectromotriz (fcem) La fuerza contraelectromotriz (fcem) EE inducida en inducida en una bobina es proporcional a la tasa de cambio de la una bobina es proporcional a la tasa de cambio de la corriente corriente ∆∆I/I/∆∆t.t.

Una Una inductanciainductancia de un de un henry henry (H)(H) significa que el cambio de significa que el cambio de corriente a la tasa de corriente a la tasa de un un ampere por segundoampere por segundo inducirá inducirá una fcem de una fcem de un voltun volt..

R

∆i/ ∆t creciente

1 V1 H

1 A/s=

; inductancei

L Lt

∆= − ≡∆

E inductancia

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Una bobina de Una bobina de 20 vueltas20 vueltas tiene tiene una fem inducida de una fem inducida de 4 mV4 mV cuando la cuando la corriente cambia a la tasa de corriente cambia a la tasa de 2 A/s2 A/s. ¿Cuál es . ¿Cuál es la inductancia?la inductancia?

; /

iL Lt i t

∆ −= − =∆ ∆ ∆

EE

( 0.004 V)

2 A/sL

− −= L = 2.00 mHL = 2.00 mH

Nota:Nota: Se sigue la práctica de usar Se sigue la práctica de usar i i minúscula minúscula para para corriente variablecorriente variable o transitoria e o transitoria e II mayúscula para mayúscula para corriente estacionariacorriente estacionaria..

Nota:Nota: Se sigue la práctica de usar Se sigue la práctica de usar i i minúscula minúscula para para corriente variablecorriente variable o transitoria e o transitoria e II mayúscula para mayúscula para corriente estacionariacorriente estacionaria..

R

∆i/ ∆t = 2 A/s4 mV4 mV

Cálculo de inductanciaCálculo de inductanciaRecuerde dos formas de encontrar Recuerde dos formas de encontrar E:E:

iLt

∆= −∆

ENt

∆Φ= −∆

E

Al igualar estos términos se obtiene:Al igualar estos términos se obtiene:

iN L

t t

∆Φ ∆=∆ ∆

Por tanto, la inductancia L se puede encontrar de:Por tanto, la inductancia L se puede encontrar de:

NL

I

Φ=

∆i/ ∆t creciente

R

Inductancia L

Inductancia de un solenoideInductancia de un solenoideEl campo El campo BB que crea una que crea una

corriente corriente II para longitud para longitud l l es:es:

0NIBµ=l

y Φ = BA

0 NIA N

LI

µ ΦΦ = =l

Al combinar las últimas dos Al combinar las últimas dos ecuaciones se obtiene:ecuaciones se obtiene:

20N A

Lµ=

l

R

Inductancia L

lB

Solenoide

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Un solenoide de Un solenoide de 0.002 m0.002 m22 de de área y área y 30 cm30 cm de longitud tiene de longitud tiene 100 vueltas100 vueltas. . Si la corriente aumenta de Si la corriente aumenta de 00 a a 2 A2 A en en 0.1 s0.1 s, , ¿cuál es la inductancia del solenoide?¿cuál es la inductancia del solenoide?

Primero se encuentra la inductancia del solenoide:Primero se encuentra la inductancia del solenoide:-7 2 22 T m

0 A(4 x 10 )(100) (0.002 m )

0.300 m

N AL

πµ ⋅

= =l

R

l

AL = 8.38 x 10-5 HL = 8.38 x 10-5 H

Nota: Nota: L L NONO depende de la depende de la corrientecorriente, sino de , sino de parámetros parámetros físicosfísicos de la bobina. de la bobina.

Nota: Nota: L L NONO depende de la depende de la corrientecorriente, sino de , sino de parámetros parámetros físicosfísicos de la bobina. de la bobina.

Ejemplo 2 (Cont.):Ejemplo 2 (Cont.): Si la corriente en el Si la corriente en el solenoide de solenoide de 83.8 83.8 µµHH aumentó de aumentó de 00 a a 2 A2 A en en 0.1 s0.1 s, ¿cuál es la fem inducida?, ¿cuál es la fem inducida?

R

l

AL = 8.38 x 10-5 HL = 8.38 x 10-5 H

iLt

∆= −∆

E

-5(8.38 x 10 H)(2 A - 0)

0.100 s

−=E 1.68 mV= −E

Energía almacenada en un inductorEnergía almacenada en un inductor

En un instante cuando la corriente En un instante cuando la corriente cambia a cambia a ∆∆i/i/∆∆tt, se tiene:, se tiene:

; i i

L P i Lit t

∆ ∆= = =∆ ∆

E E

Dado que la potencia Dado que la potencia PP = trabajo/t= trabajo/t, , Trabajo = P Trabajo = P ∆∆tt. Además, el . Además, el valor promedio de valor promedio de LiLi es es Li/2Li/2 durante el aumento a la corriente durante el aumento a la corriente final final II. . Por tanto, la energía total almacenada es:Por tanto, la energía total almacenada es:

Energía potencial almacenada en

inductor:

212U Li=

R

Ejemplo 3:Ejemplo 3: ¿Cuál es la energía potencial ¿Cuál es la energía potencial almacenada en un inductor de almacenada en un inductor de 0.3 H0.3 H si la si la corriente se eleva de 0 a un valor final de corriente se eleva de 0 a un valor final de 2 A2 A??

212U Li=

212 (0.3 H)(2 A) 0.600 JU = =

U = 0.600 J

Esta Esta energíaenergía es igual al es igual al trabajotrabajo realizado realizado al llegar a la al llegar a la corriente final corriente final II; se devuelve ; se devuelve cuando la corriente disminuye a cero.cuando la corriente disminuye a cero.

L = 0.3 H

I = 2 A

R

Densidad de energía (opcional)Densidad de energía (opcional)

R

l

A

La densidad de energía La densidad de energía uu es la es la energía energía U U por unidad de volumen por unidad de volumen VV

220 1

2; ; N A

L U LI V Aµ= = = l

l

Al sustituir se obtiene Al sustituir se obtiene u = U/V u = U/V ::

2 20

2201

2

2;

N AI

N A UU I u

V A

µµ

= = =

l

l l

2 20

22

N Iu

µ=l

Densidad de energía (continúa)Densidad de energía (continúa)

R

l

A

2 20

22

N Iu

µ=l

Densidad Densidad de energía:de energía:

Recuerde la fórmula para el campo B:Recuerde la fórmula para el campo B:

0

0

NI NI B

Bµ

µ= → =

l l

2 20 0

202 2

NI Bu

µ µµ

= = l

2

02

Bu

µ=

Ejemplo 4:Ejemplo 4: La corriente estacionaria final en un La corriente estacionaria final en un solenoide de 40 vueltas y 20 cm de longitud es 5 solenoide de 40 vueltas y 20 cm de longitud es 5 A. ¿Cuál es la densidad de energía?A. ¿Cuál es la densidad de energía?

R

l

A

-70 (4 x 10 )(40)(5 A)

0.200 m

NIB

µ π= =l

B = 1.26 mTB = 1.26 mT2 -3 2

-7 T m0 A

(1.26 x 10 T)

2 2(4 x 10 )

Bu

µ π ⋅= =

u = 0.268 J/m3u = 0.268 J/m3

La densidad de energía La densidad de energía es importante para el es importante para el estudio de las ondas estudio de las ondas electromagnéticas.electromagnéticas.

El circuito R-LEl circuito R-L

RL

S2

S1

V

E

Un inductor Un inductor LL y un resistor y un resistor RR se conectan en serie y el se conectan en serie y el interruptor 1interruptor 1 se cierra: se cierra:

iiV – V – E E = iR= iR iLt

∆=∆

E

iV L iR

t

∆= +∆

Inicialmente, Inicialmente, ∆∆i/i/∆∆tt es grande, lo que hace es grande, lo que hace grande la grande la fcemfcem y la corriente y la corriente ii pequeña. La pequeña. La corriente aumenta a su valor máximo corriente aumenta a su valor máximo II cuando cuando la tasa de cambio es cero.la tasa de cambio es cero.

Inicialmente, Inicialmente, ∆∆i/i/∆∆tt es grande, lo que hace es grande, lo que hace grande la grande la fcemfcem y la corriente y la corriente ii pequeña. La pequeña. La corriente aumenta a su valor máximo corriente aumenta a su valor máximo II cuando cuando la tasa de cambio es cero.la tasa de cambio es cero.

Aumento de corriente en LAumento de corriente en L( / )(1 )R L tV

i eR

−= −

En t = 0, I = 0En t = 0, I = 0

En t = En t = ∞, I = V/R, I = V/R

Constante de tiempo Constante de tiempo τ:τ:

L

Rτ =

En un inductor, la corriente subirá a En un inductor, la corriente subirá a 63%63% de su de su valor máximo en una constante de tiempo valor máximo en una constante de tiempo τ τ = L/R= L/R..En un inductor, la corriente subirá a En un inductor, la corriente subirá a 63%63% de su de su valor máximo en una constante de tiempo valor máximo en una constante de tiempo τ τ = L/R= L/R..

Tiempo, t

Ii

Aumento de Aumento de corrientecorriente

τ

0.63 I

Reducción R-LReducción R-L

RL

S2

S1

VAhora suponga que Ahora suponga que SS22 se se cierra después de que hay cierra después de que hay energía en el inductor:energía en el inductor:

E E = iR= iRi

Lt

∆=∆

E

iL iRt

∆ =∆

Inicialmente, Inicialmente, ∆∆i/i/∆∆tt es grande y la es grande y la fem fem EE que activa que activa la corriente está en su valor máximo la corriente está en su valor máximo II. la corriente . la corriente se reducese reduce a cero cuando la fem se quita. a cero cuando la fem se quita.

Inicialmente, Inicialmente, ∆∆i/i/∆∆tt es grande y la es grande y la fem fem EE que activa que activa la corriente está en su valor máximo la corriente está en su valor máximo II. la corriente . la corriente se reducese reduce a cero cuando la fem se quita. a cero cuando la fem se quita.

Para reducción de Para reducción de corriente en L:corriente en L:

E

ii

Reducción de corriente en LReducción de corriente en L

( / )R L tVi eR

−=

En t = 0, En t = 0, ii = V/R = V/R

En t = En t = ∞, , ii = 0 = 0

Constante de tiempo Constante de tiempo τ:τ:

L

Rτ =

En un inductor, la corriente se reducirá a 37% de En un inductor, la corriente se reducirá a 37% de su valor máximo en una constante de tiempo su valor máximo en una constante de tiempo τ.τ.En un inductor, la corriente se reducirá a 37% de En un inductor, la corriente se reducirá a 37% de su valor máximo en una constante de tiempo su valor máximo en una constante de tiempo τ.τ.

Tiempo, t

Ii

Reducción de Reducción de corrientecorriente

τ

0.37 I

Ejemplo 5:Ejemplo 5: El circuito siguiente tiene un inductor El circuito siguiente tiene un inductor de de 40 mH40 mH conectado a un resistor de conectado a un resistor de 5 5 ΩΩ y una y una batería de batería de 16 V16 V. ¿Cuál es la constante de tiempo . ¿Cuál es la constante de tiempo y la corriente después de una constante de y la corriente después de una constante de tiempo?tiempo?

5 ΩΩ

L = 0.04 H

16 V

R

0.040 H

5

L

Rτ = =

Ω

Constante de tiempo: τ = 8 msConstante de tiempo: τ = 8 ms

( / )(1 )R L tVi eR

−= −

Después del Después del tiempo tiempo τ:τ:

i = 0.63(V/R)i = 0.63(V/R)

16V0.63

5i

= Ω i = 2.02 A

El circuito R-CEl circuito R-C

RC

S2

S1

V

E

Cierre Cierre SS11. Entonces, conforme . Entonces, conforme la carga la carga QQ se acumula en el se acumula en el capacitor capacitor CC, resulta una fcem , resulta una fcem EE::

iiV – V – E E = iR= iR Q

C=E

QV iR

C= +

Inicialmente, Inicialmente, Q/CQ/C es pequeño, lo que hace es pequeño, lo que hace pequeña la pequeña la fcemfcem y la corriente y la corriente ii es un máximo es un máximo II.. Conforme la carga Conforme la carga QQ se acumula, la corriente se se acumula, la corriente se reduce a cero cuando reduce a cero cuando EEbb = = V.V.

Inicialmente, Inicialmente, Q/CQ/C es pequeño, lo que hace es pequeño, lo que hace pequeña la pequeña la fcemfcem y la corriente y la corriente ii es un máximo es un máximo II.. Conforme la carga Conforme la carga QQ se acumula, la corriente se se acumula, la corriente se reduce a cero cuando reduce a cero cuando EEbb = = V.V.

Aumento de cargaAumento de carga

t = 0, Q = 0, I t = 0, Q = 0, I = V/R= V/R

t = t = ∞ , i = , i = 0, Q, Qm m = C V= C V

Constante de tiempo Constante de tiempo τ:τ:

RCτ =

En un capacitor, la carga En un capacitor, la carga QQ aumentará a aumentará a 63%63% de su de su valor máximo en una valor máximo en una constante de tiempo constante de tiempo ττ..

En un capacitor, la carga En un capacitor, la carga QQ aumentará a aumentará a 63%63% de su de su valor máximo en una valor máximo en una constante de tiempo constante de tiempo ττ..

QV iR

C= +

/(1 )t RCQ CV e−= −

Desde luego, conforme la carga aumenta, la Desde luego, conforme la carga aumenta, la corriente corriente ii se se reduciráreducirá..

Tiempo, t

Qmaxq

Aumento de Aumento de cargacarga

Capacitor

τ

0.63 I

Reducción de corriente en CReducción de corriente en C

/t RCVi eR

−=

En t = 0, En t = 0, ii = V/R = V/R

En t = En t = ∞, , ii = 0 = 0

Constante de tiempo Constante de tiempo τ:τ:

RCτ =

La corriente se reducirá a La corriente se reducirá a 37%37% de su valor máximo de su valor máximo en una constante de tiempo en una constante de tiempo τ; τ; la carga aumenta.la carga aumenta.La corriente se reducirá a La corriente se reducirá a 37%37% de su valor máximo de su valor máximo en una constante de tiempo en una constante de tiempo τ; τ; la carga aumenta.la carga aumenta.

Tiempo, t

Ii

Reducción Reducción de corrientede corriente

Capacitor

τ

0.37 I

Conforme aumenta la carga Q

Descarga R-CDescarga R-CAhora suponga que se cierra Ahora suponga que se cierra SS22 y se permite la descarga y se permite la descarga de de CC::

E E = iR= iRQ

C=E

QiR

C=

Inicialmente, Inicialmente, QQ es grande y la es grande y la fem fem EE que activa la que activa la corriente está en su valor máximo corriente está en su valor máximo II. La corriente . La corriente se reducese reduce a cero cuando la fem se quita. a cero cuando la fem se quita.

Inicialmente, Inicialmente, QQ es grande y la es grande y la fem fem EE que activa la que activa la corriente está en su valor máximo corriente está en su valor máximo II. La corriente . La corriente se reducese reduce a cero cuando la fem se quita. a cero cuando la fem se quita.

Para Para reducción de reducción de corriente en L:corriente en L:

RS2

S1

V

iiC

E

Reducción de Reducción de corrientecorriente

En t = 0, I = V/REn t = 0, I = V/R

En t = En t = ∞, I = 0, I = 0

En un capacitor que se descarga, tanto corriente En un capacitor que se descarga, tanto corriente como carga se reducen a 37% de sus valores como carga se reducen a 37% de sus valores máximos en una constante de tiempo máximos en una constante de tiempo τ τ = RC.= RC.

En un capacitor que se descarga, tanto corriente En un capacitor que se descarga, tanto corriente como carga se reducen a 37% de sus valores como carga se reducen a 37% de sus valores máximos en una constante de tiempo máximos en una constante de tiempo τ τ = RC.= RC.

/t RCVi e

R−−= RCτ =

Conforme la corriente se reduce, Conforme la corriente se reduce, la carga también se reduce:la carga también se reduce:

/t RCQ CVe−=

Tiempo, t

I i

Current Current DecayDecay

Capacitor

τ

0.37 IReducción Reducción de corrientede corriente

Ejemplo 6:Ejemplo 6: El circuito siguiente tiene un capacitor de El circuito siguiente tiene un capacitor de 4 4 µµFF conectado a un resistor de conectado a un resistor de 3 3 ΩΩ y una batería de y una batería de 12 V12 V. El interruptor está abierto. ¿Cuál es la corriente . El interruptor está abierto. ¿Cuál es la corriente después de una constante de tiempo después de una constante de tiempo ττ??

Constante de tiempo: τ = 12 µsConstante de tiempo: τ = 12 µs

/(1 )t RCVi eR

−= −

Después del Después del tiempo tiempo τ:τ:

i = 0.63(V/R)i = 0.63(V/R)

12V0.63

3i

= Ω i = 2.52 A

3 Ω

C = 4 µF

12 V

R

ττ = RC = (3 = RC = (3 ΩΩ)(4 )(4 µµF)F)

ResumenResumen

R

l

AN

LI

Φ=2

0N AL

µ=l

Energía potencial,densidad de energía:

212U Li=

2

02

Bu

µ=

; inductancei

L Lt

∆= − ≡∆

E inductancia

ResumenResumen

( / )(1 )R L tVi eR

−= −

L

Rτ =

En un inductor, la corriente aumentará a En un inductor, la corriente aumentará a 63%63% de su de su valor máximo en una constante de tiempo valor máximo en una constante de tiempo τ τ = L/R= L/R..En un inductor, la corriente aumentará a En un inductor, la corriente aumentará a 63%63% de su de su valor máximo en una constante de tiempo valor máximo en una constante de tiempo τ τ = L/R= L/R..

Tiempo, t

I i

Aumento de Aumento de corrientecorriente

τ

0.63I

Inductor

La corriente inicial es cero debido al rápido cambio de corriente en la bobina. Eventualmente, la fem inducida se vuelve cero, lo que resulta en la corriente máxima V/R.

La corriente inicial es cero debido al rápido cambio de corriente en la bobina. Eventualmente, la fem inducida se vuelve cero, lo que resulta en la corriente máxima V/R.

Resumen (Cont.)Resumen (Cont.)( / )R L tV

i eR

−=

La corriente se reducirá a La corriente se reducirá a 37%37% de su valor de su valor máximo en una constante de tiempo máximo en una constante de tiempo τ τ = L/R.= L/R.La corriente se reducirá a La corriente se reducirá a 37%37% de su valor de su valor máximo en una constante de tiempo máximo en una constante de tiempo τ τ = L/R.= L/R.

La corriente inicial, La corriente inicial, I = V/RI = V/R, se reduce , se reduce a cero conforme a cero conforme se disipa la fem en se disipa la fem en la bobina.la bobina.

La corriente inicial, La corriente inicial, I = V/RI = V/R, se reduce , se reduce a cero conforme a cero conforme se disipa la fem en se disipa la fem en la bobina.la bobina.

Tiempo, t

I i

Current Current DecayDecay

τ

0.37I

Inductor

Reducción Reducción de corrientede corriente

Resumen (Cont.)Resumen (Cont.)Cuando se carga un capacitor, la carga se Cuando se carga un capacitor, la carga se eleva a 63% de su máximo mientras la eleva a 63% de su máximo mientras la corriente disminuye a 37% de su valor máximo.corriente disminuye a 37% de su valor máximo.

Cuando se carga un capacitor, la carga se Cuando se carga un capacitor, la carga se eleva a 63% de su máximo mientras la eleva a 63% de su máximo mientras la corriente disminuye a 37% de su valor máximo.corriente disminuye a 37% de su valor máximo.

Tiempo, t

Qmaxq

Aumento de Aumento de cargacarga

Capacitor

τ

0.63 I

/(1 )t RCQ CV e−= − RCτ =/t RCV

i eR

−=

Tiempo, t

I i

Current Current DecayDecay

Capacitor

τ

0.37 IReducción Reducción de cargade carga

CONCLUSIÓN: Capítulo 31BCONCLUSIÓN: Capítulo 31BCorriente transitoria - InductanciaCorriente transitoria - Inductancia