Producto vectorial

En lgebra lineal, el producto vectorial es una operacin binaria entre dos vectores de un espacio eucldeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales.

Con frecuencia se lo llama tambin producto cruz (pues se lo denota mediante el smbolo ) o producto externo (pues est relacionado con el producto exterior).

Definicin [editar]Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial 3. El producto vectorial entre a y b, como se mencion antes, da como resultado un nuevo vector, al que llamaremos c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su mdulo, direccin y sentido:

El mdulo de c est dado por

donde es el ngulo entre a y b.

La direccin de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b.

El sentido en el que apunta el vector c est dado por la regla del sacacorchos.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a b, por ello se lo llama tambin producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediante a b cuando escriben a mano.

El producto vectorial puede definirse de una manera ms compacta de la siguiente manera:

donde es el versor ortogonal a los vectores a y b y su sentido est dado por la regla del sacacorchos y es, como antes, el ngulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo tambin regla de la mano derecha.

Base del espacio vectorial [editar]Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial 3. Se dice que S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:

1. , es decir, los tres vectores son ortogonales entre s;

2. , es decir, los vectores son ortonormales (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son versores);

3. ; ; , es decir, siguen la regla de la mano derecha (tambin llamada "regla del sacacorchos").

En la primera propiedad, denota producto interno.

Producto vectorial [editar]Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afn tridimensional segn la base anterior.

Se define el producto , y se escribe , como el vector:

En el que

, es el determinante de orden 2.

O usando una notacin ms compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, tambin decimos:

Que da origen a la llamada regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ngulo ms pequeo, el sentido de es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.

Ejemplo [editar]Sean los vectores:

y

El producto vectorial entre a y b se calcula como:

Expandiendo el determinante:

Por lo tanto

Puede verificarse fcilmente que a b es ortogonal al vector a y al vector b utilizando el producto escalar y verificando que ste da cero como resultado (condicin de perpendicularidad de vectores).

Propiedades [editar]Cualesquiera que sean los vectores , y en :

1. , (anticonmutatividad)

2. (el producto vectorial es perpendicular a cualquiera de los factores),

3. Si y entonces (el producto cruz de dos vectores paralelos es cero).

4. ,

5. Otras propiedades [editar]Continuando con los vectores del apartado anterior y con la norma vectorial habitual:

. El valor absoluto de esta operacin corresponde al volumen del paraleleppedo formados por los vectores , y . A esta operacin se la conoce como producto mixto, pues combina producto escalar y producto vectorial.

, siendo el ngulo menor entre los vectores y ; esta expresin relaciona al producto vectorial con el rea del paralelogramo que definen ambos vectores.

El vector es el vector normal al plano que contiene a los vectores y .

Vectores axiales [editar]Cuando consideramos dos magnitudes fsicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud fsica aparentemente vectorial que tiene un extrao comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalas se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalas se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector fsico.

Dual de Hodge [editar]Artculo principal: Dual de HodgeEn el formalismo de la geometra diferencial de las variedades riemannianas la nocin de producto vectorial se puede reducir a una operacin de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. As el producto vectorial es simplemente:

Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

El producto vectoral slo es definible en tres dimensiones no existe ninguna extensin posible a otras dimensiones, cosa que puede probarse examinando la dimensionalidad del espacio de las (d-2)-formas y el de las 1-formas que solo coinciden para d = 3.

Otras operaciones vectoriales [editar]Los vectores tienen definida la operacin interna de adicin de forma sencilla y casi evidente pero para el producto de dos vectores se definen tres operaciones externas:

producto escalar

producto vectorial

producto tensorial.

Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ngulos y distancias (ver operador norma) de una forma fcil y directa. Con el producto vectorial, tambin llamado producto cruz, encontraremos otra manera tambin de definir ngulos y reas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitir expresar volmenes fcil y sencillamente con el producto mixto.

El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qu ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operacin externa ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afn tridimensional, , el producto vectorial es una operacin interna.

Por ello el producto vectorial se define en 3.

Producto Vectorial

Se acostumbra definir tambien una segunda clase de producto entre vectores, cuyo resultado es esta vez un vector. Partiremos con la definicin geomtrica primero, llamemos . El producto es tal que:

i)

Es perpendicular al plano generado por los vectores y . La direccin es la dada por la regla de la mano derecha.

ii)

, en que es el ngulo que forman los vectores y .

Como los vectores unitarios y forman un tro ortonormal derecho, se tiene:

De esta manera, podemos escribir el producto entre dos vectores cualquiera en la forma

donde

Juntando todo, tenemos: De acuerdo a las reglas de clculo de determinantes, es posible reescribir los resultados anteriores en la forma

Hay algunas combinaciones de productos que son interesantes, y que aparecen con alguna frecuencia en los clculos, como por ejemplo el llamado triple producto escalar (como ejercicio, demostrar la igualdad que sigue)

Finalmente, el triple producto vectorial aparece tambien con frecuencia demostrar la igualdad que sigue)

Para finalizar, indiquemos que la diferencia entre el punto de vista matemtico y fsico respecto a los vectores consiste en que, en fsica usamos una definicin algo ms restringida, pues los vectores que se consideran tienen una medida (eucldea). Para los vectores del espacio, entonces, existe siempre una cantidad que es invariante bajo rotaciones, que es la longitud del vector. Tambien, y muy importante, las ecuaciones fsicas que escribimos son invariantes bajo este grupo de rotaciones; dicho en otras palabras, una igualdad entre vectores es indpendiente del sistema de coordenadas utilizadas.

Producto vectorialIntroduccin.Dados los vectores a y b linealmente independientes de E3(R) deseamos calcular todos los vectores que que son simultneamente perpendiculares a a y b. En todo momento nos referimos a la base ortonormal { e1, e2, e3 }

Sean { a1, a2, a3 } y { b1, b2, b3 } las coordenadas de a y b respecto de la base dada y (x, y, z) las coordenadas de un vector genrico x que deseamos cumpla las condiciones de perpendicularidad que se han indicado.

Si dicho vector ha de ser perpendicual a a y b el producto escalar de cada uno de ellos por x es cero. Por tanto

siendo pues a y b linealmente independientes. Teniendo esto en cuenta resulta que el sistema anterior es compatible indeterminado con grado de indeterminacin 1. Resolvindolo, por ejemplo por el mtodo de Crmer, resulta

Para el valor una solucin es

que es una base del conjunto de vectores que son perpendiculares a a y b. (Evidentemente la dimensin de dicho subespacio es 1).

Definimos, teniendo en cuenta lo anterior, el producto escalar de los vectores a(a1, a2, a3) y b(b1, b2, b3), referidos a una base ortonormal { e1, e2, e3 } por

Las propiedades del producto vectorial enunciadas a continuacin son inmediatas teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes:

el producto escalar no es conmutativo;

el ortogonal a a y a b (por construccin)

(siendo || a || la norma (o mdulo) del vector a)

a y b son linealmente dependientes

Si a y b son linealmente independientes entonces a, b y forman una base.

El producto vectorial tiene una sencilla e importante interpretacin geomtrica que resuelve bastantes problemas. La norma (o mdulo) del vector producto vectorial es igual que el rea del paralelogramo determinado por los vectores que lo definen.

Si el gulo determinado por los dos vectores es agudo resulta S = || a || h = || a || || b || sen()Por otra parte

|| ab || 2 = || a || 2 || b || 2 - (a b) 2 = || a || 2 || b || 2 - (|| a || 2 || b || 2 cos 2()) = = || a || 2 || b 2 || (1 - cos 2()) = || a || 2 || b 2 || sen 2()) || ab || = || a || || b || sen 2()) = S

(Si el ngulo es obtuso, entonces = - y tendremos

h = || b || sen ( - ) = || b || sen () como en el caso anterior).

Dos aplicaciones geomtricas interesantes son:

el clculo del rea de un trigulo;

la distancia de un punto a una recta.

Ejemplo 1Para calcular el rea del tringulo de vrtices A(0,0,0), B(1,2,3) y C(1,0,-2) basta calcular el producto vectorial de los vectores AB y AC y dividir el resultado por 2. (Como puede desprenderse intuitivamente de la figura adjunta)

Ejemplo 2 Para calcular la distancia del origen de coordenadas O(0,0,0) a la recta r basta elegir un punto de la recta, por ejemplo A(0, -1,2) y considerar el vector AO. La distancia buscada es la altura del paralelogramo determinado por los vectores v y AO. La base de dicho paralelogramo es el mdulo de v. Tendremos por tanto

4.10. Producto vectorial .Sea un espacio vectorial sobre . Se denomina producto vectorial a toda aplicacin que a cada par de vectores le asocia un vector ley de composicin interna.Sean y dos vectores no nulos de , y B una base ortonormal , de . La expresin del producto vectorial es :

El producto vectorial es el vector nulo si los vectores son paralelos o linealmente independientes ,.El mdulo del producto vectorial es .El sentido del vector resultante del producto vectorial es el de llevar el primero sobre el segundo por el camino ms corto . El producto vectorial es anticonmutativo , .El producto vectorial es distributivo respecto de la suma de vectores, .

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Productos vectoriales

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Fecha Tue Mar 18 17:38:52 2008

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