s4-vectores, producto escalar y producto vectorial-2015ii

8/19/2019 s4-Vectores, Producto Escalar y Producto Vectorial-2015ii

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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y

ALGEBRA

VECTORES EN R2 Y R3,PRODUCTO ESCALAR Y

PRODUCTO VECTORIAL


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Los vectores dentro de la ingeniería Civil se aplican muy amenudo, por ejemplo si haces diseñar un techo dearmadura, la base de una columna, necesitas ladescomposición para conocer el momento. Falta mencionarel cálculo antisísmico y una variedad de aplicaciones. Sin

descomposición de vectores no hay estática y sin ella nohay ingeniería civil.

MOTIVACIÓN: APLICACIÓN

DE VECTORES A LA

INGENIERÍA CIVIL


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Defnición de vectoe!

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio.Cada vector posee unas características que son:

Módulo Dirección

SentidoALGUNOS TIPOS DE VECTORES Vectores Colineales Vectores Concurrentes

Vectores Coplanares Vectores Iguales


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VECTOR DE POSICIÓN

!L "!C#$% $& '(! ()! !L $%*+!) !C$$%!)--S $ C$) () &()#$ & S! LL--"!C#$% ! &$S*C*/).

S*%"!) &-%- !F*)*% L- &$S*C*/) ! () C(!%&$!) !L &L-)$ $ !L !S&-C*$.

$

&

0

y


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COORDENADAS DE UN VECTOR EN ELPLANO

Si las coordenadas de - y 1 son2

Las coordenadas o

componentes del

vector -1 son2

( )2 2, B x y

( )1 1, A x y

( )2 1 2 1, AB x x y y= − −

uuur


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Ejemplo 1 3allar las componentes de un vector cuyos e0tremos

son2 -45,56 y 147,86

Sol!"i#n

-1 9 47 : 5, 8 :56 -1 9 4;,76 Ejemplo $ (n vector -1 tiene de coordenadas 47,:56. 3allar las

coordenadas de -, si se conoce el e0tremo 14


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SU%A VECTORIAL Considere dos vectores - y 1 como se muestra.

!l vector suma se puede determinar mediante la regladel paralelogramo o del triángulo .


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EL MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Para su(ar %s $e!t%res A # B usan% este(/t%% i*u0a(%s l%s $e!t%res ini!i% !%n ini!i%1

Traza(%s una lnea &aralela a A al fnal e B,lue.% )a!e(%s l% (is(% &ara B, "%r(an% un&aralel%.ra(%1


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La magnitud de la resultante % se determinamediante la ley de cósenos

La dirección mediante la ley de senos

2 2

2 cos R A B A B θ = + +r rr r r

( )

A R B

sen sen senπ θ β ε = =

−

rr r


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PROPIEDADES DE VECTORES


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Componen&es "ar&esianas de !n 'e"&or

Componentes de un vector a lo largo de los ejes deun sistema de coordenadas rectangulares

A( ) * A*+"os,

A- ) * A*+sen,

, ) &an.1 /A- 0 A(

uchas veces se identi>ica un vector dando sus componentes2

A ) /A- 2 A(

3-

3(

.-

.( ,

A

A-

A(


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VECTORES UNITARIOS

(n vector unitario es un vector sin unidades cuyo módulo

es e0actamente la unidad. Se utili?an para especi>icar

dirección y sentido. &or ejemplo, dado un vector A,

podemos hallar un vector unitario en la dirección y sentido

de A, sin más @ue escribir2


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x y

!x"#y"#"$

!x%#y%#%$

D&do' lo' (unto' indic&do' el)ector *ue lo' une e't&re(re'ent&do (or

VECTOR DE POSICI+N EN EL ESPACIO

A

, AB

2 1 2 1 2 1(x x , , ! ! ) AB = − − −uuur


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CO%PONENTES 4 COSENOS DIRECTORESDE UN VECTOR

(n vector en el espacio tiene tres ejes coordenados,cada uno de los ejes tiene un vector unitario @ue sedenominan respectivamente i, j, 5+

r


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Consideremos un vector libre . !l vector puededescomponerse en la suma de tres vectoresperpendiculares entre si, cada uno sobre uno de los

ejes.

ar

ar


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Ejemplos La siguiente >igura demuestra donde se ubicael punto 4


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el vector @ueda e0presado en >unción de los

vectores unitarios, mediante2

!l módulo de es la longitud de la diagonal delparalelepípedo recto

a

r

A A

x y z a a i a j a k = + +

( ) ( ) ( )22 2

x y z a a a a= + +r

a

r


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!l vector unitario en la dirección de a viene dado por

&ara determinar la dirección del vector hay @ue conocer los ángulos α,β y γ , @ue >orma con cada uno de los ejes del sistema de re>erencia

A A y x z

a

aa aa

u i j k a a a a= = + +


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$bservando la Figura se aprecia @ue2

a dichos cosenos se les denomina "osenos dire"&oresde

L%s !%sen%s ire!t%res est+n rela!i%na%sentre s, (eiante

El $e!t%r unitari% se &%r+ e&resar ta(*i/n!%(%

cos xa

a

α = r cos ya

a

β = r cos z

a

a

γ = r

2 2 2cos cos cos 1α β γ + + =

3 3 3cos cos cosau i j k α β γ = + +3

a

r


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!B!&L$2 Sabiendo @ue el vector

hallar los ángulos directores respecto a 0, y, ?.Solución2

3 3" " 2 " A i j k = − + +ur

3

cos x A

A

α = ur cos x A Aα =

" cos Aα − =

( ) ( ) ( )2

2 2

" " 2 " 1# A = − + + =ur

" 1cos

1# 2α

− −= = $12#α =

%"β = % γ

= %


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!B!&L$2 eterminar los "osenos dire"&ores del vector 4


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Se deduce de lo e0puesto @ue un vector @ueda

determinado de alguna de las >ormas siguientes2

- partir de sus tres componentes.

- partir de su módulo y el ángulo @ue >orma conel sistema de re>erencia.

D - partir de las coordenadas de su e0tremo yorigen.


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%ULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNVECTOR

Sea c ∈ % y el vector

!ntonces2

( , , ) x y z

A A A A=

( , , ) x y zcA cA cA cA=


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ados dos vectores cuales@uiera y de>inimos

el producto escalar2

!l resultado de esta operación es un escalar, es deciruna cantidad @ue no tiene dirección.

-l producto escalar tambiEn se le conoce comoproducto interno, escalar o punto.

Producto e'c&l&r de do' )ectore'

x x y y z z a b a b a b a b× = + +

a

r

br


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1'' =⋅ ii1'' =⋅ j j

#'' =⋅ ji

#'' =⋅ k j

#'' =⋅ k i

x Ai A =⋅ '1'' =⋅ k k

y A j A =⋅ '

z Ak A =⋅ '

--..// ,A,A,A,A ++=⋅


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Producto

e'c&l&r de do')ectore'

Co0(onente de A 'o1re ,

Co0(onente de , 'o1re A

DE6INICIÓN 7EO%8TRICA DEL PRODUCTO ESCALAR * cos+ A B⋅ =

cos+* =

co'2,,A =


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!B!&L$ 52

ado los vectores del ejemplo anterior, calcular elángulo entre ellos.

Solución2

cos cos A B

A B A B A B

α α ×

× = ⇒ =

ur ur ur urur

( ) ( ) ( )2 2 2

% 2 ",% A A= + + ⇒ =ur ur

", B =

( ) ( ) ( )

"cos cos #,1& -1$

",% ",ar ar α

= = = ÷ ÷


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El producto escalar

( ) ( )

.i el producto escalar, cos ,

de dos vectores es cero, entonces

1) l menos uno de los dos es cero

/

2) 0os vectores son perpendiculares (ortogonales),

es decir, # 2 / # 2

a b a b θ

θ π π

× =

= 2% %

r rr r


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PRODUCTO VECTORIAL

Sean los vectores

3 3 x y z A A i A j A k = + +

ur 3 3 3 x y z

B B i B j B k = + +ur 3

3 3

x y z

x y z

i j k

C Ax B A A A

B B B

= =

3

ur ur ur

( ) ( ) 3 ( ) 3 y z z y x z z x x y y xC A B A B i A B A B j A B A B k = − − − + −ur 3


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l producto vectorial o producto cruz

a

r br

a b×

rr

θ

sa b a b enθ

× =

r rr r


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Las coordenadas cartesianas

3 3 3 3

0os vectores 3ase cartesianos constituen,

adem4s, una 3ase 5derec6a5

'

'

'

:

#

'

'

'

'

' '

k

k

j

j

j

i xi

k

i

i

x

i

x k j j k

× =

× =

× =

= = =3 3 X

Y

Z

'i

' j

'k


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INTERPRETACIÓN 7EO%8TRICA 3allamos la altura del paralelogramo

!l área del paralelogramo es igual al modulo de

A

B

h A senβ = ×

Area B h= × Area A B senβ =

Area Ax B=

AxB

ur ur


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El producto vectorial

( ) ( )

.i el producto vectorial de dos vectores

s n

es cero, entonces

1) l menos uno de los dos es cero/

2) 0os vectores son paralelos

es decir,

.i dos vectores so

# #

n p

/ 1-#

aralelos, entonces su

a b a b e θ

θ π

× =

= % %

r rr r

producto vectorial es cero


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TRIPLE PRODUCTO ESCALAR !s un escalar @ue resulta del producto escalar de un

vector por el vector resultante del producto vectorial dedos vectores. Sean los vectores2

3 3 x y z

A A i A j A k = + +ur

3 3 3 x y z

B B i B j B k = + +ur

3

3 3 x y z C C i C j C k = + +ur

3

( ) 3 3( )

3 3

x y z x y z

x y z

i j k

A BxC A i A j A k B B B

C C C

× = + + ×

3ur ur ur

3


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*)#!%&%!#-C*/) +!$#%*C- !l valor absoluto del triple producto escalar 4a 9 "6 tiene

una interpretación geomEtrica sencilla. !s igual alvolumen del paralelepípedo P con a, 9, ", como aristasadyacentes.


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!B!&L$2

ados los vectores ! 9 4

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