vectoresvectores definición representación operaciones suma y resta producto por un escalar...
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VECTORESVECTORES
VectoresVectores
Definición
Representación
Operaciones
Suma y resta
Producto por un escalar
Producto escalar
Producto vectorial
Descomposición
DefiniciónDefinición
Un Un vectorvector es un segmento orientado es un segmento orientado Módulo: longitud del segmentoMódulo: longitud del segmento
Dirección: la de la recta que le contieneDirección: la de la recta que le contieneSentido: señalado por la punta de la flechaSentido: señalado por la punta de la flechaPunto de aplicación: origen del vectorPunto de aplicación: origen del vector
u x y z 2 2 2
RepresentaciónRepresentación
AnalíticaAnalíticaDos formas de expresarlo:Dos formas de expresarlo:
GráficaGráfica
u x y z , ,
u xi yj zk
x, y, z son las coordenadas o
componentes del vector;i, j y k son los vectores
unitariosSistema de Referencia
A
B
Punto de aplicación (origen)
Extremo
VECTOR AB
Vectores unitariosVectores en 3d
Vectores UnitariosVectores Unitarios
UnitVectors.swf
Operaciones (producto escalar)Operaciones (producto escalar)
El producto escalar El producto escalar de dos vectores es:de dos vectores es:
Aplicaciones:Aplicaciones: Puede calcularse el ángulo entre dos vectoresPuede calcularse el ángulo entre dos vectores
u v u v co s
• El resultado es un El resultado es un número (escalar)número (escalar)• Vale 0 si los vectores Vale 0 si los vectores son perpendicularesson perpendiculares
co s u v
u v
Pueden calcularse vectores perpendicularesPueden calcularse vectores perpendiculares
Operaciones (suma)Operaciones (suma)
u x i y j z k
v x i y j z k
u v x x i y y j z z k
' ' '
( ' ) ( ' ) ( ' )
Método 1 Método 2paralelogramo
Se pone un vector a continuación del otroEl vector suma es el
que va del origen del primero al extremo del
segundo
Se ponen ambos vectores con los origen
en común
Se trazan paralelas a ambos vectores
Se une el origen de los vectores con el extremo
de las paralelas
u
v
u
u + vu + v
v
Operaciones (resta)Operaciones (resta)
u x i y j z k
v x i y j z k
u v x x i y y j z z k
' ' '
( ' ) ( ' ) ( ' )
Método 1 Método 2paralelogramo
Se cambia de sentido al vector a restar
Igual que en la suma cambiando de sentido
al vector a restar
u
v
Se procede como en la suma
u - vu
v-v
u - v
OperacionesOperaciones(producto por un escalar)(producto por un escalar)
k u k x i k y j k z k
Casos:• Escalar mayor que 1• Escalar menor que uno• Escalar negativo
u
3 u
Operaciones (producto escalar)Operaciones (producto escalar)
Operaciones (producto escalar)Operaciones (producto escalar)
El producto escalar El producto escalar de dos vectores es:de dos vectores es:
Aplicaciones:Aplicaciones: Puede calcularse el ángulo entre dos vectoresPuede calcularse el ángulo entre dos vectores
u v u v co s
• El resultado es un El resultado es un número (escalar)número (escalar)• Vale 0 si los vectores Vale 0 si los vectores son perpendicularesson perpendiculares
co s u v
u v
Pueden calcularse vectores perpendicularesPueden calcularse vectores perpendiculares
Operaciones (producto escalar)Operaciones (producto escalar)
u x i y j z k
v x i y j z k
u v x x y y z z
' ' '
' ' '
Operaciones (Descomposición)Operaciones (Descomposición)
Se “separa” o descompone un vector en Se “separa” o descompone un vector en otros dos cuya suma es el primerootros dos cuya suma es el primero
X
Y
Se trazan paralelas a los ejes que pasen por el extremo del vector a descomponer
La descomposición son los vectores que van del origen a cada punto de intersección
ActividadesActividades1.- Representa en el plano los puntos
A(2, 3) y B(-1, -3). Representa el vector AB. Calcula el módulo del vector AB.
2.- Dados los vectores:u = 3 i - j + 2 k v = - i + ½
kCalcula: u + v; u - v; 3 u + 2 v; u · v; el
módulo de ambos y el ángulo entre ambos vectores.
3.- Dados los vectores:u = 2 i + 4 j v = - i + ½ jRepresenta ambos vectores en un
sistema de referencia y realiza gráficamente la suma de las dos maneras conocidas.
4.- Calcula m para que los siguientes vectores sean perpendiculares:
u = i - m j + 2 k y v = - i + 2 j - k
5.- Dados los vectores:u = -1 i + 2 j + 3 k v = i + 3 ja) Calcula el módulo de cada unob) Suma los módulos obtenidosc) Calcula la suma de los vectoresd) Halla el módulo de la sumae) Calcula el producto escalarf) Multiplica el módulo de los vectores u y
vg) ¿Conclusiones?
6.- Calcula el ángulo que forma el vector u = -3 i + 4 j con el eje Y
7.- Representa un vector de módulo 5 con un ángulo de 30º respecto al eje X. Calcula sus componentes.
