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CAP. III ANLISIS VECTORIAL

Producto triple escalar y vectorial

Benjamn Snchez Rodrguez

Contenido

Producto triple escalar y vectorial.

Introduccin.

Producto escalar triple.

Producto vectorial triple.

Aplicaciones.


Introduccin

En ocasiones, en las aplicaciones de vectores se

presentan dos triples productos. Uno es el producto

A(BxC), denominado triple producto escalar de

los vectores A, B y C (de hecho, los parntesis no

son necesarios ya que ABxC puede interpretarse

slo en una manera puesto que AB es un escalar).

El otro triple producto es Ax(BxC) que se denomina

triple producto vectorial de los vectores A, B y C.

Aqu los parntesis deben mantenerse.

Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.


Introduccin

En el triple producto escalar, el producto BxC

produce un vector, el cual producto punto con A da

un escalar.

El resultado del triple producto vectorial es un

vector que es perpendicular a A y a BxC. El plano

definido por B y C es perpendicular a BxC y as el

producto triple yace en este plano (ver figura la

figura 1).

Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pg. 29-34

Rogan J. y Muoz V. Apuntes de un curso de Introduccin a la fsica Matemtica


Introduccin

Figura 1: Los vectores B y C estn en el plano xy. BxC es perpendicular al plano

xy y es mostrado aqu a lo largo del eje z. Entonces Ax(BxC) es perpendicular al

eje z y por lo tanto esta de regreso en el plano xy.

B x C

B

A

C

x

z

y

A x (B x C)




Teorema 1

Si A, B y C son tres vectores cualesquiera de V3

entonces:

A B x C = A x B C


Demostracin del teorema 1

Sean A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3) y C = (c1,c2,c3)

A B x C = (a1,a2,a3) [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)]

(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3) = = (b2c3-c2b3, b3c1-c3b1, b1c2-c1b2)

A B x C = (a1,a2,a3) (b2c3-c2b3, b3c1-c3b1, b1c2-c1b2)

A B x C = (a1b2c3-a1c2b3, a2b3c1-a2c3b1, a3b1c2-a3c1b2)

A B x C = (a2b3-a3b2)c1 + (a3b1-a1b3)c2 + (a1b2-a2b1)c3

A B x C = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1) (c1,c2,c3)


i j k

b1 b2 b3

c1 c2 c3

Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edicin.


Por definicin (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1) = A x B, entonces:

A B x C = A x B C

Con lo cual queda demostrado el teorema 1.




Ejemplo 1

Verificar el teorema 1 para los siguientes tres vectores: A

= (1,-1,2), B = (3,4,2) y C = (-5,1,-4)

Solucin:

B x C = (3i + 4j + k) x (-5i + j -4k)

B x C = 3k - 12(-j) - 20(-k) - 16i + 10j - 2(-i)

B x C = -14i + 22j + 23k

A (B x C) = (1,-1,2) (-14,22,23) = -14 22 + 46

A (B x C) = 10



Ejemplo 1. Solucin:

A x B = (i j + 2k) x (3i + 4j - 2k)

A x B = 4k - 2(-j) - 3(-k) + 2i + 6j + 8(-i)

A x B = -6i + 8j + 7k

(A x B) C = (-6,8,7) (-5,1,-4) = 30 +8 - 28

(A x B) C = 10

Esto verifica el teorema 1 para estos tres vectores.



Teorema 2

Si A, B y C son tres vectores cualesquiera de V3

entonces:

A x (B x C) = (A C) B - (A B) C



Sean A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3) y C = (c1,c2,c3)

A x (B x C) = (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)]

(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3) = = (b2c3-c2b3, b3c1-c3b1, b1c2-c1b2)

Ahora

(a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] =


i j k

b1 b2 b3

c1 c2 c3

i j k

a1 a2 a3

b2c3-c2b3 b3c1-c3b1 b1c2-c1b2

http://www.licimep.org/MateFisica/Calculo%20vectorial/Problemas/1%20Algebra%20vectorial/Demostr

ar%20identidad%20triple%20producto%20vectorial.pdf


Expresamos nuevamente (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] como

A x (B x C)

A x (B x C) = [a1(b1c2-c1b2) - a3(b3c1-c3b1), a3(b2c3-c2b3) - a1(b1c2-

c1b2), a1(b3c1-c3b1) - a2(b2c3-c2b3)]

Lo cual se puede escribir como:

A x (B x C) = [b1(a2c2+a3b3) - c1(a2b2+a3b3), b2(a1c1+a3c3) -

c2(a1b1+a3b3), b3(a1c1+a2c2) - c3(a1b1+a2b2)]





A x (B x C) = [b1(a1c1+a2c2+a3b3) - c1(a1b1+a2b2+a3b3),

b2(a2c2+a1c1+a3c3) - c2(a2b2+a1b1+a3b3), b3(a3c3+a1c1+a2c2) -

c3(a3b3+a1b1+a2b2)]

A x (B x C) = [b1(A C) - c1(A B), b2(A C) c2(A B),

b3(A C) c3(A B)]

A x (B x C) = (b1,b2,b3) (A C) - (c1,c2,c3) (A B)

A x (B x C) = B (A C) C (A B)

A x (B x C) = (A C) B - (A B) C

Con lo cual queda demostrado el teorema 2.





Ejemplo 2

Verificar el teorema 2 para los tres vectores del ejemplo

nmero 1: A = (1,-1,2), B = (3,4,2) y C = (-5,1,-4)

Solucin:

Del ejemplo 1 sabemos que:

B x C = -14i + 22j + 23k

Entonces:

A x (B x C) = = -23i - 28j + 22k - 14k - 44i - 23j

A x (B x C) = -67i - 51j + 8k

i j k

1 -1 2

-14 22 23



Ejemplo 2. Solucin:

(A C) = (1,-1,2) (-5,1,-4) = -5 - 1 - 8 = -14

(A B) = (1,-1,2) (3,4,-2) = 3 - 4 - 4 = -5

As

(A C) B - (A B) C = -14(3,4,2) (-5) (-5,1,-4)

(A C) B - (A B) C = (-42,-56,28) (25,-5,20)

(A C) B - (A B) C = (-67,-51,8)

(A C) B - (A B) C = -67i - 51j + 8k

Esto verifica el teorema 2 para estos tres vectores.


Aplicaciones

Producto escalar triple

El producto escalar triple tiene una interpretacin

geomtrica directa. Los tres vectores A, B y C

pueden ser interpretados como la definicin de un

paraleleppedo (ver figura 2).

|B x C| = |B| |C| sen

|B x C| = rea de la base del paralelogramo.




Figura 2. Paraleleppedo que representa el producto escalar

triple.

Aplicaciones

B x C

B

A

C

x

z

y



Aplicaciones


La direccin, por supuesto, es normal a la base.

Haciendo el producto punto con A, esto significa

multiplicar el rea de la base, por la proyeccin de A

sobre la normal, o la base tantas veces por la altura.

Por lo tanto

|A B x C| = volumen del paraleleppedo definido

por los vectores A, B y C.



Aplicaciones


Ejemplo 3

Dados los puntos A(1,2,-3), B(-1,1,-2), C(4,2,-1) y D(-1,0,1)

del espacio. Verifique si los puntos son coplanares y en caso

de que no sean coplanares, hallar el volumen del tetraedro

determinado.

Solucin:

Lo primero que tenemos que saber es que: tres vectores

son coplanares si y slo si: el producto escalar triple de los

tres vectores es igual a cero. Lo anterior se deduce de que

el volumen del paraleleppedo tendr volumen cero si y slo

si los vectores que lo definen estn en el mismo plano (y por

tanto tendr altura cero).

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r52212.PDF

Aplicaciones


Ejemplo 3. Solucin:

Como tenemos un criterio de coplanares en trminos de

vectores y la pregunta est hecha en trminos de puntos,

debemos construir los vectores. Conviene que sea con

origen en el mismo punto, digamos que tal punto es A.

Sean U, V y W los vectores definidos como sigue:

U = B A = (-1,1,-2) - (1,2,-3) = (-2,-1,1)

V = C A = (4,2,-1) - (1,2,-3) = (3,0,2)

W = D A = (-1,0,1) - (1,2,-3) = (-2,-2,4)

Aplicaciones


Ejemplo 3. Solucin:

Aplicando el teorema 1 calculamos U x V W :

U x V = = (-2-0)i+(3+4)j+(0+3)k = -2i+7j+3k

U x V W = (-2,7,3) (-2,-2,4) = 4-14+12

U x V W = 2

i j k

-2 -1 1

3 0 2

Aplicaciones


Ejemplo 3. Solucin:

El resultado anterior indica que los vectores no son

coplanares ya que el producto escalar triple es diferente

de cero, el valor absoluto de este resultado determina el

volumen del paraleleppedo, el volumen del tetraedro es

la sexta parte del volumen del paraleleppedo, luego:

Volumen del tetraedro = 2/6 = 1/3 unidades cbicas.

Aplicaciones

Producto vectorial triple

El producto vectorial triple tiene importantes

aplicaciones en el desarrollo de ecuaciones de Fsica

como por ejemplo en las de: Conservacin del

momento angular, Ecuaciones de Maxwell, Ecuacin

de onda, entre muchas ms.

En el ejemplo 4 se muestra como se simplifica el

desarrollo de una ecuacin mediante la aplicacin del

teorema del producto vectorial triple.

Romero J. M. Funciones especiales con aplicaciones a la mecnica cuntica y al electromagnetismo.

Gonzlez J. F. El Producto Vectorial

Aplicaciones


Ejemplo 4

El momento angular de una partcula es dado por: L =

rxP = mrxv, donde P es el momento lineal. Con la

velocidad lineal y angular relacionadas por v = xr,

demostrar que:

L = mr[ - r0(r0 )]

Donde r0 es un vector unitario en la direccin de r. para

r = 0 esto se reduce a L = I, con el momento de

inercia I dado por mr.


Aplicaciones


Ejemplo 4: Solucin:

Como v = x r y adems m es una constante:

L = m(r x v) = m[r x ( x r)] (1)

Como se observa, esto es un producto vectorial triple por lo

tanto aplicamos el teorema 2:

L = m[(r r) - r(r ) ] (2)

Si r0 es un vector unitario en la direccin de r, entonces:

r0 = r/r

r = r r0 (3)

donde r es la magnitud del vector r

Aplicaciones


Ejemplo 4: Solucin:

Sustituyendo la ecuacin 3 en la ecuacin 2:

L = m[(r r0 r r0) - r r0(r r0 ) ]

L = m[r(r0 r0) - rr0(r0 ) ] (4)

Como r0 r0 = |r0| = 1

L = mr[ - r0(r0 ) ] (5)

La ecuacin 5 es la demostracin a la que se quera llegar.

Bibliografa.



Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists.

Pg. 29-34.

Rogan J. y Muoz V. Apuntes de un curso de Introduccin a la fsicaMatemtica.

http://fisica.ciencias.uchile.cl/~jrogan/cursos/mfm1o03/mfm1b.pdf

Gonzlez J. F. El Producto Vectorial.

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/jfgh.pdf

Romero J. M. Funciones especiales con aplicaciones a la mecnicacuntica y al electromagnetismo. http://arxiv.org/pdf/1103.2387.pdf

Apuntes: Producto Vectorial.

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r52212.PDF

Apuntes:

http://www.licimep.org/MateFisica/Calculo%20vectorial/Problemas/1%20Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%20triple%20producto%20

vectorial.pdf

135445317 3 5 producto triple escalar y vectorial

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